Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 7: Chuyển động tổng hợp của điểm

-85-

Ch−¬ng 7

ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm

7.1. ChuyÓn ®éng tuyÖt ®èi, chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ

chuyÓn ®éng kÐo theo.

ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng ®−îc t¹o thµnh khi ®iÓm

tham gia hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng ®ång thêi. Ta xÐt bµi to¸n trong m« h×nh

sau ®©y : Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn hÖ to¹ ®é ®éng o₁x₁y₁z₁g¾n

trªn vËt A. VËt A l¹i chuyÓn ®éng

z

trong hÖ to¹ ®é cè ®Þnh oxyz (xem

h×nh 7.1).

y₁

M

z₁

j₁

A

r_o

x₁

ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so

víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn

®éng tuyÖt ®èi. VËn tèc vµ gia tèc cña

k₁

o₁

y₁

r

i₁

x₁

y

O

r

chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi ký hiÖu lµ : v_a

x

r

vµ w_a.

H×nh 7.1

ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so víi hÖ ®éng o₁x₁y₁z₁gäi lµ chuyÓn ®éng

r

t−¬ng ®èi ký hiÖu lµ v_rvµ w_r.

ChuyÓn ®éng cña hÖ ®éng (vËt A) so víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn

®éng kÐo theo. VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm thuéc vËt A ( hÖ ®éng ) bÞ ®iÓm M

chiÕm chç ( trïng ®iÓm ) trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ vËn tèc vµ gia tèc kÐo

r

theo cña ®iÓm M vµ ký hiÖu lµ : v_evµ w_e.

Nh− vËy chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm M lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña

hai chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ kÐo theo cña nã.

r

ThÝ dô : Con thuyÒn chuyÓn ®éng víi vËn tèc u so víi n−íc. Dßng n−íc

r

ch¶y víi vËn tèc v so víi bê s«ng. ë ®©y chuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi bê

s«ng lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi . ChuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi mÆt n−íc lµ

r

chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc v_r= u. ChuyÓn ®éng cña dßng n−íc so víi

-86-

r

bê lµ chuyÓn ®éng kÐo theo, vËn tèc cña chuyÓn ®éng kÐo theo v_e= v .

Theo ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy, ®Ó xÐt chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ta xem hÖ

®éng nh− cè ®Þnh. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ nh−

r

1

sau :

r = O₁M = x₁i₁+ y₁j₁+ z₁k₁.

(7-1)

r r r

ë ®©y i , j , k₁lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn c¸c hÖ ®éng. Khi xÐt chuyÓn

1

r r r

®éng t−¬ng ®èi nh− ë trªn ®· nãi c¸c vÐc t¬ i , j , k₁®−îc xem nh− kh«ng ®æi.

1

Cßn c¸c to¹ ®é x₁, y₁, z₁lµ c¸c hµm cña thêi gian.

x₁= x₁(t) ; y₁= y₁(t) ;

z₁= z₁(t).

Muèn xÐt chuyÓn ®éng kÐo theo cña ®iÓm ta chØ cÇn cè ®Þnh nã trong hÖ

®éng khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña M so víi hÖ cè ®Þnh oxyz lµ ph−¬ng

tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo. Ta cã :

r

0

r r

r = OM = r + r = r + x₁i₁+ y₁j₁+ z₁k₁

(7-2).

1

0

Trong ph−¬ng tr×nh (7.2) v× ta cè ®Þnh ®iÓm trong hÖ ®éng nªn c¸c to¹ ®é

r r r

x₁, y₁, z₁lµ kh«ng ®æi, cßn i , j , k₁lµ c¸c vÐc t¬ biÕn ®æi theo thêi gian.

1

r r

r

r₀= r₀(t) ; i = i(t); j = j(t) ; k = k(t).

7.2. §Þnh lý hîp vËn tèc.

XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng t−¬ng

z

c₂

c₁

y₁

M

®èi trong hÖ ®éng o₁x₁y₁z₁víi vËn tèc

v_r

z₁

r

v_r; HÖ ®éng chuyÓn ®éng trong hÖ cè

r ₁v_e

v_a

®Þnh oxyz kÐo theo ®iÓm M chuyÓn

r

o₁

x₁

r

®éng víi vËn tèc kÐo theo v_e(xem h×nh

r _o

y

7-2). §Ó x¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi ta

thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

tuyÖt ®èi cña ®iÓm M. Ta cã :

O

x

H×nh 7.2

r

r r

r

1

r

r = r₀+ r (t) = r₀+ x₁i₁+ y₁j₁+ z₁k₁

(7-3)

-87-

Ph−¬ng tr×nh nµy gièng ph−¬ng tr×nh (7-2) nh−ng cÇn l−u ý lµ mäi tham

sè cña ph−¬ng tr×nh ®Òu lµ c¸c hµm cña thêi gian.

§¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian ph−¬ng tr×nh (7-3) ta ®−îc :

r

1

r

1

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dr

dx

dy₁dz

r

dr

di

dj

dk

⎛

⎜

⎞

⎟

0

1

v_a=

=

+ x₁

+ y

+ z₁

+

i +

j

¹k₁

dt

¹dt

dt

⎝

⎠

Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc, nhãm sè h¹ng thø nhÊt

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dr₀

di

dj

dk

+ x₁

+ y

+ z₁

dt

¹dt

dt

chÝnh lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7-2) (ph−¬ng

r

tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo ) lµ vËn tèc kÐo theo v_e.

Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i :

r

1

r

1

r

dx

dy₁dz

⎛

⎜

⎞

⎟

1

i +

j

¹k₁

dt

⎝

⎠

lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) (ph−¬ng tr×nh

r

chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) do ®ã ®−îc thay thÕ b»ng vËn tèc t−¬ng ®èi v_r.

Thay c¸c kÕt qu¶ võa t×m ®−îc vµo vËn tèc tuyÖt ®èi ta ®ù¬c :

r

v_a= v_e+ v_r.

§Þnh lý 7.1 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm vËn tèc tuyÖt ®èi

b»ng tæng h×nh häc vËn tèc kÐo theo vµ vËn tèc t−¬ng ®èi :

r

v_a= v_e+ v_r.

(7-4)

7.3. §Þnh lý hîp gia tèc

§Ó thiÕt lËp biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®¹o hµm bËc hai theo thêi

gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm (ph−¬ng tr×nh 7.3). Ta cã :

r

₂r

r

2

d²y₁d²z

r

d²r

d²i

d²j

d k

r

1

r

1

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

dv_a

d r₀

d x₁

¹k₁

⎜

⎟

w_a=

=

+ x₁

+ y₁

+ z₁

+

i +

j

2

dt

dt²

⎝

⎠

-88-

r

1

r

1

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dx₁di dy₁dj dz₁dk₁

+ 2

+

dt dt

dt dt dt dt

Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc nhãm c¸c sè h¹ng thø nhÊt :

r

₂r

d²i

d²j

d k

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

d r₀

+ x₁

+ y₁

+ z₁

2

dt

dt²

lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.2) ( ph−¬ng tr×nh

r

chuyÓn ®éng kÐo theo ) cã thÓ thay b»ng gia tèc kÐo theo w_e.

Nhãm c¸c sè h¹ng thø hai :

2

d²y₁d²z

r

1

r

1

r

⎛

⎞

d x₁

dt²

¹k₁

⎜

⎟

i +

j

dt²

⎝

⎠

lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) ( ph−¬ng tr×nh

r

chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) cã thÓ thay b»ng gia tèc t−¬ng ®èi w_r.

Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i :

r

1

r

1

r

⎛

⎞

⎟

⎠

dx₁di dy₁dj dz₁dk₁

⎜

2

+

⎜

dt dt

dt dt dt dt

⎝

r

®−îc gäi lµ gia tèc quay hay gia tèc Koriolit ký hiÖu lµ w_k.

Thay c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®−îc :

r

w_a= w_e+ w_r+ w_k.

Ta ®i ®Õn ®Þnh lý sau ®©y gäi lµ ®Þnh lý hîp gia tèc.

