Giáo trình Cơ học lý thuyết - Phần: Động học
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT
BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT
ĐÀ NẴNG 2005
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
CHƯƠNG I
ĐỘNG HỌC ĐIỂM
§1. MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC
Động học là phần cơ học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động
các vật, không kể đến quán tính (khối lượng) và các lực tác dụng lên chúng để vật
chuyển động. Khi nghiên cứu phần động học ta cần chú ý đến những điểm sau đây:
1. Mô hình vật thể của động học là động học điểm và vật rắn chuyển động.
Động học điểm là điểm hình học chuyển động trong không gian, qua thời gian. Vật rắn
chuyển động là tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách giữa mỗi cặp điểm đều
không đổi trong chuyển động.
2. Chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian. Không gian trong cơ
học là không gian Euclide ba chiều. Tất cả các phép đo lường trong không gian này
được xác định theo phương pháp hình học Euclide. Đơn vị chiều dài để đo khoảng
cách là mét (m). Thời gian trong cơ học được coi là thời gian trôi đều không phụ thuộc
vào hệ quy chiếu khảo sát. Đơn vị đo thời gian là giây (s). Thời gian được xem là đối
số độc lập khi khảo sát chuyển động của các vật thể.
3. Để xác định vị trí của vật (hoặc điểm) đang chuyển động người ta gắn với vật
chuẩn dùng để khảo sát chuyển động một hệ toạ độ nào đó mà cùng với nó tạo thành
hệ quy chiếu. Nếu toạ độ của tất cả các điểm của vật trong hệ quy chiếu đã chọn luôn
không đổi ta nói vật đứng yên. Còn nếu toạ độ của các điểm thay đổi theo thời gian ta
nói vật chuyển động trong hệ quy chiếu.
4. Khảo sát về mặt chuyển động của một điểm hay của một vật rắn là tìm cách
xác định vị trí của điểm ấy đối với hệ quy chiếu đã chọn ở mỗi thời điểm, đồng thời
tìm cách mô tả chuyển động ấy theo thời gian. Muốn vậy, người ta dùng những khía
niệm sau đây:
a) Thông số xác định vị trí của điểm hay của một vật rắn trong hệ quy chiếu đã
chọn.
b) Phương trình chuyển động của điểm hay vật rắn chuyển động là những biểu
thức liên hệ giữa thông số định vị nói trên với thời gian mà ta xem là đối số độc lập.
Chương I Động học điểm
Trang 1
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
c) Vận tốc chuyển động là đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyển động của
điểm hay vật rắn ở thời điểm đang xét. Nói chung, vận tốc chuyển động cũng là đại
lượng biến thiên theo thời gian.
d) Gia tốc chuyển động là đại lượng biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc chuyển
động (phương chiều, độ lớn) theo thời gian. Gia tốc chuyển động cũng là hàm của thời
gian.
5. Động học được chia làm hai phần chính:
- Động học điểm
- Động học vật rắn
§2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM
A- Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp véctơ (vector)
1. Phương trình chuyển động của điểm:
Xét chuyển động của điểm M trong
hệ quy chiếu Oyxz. Rõ ràng là vị
trí của M được xác định duy nhất
r
r
V
r
bằng véctơ định vị r = OM , ta gọi
là véctơ bán kính của động điểm
trong hệ quy chiếu ấy.
r
W
y
Khi động điểm chuyển động, véctơ
sẽ biến thiên liên tục theo thời gian
cả về hướng lẫn độ dài do đó ta
viết :
Hçnh 1.1
r r
r =r (t) (1.1)
Biểu thức (1.1) là phương trình chuyển động của điểm viết dưới dạng véctơ. Quỹ tích
các vị trí của chuyển động điểm trong không gian quy chiếu được gọi là : Quỹ đạo của
chuyển động điểm trong hệ quy chiếu ấy.
Phương trình (1.1) cũng chính là phương trình quỹ đạo dưới dạng thông số.
