Giáo trình Cơ học kết cấu I - Chương 4: Xác định chuyển vị trong hệ thanh phẳng đàn hồi tuyến tính
CÅ HOC KÃT CÁU 1
CHÆÅNG 4
Page 99
XAC ÂËNH CUYÃN VË TRONG HÃ THANH PHÀNG ÂAN HÄI
TUYÃN TÊNH.
§ 1. KHAI NIÃM VÃ BIÃN DANG & CHUYÃN VË.
I. Biãn dang:
1. Khai niãm: Biãn dang la sæ thay âäi hçnh dang cua phán tä dæåi tac dung
cua cac nguyãn nhán nhæ tai trong, biãn thiãn nhiãt âä, chuyãn vë cæång bæc cua cac
gäi tæa...
2. Cac thanh phán biãn dang:
Biãn dang cua mät phán tä thanh trong hã thanh phàng co chiãu dai ds gäm 3
thanh phán:
- Biãn dang goc xoay ψds: la goc xoay tæång âäi giæa 2 tiãt diãn å 2 âáu phán
tä (H.4.1.a); ψ la goc xoay ty âäi.
- Biãn dang doc truc εds: la khoang co dan giæa 2 tiãt diãn å hai âáu phán tä
theo phæång doc truc thanh (H.4.1.b); ε la biãn dang doc truc ty âäi.
- Biãn dang træåt γds: la âä træåt tæång âäi giæa 2 tiãt diãn å 2 âáu phán tä
(H.4.1.c); γ la goc træåt ty âäi.
O
ψ ds
ds+εds
γds
2
γds
ds
2
ds
ds
H.4.1.b
H.4.1.a
H.4.1.c
* Chu y: Quy æåc chiãu dæång cua biãn dang tæång æng våi chiãu trãn hçnh ve.
II. Chuyãn vë:
1. Khai niãm: Chuyãn vë la sæ thay âäi vë trê cua tiãt diãn dæåi tac dung cua cac
nguyãn nhán nhæ tai trong, biãn thiãn nhiãt âä, chuyãn vë cæång bæc cua cac gäi tæa...
Khi hã biãn dang, háu hãt cac tiãt diãn âã
chuyãn vë la hã qua cua sæ biãn dang.
öu co vë trê måi. Nhæ váy, co thã noi
Tai 1 tiãt diãn cua hã co thã co 1 trong 3 kha nàng sau:
- Co biãn dang nhæng khäng co chuyãn vë. Vê du
P
tiãt diãn 1 trãn hçnh (H.4.2)
- Co biãn dang va chuyãn vë. Vê du tiãt diãn 2 trãn
hçnh (H.4.2)
- Co chuyãn vë nhæng khäng co biãn dang. Vê du
tiãt diãn 3 trãn hçnh (H.4.2)
2
3
1
H.4.2
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 100
2. Cac thanh phán chuyãn vë:
Tai mät tiãt diãn bát ky co thã co 3 thanh phán chuyãn vë: 2 chuyãn vë thàng
theo hai phæång khac nhau va mät chuyãn vë
goc xoay.
y
x'k
xk
Thát váy, trong hã truc Oxy, xet 1 tiãt
diãn k (H.4.3) âæåc xac âënh båi cac toa âä
(xk, yk, αk). Sau khi hã bë biãn dang, tiãt diãn
k co vë trê måi la k’ âæåc xac âënh båi cac toa
âä ( xk' , yk' ,αk' ).
αk
k
k’
α'k
∆α
O
Nhæ váy chuyãn vë tai tiãt diãn k gäm
ba thanh phán:
x
H.4.3
+ Chuyãn vë thàng theo phæång x: ∆x = xk' − xk
+ Chuyãn vë thàng theo phæång y: ∆y = yk' − yk
+ Chuyãn vë goc xoay: ∆α = αk' −αk
3. Ky hiãu chuyãn vë:
Thæång âæåc ky hiãu bàng chæ ∆ va kem theo hai chè sä: chè sä thæ nhát chè vë
trê va phæång cua chuyãn vë; chè sä thæ hai chè nguyãn nhán gáy ra chuyãn vë.