§inh lý 7.2 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm gia tèc tuyÖt ®èi b»ng

tæng h×nh häc cña gia tèc kÐo theo, gia tèc t−¬ng ®èi vµ gia tèc Koriolit.

r

w_a= w_e+ w_r+ w_k.

(7.5)

7.4. Gia tèc Koriolit.

r

Gia tèc Koriolit w_k®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :

r

1

r

1

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dx₁di dy₁dj dz₁dk₁

r

w_k= 2

+

dt dt

dt dt dt dt

-89-

r r r

Khi hÖ ®éng cã chuyÓn ®éng quay th× c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ i , j , k₁sÏ quay

1

theo khi ®ã ®¹o hµm cña nã theo thêi gian kh¸c kh«ng. Trong tr−êng hîp hÖ

®éng kh«ng tham gia chuyÓn ®éng quay th× c¸c ®¹o hµm cña nã sÏ b»ng kh«ng

vµ do ®ã gia tèc Koriolit sÏ kh«ng cã v× vËy gia tèc nµy cßn ®−îc gäi lµ gia tèc

quay. Gia tèc Koriolit biÓu diÔn ¶nh h−ëng chuyÓn ®éng quay cña hÖ ®éng ®Õn

gia tèc cña ®iÓm.

NÕu vËn tèc gãc cña hÖ ®éng (vËn tèc gãc kÐo theo ) lµ ϖ_eth× khi hÖ ®éng

quay quanh trôc o₁ε víi vËn tèc gãc ω_eth× ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña

r r r

c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ i , j , k₁chÝnh lµ vËn tèc ®Çu mót cña chóng trong chuyÓn

1

®éng quay quanh trôc o₁ε. (xem h×nh 7.3).

z

Ta cã :

r

1

r

1

ε

y

r

1

r

1

di

r

dj

r

A

ω_e

v_A

= ω_e× i

= ω_e× j

k₁

dt

r

dk₁

dt

j₁

O

r

i₁

x

= ω_e× k₁

dt

Thay c¸c kÕt qu¶ biÓu thøc trªn vµo biÓu

r

thøc cña w_kta ®−îc :

H×nh 7.3

r

⎛

⎜

⎞

⎟

dx₁di₁dy₁dj dz₁dk₁

r

1

w_k= 2

+

⎜

⎝

⎟

⎠

dt dt

r

dx

dy₁

dz₁

dt

⎛

⎞

r

1

⎜

⎟

(

)

(

)

(

)

= 2

ω_Cx i

+

ω_Cx j

+

ω_Cx k

⎟

dt

⎝

⎠

r

i₁+

r

dx

dy₁

dz₁

dt

⎛

⎞

r

1

⎜

⎟

= 2ω_ex

j +

k₁= 2ω_e× v_r

1

⎟

dt

⎝

⎠

Nh− vËy gia tèc Koriolit b»ng hai lÇn tÝch h÷u h−íng gi÷a vËn tèc gãc kÐo

theo vµ vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi.

-90-

r

w_k= 2ω_e× v_r.

Tõ (7.6) ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®é lín cña gia tèc Koriolit theo biÓu thøc :

w_k= 2ω_e.v_rsin ω_e.v_r

( 7.6)

(

)

.

Ta thÊy ngay gia tèc Koriolit b»ng kh«ng trong tr−êng hîp sau :

- Khi hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nghÜa lµ khi ω_e= 0 ;

- Khi ®éng ®iÓm ®øng yªn trong hÖ

r

®éng, nghÜa lµ khi v_r= 0;

ω_e

- Khi chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi theo

w _k

H×nh 7.4

ph−¬ng däc theo trôc quay cña chuyÓn ®éng

r

v_r

r

kÐo theo nghÜa lµ khi gãc hîp gi÷a ω_evµ v_r

b»ng kh«ng hoÆc b»ng 180⁰.

H×nh 7.4

Theo (7.6) gia tèc Koriolit cã ph−¬ng

ω_e

v_r

r

ω_e

vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa hai vÐc t¬ ω_e

r

M

vµ v_rcã chiÒu sao cho khi nh×n tõ mót cña

r

v'_r

nã xuèng mÆt ph¼ng ®ã sÏ thÊy ω_equay

w_K

ng−îc chiÒu kim ®ång hå ®i mét gãc nhá

r

h¬n 180⁰sÏ ®Õn trïng víi v_r(xem h×nh 7.4).