Chương I Động học điểm
Trang 2
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
2. Vận tốc chuyển động của điểm :
Giả thuyết tại thời điểm t động điểm
r
V
M,t
r
M có véc tơ định vị r , và tại thời
điểm t’=t+∆t động điểm ở vị trí M’
∆r
M',t'
r
có véctơ định vị r .
r
r
r r
r
Véctơ MM '=r '-r =∆r mô tả gần
đúng hướng đi và quãng đường đi
được của động điểm trong thời gian
∆t , gọi là véctơ tốc độ lồi của điểm.
r'
O
Hình 1.2
r
∆r
∆t
Đại lượng
được gọi là vận tốc trung bình của động điểm trong thời gian ∆t. Kí
r
hiệu VTB . Nếu ∆t càng nhỏ thì độ chính xác càng cao do đó người ta định nghĩa :
r
Vận tốc tức thời ở thời điểm t của động điểm là véctơ V được xác định như
sau:
r
r
r
r
∆r dr
=
∆t→0
r
&
V = limVTB = lim
= r
(1.2)
∆t→0
∆t dt
nghĩa là : Vận tốc tức thời của động điểm là đạo hàm cấp một theo thời gian của véctơ
r
&
định vị của động điểm (Ký hiệu r (t)-từ nay về sau ta hiểu là đạo hàm theo thời gian)
r
Về mặt hình học khi tới giới hạn, vận tốc tức thời V phải hướng tiếp tuyến với
quỹ đạo của động điểm tại M và thuận theo chiều chuyển động qua đó của động điểm.
Đơn vị chính của vận tốc là m/s (mét/giây).
3. Gia tốc của động điểm :
r
V
r
Nói chung, véctơ V biến
M
∆V
đổi cả về hướng và độ lớn theo
r
r
V '
thời gian V =V (t). Đaị lượng :
r
r
dV
∆V
= lim
cho ta biết tốc
∆t→0
dt
∆t
M'
r
độ biến đổi của véctơ V cả về
phương chiều lẫn độ lớn tại
thời điểm đang xét, nghĩa là nó
V '
Hình 1.3
Chương I Động học điểm
Trang 3
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
đặc trưng cho tốc độ đổi hướng và đổi hướng và đôi độ nhanh của chuyển động của
điểm. Vì vậy, người ta định nghĩa:
r
Gia tốc tức thời W của động điểm là đại lượng véctơ bằng đạo hàm cấp một
theo thời gian của vận tốc:
r
r
r
&
&&
W =V = r
(1.3)
r
Về mặt hình học, chú ý rằng véctơ ∆V bao giờ cũng hướng vào bề lõm của quỹ
Đơn vị chính để tính gia tốc là m/s2
đạo.
4. Một số tính chất được suy ra trực tiếp từ biểu thức cảu vận tốc và gia tốc:
r
r
r
r
a) Nếu V ∧W đồng nhất triệt tiêu thì V và W luôn luôn cùng phương. Do đó
r
V có phương không đổi nên chuyển động của điểm là chuyển động thẳng.
r
r
- Nếu V ∧W không đồng nhất triệt tiêu thì chuyển động là chuyển động cong
r
vì khi ấy V đổi phương.
b) Tính đều hay biến đổi của chuyển động
Chuyển động là đều hay biến đổi tuỳ theo giá trị vận tốc V là không đổi hay
tăng hoặc giảm theo thời gian.
- Nếu trị số vận tốc tăng hoặc giảm theo thời gian trong một khoảng thời gian
nào đó ta nói điểm chuyển động nhanh hoặc chậm dần trong khoảng thời gian đó.
Chú ý rằng sự thay đổi V2 đặc trưng cho sự thay đôi độ lớn của V và ta có:
r
dV 2 d(V )2
r
r r
= 2V.W
V 2 = (V )2 ,
=
dt
dt
Ta rút ra kết luận như sau:
r r
- Nếu V.W ≡ 0 thì động điẻm chuyển động đều trên quỹ đạo của nó (có thể
thẳng hay cong)
r r
- Nếu V.W ≠ 0 thì chuyển động biến đổi, cụ thể :
r r
+ V.W > 0 : Nhanh dần
r r
+ V.W < 0 : Chậm dần
Chương I Động học điểm
Trang 4
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
B- Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ Descartes
1. Phương trình chuyển động của động điểm:
z
Xét chuyển động của
điểm trong toạ độ Descartes
Oxyz. Vị trí của điểm được xác
định bởi các toạ độ x,y,z. Vì
vậy:
M(x,y,z)
r
V (Vx ,Vy ,Vz )
r
Phương trình chuyển
động của điểm sẽ là :
r
y
r
O
W (Wx ,Wy ,Wz )
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
⎧
⎪
⎨
(1.4)
⎪
Hçnh 1.4
⎩
x
(1.4) cũng chính là phương trình quỹ đạo viết dưới dạng tham số.
