Giáo trình Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 2: Điều khiển tối ưu
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Chương 2
ðIꢀU KHIꢁN TꢂI ƯU
2.1 CHꢃT LƯꢄNG TꢂI ƯU
2.1.1 ðꢅc ñiꢆm cꢇa bài toán tꢈi ưu
1. Khái niꢉm
Mꢃt hꢄ ñiꢀu khiꢁn ñưꢅc thiꢆt kꢆ ꢇ chꢆ ñꢃ làm viꢄc tꢂt nhꢈt là hꢄ luôn ꢇ trꢉng
thái tꢂi ưu theo mꢃt tiêu chuꢊn chꢈt lưꢅng nào ñó ( ñꢉt ñưꢅc giá trꢋ cꢌc trꢋ ) .
Trꢉng thái tꢂi ưu có ñꢉt ñưꢅc hay không tùy thuꢃc vào yêu cꢍu chꢈt lưꢅng
ñꢎt ra , vào sꢌ hiꢁu biꢆt vꢀ ñꢂi tưꢅng và các tác ñꢃng lên ñꢂi tưꢅng , vào
ñiꢀu kiꢄn làm viꢄc cꢏa hꢄ ñiꢀu khiꢁn …
Mꢃt sꢂ ký hiꢄu sꢐ dꢑng trong chương 2.
Hình 2.1: Sơ ñꢒ hꢄ thꢂng ñiꢀu khiꢁn .
Hꢄ thꢂng ñiꢀu khiꢁn như hình trên bao gꢒm các phꢍn tꢐ chꢏ yꢆu : ñꢂi tưꢅng
ñiꢀu khiꢁn ( ðTðK ) , cơ cꢈu ñiꢀu khiꢁn ( CCðK ) và vòng hꢒi tiꢆp ( K ) .
Vꢓi các ký hiꢄu :
r : tín hiꢄu ñꢍu vào, mꢑc tiêu ñiꢀu khiꢁn, ñáp ꢔng mong muꢂn cꢏa hꢄ thꢂng.
u : tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn, luꢕt ñiꢀu khiꢁn.
x : tín hiꢄu ñꢍu ra, ñáp ꢔng ra cꢏa hꢄ thꢂng.
ε
= r – x : sai lꢄch cꢏa hꢄ thꢂng.
f : tín hiꢄu nhiꢖu
Chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J cꢏa mꢃt hꢄ thꢂng có thꢁ ñưꢅc ñánh giá theo sai lꢄch
cꢏa ñꢉi lưꢅng ñưꢅc ñiꢀu khiꢁn x so vꢓi trꢋ ñáp ꢔng mong muꢂn r , lưꢅng quá
ñiꢀu khiꢁn ( trꢋ sꢂ cꢌc ñꢉi xmax so vꢓi trꢋ sꢂ xác lꢕp x ∞ tính theo phꢍn
trăm ) , thꢘi gian quá ñꢃ … hay theo mꢃt chꢗ tiêu hꢙn hꢅp trong ñiꢀu kiꢄn
làm viꢄc nhꢈt ñꢋnh như hꢉn chꢆ vꢀ công suꢈt , tꢂc ñꢃ , gia tꢂc … Do ñó viꢄc
chꢚn mꢃt luꢕt ñiꢀu khiꢁn và cơ cꢈu ñiꢀu khiꢁn ñꢁ ñꢉt ñưꢅc chꢆ ñꢃ làm viꢄc
tꢂi ưu J ñꢉt cꢌc trꢋ còn tùy thuꢃc vào lưꢅng thông tin ban ñꢍu mà ta có ñưꢅc.
ꢛ ñây chúng ta có thꢁ thꢈy ñưꢅc sꢌ khác biꢄt vꢀ kꢆt quꢜ nhꢕn ñưꢅc chꢈt
lưꢅng tꢂi ưu khi lưꢅng thông tin ban ñꢍu thay ñꢝi ( Hình 2.2 ) .
Trang 125
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Hình 2.2 : Tꢂi ưu cꢑc bꢃ và tꢂi ưu toàn cꢑc .
Khi tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u giꢓi hꢉn trong miꢀn [u1,u2] , ta có ñưꢅc giá trꢋ tꢂi
ưu cꢌc ñꢉi J1∗ cꢏa chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J ꢔng vꢓi tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u1∗ .
Khi tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u không bꢋ ràng buꢃc bꢇi ñiꢀu kiꢄn u1 ≤ u ≤ u2 , ta
có ñưꢅc giá trꢋ tꢂi ưu J2∗ > J1∗ ꢔng vꢓi u2∗ . Như vꢕy giá trꢋ tꢂi ưu thꢌc sꢌ
bây giꢘ là J2∗ .
Tꢝng quát hơn , khi ta xét bài toán trong mꢃt miꢀn u ,u nào ñó và tìm
m
n
ñưꢅc giá trꢋ tꢂi ưu Ji∗ thì ñó là giá trꢋ tꢂi ưu cꢑc bꢃ . Nhưng khi bài toán
không có ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc ñꢂi vꢓi u thì giá trꢋ tꢂi ưu là
J∗ = extremum(Ji∗ ) vꢓi Ji∗ là các giá trꢋ tꢂi ưu cꢑc bꢃ , giá trꢋ J∗ chính là
giá trꢋ tꢂi ưu toàn cꢑc .
ðiꢀu kiꢄn tꢒn tꢉi cꢌc trꢋ :
• ðꢉo hàm bꢕc mꢃt cꢏa J theo u phꢜi bꢞng 0 :
∂J
= 0
∂u
• Xét giá trꢋ ñꢉo hàm b
ꢕc hai cꢏa J theo u tꢉi ñiꢁm cꢌc trꢋ :
∂2 J
> 0 :
< 0 :
ñ
i
i
ꢁ
m c
ꢌ
c tr
ꢋ
ꢋ
là c
ꢌ
c ti
ꢁu
∂u2
∂2 J
∂u2
ñ
ꢁm c
ꢌ
c tr
là c
ꢌ
c
ñꢉi
2. ðiꢊu kiꢉn thành lꢋp bài toán tꢈi ưu
Trang 126
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
ðꢁ thành lꢕp bài toán tꢂi ưu thì yêu cꢍu ñꢍu tiên là hꢄ thꢂng phꢜi có ñꢎc tính
phi tuyꢆn có cꢌc trꢋ .
Bưꢓc quan trꢚng trong viꢄc thành lꢕp mꢃt hꢄ tꢂi ưu là xác ñꢋnh chꢗ tiêu chꢈt
lưꢅng J . Nhiꢄm vꢑ cơ bꢜn ꢇ ñây là bꢜo ñꢜm cꢌc trꢋ cꢏa chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng
J . Ví dꢑ như khi xây dꢌng hꢄ tꢂi ưu tác ñꢃng nhanh thì yêu cꢍu ñꢂi vꢓi hꢄ
là nhanh chóng chuyꢁn tꢟ trꢉng thái này sang trꢉng thái khác vꢓi thꢘi gian
quá ñꢃ nhꢠ nhꢈt , nghĩa là cꢌc tiꢁu hóa thꢘi gian quá ñꢃ . Hay khi tính toán
ñꢃng cơ tên lꢐa thì chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng là vưꢅt ñưꢅc khoꢜng cách lꢓn nhꢈt
vꢓi lưꢅng nhiên liꢄu ñã cho .
Chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J phꢑ thuꢃc vào tín hiꢄu ra x(t) , tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u(t)
và thꢘi gian t . Bài toán ñiꢀu khiꢁn tꢂi ưu là xác ñꢋnh tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u(t)
làm cho chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J ñꢉt cꢌc trꢋ vꢓi nhꢡng ñiꢀu kiꢄn hꢉn chꢆ nhꢈt
ñꢋnh cꢏa u và x .
Chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J thưꢘng có dꢉng sau :
T
J = L[x(t),u(t),t]dt
∫
0
Trong ñó L là mꢃt phiꢆm hàm ñꢂi vꢓi tín hiꢄu x , tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u và
thꢘi gian t .
Lꢀy ví dꢁ vꢂ bài toán ñiꢂu khiꢃn ñꢄng cơ ñiꢅn mꢄt chiꢂu kích tꢆ ñꢄc lꢇp
Φkt = const vꢓi tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u là dòng ñiꢄn phꢍn ꢔng iu và tín hiꢄu ra
x là góc quay
ϕ cꢏa trꢑc ñꢃng cơ .
Hình 2.3 : ðꢃng cơ ñiꢄn mꢃt chiꢀu kích tꢟ ñꢃc lꢕp .
Ta có phương trình cân bꢞng moment cꢏa ñꢃng cơ :
d
ω
kM iu − Mc = Mq
(1)
(2)
dt
d
ϕ
ω
=
dt
Trang 127
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
trong ñó kM = CM Φ = const
;
Mq là moment quán tính ; ω là tꢂc ñꢃ góc ;ϕ là
góc quay . Giꢜ sꢐ bꢠ qua phꢑ tꢜi trên trꢑc ñꢃng cơ ( Mc = 0 ) thì :
2ϕ
d
kM iu = Mq
(3)
dt2
Nꢆu xét theo thꢘi gian tương ñꢂi bꢞng cách ñꢎt :
= t kM / Mq
τ
thì (3) có dꢉng :
d
d
2ϕ
τ 2
= iu
(4)
(5)
Tꢟ ñó ta có :
d2x
τ 2
= u
d
Vꢕy phương trình trꢉng thái cꢏa ñꢃng cơ ñiꢄn là mꢃt phương trình vi phân
cꢈp hai vꢓi tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn u là dòng ñiꢄn phꢍn ꢔng iư, tín hiꢄu ra là góc
quay
• Bài toán t
Tìm luꢕt ñiꢀu khiꢁn
ϕ .
ꢈi
ư
u tác ñꢄng nhanh ( th
ꢉi gian tꢈi thiꢃu ) :
u(t
) vꢓi ñiꢀu kiꢄn hꢉn chꢆ u ≤1 ñꢁ ñꢃng cơ quay tꢟ vꢋ
trí ban ñꢍu có góc quay và tꢂc ñꢃ ñꢀu bꢞng 0 ñꢆn vꢋ trí cuꢂi cùng có góc
quay bꢞng ϕ0 và tꢂc ñꢃ bꢞng 0 vꢓi mꢃt khoꢜng thꢘi gian ngꢢn nhꢈt .
Vì cꢍn thꢘi gian ngꢢn nhꢈt nên chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng
J
sꢣ là :
T
J = L[x(t),u(t),t]dt = T
∫
0
Rõ ràng tꢟ phương trình trên ta phꢜi có L[x(t),u(t),t] =1 .
Như vꢕy , ñꢂi vꢓi bài toán tꢂi ưu tác ñꢃng nhanh thì chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J có
dꢉng :
T
J = 1dt = T
∫
0
• Bài toán n
Năng suꢈt ꢇ ñây ñưꢅc xác ñꢋnh bꢇi góc quay lꢓn nhꢈt cꢏa ñꢃng cơ trong thꢘi
gian nhꢈt ñꢋnh . Khi ñó chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng có dꢉng :
ăng suꢀt tꢈi ưu :
T
J
T
T
&
ϕ
J = L[x(t),u(t),t]dt =ϕT
−
ϕ0
=
(t)dt
∫
∫
0
0
&
ϕ(t) = x(t) và ta sꢣ có chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng J ñꢂi vꢓi
Do ñó L[x(t),u(t),t] =
bài toán năng suꢈt tꢂi ưu như sau :
T
&
J = x t dt ꢀ
( )
∫
Trang 128
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
• Bài toán n
ăng lưꢊng tꢈi thiꢃu :
Tꢝn hao năng lưꢅng trong hꢄ thꢂng :
T
Q = Uuiudt
∫
0
Dꢌa vào phương trình cân bꢞng ñiꢄn áp :
Uu = iu Ru + ke
ω
d
ω
và phương trình cân bꢞng moment : kM iu − Mc = Mq
Ta tính ñưꢅc :
dt
T
T
keMc
kM
Q = Uuiudt =
∫
(ϕT
−
ϕ0 ) + Ruiu2dt
∫
0
0
ðꢁ có ñưꢅc tiêu hao năng lưꢅng tꢂi thiꢁu , ta chꢗ cꢍn tìm cꢌc tiꢁu cꢏa J :
T
T
J = L[x(t),u(t),t]dt = iu2dt
∫
∫
0
0
Mà dòng ñiꢄn phꢍn ꢔng iu ꢇ ñây chính là tín hiꢄu ñiꢀu khiꢁn
u . Vì vꢕy chꢗ
tiêu chꢈt lưꢅng
J
ñꢂi vꢓi bài toán năng lưꢅng tꢂi thiꢁu có dꢉng :
T
J = u2 (t)dt
∫
0
3. Tꢈi ưu hoá tĩnh và ñꢌng
Chúng ta cꢍn phân biꢄt hai dꢉng bài toán tꢂi ưu hoá tĩnh và tꢂi ưu hóa ñꢃng .
Tꢂi ưu hóa tĩnh là bài toán không phꢑ thuꢃc vào thꢘi gian . Còn ñꢂi vꢓi tꢂi
ưu hóa ñꢃng thì thꢘi gian cũng là mꢃt biꢆn mà chúng ta cꢍn phꢜi xem xét
ñꢆn .
2.1.2 Xây dꢍng bài toán tꢈi ưu
1. Tꢈi ưu hóa không có ñiꢊu kiꢉn ràng buꢌc
Mꢃt hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng vô hưꢓng L u ñưꢅc cho trưꢓc là mꢃt hàm
cꢏa mꢃt vector ñiꢀu khiꢁn hay mꢃt vector quyꢆt ñꢋnh u ∈ Rm . Chúng ta cꢍn
chꢚn giá trꢋ cꢏa u sao cho L(u) ñꢉt giá trꢋ nhꢠ nhꢈt .
ðꢁ giꢜi bài toán tꢂi ưu , ta viꢆt chuꢙi Taylor mꢇ rꢃng cho ñꢃ biꢆn thiên cꢏa
L(u) như sau :
1
dL = LTu du + duT Luu du + O(3)
(2.1)
2
Vꢓi O(3) là sꢂ hꢉng thꢔ 3. Grad cꢏa L theo u là mꢃt vector m cꢃt :
Trang 129
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
∂L / ∂u
1
∂L / ∂u2
M
∂L
∂u
∆
(2.2)
Lu
=
∂L / ∂um
và ñꢉo hàm cꢈp 2 cꢏa L theo u là mꢃt ma trꢕn m x m ( còn gꢚi là ma trꢕn
Hessian ) :
∂2 L
∂u2
∂2 L
∆
Luu
=
(2.3)
∂ui ∂u j
Luu ñưꢅc gꢚi là ma trꢕn uꢂn .