H×nh 7.5

Trong thùc hµnh ta cã thÓ x¸c ®Þnh

r

ph−¬ng chiÒu cña w_knh− sau :

r

ChiÕu vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi v_rlªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay

r

cña chuyÓn ®éng kÐo theo. Sau ®ã quay h×nh chiÕu v_r®ã ®i mét gãc 90⁰theo

chiÒu quay cña ω_etrong mÆt ph¼ng trªn (xem h×nh 7.5) ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc

ph−¬ng chiÒu cña gia tèc Koriolit.

Sau ®©y sÏ giíi thiÖu mét sè vÝ dô vËn dông c¸c ®Þnh lý hîp vËn tèc vµ

hîp gia tèc trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm.

-91-

ThÝ dô 7.1: Tay quay OA cña c¬ cÊu tay quay cu lit quay quanh trôc O

vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña c¬ cÊu. §Çu A cña tay quay nèi b»ng khíp b¶n lÒ

víi con tr−ît B. Con tr−ît B cã thÓ tr−ît trong m¸ng BC cña cu lit. M¸ng BC cã

thÓ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng nhê r·nh h−íng dÉn

D

E. X¸c ®Þnh vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC còng nh− vËn

tèc gia tèc cña con tr−ît so víi cu lit BC.

O

B

C

Cho biÕt tay quay cã chuyÓn ®éng quay ®Òu víi

vËn tèc gãc n = 120 vßng/phót. §é dµi OA = 1 = 30cm

(xem h×nh 7.6).

A

E

H×nh 7.6

Bµi gi¶i:

NÕu chän hÖ ®éng g¾n víi cu lit (m¸ng BC) vµ hÖ cè ®Þnh g¾n víi trôc

quay O th× chuyÓn ®éng cña con tr−ît A trong m¸ng lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi.

ChuyÓn ®éng cña m¸ng tÞnh tiÕn lªn xuèng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo cßn chuyÓn

®éng cña A quay quanh O lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi.

Tr−íc hÕt ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi

cña ®iÓm A.

VËn tèc cña tay quay OA.

π.n π.120

ω =

=

= 4π(rad/s) .

30

D

VÞ trÝ cña c¬ cÊu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng

C₃

B₃

gãc quay cña tay quay OA :

A₃

r

v _e

v

ϕ = ωt = 4πt (rad).

O

w a

ϕ

r

w e

B

x

v _r

r

§Çu A cña tay quay thùc hiÖn chuyÓn

®éng trßn t©m O b¸n kÝnh OA = 1.

A

w r

A₁

B₁

C₁

VËn tèc cña ®iÓm A : V_a= ω.1 = 4π.30

= 120π ≈ 3,77 m/s.

E

H×nh 7.7

-92-

v_acã ph−¬ng vu«ng gãc víi OA h−íng theo chiÒu quay ω (xem h×nh 7.7).

r

v_achÝnh lµ vËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A : v_a= v_A.

V× tay quay quay ®Òu nªn gia tèc ®iÓm A chØ cã mét thµnh phÇn ph¸p

tuyÕn.

r

w_A= wⁿ_AvÒ ®é lín

w_A= ω².1 = 16π².1

= 16π².30 ≈ 4733 cm/s²;

= 47,33 m/s²

r

Gia tèc w_Acã chiÒu h−íng tõ A vµo O. Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A lµ

r

w_A.