2. Vận tốc chuyển động của điểm :
Gọi i, j, k là các véctơ đơn vị trên ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz khi ấy :
r r
r r
r
r
r
r = xi + yj+zk
trong đó i , j ,k là hằng.
r
r
r
r
r
r
r
r
d
&
Ta có :
V = r = (xi + yj+zk) = xi + yj+zk
dt
r
r
r
r
V =Vxi +Vy j +Vzk
&
V = x
⎧
x
⎪
&
Vậy : V = y
(1.5) Vận tốc của động điểm trong hệ Descartes từ (1.5) có thể xác
⎨
y
⎪
&
Vz = z
⎩
r
định giá trị và hướng của V
2
2
2
&
&
&
V = x + y + z
r
r
r
Vy
Vz
V
Vx
V
cos(Oz,V ) =
cos(Oy,V) =
cos(Ox,V ) =
,
,
V
Chương I Động học điểm
Trang 5
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
3.Gia tốc chuyển động của điểm :
PHẦN ĐỘNG HỌC
r
r
r
Tương tự như đối với vận tốc, W = V = r ta có:
&
⎧
⎪
&&
Wx =Vx = x
&
&&
W =V = y
(1.6) Gia tốc trong toạ độ Descartes từ (1.6) ta cũng xác định giá trị và
⎨
y
y
⎪
&
&&
Wz =Vz = z
⎩
hướng W như sau :
&&2 &&2
&&2
x + y + z
W =
r
r
r
Wy
Wz
W
Wx
W
cos(Oy,W) =
cos(Oz,W ) =
cos(Ox,W ) =
,
,
W
r
r
Cuối cùng dựa vào hình chiếu của vận tốc V và gia tốc W ta có thể mô tả các đặc điểm
thẳng hay cong, đều hay biến đổi đều của chuyển động điểm.
C- Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ tự nhiên.
1. Phương trình chuyển động :
Khi đã biết quỹ đạo chuyển động của điểm ta thường khảo sát chuyển động của
điểm bằng phương pháp tạo
độ tự nhiên.
Chọn điểm O tuỳ ý trên
(-)
O
(+)
quỹ đạo làm gốc và xem quỹ
đạo như một trục toạ độ cong
rồi định ra trên nó một chiều
dương.
M
Hình 1.5
Gọi OM=s là toạ độ cong của động điểm trên quỹ đạo. Rõ ràng s chính là thông
số định vị của điểm M trên quỹ đạo. Vậy phương trình chuyển động của M có dạng :
s = s (t)
Chương I Động học điểm
Trang 6
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
2. Một số tính chất hình học của quỹ đạo :
a) Hệ toạ độ tự nhiên
Hệ toạ độ tự nhiên là hệ ba trục vuông góc được xác định như sau:
Trục tiếp tuyên tại M có hướng
dương đã chọn trùng với hướng
dương đã chọn trên quỹ đạo, véctơ
r
b
r
τ
r
đơn vị trên trục này ký hiệu τ .
r
Lấy cung vô cùng bé
ds = MM ' nằm trong mặt phẳng duy
nhất qua Mτ và chứa tiếp tuyến M.
n
Hình 1.6
Mặt phẳng π tại M được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Trong mặt phẳng π ta điểm M kẻ
pháp tuyến của quỹ đạo và định hướng dương vào bề mặt lõm của quỹ đạo. Pháp tuyến
r
ấy gọi là pháp tuyến chính tại M. Kí hiệu là n
r
Trục vuông góc với mặt phẳng gọi là trục trùng pháp tuyến, ký hiệu là b là
r
véctơ đơn vị, và chọn b sao cho Mτnb là một tam diện thuận.
b) Độ cong và bán kính cong của quỹ đạo tại
r
T
M
Độ cong của quỹ đạo tại M là một số
r
τ
dương K :
M’
T'
∆ϕ
∆s
dϕ
ds
∆s
∆ϕ
K = lim
=
∆s→0
Nếu quỹ đạo là đường tròn thì :
Hình 1.7
1
ds
=
= R
là bán kính của đường tròn.