∆km âoc la chuyãn vë tæång æng våi vë trê va phæång k do nguyãn nhán m gáy ra.
Khi nguyãn nhán m gáy ra chuyãn vë bàng âån vë thç goi la chuyãn vë âån vë.
Khi âo ∆ âæåc thay bàng δ. δkm âoc la chuyãn vë tæång æng våi vë trê va phæång k do
nguyãn nhán m bàng âån vë gáy ra.
§ 2. CÄNG CUA NGOAI LÆC & BIÃU THÆC CÄNG.
I. Nguyãn ly bao toan nàng læång:
Xet 1 thanh chëu keo âung tám nhæ trãn hçnh ve (H.4.4.a).
Tàng dán tai trong gáy keo bàng cach thãm dáön cac tai trong vä cung
be dP (âã khäng gáy ra læc quan tênh). Quan sat ta nhán tháy:
- Thanh bë keo dan ra, tæc la thã nàng cua ngoai læc UP giam
H.4.4.a
dP
xuäng. Va biãn dang trong hã
häi U trong thanh tàng lãn.
û tàng lãn, tæc la thã nàng biãn dang âan
- Quan hã giæa læc tac dung va biãn dang la tuyãn tênh, tæc la
tuán theo gia thiãt 1 (H.4.4.b).
P
Theo nguyãn ly bao toan nàng læång, âäng thåìi bo qua anh
hæång cua phán nàng læång do cac hiãn tæång tæ, nhiãt, âiãn... thç
UP = U. Nghéa la: Thã nàng cua ngoai læc UP chuyãn hoa thanh
thã nàng biãn dang U têch luy trong hã nãu sæ biãn dang khäng
lam pha vå sæ cán bàng cua hã.
O
∆
H.4.4.b
Màc khac, nàng læång âæåc âo bàng cäng:
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 101
+ UP = T: cäng cua ngoai læc âæåc sinh ra trãn chuyãn vë cua âiãm âàt ngoai
læc. Cäng T > 0 vç chuyãn vë cung chiãu våi âiãm âàt læc P.
+ U = A*: cäng cua näi læc âæåc sinh ra trãn nhæng biãn dang âan häi trong hã.
A* < 0 vç näi læc co xu hæång ngàn can biãn dang trong hã.
Tæ UP = U. Suy ra T = -A* = U (4 - 1)
Nhæ váy: vã trë sä, thã nàng biãn daûng âan häi têch luy trong hã bàng cäng T
cua ngoai læc gáy ra biãn dang hay bàng cäng A* cua näi læc sinh ra trãn nhæng biãn
dang âan häi nhæng trai dáu.
II. Cäng cua ngoai læc (T):
Cäng la têch sä cua læc våi trë sä chuyãn vë cua âiãm âàt læc theo phæång læc tac
dung.
A
P
Nhæ âa noi åí trãn, quan hã giæa læc tac dung va
chuyãn la tuyãn tênh (H.4.5). Xet å thåi âiãm læc tac dung P
= X va chuyãn vë ∆ = δ, tàng thãm tai trong tac dung dP lam
cho chuyãn vë tàng thãm mät læång dδ. Læc X se sinh mät
cäng phán tä:
X
B
O
δ
∆
H.4.5
dT = X.dδ
∆
1
Suy ra T =
=
.P.∆ (chênh la diãn têch tam giac OAB)
X.dδ
∫
Trong træång håp co
2
0
ï
nhiãu læc tac dung P1, P2,..., Pn. Nãu goi ∆1, ∆2,..., ∆n la
chuyãn vë cuäi cung tæång æng theo phæång P1, P2,..., Pn do cac læc âo âäng thåi tac
dung gáy ra thç:
n
1
T =
P .∆
(4 - 2)
∑
Nhæ váy: Trong hã
i
i
2
i=1
û
âan hä
ö
i tuyãn tênh, cäng cua cac ngoai læc táp trung âäng
thåi tac dung ténh bàng mät næa täng cac têch sä cua cac ngoai læc våi gia
ï trë cua
chuyãn vë cuäi cung tæång æng.