§Ó t×m vËn tèc cña m¸ng (vËn tèc kÐo theo) vµ vËn tèc cña con tr−ît A

trong m¸ng (vËn tèc t−¬ng ®èi) ta ¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc. Ta cã :

r

v_a= v_e+ v_r

r

ë ®©y v_a= v_A®· biÕt c¶ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu. v_elµ vËn tèc cña m¸ng

r

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng do ®ã cã ph−¬ng th¼ng ®øng. Cßn v_rlµ vËn tèc

cña con tr−ît däc theo m¸ng BC nªn cã ph−¬ng n»m ngang. Tõ ®Þnh lý hîp vËn

r

tèc ta cã thÓ nhËn ®−îc mét h×nh b×nh hµnh mµ ®−êng chÐo lµ v_acßn hai c¹nh lµ

r

v_evµ v_r. DÔ dµng t×m ®−îc c¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo v_evµ v_rnh− trªn h×nh

(7.7). Ta cã :

v_e= v_A.sin ϕ = 3,77.sin 4π.t(m/s)

v_r= v_A.cosϕ = 3,77.cos4π.t(m/s)

r

Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc v_evµ v_rnh− h×nh vÏ.

§Ó x¸c ®Þnh gia tèc kÐo theo vµ t−¬ng ®èi (gia tèc cña m¸ng vµ gia tèc cña

con tr−ît trong m¸ng) ta ¸p dông dÞnh lý hîp gia tèc.

-93-

r

w_a= w_e+ w_r+ w_k.

r

Trong bµi to¸n nµy hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nªn w_k= 0 ta chØ cßn

biÓu thøc :

r

w_a= w_e+ w_r.

r

ë ®©y gia tèc tuyÖt ®èi ®· ®−îc x¸c ®Þnh. Gia tèc kÐo theo w_ecã ph−¬ng

r

th¼ng ®øng cßn gia tèc t−¬ng ®èi w_rcã ph−¬ng n¨m ngang. Còng dÔ dµng nhËn

r

thÊy c¸c vÐc t¬ gia tèc kÐo theo w_evµ gia tèc t−¬ng ®èi w_rlµ hai c¹nh cña h×nh

r

b×nh hµnh nhËn gia tèc w_alµm ®−êng chÐo (xem h×nh 7.7). Ta cã :

w_e= w_A.cosϕ = 47,33.cos4π.t

w_r= w_A.sin ϕ = 47,33.sin 4π.t

r

Ph−¬ng chiÒu cña gia tèc w_evµ w_rnh− trªn h×nh vÏ 7.7 .

KÕt qu¶ trªn cho thÊy vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC ( v_e,w_ed) vµ vËn tèc,

gia tèc con tr−ît trong m¸ng ( v_r, w_r) lµ hµm cña thêi gian. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh

chóng t¹i c¸c vÞ trÝ ®Æc biÖt sau :

Khi ϕ₁= 4πt = 0 ta cã v_e= 0

W_e= 47,33 m/s

;

v_r= 3,77 m/s

w_r= 0

;

Khi ϕ₂= 4πt = π / 2 ta cã v_e= 3,7 m / s

w_e= 0 m / s ; w_r= 3,77 m / s

; v_r= 0

ThÝ dô 7.2 : §éng ®iÓm M chuyÓn ®éng b¾t ®Çu tõ ®Ønh O cña nãn däc

theo ®−êng sinh OC víi vËn tèc kh«ng ®æi v_r= 24 cm / s . Nãn còng ®ång thêi

quay b¾t ®Çu cïng thêi ®iÓm xuÊt ph¸t cña ®iÓm M theo quy luËt ϕ = 0,125t².

X¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña ®éng ®iÓm M t¹i thêi ®iÓm t =

-94-

Bµi gi¶i

Trong bµi to¸n nµy chuyÓn ®éng cña ®iÓm M däc

theo ®−êng sinh OC lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. Nh− vËy

vËn tèc t−¬ng ®èi cña ®iÓm ®· biÕt.

B

z

O

r

α

v_e

V_r= 24 cm / s = 0,24 m / s cã ph−¬ng chiÒu tõ O

k

r

M

®Õn C.

v_a

r

v_r

ω_e

ε_e

ChuyÓn ®éng quay cña nãn quanh trôc AB víi

C

quy luËt ϕ = 0,125t²lµ chuyÓn ®éng kÐo theo.

A

§Ó x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc kÐo theo cña ®iÓm ta

H×nh 7.8

ph¶i x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña nã t¹i thêi ®iÓm t₁trªn nãn.