K
dϕ
1
Suy rộng ra đối với đường cong bất kỳ = ρ gọi là bán kính cong của quỹ đạo.
K
Chương I Động học điểm
Trang 7
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
3. Xác định vận tốc và gia tốc của chuyển động :
a) Xác định hướng vận tốc của điểm M
Vì hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm M, nên ta có thể viết :
r
r
V =V .τ
(a)
τ
Mặt khác ta cũng có :
r
r
r
V =
dr dr ds
=
.
dt ds dt
r
r
dr
ds
r
∆r
∆s
r
= lim
= τ
nhưng :
∆s→0
ds r
V = .τ
Vậy :
(b)
dt
Từ (a) và (b) ta có thể viết :
r
ds
&
V = V = Vτ =
= s
dt
ds
Xét quan hệ giữa Vτ và
:
dt
r
r
- Khi M chuyển động theo chiều dương thì V và τ cùng chiều, nghĩa là Vτ>0 khi
&
&
ấy s tăng theo thời gian có nghĩa là s >0. vậy Vτ và s cùng dấu.
r
r
- Khi M chuyển động theo chiều âm thì V và τ trái chiều, nên Vτ <0 khi ấy s
&
&
giảm theo thời gian nghĩa là s <0. Vậy Vτ và s cùng dấu.
r
r ds r
r
&
V =V .τ = τ = s.τ
Vì vậy ta viết được
τ
dt
&
V = V = s
Giá trị
cho tốc độ chuyển động, còn dấu của Vτ cho biết chiều chuyển
động của điểm thuận hay ngược với chiều dương đã chọn trên quỹ đạo.
b) Xác định gia tốc W của M:
r
r
r
r
W = Wτ .τ +Wn .n +Wb .b
Ta viết :
trong hệ toạ độ Mτnb, cần phải tìm các giá trị Wτ,
s
Wn, Wb theo
Từ (1.3) và (1.7) ta có:
r
r
d
r
r
r
&
&
&
W = V = (Vτ .τ ) =Vτ .τ +Vτ .τ
dt
Chương I Động học điểm
Trang 8
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
Nhưng trong hình học vi phân người ta đã chứng minh rằng :
r
r
r
r
dτ
n
r
dτ ds
n
&
=
τ =
.
= .Vτ
vì vậy :
ds
ρ
ds dt
ρ
r
2
r
r
n
r V
r
2
&
&
W = V.τ + (Vτ ) . = Vτ .τ +
.n
Do đó ta có :
Từ đó suy ra :
ρ
ρ
2
V 2 (s )
&
&
&&
W = V = s
Wn =
=
Wb = 0
,
,
τ
τ
ρ
ρ
Vậy: gia tốc của M ở vị trí đang xét được phân tích ra hai thành phần : gia tốc tiếp
tuyến Wτ và gia tốc pháp tuyến Wn.
4. Phán đoán tính chất của chuyển động :
&
W = V = 0
- Chuyển động đều là chuyển động trong đó V=V0; có nghĩa là
. Khi đó s
τ
τ
= s0 + V0.t, trong đó s0 là toạ độ tự nhiên ban đầu của động điểm.
- Chuyển động biến đổi đều là chuyển động trong đó gia tốc tiếp Wτ = a = const. Từ đó
suy ra : Vτ = V0 + at, V0 là vận tốc đều của chuyển động, phương trình chuyển động có
at2
dạng : s = s0 + V0t +
, s0 là toạ độ tự nhiên ban đầu.
2
- Chuyển động biến đổi khi:
r r
r
r
r
V.W = (Vτ .τ ).(Wτ .τ +Wn .n) = Vτ .Wτ ≠ 0
Nếu : Vτ .Wτ >0 Chuyển động nhanh dần
Vτ .Wτ <0 Chuyển động chậm dần
Ví dụ 1: ( Chuyển động Xyclôít)
Xét chuyển động lăn không trượt của đường tròn trên đường thẳng. Giả sử vận
tốc của tâm đường tròn đó là v(t) và bán kính cảu nó là R.
a. Lập phương trình chuyển động của một điểm M bất kỳ trên đường tròn ấy.
b. Khảo sát vận tốc và gia tốc của M những lúc nó ở trên đường thẳng tựa của
đường tròn
c. Giả thuyết V = V0 = const, khảo sát tính biến đổi chuyển động trên một cung
quỹ đạo ứng với một vòng lăn của đường tròn.