Mꢃt ñiꢁm cꢌc trꢋ hoꢎc ñiꢁm dꢟng xuꢈt hiꢄn khi sꢌ biꢆn thiên dL vꢓi thành
phꢍn thꢔ nhꢈt tiꢆn vꢀ 0 vꢓi mꢚi biꢆn thiên du trong quá trình ñiꢀu khiꢁn . Vì
vꢕy , ñꢃ có ñiꢃm cꢋc trꢌ thì :
Lu = 0
(2.4)
Giꢜ sꢐ ñang ꢇ tꢉi ñiꢁm cꢌc trꢋ , có Lu = 0 như (2.4) . ðꢃ ñiꢃm cꢋc trꢌ trꢍ
thành ñiꢃm cꢋc tiꢃu , chúng ta cꢍn có :
1
dL = duT Luu du + O(3)
(2.5)
u ma
2
là xác ñꢋnh dương v
ꢓ
i m
ꢚ
i s
ꢌ
bi
ꢆ
n thiên du .
ðiꢀu này ñưꢅc ñꢜm bꢜo nꢆ
tr n u n Luu là xác ñꢌnh dương :
ꢕ
ꢂ
Luu > 0
(2.6)
N
ꢎ
u Luu là xác ñꢌnh âm thì
ñ
i
ꢃ
m c
c tr
xét ñꢎn thành ph
c tr
ꢋ
ꢌ
c tr
chính là
n b
ꢌ
chính là
m yên ng
c cao h n trong (2.1) ñꢃ xác
ñ
i
ꢃ
m c
ꢋ
ꢋ
c
ñꢏi ; còn n
ꢎ
u Luu
là không xác ñꢌnh thì
xác ñꢌnh thì chúng ta s
ñꢌnh ñưꢊc lo i c
ñi
ꢃm c
ꢋ
ñ
i
ꢃ
a . Nꢎu Luu là bán
ꢐ
ꢑ
ꢇ
ơ
ꢏ
ꢒa
ñi
ꢃm cꢋ
ꢌ .
Nh
là dương ( ho
ương v a có âm nh
riêng b ng 0 . Vì th
toàn ch ra ñưꢅc lo
ꢢ
c l
ꢉ
i : Luu là xác ñꢋnh dương ( ho
c âm ) , không xác ñꢋnh n
ng khác 0 , và s là bán xác ñꢋnh n
ꢎ
c âm ) n
ꢆ
u nh
ư
ꢋ
các giá tr
riêng c a nó v
u t n t i giá tr
hai s không hoàn
ꢋ
riêng c
ꢏa nó
ꢎ
ꢆu các giá tr
ꢏ
ꢒ
ꢣ
ꢟ
a có
d
ꢟ
ư
ꢣ
ꢆ
ꢉ
ꢋ
ꢞ
ꢆ
nꢆu
Luu = 0 , thì thành ph
m c c tr
ꢍn th
ꢔ
ꢗ
ꢉi cꢏa
ñi
ꢁ
ꢌ
ꢋ .
2. Tꢈi ưu hóa vꢎi các ñiꢊu kiꢉn ràng buꢌc
Cho hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng vô hưꢓng
u ∈ Rm và vector trꢉng thái x ∈ Rn . Bài toán ñưa ra là chꢚn u sao cho hàm
L
x,u, vꢓi vector ñiꢀu khiꢁn
Trang 130
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng L(x,u) ñꢉt giá trꢋ nhꢠ nhꢈt và thꢠa mãn ñꢒng thꢘi các
phương trình ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc .
f
x,u
= 0
(2.7)
Vector trꢉng thái x ñưꢅc xác ñꢋnh tꢟ mꢃt giá trꢋ u cho trưꢓc bꢞng mꢂi quan
hꢄ (2.7) , vì thꢆ f là mꢃt hꢄ gꢒm n phương trình vô hưꢓng , f ∈ Rn .
ðꢁ tìm ñiꢀu kiꢄn cꢍn và ñꢏ cꢏa giá trꢋ cꢌc tiꢁu , ñꢒng thꢘi thꢠa mãn
f x,u= 0 , ta cꢍn làm chính xác như trong phꢍn trưꢓc . ðꢍu tiên ta khai
triꢁn dL dưꢓi dꢉng chuꢙi Taylor , sau ñó xác ñꢋnh sꢂ hꢉng thꢔ nhꢈt và thꢔ
hai là Lu & Luu.
Thꢏa sꢈ Lagrange và hàm Hamilton .
Tꢉi ñiꢁm cꢌc trꢋ , dL vꢓi giá trꢋ thꢔ nhꢈt bꢞng 0 vꢓi mꢚi sꢌ biꢆn thiên cꢏa
du khi df bꢞng 0 . Như vꢕy chúng ta cꢍn có:
dL = LTu du + LTx dx = 0
df = fu du + fx dx = 0
(2.8)
(2.9)
Tꢟ (2.7) ta xác ñꢋnh ñưꢅc x tꢟ giá trꢋ u ñã có, ñꢃ biꢆn thiên dx ñưꢅc xác ñꢋnh
bꢇi (2.9) tꢟ giá trꢋ biꢆn thiên du vꢓi ñiꢀu kiꢄn ma trꢕn Jacobi là không kỳ dꢋ
fx ≠ 0 . Như vꢕy , ma trꢕn Jacobi fx không kỳ dꢋ và :
dx = − fx−1 fu du
(2.10)
(2.11)
Thay dx vào (2.8) ta ñưꢅc :
dL = (LTu − LTx fx−1 fu )du
ðꢉo hàm riêng cꢏa L theo u chꢔa hꢞng sꢂ f ñưꢅc cho bꢇi phương trình :
T
∂L
−1
=
(
LTu − LTx fx fu
)
= Lu − fuT fx−T Lx
(2.12)
∂u
df =0
T
−T
−1
fx
vꢓi fx
=
. Lưu ý rꢞng :
∂L
∂u
= Lu
(2.13)
dx=0
ðꢃ thành phꢑn thꢓ nhꢀt cꢒa dL bꢔng không vꢕi giá trꢌ du tùy ý khi df = 0 ,
ta cꢑn có :
Lu − fuT fx−T Lx = 0
(2.14)
ðây là ñiꢂu kiꢅn cꢑn ñꢃ có giá trꢌ cꢋc tiꢃu . Trưꢓc khi ñi tìm ñiꢀu kiꢄn ñꢏ ,
chúng ta hãy xem xét thêm mꢃt vài phương pháp ñꢁ có ñưꢅc (2.14) .
Viꢆt (2.8) và (2.9) dưꢓi dꢉng:
dL
T
Lx LT
dx
u
=
= 0
(2.15)
df
du
fx fu
Trang 131
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Hꢄ phương trình tuyꢆn tính này xác ñꢋnh mꢃt ñiꢁm dꢟng , và phꢜi có mꢃt
kꢆt quꢜ
dxT duT
T . ðiꢀu này chꢗ xꢜy ra nꢆu ma trꢕn hꢄ sꢂ
n +1
×
n + m
có hꢉng nhꢠ hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng cꢏa ma trꢕn tuyꢆn tính vꢓi nhau
ñꢁ tꢒn tꢉi mꢃt vector
λ
có n sꢂ hꢉng như sau:
T
Lx LTu
1
λT
.
= 0
(2.16)
fx fu
Hay:
LTx + λT fx = 0
LTu + λT fu = 0
(2.17)
(2.18)
Giꢜi (2.17) ta ñưꢅc
λ
:
−1
λT = −LTx fx
(2.19)
và thay vào (2.18) ñꢁ có ñưꢅc (2.14) .
Vector
∈ Rn ñưꢊc gꢖi là thꢆa sꢈ Lagrange , và nó sꢣ là công cꢑ hꢡu ích
λ
cho chúng ta sau này . ðꢁ hiꢁu thêm ý nghĩa cꢏa thꢟa sꢂ Lagrange ta xét du
= 0 , tꢟ (2.8) và (2.9) ta khꢐ dx ñꢁ ñưꢅc :
−1
dL = LTx fx df
(2.20)
(2.21)
Vì vꢕy:
T
∂L
∂f
−1
=
(
LTx fx
)
= −λ
du=0
Do ñó -
λ
là ñꢉo hàm riêng cꢏa L vꢓi biꢆn ñiꢀu khiꢁn u là hꢞng sꢂ . ðiꢀu này
nói lên tác dꢑng cꢏa hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng vꢓi biꢆn ñiꢀu khiꢁn không ñꢝi
khi ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc thay ñꢝi .