M
P2
P1
1
T = (P .∆1 + P .∆2 + M.ϕ)
1
2
2
ϕ
∆
∆
2
1
H.4.6
* Chu y:
- Cäng täng cäng khäng phu thuäc vao thæ tæ tac dung cua ngoai læc.
- Cäng cua ngoai læc khäng tuán theo nguyãn ly cäng tac dung.
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 102
§ 3. CÄNG CUA NÄI LÆC - THÃ NÀNG CUA HÃ THANH.
I. Cäng cua näi læc (A*): la cäng cua cac näi læc sinh ra trãn nhæng biãn dang
âan häi cua hã.
Tach ra khoi hã mät phán tä thanh co chiãu dai ds (H.4.7.a). Læc tac dung lãn
phán tä gäm:
+ Ngoai læc: q(z) âæåc quy vã thanh læc táp trung q(z).ds
+ Näi læc: å âáu trai la (M, Q, N); å âáu phai la (M + dM, Q + dQ, N + dN).
Gia thiãt chiãu dæång cua chung nhæ trãn hçnh ve.
q(z).dz
q(z)
M + dM
M
M
M
N
N
⇒
N + dN
N
Q
Q
Q
Q + dQ
ds
ds
H.4.7.a
H.4.7.b
* Cac nhán xet:
- Do xet cán bàng riãng cho phán tä nãn co thã
ø
xem M, Q, N, M + dM, Q + dQ,
N + dN la cac ngoai læc. Vç thã, co thã sæ dung biãu thæc cäng cua ngoai læc âã xac
âënh, sau âo suy ra cäng cua näi læc theo mäi quan hã: A* = -T
- Vç chè phán têch cho mät phán tä thanh nãn cäng âæåc goi la cäng phán tä.
Khi âo ta thay A* = dA*, T = dT. Suy ra dA* = -dT.
- Phán tä ds co chiãu dai la rát be nãn cho phep bo qua cac âai læång vä cung be
q(z).ds, dM, dQ, dN khi tênh cäng (H.4.7.b).
- Cac læc M, Q, N sinh cäng trãn nhæng biãn dang âäc láp nãn cho phep tênh
cäng riãng re do tæng thanh phán räi cäng kãt qua lai våi nhau.
II. Xac âënh cac thanh phán biãn dang:
ψ ds
O
ds + εds
ρ
ψ ds
γ tb
γ tb
ψ ds
γ tb ds
2
N
N
M
M
Q
Q
γ tb ds
2
ds
H.4.8.a
ds
ds
H.4.8.c
H.4.8.b
- Thanh phán biãn dang goc xoay ψds (H.4.8.a):
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 103
1
M
=
Theo SBVL
ψ =
ρ
E.J
- Thanh phán biãn dang doc truc εds (H.4.8.b):
N
Theo SBVL
ε =
E.F
- Thanh phán biãn dang træåt γtbds (H.4.8.c):
Q
Theo SBVL
γtb = υ.
G.F
Våi υ la hã sä kã âãn sæ phán bä khäng âãu cua æng suát tiãp. Hã sä υ chè phu
thuäc vao hçnh dang cua tiãt diãn: tiãt diãn hçnh chæ nhát (υ = 1,2), tiãt diãn hçnh tron
(υ = 1,18), tiãt diãn hçnh vanh khàn (υ = 2)...
III. Biãu thæc cäng cua näi læc:
1
2
ψ.ds
2
ψ.ds
2
M.ψ.ds M 2 .ds
- Do mämen M gáy ra: dTM =
M.