Chương I Động học điểm
Trang 9
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
Bài giải :
a. Lập phương trình chuyển động :
Khảo sát chuyển động
x
của điểm M trên đường tròn,
rõ ràng rất nhiều lần M vật
chạm với đường tựa Ox. Ta
chọn ngay một điểm như thế
làm gốc O và bắt đầu khảo
sát từ ấy.
I
M
φ
y
O
H
P
r
r
Gọi φ = (IM, IP) . Tìm sự liên hệ :
x = x(ϕ), y = y(ϕ), ϕ = ϕ(t)
trong đó x, y là tọa độ của M. Ta có : xM = OP − HP
nhưng vì vòng tròn lăn không trượt nên : OP = PM = Rφ.
xM = OP − HP = Rϕ − Rsinϕ = R(ϕ − sinϕ)
Vậy :
yM = PI − KI = R − Rcosϕ = R(1− cosϕ)
cũng vì vòng tròn lăn không trượt nên:
t
OP = V (t).dt
mà OP = Rϕ
∫
0
t
1
Vậy
ϕ =
V (t).dt
∫
R
0
Do đó phương trình chuyển động của điểm M được viết như sau:
x = R(ϕ − sinϕ)
y = R(1− cosϕ)
t
1
ϕ =
V (t).dt
∫
R
0
Quỹ đạo của điểm M gồm những đường cong xyclôít tuần hoàn với chu kỳ là 2π cho
nên ta chỉ xét chuyển động của nó trong 0 ≤ φ ≤ 2π.
Chương I Động học điểm
Trang 10
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
b. Biểu thức vận tốc và gia tốc của điểm:
PHẦN ĐỘNG HỌC
r
V
&
&
V = x = Rϕ(1− cosϕ)
⎧
x
⎨
⎩
&
&
Vy = y = Rϕ sinϕ
2
r
W
⎧
&&
&
&&
W = x = Rϕ sinϕ + Rϕ(1− cosϕ)
⎪
x
⎨
2
&
&&
&&
Wy = y = Rϕ cosϕ + Rϕ sinϕ
⎪
⎩
M ở vị trí chạm mặt đường ϕ = 0 hoặc ϕ = 2π thì sinϕ = 0, cosϕ = 1.
Vậy :
r
V
r
W
V = 0
Wx = 0
⎧
⎧
⎨
x
⎨
2
&
Vy = 0
Wy = Rϕ > 0
⎩
⎩
r
Như vậy tức là W ≠ 0 và hướng vuông góc đường tựa của vòng tròn. Do vậy, ở những
vị trí như thế M dừng tức thời và khởi động lại.
c. Trường hợp V = VO = const.
t
V0
V0dt = V0t vậy ϕ = , ϕ = 0
1
1
&
&&
ϕ =
∫
R
R
R
0
Do đó:
2
⎧
V0
V0
W =
sinϕ
cosϕ
⎪
⎪
r
V
r
W
x
V = V (1− cosϕ)
⎧
⎨
⎩
x
0
R
⎨
⎪
2
Vy = V0 sinϕ
Wy =
⎪
⎩
R
2
2
r r
V.W = Vx .Wx +Vy .Wy =
V0
V0
[
sinϕ(1− cosϕ) + sinϕ cosϕ
]
=
sinϕ
R
R
r r
V.W =
> 0 trong khoảng 0<φ<π chuyển động nhanh dần
⎧
⎨
⎩
trong khoảng π<φ<2π chuyển động chậm dần
< 0
Chương I Động học điểm
Trang 11
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
CHƯƠNG II
CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
Chuyển động cơ bản của vật rắn : chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Sau này chúng ta sẽ thấy rằng mọi chuyển động của vật rắn đều đưa về hai
chuyển động trên.
§1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
1. Định nghĩa : Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó mọi đường
thẳng thuộc vật rắn đều luôn luôn không đổi phương.