Như là mꢃt cách thꢔ ba ñꢁ tìm ñưꢅc (2.14), ta phát triꢁn thêm ñꢁ sꢐ dꢑng
cho các phân tích trong nhꢡng phꢍn sau. Kꢆt hꢅp ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc và
hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng ñꢁ thành lꢕp hàm Hamilton .
H
x,u,
λ
= L
x,u
+
λT
f
x,u
(2.22)
Vꢓi
λ
∈ Rn là thꢟa sꢂ Lagrange chưa xác ñꢋnh . Muꢂn chꢚn x , u ,
λ
ñꢁ có
ñưꢅc ñiꢁm dꢟng , ta tiꢆn hành các bưꢓc sau .
ðꢃ biꢆn thiên cꢏa H theo các ñꢃ biꢆn thiên cꢏa x , u ,
λ
ñưꢅc viꢆt như sau :
(2.23)
dH = HxT dx + HuT du + HλT d
λ
∂H
Lưu ý rꢞng :
Gi chúng ta ch
Hλ =
= f (x,u)
(2.24)
∂λ
ꢜ
s
ꢐ
ꢚ
n các giá tr
ꢋ
c
ꢏ
a u th
ꢠa mãn:
Hλ = 0
(2.25)
Trang 132
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Sau
bu
hàm ch
ñ
c
ó ta xác ñꢋnh x v
x,u = 0 . Trong trưꢘng h
tiêu ch t lưꢅng:
ꢓ
i giá tr
ꢋ
c
ꢏ
a u
ñã có bꢞng phương trình ñiꢀu kiꢄn ràng
ꢃ
f
ꢗ
ꢅ
p này hàm Hamilton tương ñương vꢓi
ꢈ
H
= L
(2.26)
f =0
Nh
ꢢ
c l
ꢉ
i : n
ꢆ
u f = 0 , ta s
ꢡ
ꢣ
tìm ñưꢅc dx theo du t
n ti n trong vi
Hx = 0
ꢟ
(2.10) . Ta không nên xét
m
ꢂ
i quan h
ꢄ
gi a du và dx ñꢁ thu
ꢕ
ꢄ
ꢄc chꢚn λ sao cho :
(2.27)
(2.28)
ðꢉo hàm (2.22) theo x:
∂H
∂x
= Lx + fxT λ = 0
hay λT = −LTx fx
.
−1
N
ꢆ
u gi
ꢡ
nguyên (2.25) và (2.27) t
dL = dH = HuT du
ng ta ph i áp ñꢎ
Hu = 0
ñꢃ có ñưꢊ m c
c f(x,u) = 0 g m có :
∂H
ꢟ (2.23):
(2.29)
(2.30)
Vì H = L, ñꢁ có ñưꢅ
c
ñ
i
ꢁ
m d
ꢟ
ꢜ
t
ñ
i
ꢀ
u ki
ꢄn:
Tóm l
ꢉ
i ,
ñi
ꢂ
ꢄ
u ki
ꢅ
n cꢑ
n
c
ñi
ꢃ
ꢋ
c ti
ꢃ
u cꢒa L(x,u) th
ꢗa mãn
ñi
ꢂu
ki
ꢅ
n ràng bu
ꢘ
= f = 0
(2.31a)
(2.31b)
(2.31c)
∂λ
∂H
= Lx + fxT λ = 0
= Lu + fuT λ = 0
∂x
∂H
∂u
V
ꢓ
i
H
x,u,
λ
xác ñꢋnh b
, và u theo th
y chúng tương
ꢇ
i (2.22) . Cách thưꢘng dùng là t
ương ng . So sánh 2 phương trình
ng v i 2 phương trình (2.17) và
ꢟ 3 phương trình
ñã cho xác ñꢋnh x ,
λ
ꢔ
t
ꢌ
t
ꢔ
ꢓ
(2.31b) và (2.31c) ta th
(2.18) .
ꢈ
ꢔ
Trong nhi
nhiên ta v
chúng ta xác ñꢋnh các ñꢉi lưꢅng c
m c a th a s Lagrange có th
ưꢅng dx và du không ph i là hai ñꢉi lưꢅng bi
theo (2.10) . B ng cách ñưa ra m t th a s ñꢋnh
cho dx và du có thꢁ ñưꢅc xem là hai ñꢉi lưꢅng bi n thiên ñꢃc l
ñꢉo hàm riêng c a H l n lưꢅt theo các bi n nh trong (2.31) , nh
có ñưꢅ m d ng .
ꢀ
u
ꢔ
ng d
ꢑ
ng , chúng ta không quan tâm ñꢆn giá tr
a nó vì ó là m t bi n trung gian cho phép
n tìm là u , x và giá tr nh nh t c a L .
tóm t t nh sau : trên th c t , hai ñꢉ
n thiên ñꢃc l p v i nhau ,
, chúng ta ch sao
p v i nhau .
th ta
ꢋ cꢏa λ , tuy
ꢤn ph i tìm giá tr
ꢜi
ñ
ꢋ
c
ꢏ
ꢍ
ñ
ꢃ
ꢆ
ꢋ
ꢠ
ꢈ ꢏ
Ư
l
u
ñi
ꢁ
ꢏ
ꢟ
ꢂ
ꢁ
ꢢ
ư
ꢆ
ꢌ
ꢆ
i
ꢜ
ꢕ
ꢓ
ꢞ
ꢃ
ꢟ
ꢂ
b
ꢈ
t
λ
ꢚn λ
ꢆ
ꢕ
ꢓ
Lꢈ
y
ꢏ
ꢍ
ꢆ
ư
ư
ꢆ
s
ꢣ
c
ñ
i
ꢁ
ꢟ
Trang 133
Chương 2:
ði
ꢀu khi
ꢁn tꢂi ưu
Khi ñưa ra th
nh nh t c a L(x,u) v
giá tr nh nh t c a hàm Hamilton H(x,u,
u ki ã (2.31) xác ñꢋnh m m d
m c c ti u như ñã th c hi n trong ph
t chu i Taylor m
ꢆ
a s
ꢈ
Lagrange , chúng ta có th
u ki n ràng bu c f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
) không có u ki n ràng bu c .
ng . Ta s ti p t c ch ng minh ây
ꢃ thay thꢎ bài toán tìm giá trꢌ
ꢗ
ꢀ
ꢒ
ꢕi
ñi
ꢂ
ꢅ
ꢄ
λ
ꢌ
ꢗ
n
ꢌ
ꢙ
ꢀ
ꢒ
ñi
ꢂ
ꢅ
ꢄ
ð
là
Vi
i
ꢀ
ꢄ
ñ
ꢃt
ñi
ꢁ
ꢟ
ꢣ
ꢆ
ꢑ
ꢔ
ñ
ñi
ꢁ
ꢁ
ꢌ
ꢄ
ꢍn trưꢓc .