+ M.
=
=
2
2.E.J
1
ε.ds
2
ε.ds
2
N.ε.ds N 2 .ds
- Do læc doc N gáy ra: dTN = . N.
+ N.
+ Q.
=
=
2
2
2.E.F
Q2 .ds
γ tb .ds
2
γ .ds
Q.γtb .ds
1
2
tb
- Do læc càt Q gáy ra: dTQ =
. Q.
=
= υ.
2
2
2.G.F
M 2 .ds N 2 .ds
Q2 .ds
Suy ra
Suy ra
dT = dTM + dTN + dTQ =
+
+υ.
2.E.J 2.E.F
2.G.F
2
2
M .ds N 2 .ds
Q .ds
2.G.F
*
dA = -dT = -
+
+υ.
2.E.J 2.E.F
M 2 .ds
2.E.J
N 2 .ds
∑
∫
2.E.F
Q .ds
2.G.F
2
dA* = −
+
+
υ.
A* =
∑
∑
∫
∫
∫
Å âáy dáu ∑ la
phán la liãn tuc vã màt toan hoc.
ì
láy täng trãn cac âoan thanh sao cho cac biã
ø
u thæc dæåi dáu têch
IV. Thã nàng cua hã thanh:
Tæ biãu thæc (4 - 1), suy ra biãu thæc thã nàng âan häi cua hã thanh:
M 2 .ds
N 2 .ds
Q2 .ds
U = - A* =
+
+
υ.
(4 - 3)
∑
∑
∑
∫
∫
∫
2.E.J
2.E.F
2.G.F
*Cac chu y:
- Thã nàng cua hã luän dæång.
- Biãu thæc thã nàng (4 - 3) chè ap dung cho hã gäm
h
h
1
nhæng thanh thàng hoàc cong våi âä cong be ( ≤ ) (H.4.9).
r
r
5
H.4.9
O
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 104
§ 4. VÁN DUNG BIÃU THÆC THÃ NÀNG ÂÃ XAC ÂËNH
CHUYÃN VË.
I. Cach têch træc tiãp tæ biãu thæc thã nàng:
Cach nay chè ap dung khi trãn hã chè co
ï
mät læc táp trung va cán tçm chuyãn vë
tæång æng våi vë trê va phæång cua læc âo.
1
2.U
P
Tæ U = T = .P.∆ . Suy ra ∆ =
2
2
M 2 .ds
2.E.J
N 2 .ds
Q .ds
2.G.F
2
Váy ∆ =
(4 - 4)
.
+
+
υ.
∑
∑
∑
∫
∫
∫
P
2.E.F
Vê du: Xac âënh chuyãn vë thàng âæng tai A. Cho biãt E.J = const. Bo qua anh
hæång cua læc doc va læc càt.(H.4.10)
P
Biãu thæc mämen uän doc truc thanh:
A
B
M(z) = -P.z
l
z
2
(−P.z)2 .dz
2.E.J
P.l3
l
Thay vao: ∆ =
.
=
∫
P
3.E.J
o
H.4.10
II. Cach xac âënh theo âënh ly Castigliano:
Phat biãu âënh ly: Âao ham riãng thã nàng biãún dang âan häi theo læc Pk nao âo
se bàng chuyãn vë tæång æng våi phæång va vë trê cua læc Pk âo.
∂U
∆k =
∂P
k
Thay biãu thæc (4 -3) vao
2
M 2 .ds
N 2 .ds
2.E.F
Q .ds
2.G.F
∂U
∆k =
∆k =
+
+
υ.
∑
∑
∑
∑
∫
∫
∫
∂P
2.E.J
k
M ∂M
N ∂N
E.F ∂P
Q ∂Q
G.F ∂P
(4 - 5)
.ds +
.ds +
υ.