2. Tính chất của chuyển động :
Định lý : Trong chuyển động tịnh tiến các điểm thuộc vật rắn chuyển động
giống hệt nhau. Nghĩa là :
Quỹ đạo của chúng là những đường chồng khít lên nhau được và ở mỗi điểm
chúng có cùng vận tốc và gia tốc.
Chứng minh: Chỉ cần khảo sát hai điểm bất kỳ thuộc vật chẳng hạn hai điểm M,
N là đủ.
r
WN
Xét vectơ MN vật chuyển động tịnh
N1
N2
N0
tiến nên MN không đổi hướng. Ngoài
N
ra MN=const. Vậy vectơ MN không
đổi trong chuyển động.
r
VN
r
WM
Từ đó suy ra rằng các tứ giác M0N0-
M1N1, M1N1M2N2 đều là những hình
M2
M1
M0
M
r
VM
bình
hành,
vì
vậy
ta
có
M1M 2 = N1N2 , M 2 M = N2 N , ... rõ ràng hai đường gãy M0M1M2M..., N0N1N2N,..
chồng khít lên nhau và do đó quỹ đạo của hai điểm M và N có thể chồng khít lên nhâu
được .
Vì MM ' = NN' nên ta có :
r
r
r
r
MM '
∆t
NN'
∆t
VM = lim
= lim
= V
N , nghĩa là : VM = VN
∆t→0
∆t→0
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 12
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
r
r
WM = WN
Suy ra :
Từ định lý này suy ra :
- Việc khảo sát chuyển động của vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay thế bằng việc
khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó.
r
r
-Vận tốc V và gia tốc W chung cho tất cả các điểm của vật rắn trong chuyển động
tịnh tiến được gọi là vận tốc và gia tốc chuyển động tịnh tiến. Chúng là những véctơ tự
do.
§2. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ
ĐỊNH
Định nghĩa : Nếu trong quá trình chuyển động, vật rắn có hai điểm luôn cố định, ta
nói vật rắn có chuyển động quay quanh trục cố định qua hai điểm đó.
O
Mô hình phẳng
Mô hình không gian
Mô hình của nó được biểu diễn :
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 13
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
A. Khảo sát chuyển động quay của cả vật rắn:
1. Phương trình chuyển động:
Dựng hai mặt phẳng π0, π qua trục quay AB trong
đó π0 là mặt phẳng gắn với vật. Định chiều quay dương
của vật. Vị trí của π xác định vị trí của vật. Gọi ϕ là góc
A
ϕ
đại số giữa hai mặt phẳng (π0, π). Ta có thể coi ϕ là
π0
B
thông số định vị trí của vật quay quanh trục AB.
Vậy phương trình chuyển động của vật là:
ϕ = ϕ (t)
(2.1)
2. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật chuyển động :
Giả thuyết trong thời gian ∆t góc định vị ϕ biến thiên một lượng ∆ϕ thì vận
tốc góc trung bình là:
∆ϕ
∆t
ωtb =
Vận tốc góc tức thời :
∆ϕ dϕ
&
ω = lim ωtb = lim
=
= ϕ
(2.2)
∆t→0
∆t→0
∆t
dt
Như vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định là đạo hàm cấp
một theo thời gian của góc định vị của vật ấy.
Dấu của ω cho biết chiều quay của vật quay quanh trục, vì nếu ω >0 nghĩa là
ϕ tăng theo thời gian và vật quay theo chiều dương.
Ngược lại nếu ω <0 thì vật quay theo chiều âm.
Giá trị ω = ω gọi là tốc độ góc của vật, nó phản ánh tốc độ quay quanh trục.
Đơn vị của nó là rad/s hay s-1.