ꢆ
ꢇ
rꢃng cho ñꢃ bi
ꢆ
n thiên c
ꢏ
a L và f nh
ư
sau :
dx
L
L
dx
1
2
xx
dL =
LTx LTu
[
]
+
[
dxT duT
]
+ O(3)
(2.32)
(2.33)
xu
du
Lux Luu du
f
dx
du
f
dx
1
2
xx
xu
df =
[
fx fu
]
+
[
dxT duT
]
+ O(3)
fux fuu du
Vꢓi:
∂2 f
∆
fxu =
∂u∂x
ðꢁ ñưa ra hàm Hamilton , ta s
ꢐ
dꢑng các phương trình sau :
dL
df
dx
H
H
dx
1
2
xx
[
1
λT
]
=
[
HxT HuT
]
+
[
dxT duT
]
+ O(3)
xu
du
Hux Huu du
(2.34)
i thành ph
a dx và du . Vì f =
i Hx = 0 và Hu = 0 nh trong (2.31) .
m c c ti u , chúng ta xét ñꢆn thành ph n th
i quan h gi a dx và du trong (2.34) . Gi
c tr nên Hx = 0 , Hu = 0 và df = . T
Bây gi
th nh
nêndf =
ðꢁ tìm
ðꢍu tiên , ta c
ꢘ
ꢈ
,
ñꢁ có ñưꢅ
t c a dL b ng 0 v
u này òi h
ñꢏ cho
c
ñ
i
ꢁ
m d
ꢟ
ng ta c
ꢍ
n có f =
biꢆn thiên c
0
, và ñꢒng th
ꢏ
ꢘ
ꢍn
0
ꢔ
ꢏ
ꢞ
ꢓ
i m
ꢚi s
ꢌ
0
, và
ñ
i
ꢀ
ñ
ꢠ
ư
ñ
i
ꢀ
u ki
ꢄn
ñ
i
ꢁ
ꢌ
ꢁ
ꢍ
ꢔ
hai .
ng
(2.10)
ꢍn xem m
ꢂ
ꢄ
ꢡ
ꢜ
ꢟ
s
ꢐ
r
ꢞ
chúng ta
ñang ꢇ ñ
i
ꢁm c
ꢌ
ꢋ
0
suy ra:
dx = − fx−1 fu du + O(2)
(2.35)
Thay vào (2.34) ta ñưꢅc :
H
Hxu
− fx−1 fu
1
xx
dL = duT
[
− fuT fx
I
]
Hux Huu
du + O(3)
(2.36)
−
T
2
I
ðꢃ ñꢙm b
ꢙo
ñây là
ñi
ꢃ
m c
ꢋ
c ti
ꢃ
u , dL trong (2.36) ph
ꢙi dương vꢕi mꢖi sꢋ
bi n thiên c
ꢎ
ꢒa du .
ði
ꢂ
u này ñưꢊ
c
ñꢙm b
ꢙo n
ꢎu nh
ư
ma tr
ꢇn u
ꢈn vꢕi f luôn
bꢔng 0 là xác ñꢌnh dương .
− f −1 f
∆
H
Hxu
u
xx
−T
Lufu =Luu
=
[
− fuT fx
I
]
x
f
Hux Huu
I
(2.37)
−T
−T
−1
= Huu − fuT fx
H
− Hux fx−1 fu + fuT fx H fx fu
xu
xx
Trang 134
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
L
ư
u ý r
ñưꢅc rút l
u (2.37) là xác ñꢋnh âm ( ho
ñꢉi ( ho m yên ng a ) .
ꢞ
ng n
i thành Luu ꢇ phương trình (2.3) .
c không xác ñꢋnh ) thì
ꢆ
u
ñ
i
ꢀ
u ki
ꢄ
n ràng bu
ꢃ
c
f
x,u
= 0
v
ꢓ
i m
ꢚ
i
x
và
u thì (2.37)
ꢉ
N
ꢆ
c
ꢎ
ñi
ꢁ
m d ng s
ꢟ
ꢣ
là
ñi
ꢁ
m
cꢌ
ꢎc
ñi
ꢁ
ꢌ
2.1.3 Ví dꢍ
Tꢈi ưu hóa không có ñiꢊu kiꢉn ràng buꢌc
Ví dꢍ 2.1 : Không gian toàn phương .
Cho u ∈ R2 và :
q
q12
1
L(u) = uT
2
11
u +
[
s1 s2
]
u
(1)
(2)
q12 q22
∆
1
= uT Qu + ST u
2
ðiꢁm cꢌc trꢋ ñưꢅc xác ñꢋnh bꢇi :
Lu = Qu + S =
u∗ = −Q−1S
0
(3)
(4)
v
Lo
ꢓ
i
ꢉ
u* dùng ñꢁ ch
ꢗ
bi
c trꢋ ñưꢅc xác ñꢋnh b
Luu = Q
ꢆ
n
ñ
i
ꢀ
u khi
ꢁ
n t
ꢂ
i
ư
u.
i cꢏa
ñi
ꢁm c
ꢌ
ꢞng cách xét ma trꢕn hessian
(5)
ð
i
ꢁ
m
u* là c
ꢌ
c ti
ꢁ
u n
ꢆ
u
Luu > 0 ( q11 > 0 và q11q22 − q122 > 0 ) . Là
ñ
i
ꢁ
m c
ꢌ
c
ñꢉi n
yên ng
ñưꢅ
ng cách thay (4) vào (2) ta s
ꢆ
u
Luu < 0 ( q11 < 0 và q11q22 − q122 > 0 ) . N
ꢆu
Q < 0 , thì u* là
ñiꢁm
ꢌ
a . N
ꢆ
u
Q = 0 , thì
u* là
ñi
ꢁm k
ỳ
d
ꢋ
, chúng ta không th xác ñꢋnh
ꢁ
c
ñó là cꢌ
c ti
ꢁ
u hay c
ꢌc ñꢉi tꢟ Luu
.
Bꢞ
ꢣ
tìm ñưꢅc giá tr
ꢋ
c
ꢏa hàm ch
ꢗ
tiêu ch
ꢈ
t lưꢅng
như
sau :
∆
1
1
L* = L
(
u*
)
= ST Q−1QQ−1S − ST Q−1S = − ST Q−1S
(6)
2
2
Gi
ꢜ
s
ꢐ
cho
L
như
sau:
1 1
1
L = uT
2
u +
[
0 1
]u
(7)
(8)
1 2
Khi
ñó giá trꢋ u
t
ꢂi
ư
u sꢣ là:
2
−
1 0
1
u* = −
=
−
1
1
1
1
Trang 135
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
là m
Các ñưꢘng ñꢒng m
u2]T . Các m
i tên là gradient .
ꢃ
t c
ꢌ
c ti
ꢁ
u , vì Luu > 0 . T
ꢟ
(6) giá tr
ꢋ nhꢠ nhꢈt cꢏa L là L* = -1/2 .
ꢔc cꢏ
a
L
(u
) trong (7) ñưꢅc v
ꢣ
trong Hình 2.4 , v
ꢓ
i
u
= [u1
ũ
u1
+
u2
u1
Lu = Qu
+
S
=
(9)
+
2u2
+
1
L
h
ư
u ý r
ưꢓng là hưꢓng t
Chúng ta dùng d
thưꢘng b qua d
ꢞ
ng gradient luôn luôn vuông góc v
ng ) .
u “*” ñꢁ ch
u “*” .
ꢓ
i các ñưꢘng ñꢒng m
và n tìm . Tuy nhiên ta
ꢔc và có
ă
ꢈ
ꢈ
L(u
ꢗ
giá tr
ꢋ
t
ꢂi
ưu c
ꢏa
u
L cꢍ
ꢠ
Hình 2.4 : Các ñưꢘng ñꢒng mꢔc và vector gradient .
Ví dꢍ 2.2 : Tꢂi ưu hóa bꢞng tính toán vô hưꢓng .
Phꢍn trên chúng ta ñã ñꢀ cꢕp phương pháp giꢜi bài toán tꢂi ưu bꢞng cách sꢐ
dꢑng các vector và gradient . Sau ñây ta sꢣ tiꢆp cꢕn bài toán vꢓi mꢃt cách
nhìn khác , xem chúng như là nhꢡng ñꢉi lưꢅng vô hưꢓng .