.ds
∑
∑
∫
∫
∫
E.J ∂P
k
k
k
Xet trå lai vê du trãn
l
M ∂M
(−P.z)
E.J
P.l3
∆k =
> 0
.ds =
.(−z)dz =
∫
∫
E.J ∂P
3.E.J
k
0
* Chu y:
- Nãu ∆k > 0 thç chuyãn vë cung chiãu våi Pk va ngæåc lai
- Nãu tai trong tac dung la phán bä co thã thay thã bàng nhiãu læc táûp trung âã
ï
tênh.
- Træång håp Pk la mämen táp trung thç chuyãn vë tæång æng la goc xoay.
- Nãu cán tçm chuyãn vë tai vë trê va theo phæång bát ky thç co thã âàt thãm læc
Pk tæång æng våi vë trê va phæång cán tçm chuyãn vë. Sau khi xac âënh âæåc ∆k, cho Pk
= 0 se âæåc kãt qua cán tçm.
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 105
§ 5. CÄNG KHA DÉ CUA NÄI LÆC VA NGOAI LÆC -
CAC BIÃU THÆC CÄNG KHA DÉ
I. Cäng kha dé:
1. Âënh nghéa: Cäng kha dé (con goi la cäng aío) la cäng sinh ra båi cac læc trãn
nhæng biãn dang va chuyãn vë vä cung be do nhæng nguyãn nhát bát ky nao âo sinh ra.
Cac chuyãn vë va biãn dang vä cung be âæåc goi la chuyãn vë kha dé va biãn
dang kha dé.
2. So sanh cäng thæc va cäng kha dé:
Cäng thæc: Nguyãn nhán gáy ra chuyãn vë va biãn dang chênh la cac læc sinh
cäng gáy ra.
Cäng ao: Nguyãn nhán gáy ra chuyãn vë va biãn dang la bát ky va
trong hay biãn thiãn nhiãt âä hay chuyãn vë cæång bæc cua cac gäi tæa...
Vê du minh hoa:
ì
co thã la tai
Xet mät hã âan häi å
Pk
hai trang thai:
- Trang thai thæ nhát
"k"
chëu læc Pk goi la trang thai
“k” (H.4.11.a).
H.4.11.a
t1m
t2m
Pm
- Trang thai thæ hai
chëu cac nguyãn nhán bát ky
goi la trang thai “m”
(H.4.11.b).
"m"
Z
∆
km
H.4.11.b
Goi ∆km la chuyãn vë kha dé tæång æng våi læc Pk trãn hã å trang thai “m”.
Theo âënh nghéa thç têch sä Pk. ∆km la cäng kha dé cua læc Pk trãn chuyãn vë kha
dé tæång æng å trang thai “m”. Ky hiãu: Tkm.
Váy Tkm = Pk.∆km
II. Cäng kha dé cua ngoai læc (Tkm):
Tæ vê du minh hoa å trãn, co thã âënh nghéa cäng kha dé cua ngoai læc nhæ sau:
Cäng kha dé cua cac ngoai læ
trang thai “m” bàng täng cac têch sä giæa cac læc tac dung å trang thai “k” våi nhæ
chuyãn vë kha dé tæång æng å trang thai “m”.
P .∆
û
c å tra
û
ng thai “k” trãn nhæng chuyãn vë kha
í
dé å
î
ng
Tkm =
(4 - 6)
∑
ik
ikm
i
III. Cäng kha dé cua näi læc
( Ak*m ):
Mk
Mk
H.4.12.a
Nk
Tach riãng mät phán tä thanh
Nk
cua hã å hai trang thai “k”, “m”.
- Å trang thai “k”: chè quan tám
Qk
Qk
ds
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 106
cac thanh phán Mk, Nk, Qk å hai âáu phán tä va xem la cac ngoai læc nhæ trong træång
håp cäng cua näi læc (H.4.12.a).