Trong kỹ thuật người ta thường dùng tốc độ góc bằng đơn vị vòng/phút. Do đó
có mối quan hệ giữa hai đơn vị này là:
π
30
ωrad / s
=
n vòng/phút
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 14
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
b) Gia tốc góc của vật:
PHẦN ĐỘNG HỌC
Vì vận tốc góc của vật cho biết chiều quay và tốc độ quay của vật nên sự biến
thiên của nó theo thời gian phản ánh tính biến đổi của chuyển động đó vì vậy ta định
nghĩa:
Gia tốc góc của vật, kí hiệu ε là đạo hàm cấp một theo thời gian của vận tốc
&
&&
góc hay bằng đạo hàm cấp hai của một góc quay ε = ω = ϕ
Đơn vị để tính gia tốc góc : rad/s2 hay s-2
3. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc:
a) Véctơ vận tốc góc:
r
Véctơ vận tốc góc kí hiệu ω được xác định như sau:
r
ω nằm trên trục quay của vật, sao cho nhìn từ ngọn
r
ω
r
O
đến gốc véctơ ω sẽ thấy vật quay ngược chiều kim
r
r
đồng hồ và ω = ω . Nếu gọi k là véctơ đơn vị trên
r
r
trục quay, ta có:
ω = ω.k
(2.3)
b) Véctơ gia tốc góc:
Véctơ gia tốc góc của vật được định nghĩa như sau :
r
r
&
ε = ω
Kết hợp (2.3) và (2.4) ta suy ra được :
r
r
r
&
ε = ω.k = ε .k
(2.4)
4. Phán đoán tính chất của chuyển động quay quanh trục cố định:
- Chuyển động quay được gọi là đều nếu tốc độ góc là không đổi theo thời gian,
ω = ω0 = const .
- Nếu tốc độ góc ω thay đổi thì chuyển động quay được gọi là biến đổi, nếu ω tăng lên
thì chuyển động quay nhanh dần, nếu ω giảm thì chuyển động quay chậm dần.
r
Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị ω được đặt trưng bởi sự biến đổi của ω2 và ω2=ω2
r
d(ω)2
dt
nên để nhận xét tính chất chuyển động ta có thể xét dấu của đạo hàm
.
r
d(ω)2
r r
r r
&
Ta có :
= 2.ω.ω = 2.ω.ε
dt
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 15
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Vậy ta đi đến kết luận :
PHẦN ĐỘNG HỌC
a) Nếu ε ≡0 vật quay đều.
- Nếu ε ≠ 0 vật quay biến đổi.
r r
b) Nếu ω.ε = ω.ε >0 : Nhanh dần.
a)
b)
c)
r
r
r
ω
ω
ω
r
r
ε
ε
ε = 0
r r
c) Nếu ω.ε = ω.ε <0 : Chậm dần.
- Nếu ε=const chuyển động quay biến đổi đều khi ấy:
t2
r
r
ω = ω0 + ε .t , ϕ = ϕ0 + ω0.t + ε .
2
r r
và cùng thoả mãn với điều kiện trên là: ω.ε > 0 chuyển động quay nhanh dần đều,
r r
ngược lại ω.ε < 0 chuyển động chậm dần đều.
B. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật rắn :
1. Quĩ đạo và phương trình chuyển động:
Xét một điểm M bất kỳ thuộc vật. Rõ ràng là mỗi điểm thuộc vật chuyển động
theo quĩ đạo đường tròn tâm O trên trục quay và có bán kính OM. Với OM là khoảng
cách từ M đến trục quay.
(Γ )
A
O
π
B
Hình 2
Gọi A là giao điểm của mặt phẳng π0 với đường tròn quỹ đạo (Г) của M, ta có
góc AÔM = ϕ . Lấy AM = s là thông số cố định vị của M trên quĩ đạo và chọn chiều
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 16
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
dương tính cung thuận với chiều dương tính góc ta có phương trình chuyển động của
điểm M như sau :
s = AM = R.ϕ
2. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật :
a) Vận tốc của điểm thuộc vật :
Ta đã biết rằng vận tốc của một điểm nằm
N
theo tiếp tuyến với hướng quỹ đạo của điểm ấy,
r
r
VM
O
vì vậy ở đây V vuông góc với OM và hướng
r
VN
theo chiều quay của vật. Giá trị của vận tốc được
r
xác định bởi biểu thức :
dϕ
M
I
VI
&
V = s = R.