ðꢁ chꢔng minh , ta xét (7) ꢇ dꢉng:
1
L(u1,u2 ) = u12 + u1u2 + u22 + u2
(1)
2
V
ꢓ
i
u1,u2 là các ñꢉi lưꢅng vô hưꢓng .
riêng c theo t t c các ñꢂi s ph i b
∂L
ð
ꢞng 0 :
i
ꢁ
m c
ꢌ
c tr
ꢋ
xu
ꢈt hi
ꢄ
n khi ñꢉo hàm
ꢏa
L
ꢈ
ꢜ
ꢂ
ꢜ
= u1 + u2 = 0
(2a)
∂u1
Trang 136
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
∂L
= u1 + 2u2 +1 = 0
(2b)
(3)
∂u2
Gi
ꢜ
i h
y ,
u th
y chúng ta v
ꢄ
phương trình trên ta ñưꢅc : u1 =1,u2 = −1
m c c tr là (1 ,-1) .
c (1) là m t d ng m
a tìm ñưꢅc m
Vꢕ
ñi
ꢁ
ꢔ
ꢌ
ꢋ
Bi
ꢁ
ꢃ
ꢉ
ꢇ
rꢃ
ng c
ꢏa bi
ꢁu th
ꢔc (7) trong ví d
ꢑ 2.1 , như
vꢕ
ꢟ
ꢃt k
ꢆt qu
ꢜ
t
ương t
ꢌ
b
ꢞ
ng m t cách khác .
ꢃ
Tꢈi ưu hóa có ñiꢊu kiꢉn ràng buꢌc
Ví dꢍ 2.3 : Không gian toàn phương vꢓi ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc tuyꢆn tính .
Giꢜ sꢐ hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng ñưꢅc cho bꢇi ví dꢑ 2.1 vꢓi các ñꢉi lưꢅng vô
hưꢓng u1,u2 ñưꢅc thay thꢆ bꢞng x,u
:
1 1 x
x
1
2
L(x,u) =
[x u
]
+
[
0 1
]
(1)
1 2 u
u
Vꢓi ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc :
f
x,u
= x − 3 = 0
(2)
(3)
Hàm Hamilton sꢣ là :
1
H = L + λT f = x2 + xu + u2 + u +
λ
(x − 3)
2
vꢓ
i
λ
là m
ꢃt
ñꢉi lưꢅng vô hưꢓng .
Hλ = x − 3 = 0
Hx = x + u +
Hu = x + 2u +1 = 0
ð
i
ꢀ
u ki
ꢄ
n
ñꢁ có
ñi
ꢁm d
ꢟ
ng theo (2.31) là :
(4)
λ
= 0
(5)
(6)
Gi
ꢜ
i (4) , (5) , (6) ta ñưꢅc : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 . ðiꢁm dꢟng là :
∗
x,u
=
3,−2
(7)
(8)
ðꢁ xác ñꢋnh (7) là
Lufu >= 0 , vì th
ñ
i
ꢁ
m c
ꢌ
c ti
ꢁu , tìm ma trꢕn uꢂn theo (2.3) :
Lufu = 2
∗
ꢆ
x,u
=
3,−2
là
ñi
ꢁm cꢌc ti
ꢁu .
Các ñưꢘng ñꢒng m
Hình 2.5 .
ꢔ
c c
ꢏ
a L(x,u) và
ñ
i
ꢀ
u ki
ꢄ
n ràng bu
ꢃ
c (2) ñưꢅc v
ꢣ
trong
(9)
Grad c
ꢏ
a f(x,u) trong h
ꢄ
t
ꢚ
a
ñꢃ (x,u) ñưꢅc vi
ꢆ
t nh
ư
sau:
f
1
x
=
fu
0
ñưꢅc v
ꢣ
trong Hình 2.5 . Và grad cꢏa L(x,u) :
Trang 137
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
L
x + u
x
=
(10)
Lu
x + 2u +1
Tꢉi
ñi
ꢁm cꢌc ti
ꢁu (3,-2) , grad L(x,u) s
ꢣ
có giá tr
ꢋ
:
L
1
x
=
(11)
Lu
0
C
ꢍ
n l
ngh
tuy
th ng f = 0 s
Ta tìm ñưꢅc giá tr
(1) , ta ñưꢅc L*=0,5 .
Vì = -1 , gi nguyên giá tr
chuy ñưꢘng th ng trong Hình 2.5 v
= - df = df .
ư
a là
n c
u ý r
m c
a các ñưꢘng ñꢒng m
làm t ng giá tr
a L t
ꢞ
ng gradf và gradL tương ñương v
c ti u xu t hi n khi u ki
c c a L. Di chuy
a L .
m c
ꢓ
i nhau t
ꢉ
i
ñ
i
ꢁ
m d
ꢟ
ng . Có
ĩ
ꢆ
ñi
ꢁ
ꢌ
ꢁ
ꢈ
ꢄ
ꢔ
ꢋ cꢏ
ñ
i
ꢀ
ꢄ
n ràng bu
ꢃ
c (2) là ñưꢘng ti
ꢆp
ꢏ
ꢏ
ꢁn hưꢓng dꢚ
c theo ñưꢘng
ꢥ
ꢣ
ă
ꢋ
cꢏ
ꢉ
i
ñ
i
ꢁ
ꢌ
c ti
ꢁ
u b
ꢞ
ng cách thay x = 3, u = -2 vào
λ
ꢡ
ꢋ
u = -2 , thay ñꢝ
i
ñi
ꢀ
u ki
ꢄn ràng bu
ꢃc df ( d
ꢋch
i dL
ꢁ
n
ꢥ
ꢀ
phía ph
ꢜi ) s làm t
ꢣ
ă
ng L(x,u) vꢓ
λ
Ví dꢍ 2.4 : Hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng dꢉng toàn phương vꢓi ñiꢀu kiꢄn ràng
buꢃc tuyꢆn tính - Trưꢘng hꢅp vô hưꢓng .
Xét hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng dꢉng toàn phương :
2
2
1 x
y
b2
L(x,u) =
+
(1)
2
2
a
Vꢓi ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc tuyꢆn tính :
f x,u= x + mu − c
(2)
Các ñưꢘng ñꢒng mꢔc cꢏa L(x,u) là nhꢡng ellip; nꢆu L(x,u) = l2/2, thì bán
kính trꢑc chính và bán kính trꢑc phꢑ là al và bl . ðiꢀu kiꢄn ràng buꢃc f(x,u)
là mꢃt hꢚ các ñưꢘng thꢥng chꢔa thông sꢂ c . Xem Hình 2.6 ( lưu ý rꢞng u là
biꢆn ñꢃc lꢕp , vꢓi x ñưꢅc xác ñꢋnh bꢇi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :
2
1
2
x
u2
b2
H
=
+
+
λ
(
x
+
mu
−
c
)
(3)
2
a
Và ñiꢀu kiꢄn ñꢁ có ñiꢁm dꢟng :
Hλ = x + mu − c = 0
(4)
(5)
x
Hx =
Hu =
+
+
λ
= 0
a2
u
b2
λ
m = 0
(6)
Trang 138
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Hình2.5 : Các ñưꢘng ñꢒng mꢔc cꢏa L(x,u) và ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc f(x,u) .
Hình 2.6 : Các ñưꢘng ñꢒng m
ꢔ
c c
ꢏ
a L(x,u) và
ñ
i
ꢀ
u ki
ng phương trình (6) ñꢁ ñư
(7)
ꢄn ràng buꢃc f(x,u).