- Å trang thai “m”: Chè quan tám cac thanh phán biãn dang nhæ sau:
Ä Cac thanh phán biãn dang ψm, εm, γtbm do cac näi læc Mm, Nm, Qm gáy ra.
ψmds
ρ
O
ds + εmds
ψ m ds
ψ m ds
γtbm
2
γ
γ
tbm ds
2
Nm
Nm
2
Mm
Mm
Qm
Qm
γtbm
ds
tbm ds
2
ds
H.4.12.b
ds
H.4.12.c
H.4.12.d
M m
Nm
Qm
Tæång tæ træång håp cäng cua näi læc: ψm =
; εm =
; γmtb = υ.
E.J
E.F
G.F
ÄCac thanh phán biãn dang do sæ biãn thiãn nhiãt âä gáy ra (H.4.13.a&b)
ψtmds
ds
αt1mds
t1m
3
αtcmds
1
1
2
2
b
a
tcm
t2m
H.4.13.a
h
αt2mds
3
H.4.13.b
Goi t2m, t1m la sæ biãn thiãn nhiãt âä cua thå dæåi va thå trãn cua phán tä. Cho
ràng sæ biãn thiãn nhiãt âä doc theo chiãu cao cua phán tä tuán theo quy luát âæång
ú
thàng (bác nhát). Biãn thiãn nhiãt âä doc truc thanh (H.4.13.a):
t1m .a + t2m .b
tcm =
a + b
h
Nãu tiãt diãn la hçnh chæ nhát, tæc la a = b = thç
2
t1m + t2m
tcm =
2
Gia sæ t2m > t1m > 0 va tiãt diãn å âáu 1-1 cua phán tä la cä âënh. Goi α la hã sä
dan nå vç nhiãt. Luc nay phán tä se co hai thanh phán biãn dang (H.4.13.b):
+ Biãn dang doc truc: εtm.ds = α.tcm.ds
+ Biãn dang goc xoay giæa hai tiãt diãn å hai âáu phán tä:
α.t2m .ds −α.t1m .ds
α
h
ψtm.ds =
=
.(t2m − t1m ).ds
h
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 107
Váy cäng kha dé cua näi læc cua mät phán tä ds å trang thai “k” trãn cac biãn
dang kha dé å trang thai “m”:
1
1
1
1
dTkm = .Mk .ψ m .ds + .Mk .ψ m .ds + .Nk .εm .ds + .Nk .εm .ds +
2
2
2
2
1
1
+ .Qk .γ tbm .ds + .Qk .γtbm .ds + Mk .ψ tm .ds + Nk .εtm .ds
2
2
1
Hay dTkm = Mk .ψ m .ds + Nk .εm .ds + Qk .γ tbm .ds + M k .ψ tm .ds + Nk .εtm .ds
2
Thay tát ca cac biãn dang âa tênh âæåc vao:
1
1
υ
G.F
dTkm =
.Mk .Mm .ds +
.Nk .Nm .ds +
.Qk .Qm.ds +
E.J
E.F
α
h
+ Mk . (t2m − t1m ).ds + Nk .α.tcm .ds
1
1
υ
G.F
Suy ra dAk*m = -dTkm = −[
.Mk .M m .ds +
.Nk .Nm .ds +
.Qk .Qm .ds +
E.J
E.F
α
h
+ Mk . (t2m − t1m ).ds + Nk .α.tcm .ds]
Mk .M m
Nk .Nm
E.F
Qk .Qm
υ ds +
Suy ra A* = dAk*m = −[
ds +
ds +
∑
∑
∑
∫
km
∫
∫
∫
∫
E.J
G.F
α
h
+
(t2m − t )M ds +
α.tcm Nk ds] (4 - 7)
∑
∑
∫
1m
k
IV. Nguyãn ly cäng kha dé ap dung cho hã âan häi (S. D. Poisson 1833):
1. Nguyãn ly cäng kha dé cho vát ràn: Nãu mät hã chát âiãm nao âo cua vát
ràn cán bàng dæåi tac dung cua cac læc thç tä