Ta cã OM = v_r.t = 24.4 = 96 cm

Kho¶ng c¸ch tõ ®éng ®iÓm t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt tíi trôc quay AB lµ :

MK = OM.sin30⁰= 96.0,5 = 48 cm.

z

B

VËn tèc kÐo theo t¹i thêi ®iÓm t₁lµ :

O

y

x

dϕ

α

ω_e=

w_k

wⁿ

w^τ_e

C

dt

k

e

M

v_r

ω_et1= 0,25.4 = 1 rad / s ;

r

ω

e

r

Gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ :

ε

e

A

d²ϕ

ε_e=

= 0,25(rad/s²)

dt²

H×nh 7.9

C¸c vÐc t¬ ω_evµ ε_ebiÓu diÔn trªn h×nh vÏ (7.9).

r

C¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo v_evµ vËn tèc t−¬ng ®èi lµ v_rt¹i thêi ®iÓm t₁=

4s ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 7.8.

VÒ ®é lín vËn tèc kÐo theo x¸c ®Þnh ®−îc :

v_e= MK . ω_e= 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s .

-95-

r

¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc ta cã : v_a= v_e+ v_r

VÒ ®é lín vËn tèc tuyÖt ®èi cña M t¹i thêi ®iÓm t₁lµ :

V_a= V_M= v_e²+ v²_r= 48²+ 24²= 53,64(cm/s) = 0,5364(m/s) .

§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi cña M, tõ ®Þnh lý hîp gia tèc ta cã :

r

w_a= w_M= w_e+ w_r+ w_k

r

ChuyÓn ®éng kÐo theo lµ chuyÓn ®éng trßn nªn w_e= w_eⁿ+ w_e^r.

r

Trong ®ã : w_eⁿcã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ M vÒ K (xem h×nh 7.9), cã ®é

lín : w_eⁿ= MK.ω_e²= 48.1= 48(cm/s²).

r

w_e^rcã ph−¬ng chiÒu trïng víi ph−¬ng chiÒu v_ecã ®é lín :

w_e^r= MK.ε_e²= 48.0,25 =12(cm/s²).

r

Gia tèc t−¬ng ®èi w_rtrong tr−êng hîp nµy b»ng kh«ng cßn gia tèc

r

Koriolit w_kcã ph−¬ng chiÒu nh− trªn h×nh vÏ. Cã ®é lín :

w_k= 2ω_e. v_r.sin30⁰= 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s²) .

ChiÕu biÓu thøc trªn lªn hai trôc Mxy nh− trªn h×nh ta cã :

w_x= w_e^r+ w_k= 12 + 24 = 36 cm / s²= 0,36 m/ s².

w_y= w_eⁿ= 48 cm / s²= 0,48 m / s².

Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm

w_M= w²_x+ w²_y= 36²+ 48²= 60c(cm/s²).

Ph−¬ng vµ chiÒu cña w_Mcã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸c gãc chØ ph−¬ng x¸c

®Þnh nh− sau :

w _y

w _x

(

)

cos

(

w_My

)

=

= 0,8

cos w_Mx =

= 0,6 ;

w_M

-96-

thêi ®iÓm ®ang xÐt qu¶ cÇu quay quanh ®iÓm treo O cïng víi thanh OM víi vËn

tèc gãc vµ gia tèc gãc ω₁= 2 rad / s vµ ε₁= 0,2 rad / s². C¬ cÊu quay quanh trôc

th¼ng ®øng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω₂=4 rad / s vµ ε₂= o,8 rad / s². X¸c

®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña qu¶ cÇu M t¹i thêi ®iÓm ®ã. Cho

biÕt kÝch th−íc cña c¬ cÊu t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt lµ :

l = 40 cm

Bµi gi¶i

;

e = 5 cm

;

α = 30⁰.

Trong bµi to¸n nµy, chuyÓn ®éng cña c¬ cÊu quay

quanh trôc th¼ng ®øng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo. VËn tèc gãc

kÐo theo ω_e= ω₂= 4 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng

z_{e e}

o

ω₁

ε₁

l

ω₂

ε₂

v_e

v_M= v_A

l

v_r

C

α

R

M

kÐo theo lµ ε_e= ε₂= 0,8 rad / s².