ðꢁ gi
ra bi
ꢜ
n
i h
ꢄ
ꢀ
phương trình này , trưꢓc h
u khi n t u theo th a s Lagrange .
u = −b2m
ꢆt ta s
ꢐ
d
ꢑ
a
ꢆ
ñi
ꢁ
ꢂi
ư
ꢟ
ꢂ
λ
Bây gi
ꢘ
thay phương trình (7) vào (4) ñꢁ kh
ꢐ
u , k
ꢆt h
ꢅ
p v
ꢓ
i (5) và ñưꢅ
c
vi t l i :
ꢆ
ꢉ
− b2m
2
1
1
a2
x
c
=
(8)
1
λ
0
Gi
ꢜ
i ra ta ñưꢅc giá tr
ꢋ
cꢏa
ñi
ꢁ
m d
ꢟng :
a2c
x =
(9)
a2 + b2m2
Trang 139
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
c
λ
= −
(10)
(11)
(12)
a2 + b2m2
Thay (9) , (10) vào (7) , ta có ñưꢅc giá tr
b2mc
a2 + b2 m2
u , dùng (2.37) ñꢁ tìm ra ma tr
m2
ꢋ u tꢂi ưu :
u =
c ti
Lufu =
ðꢁ xác ñꢋnh
ñi
ꢁm d
ꢟ
ng là c
ꢌ
ꢁ
ꢕn uꢂn :
1
+
b2 a2
Lufu > 0 vì v
ꢕ
y ta tìm ñưꢅc m
ꢃt
ñ
i
ꢁ
m c c ti u .
ꢌ
ꢁ
Thay (9) và (11) vào (1) ta ñưꢅc giá tr
ꢋ
t
ꢂ
i
ư
u c
ꢏ
a hàm ch
ꢗ
tiêu ch
ꢈ
t lưꢅng :
1
c2
L* =
(13)
2
a + b m
2
2
2
ðꢁ ki
ꢁm chꢔng (2.21) , l
ư
u ý r
ꢞ
ng:
∂
L*
∂
L*
=
= −
λ
(14)
(15)
∂f
∂c
du=
0
Gradf trong miꢀn (u,x) là :
f
m
u
=
fx
1
ñưꢅc bi
ꢁu di
ꢖn trong Hình 2.6 . GradL là :
u
2
L
u
b
=
(16)
x
Lx
2
a
và t
ꢉi
ñi
ꢁm d
ꢟ
ng (11) , (9) s
ꢣ
có giá tr
ꢋ
:
*
L
m
c
u
=
(17)
a2 + b2m2
Lx
1
ði
ꢀu này tương
ꢔng v
ꢓ
i (15) , vì v
ꢕ
y
ñi
ꢁm d
ꢟng xu
ꢈt hiꢄn khi f(x,u) = 0 là
ñưꢘng ti p tuy n v
ꢆ
ꢆ
ꢓ
i m
ꢃt
ñưꢘng ñꢒng m
ꢔ
c cꢏa L(x,u) .
Ví dꢍ 2.5 : Hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng dꢉng toàn phương vꢓi ñiꢀu kiꢄn ràng
buꢃc tuyꢆn tính .
Bây giꢘ ta tꢝng quát hóa ví dꢑ 2.4 vꢓi vector x ∈ Rn , u ∈ Rm , f ∈ Rn ,
λ
∈ Rn .
Xét hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng dꢉng toàn phương:
Trang 140
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
1
1
L = xT Qx + uT Ru
(1)
2
2
v
ꢓ
ꢓ
i
ñ
i
ꢀ
u ki
ꢄ
n ràng bu
ꢃ
c tuy
ꢆ
n tính :
f = x + Bu + c = 0
n , c là vector n hàng . Gi
(2)
v
i Q , R và B là các ma tr
i Q , R là ma tr ñꢂi x
ñưꢘng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là m
ꢕ
ꢜ
ꢔ
t ph
s
c c
ꢐ
Q
≥
0 và R > 0
( v
ꢓ
ꢕ
n
ꢔng ) . Các ñưꢘng ñꢒng m
ꢏ
a L(x,u) là các
t ngang qua
i nhau .
ꢎ
ꢥng c
ꢢ
chúng .
ði
ꢁm d
ꢟng xu
ꢈt hi
ꢄn khi gradf và gradL song song v
ꢓ
Hàm Hamilton là :
1
1
H = xT Qx + uT Ru + λT (x + Bu + c)
(3)
2
2
và các
ñi
ꢀu ki
ꢄn
ñꢁ có
ñi
ꢁm d
ꢟng là :
Hλ
=
x
+
Bu
+
=
c
=
0
(4)
(5)
(6)
Hx
=
Qx
+
λ
0
Hu = Ru + BT λ = 0
ðꢁ gi
ꢜi các phương trình trên , ñꢍu tiên ta dùng
ñ
i
ꢀu ki
ꢄn (6) ñꢁ tìm u theo
λ
:
u = −R−1BT λ
(7)
(8)
T
ꢟ
(5) ta có :
t h p v i (4) ta ñưꢅc :
dùng k t qu
hay :
λ
= −Qx
K
ꢆ
ꢅ
ꢓ
λ
= QBu + Qc
(9)
ꢆ
ꢜ này thay vào (7) cho ta :
u
= −R−1BT (QBu
+
Qc)
(10)
I
+
R−1BT QB
BT QB
0 , chúng ta có th
u là :
ꢁ
u
= −R−1BT Qc
= −BT Qc
R
+
u
(11)
Vì R > 0 và BTQB
th giá tr u t
≥
tìm ngh
ꢋ
ch ñꢜo c
ꢏ
a (R + BTQB) và vì
ꢆ
ꢋ
ꢂi
ư
u
= −(R
i (11) trong ví d
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr
+
BT QB)−1 BT Qc
(12)
So sánh k
ꢆt qu
ꢜ
này v
ꢓ
ꢑ
2.4 .
ꢋ
trꢉng thái t
ꢂi
ư
u và th
ꢟa s
ꢂ
Lagrange
t
ꢂ
i
ư
u :
−1
x
= −
I
−
B R
(
+
BT QB BT Q c
(13)
(14)
)
−1
λ
=
Q
−
QB R
(
+
BT QB BT Q c
)
B
ꢞ
ng bꢝ ñꢀ
cꢏa ngh
ꢋ
ch ñꢜo ma tr
ꢕn :
Trang 141
Chương 2:
ði
ꢀu khi
ꢁn t
ꢂi
ưu
λ
=
Q−1
trên s rút l
+
BR−1BT
−1 c
(15)
nꢆu
Q ≠ 0 . Các k
trưꢘng h p vô hưꢓng .
ðꢁ xác ñꢋnh bi u khi
ñꢋnh ma tr n u n là xác ñꢋnh dương v
Lufu = R + BT QB
ꢆ
t qu
ꢜ
ꢣ
ꢉi thành k
ꢆt qu
ꢜ
c
ꢏ
a ví d
ꢑ
2.4 trong
ꢅ
ꢆ
ꢂ
n
ñ
i
ꢀ
ꢁn (12) là m
ꢃt cꢌc ti
ꢁu , ta s
ꢐ
d
ꢑ
ng (2.37) ñꢁ xác
i h n .
(16)
ꢕ
ꢓ
i giá tr
ꢋ
cꢏa R và Q ñưꢅc gi
ꢓ
ꢉ
S
ꢐ
dꢑng (12) và (13) th
ꢆ
vào (1) ta có ñưꢅc giá trꢋ tꢂi ưu :
−1 BT Q
c
(17)
(18)
(19)
1
L*
=
cT
Q
−
QB
R
+
BT QB
2
1
L*
=
c
T λ
2
∂L *
=
λ
Vì thꢆ:
∂c
Ví dꢍ 2.6 : Bài toán vꢓi nhiꢀu ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc .
Tìm khoꢜng cách nhꢠ nhꢈt giꢡa parabol :
y = ax2 + bx + d
(1)
(2)
vꢓi ñưꢘng thꢥng :
y = x + c
Xem Hình 2.7 .