= R.ω = R.ω
dt
Hình 2.7
Như vậy, vận tốc của các điểm thuộc vật
rắn quay quanh trục cố định được phân bố
quanh trục quay theo quy tắc tam giác vuông
đồng dạng. Từ kết luận trên ta có thể viết :
r
ε
O
r
Wn
r
W
VM
VN
VI
=
=
= .... = ω
r
Wτ
OM ON OI
ω là hệ số đồng dạng.
b) Gia tốc của điểm thuộc vật :
Hình 2.8
Ta cần biết điểm M chuyển động tròn và nói chung là không đều, nên
r
r
r
W = Wτ +Wn
r
τ
r
r
W
Ta cần xác định các thành phần
, Wn và gia tốc toàn phần W .
r
- Gia tốc pháp tuyến Wn huớng vào tâm O của quĩ đạo có giá trị :
V 2 R2.ω2
Wn =
=
= Rω2
ρ
R
r
r
- Gia tốc tiếp tuyến Wτ hướng cùng hay ngược ciều với vận tốc V tuỳ theo vật
quay nhanh hay chậm dần, có giá trị :
d
&
&
Wτ = V =
(
R.ω = Rω = R.ε
)
dt
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 17
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
r
- Gia tốc toàn phần W tạo với OM
một góc α mà tgα là :
N
Wτ
Wn
R.ε
ε
tgα =
=
=
R.ω 2 ω 2
r
VM
O
r
VN
có giá trị :
2
2
r
VI
W = Wτ +Wn = R ε 2 +ω 4
M
I
Từ kết quả của các điểm thuộc vật rắn
chuyển động quay quanh trục cố định được
phân bố theo quy tắc tam giác đồng dạng với
Hình 2.9
hệ số tỷ lệ là : ε 2 +ω 4 ta có thể viết được :
r
V
r
Wn
r
Wτ
WM
WN WI
=
=
= .... = ε 2 +ω 4
OM ON OI
r
r
r
ω
r
c) Biểu diễn các véctơ V và W qua các véctơ
r
r
r
ω , ε :
Lấy một điểm gốc bất kỳ trên trục quay của
Hình 2.9
r
vật và đặt OM = r . Dựa vào các kết quả trên
ta có thể viết :
r
r
r
r
r
r
r
r
r
V = ω ∧ r , Wτ = ε ∧ r , Wn = ω ∧V
27
Ví dụ : Trong giai đoạn lấy đà, bánh đà quay theo qui luật : ϕ(t) = t3 . Hãy xác định
32
vận tốc và gia tốc của điểm M cach trục quay một khoảng h = 0,8m khi gia tốc tiếp
tuyến tại điểm đó bằng gia tốc pháp tuyến của nó.
Bài giải: Vận tốc góc và gia tốc góc của bánh đà :
dϕ 27
=
dω 27
= t
ω =
t2 ,
ε =
dt 32
dt 16
Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của điểm đang xét
Wτ = h.ε,
Wn = h.ω2
2
Gọi thời điểm lúc Wτ = Wn là t1 khi đó ε1 = ω1
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 18
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT
PHẦN ĐỘNG HỌC
2
27
16
27
32
⎛
⎜
⎞
⎟
4
Hay :
t =
t1
1
⎝
⎠
64
4
3
3
Vậy :
t1 =
và t1 =
(s)
27
Thay t1 vào biểu thức và ta có :
3
ω1 =
2
9
4
(rad / s)
ε1 =
(rad / s2 )
Từ đây ta có :
V1 = h.ω1 = 1,2 m/s
2
4
W1 = h ε + ω = 1,8 2 = 2,54 m / s2
1
1
C. Truyền động đơn giản:
Trong một máy hay một tổ hợp máy thường gắn ba phần : động cơ, cơ cấu
truyền động, bộ phận làm việc.
Ở đây bước đầu ta làm quen với một vài cơ cấu truyền động đơn giản nhằm
biến chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyển động quay quanh một
trục cố định khác; biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến; biến
chuyển động tịnh tiến thành chuyển động quay....
1. Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích :
Truyền các chuyển động quay giữa hai trục cố định song song nhau, người ta
dùng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích.
r2
r2
r
O1
O2
r
O1
O2
ω1
ω2
ω1
ω2
Hình 2.12a
Hình 2.11a
Chương II Chuyển động cơ bản của vật rắn
Trang 19
Tải về để xem bản đầy đủ
43 trang
26420
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết - Phần: Động học", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_phan_dong_hoc.pdf