ChuyÓn ®éng cña qu¶ cÇu M quay quanh O lµ chuyÓn

®éng t−¬ng ®èi.VËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ

ω_r= ω₁= 2 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi

H×nh 7.10

lµ ε_r= ε₁= 0,2 rad / s².

Quü ®¹o chuyÓn ®éng kÐo theo cña M lµ ®−êng trßn n»m trong mÆt ph¼ng

vu«ng gãc víi trôc quay AB vµ cã b¸n kÝnh :

CM = R = e+1sin30⁰= 5+40.0,5 = 25 cm.

VËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau :

r

v_a= v_M= v_e+ v_r;

v_e= R.ω_e= 25.4 = 100 cm / s

v_ecã ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®éng kÐo theo , h−í theo

chiÒu quay cña c¬ cÊu ; V_rtiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cã

nghÜa lµ vu«ng

-97-

gãc víi thanh OM h−íng theo chiÒu quay cña ω_r, cã trÞ sè V_r= l.ωr =

40.2 = 80 cm/s

Nh− vËy hai vÐc t¬ v_evµ v_rvu«ng gãc víi nhau v× vËy ®é lín vËn tèc

tuyÖt ®èi x¸c ®Þnh ®−îc :

r

v_M= v_e²+ v²_r= 100²+ 80²=128(cm/s).

Ph−¬ng chiÒu cña V_Mx¸c ®Þnh nh− trªn h×nh vÏ 7.10.

V× chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ chuyÓn ®éng kÐo theo ®Òu lµ chuyÓn ®éng

trßn nªn biÓu thøc gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ta cã thÓ viÕt :

r

w = w^r+ wⁿ+ w + w^r+ wⁿ.

(a)

e

M

k

r

W_e^t= R . ε_e= 25 . 0,8 = 20 cm / s². W_e^tcïng ph−¬ng chiÒu víi vËn tèc

kÐo theo .

r _n

w_e= R. ω²₂= 25.16 = 400cm/s². H−íng tõ M vµo C

r

w^r_r= 1 . ε_r= 40 . 0,2 = 8 cm / s². w^rh−íng theo chiÒu cña v_r.

r

w_rⁿ= 1 . ω²_r= 40 . 4 = 160 cm / s^2.

wⁿ_rh−íng tõ M vµo O

w_k= 2ω_e. v_rsin(ω_etv_r) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s²

r

ë ®©y gãc <

(

ω_e,v_r

= 60⁰

)

nªn sin(ω_e,v_r) = 0,866.

O

r

ε_r

ω_r

Z

Ph−¬ng chiÒu cña w_kx¸c ®Þnh theo ph−¬ng ph¸p

w_K

α

w^t_c

w^τ_r

wⁿ

r

ω

ε^e_e

thùc O hµnh sÏ t×m thÊy nh− ë h×nh vÏ (7.11) .

wⁿ

y

e

C

r

R

M

§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi w_Mta chiÕu ph−¬ng

x

tr×nh (a) lªn 3 trôc xyz chän nh− h×nh vÏ.

r

Víi c¸ch chän hÖ trôc trªn ta thÊy gia tèc w_kvµ w_e^r

r

n»m trªn trôc x c¸c gia tèc w_eⁿ, w_r^r, w_rⁿn¨m trong mÆt

H×nh 7.11

ph¼ng yMz.

KÕt qu¶ chiÕu lªn c¸c trôc thu ®−îc :w_x= - w_k- w_eⁿ= -

-98-

554 - 20 = -574 cm / s².

w_y= w_e^r. cos30⁰- w_rⁿ. sin30⁰- w_eⁿ;

= 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s²;

Cuèi cïng ta cã :

2

w_M= w²_x+ w²_y+ w²_z=

= 869 cm / s²= 8,69 m / s²

§Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu cña M ta ph¶i x¸c ®Þnh c¸c gãc chØ ph−¬ng cña

chóng ®èi víi c¸c trôc :

(

− 574

)

+

(

− 473

)

+

(

142

)

=

w _y

w _x

− 473

869

− 574

869

(

)

(

w_My

)

=

cos w_Mx =

=

;

cos

w_M

w_z

142

(

)

cos w_Mz =

=

.

w_M869