Trong bài toán này sꢣ có hai ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc :
f1(x1, y1) = y1 − ax12 − bx1 − d = 0
(3)
(4)
Và :
f2 (x2 , y2 ) = y2 − x2 − c = 0
là 1 ñiꢁm trên parabol và x2 , y2
vꢓi
x1, y1
là 1 ñiꢁm trên ñưꢘng thꢥng .
Chúng ta chꢚn hàm chꢗ tiêu chꢈt lưꢅng là mꢃt nꢐa cꢏa bình phương khoꢜng
cách giꢡa 2 ñiꢁm này .
1
1
L(x1 , x2 , y1 , y2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
(5)
2
2
ðꢁ gi
ꢜi bài toán này , ta x
ꢐ
lý b
ꢞng cách ñꢎt :
∆
∆
∆
f
x
1
y
1
1
f =
,
x=
,
u =
(6)
f2
x2
y2
và sꢐ dꢑng cách tiꢆp cꢕn vector ; tuy nhiên , sꢌ kꢆt hꢅp giꢡa mꢃt ñiꢀu kiꢄn
ràng buꢃc tuyꢆn tính và mꢃt ñiꢀu kiꢄn phi tuyꢆn sꢣ làm phꢔc tꢉp thêm bài
toán . Thay vào ñó ta sꢣ sꢐ dꢑng các ñꢉi lưꢅngꢀvô hưꢓng .
Trang 142
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
Hình 2.7 : Bài toán vꢓi nhiꢀu ñiꢀu kiꢄn ràng buꢃc .
ðưa ra mꢄt thꢆa sꢈ Lagrange cho mꢚi ñiꢂu kiꢅn ràng buꢄc , hàm Hamilton
là :
1
1
H = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + λ1 (y1 − ax12 − bx1 − d) + λ2 (y2 − x2 − c) (7)
2
2
Khi
ñó , ñꢁ có
ñi
ꢁm d
ꢟng ta cꢍn có :
Hx = x1 − x2 − 2a
λ
1x1 − bλ1 = 0
(8)
(9)
1
Hx = −x1 + x2 − λ2 = 0
2
H y = y1 − y2 + λ1 = 0
(10)
(11)
(12)
(13)
1
H y = −y1 + y2 + λ2 = 0
2
Hλ = y1 − ax12 − bx1 − d = 0
1
Hλ = y2 − x2 − c = 0
2
Gi
ꢜ
i (12) ñꢁ có ñưꢅ
c
y1 như
sau :
y1
ax12
=
+
bx1
+
d
(14)
(15)
T
ꢟ (9) và (11) , ta có :
λ2 = x2 − x1 = y1 − y2
y2 = x2 + c (13) có ñưꢅc kꢆt quꢜ sau :
và s
ꢐ
dꢑ
ng (14) v
ꢓ
i
t
ꢟ
Trang 143
Chương 2: ðiꢀu khiꢁn tꢂi ưu
x2
−
x1
=
ax12
+
bx1
+
d
−
+
x2
−
c
(16)
(17)
Khi ñó :
1
2
x2
=
ax12
+
(b
+
1)x1
d
−
c
Theo (10) và (11) , λ1 = -λ2 , vꢕy tꢟ (15) và (17) ta có :
λ1 = x1 − x2
1
λ1 = −
ax12
+
(b
−
1)x1
+
d
−
c
(18)
(19)
2
Cu
ꢂ
i cùng , chú ý r
ꢞ
ng (8) là :
2ax1 + b −1λ1 = 0
hay :
2ax1
+
(b
−
1)
ax12
ñꢁ có giá tr
+
(b
−
1)x1
+
d
−
c
=
0
(20)
Phương trình b
ꢕ
u
c 3 (20) ñưꢅc gi
ñưꢘng th ng c
λ1 λ2=0 ) ; ngưꢅc l
t khi tìm ñưꢅc x1 thì ta s
theo các phương trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr
cho chúng ta kho ng cách ng n nh t là 2L*
ꢜi
ꢋ
t
ꢂ
i
ư
u x1* t
ꢟ
giá tr
ꢋ
a, b, c, d
cho trưꢓc . N
qu u ( khi
(x1,x2) , (y1,y2) . M
ꢆ
ꢥ
ꢢ
t ngang qua parabol thì giao
i , s có ch t c p g
tìm ñưꢅc x2 , y1 và y2 l
ñi
ꢁm s
ꢣ
là k
ꢍn nhau nh
ꢆ
ꢈ
t
t
t
ꢜ
t
ꢂi
ư
ñó
=
ꢉ
ꢣ
ꢗ
m
ꢃ
ꢎ
ꢃ
ꢣ
ꢍ
n lưꢅ
ꢋ
t
ꢂ
i
ư
u này vào (5)
s
ꢣ
ꢜ
ꢢ
ꢈ
.
Ví dꢍ 2.7 :
Moätꢀ conꢀ taøuꢀ ñangꢀ diꢀ chuyeånꢀ vôùiꢀ vaänꢀ toácꢀ 10ꢀ haiû ꢀ lyùꢀ
moätꢀ giôøꢀ theoꢀ phöôngꢀ hôïpꢀ vôùiꢀ phöôngꢀ baécꢀ moätꢀ goùcꢀ
30o ꢀ(laáyꢀ theoꢀ chieàuꢀ kimꢀ ñoàngꢀ hoà)ꢀ ñeåꢀ ñeánꢀ moätꢀ hoønꢀ
ñaûo.ꢀGiaûꢀsöûꢀraèngꢀtaïiꢀthôøiꢀñieåmꢀtꢀ=ꢀ0,ꢀconꢀtaøuꢀñangꢀôûꢀvòꢀ
tríꢀcaùchꢀhoønꢀñaûoꢀ30ꢀhaûiꢀlyùꢀveàꢀphíaꢀBaécꢀvaøꢀ20ꢀhaûiꢀlyùꢀ
veàꢀ phíaꢀ ñoângꢀ (töùcꢀ laøꢀ conꢀ taøuꢀ leächꢀ khoûiꢀ phöôngꢀ diꢀ
chuyeånꢀbanꢀñaàu).ꢀBaøiꢀtoaùnꢀñaëtꢀraꢀlaøꢀxaùcꢀñònhꢀñieåmꢀ
gaànꢀnhaátꢀtreânꢀphöôngꢀdiꢀchuyeånꢀbanꢀñaàuꢀmaøꢀconꢀtaøuꢀ
caànꢀtrôûꢀveàꢀñeåꢀñiꢀtôùiꢀhoønꢀñaûo.ꢀTìmꢀkhoaûngꢀcaùchꢀtöøꢀhoønꢀ
ñaûoꢀñeánꢀñieåmꢀgaànꢀnhaátꢀvaøꢀthôøiꢀgianꢀñeánꢀñöôcï ꢀñieåmꢀñoù.ꢀ
Giꢙi:
Nꢀ
Caùch 1:ꢀgiaûiꢀbaèngꢀphöôngꢀphaùpꢀhìnhꢀhoïc:ꢀ
Myꢀ
Mꢀ
30ꢀ
∆
Trongꢀ MMxO:ꢀ
MMx
30
OMx 20
2
300ꢀ
tg∠MOMx =
=
=1.5⇒ ∠MOMx = 56.30
ꢀ
2
2
2
ꢀ
OM = MMx +OMx = 20 +30 = 36.0555
Mxꢀ
Oꢀ
20ꢀ
Trang 144
Tải về để xem bản đầy đủ
132 trang
20940
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 2: Điều khiển tối ưu", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_ly_thuyet_dieu_khien_nang_cao_chuong_2_dieu_khien.pdf