chuyãn vë kha dé tæång æng bàng khäng
Tkm = 0
øng cäng kha dé cua cac læc trãn nhæng
2. Nguyãn ly cäng kha dé cho hã âan häi:
Nãu mät hã biãn dang âan häi cä láp cán bàng dæåi tac dung cua cac læc thç
täng cäng kha dé cua cac ngoai læc Tkm trãn nhæng chuyãn vë kha dé tæång æng va cäng
kha dé cua näi læc Ak*m trãn nhæng biãn dang âan häi kha dé tæång æng phai bàng khäng
Tkm + Ak*m = 0
Mk .Mm
E.J
Nk .Nm
E.F
α
Qk .Qm
G.F
P .∆
=
Hay
ds +
ds +
υ
ds +
∑
ik
ikm
∑
∑
∑
∑
∫
∫
∫
∫
i
+
(t2m − t )M ds +
α.tcm Nk ds (4 - 8)
∑
1m
k
∫
h
§ 6. CAC ÂËNH LY TÆÅNG HÄ TRONG HÃ ÂAN HÄI
I. Âënh ly tæång hä vã cäng kha dé cua ngoai læc (Âënh ly E.Betti 1872):
Xet mät hã âan häi tuyãn tênh å hai trang thai:
- Trang thai “m”: chëu cac læc tac dung Pim (i = 1... n)
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 108
- Trang thai “k”: chëu cac læc tac dung Pjk (j = 1...p)
Theo biãu thæc (4 - 8):
- Cäng kha dé cua læc å trang thai “m” trãn nhæng chuyãn vë kha dé tæång æng å
trang thai “k”:
n
Mm .Mk
E.J
Nm .Nk
E.F
Qm .Qk
G.F
Tmk =
P .∆
=
ds +
ds +
υ
ds
∑
im
imk
∑
∑
∑
∫
∫
∫
i=1
- Cäng kha dé cua hã å trang thai “k” trãn nhæ
trang thai “m”:
î
ng chuyãn vë kha déa tæång æng å
p
Mk .Mm
E.J
Nk .Nm
E.F
Qk .Qm
Tkm =
ds +
ds +
υ
ds
P .∆
=
∑
∑
∑
∑
∫
ik
ikm
∫
Tkm = Tmk
∫
G.F
j=1
Suy ra
(4 - 9)
* Phat biãu:Trong hã âan häi tuyãn tênh, cäng kha dé cua ngoai læc å trang thai
“k” trãn nhæng chuyãn vë kha dé tæång æng å trang thai “m” tæång hä bàng cäng kha dé
cua ngoai læc å trang thai “m” trãn nhæng chuyãn vë kha dé tæång æng å trang thai “k”.
* Chu y:
M
P1
- Hai trang thai “k”, “m” phai xáy
"m"
ra trãn cung mät hã.
∆
2m
- Chuyãn vë å trang thai nay phai
co vë trê va phæång tæång æng våi tai
trong å trang thai kia (H.4.14).
P2
"k"
ϕ1k
∆
P .∆ = P .∆1k + M.ϕ1k
1k
∑
im
imk
1
i=1
H.4.14
P .∆ = P .∆2m
∑
jk
jkm
2
j=1
Theo âënh ly tæång hä thç P .∆1k + M.ϕ1k = P .∆2m
1
2
II. Âënh ly tæång hä vã cac chuyãn vë âån vë (Âënh ly J. Maxwell 1864):
Xet mät hã âan häi våi hai trang thai
(H.4.15):
- Trang thai “m” chè chëu mät læc táp
trung Pm.
- Trang thai “k” chè chëu mät læc táp
trung Pk.
Theo
Pm .∆mk = P .∆km
Pm
"m"
∆
km
Pk
"k"
∆
mk
âënh
ly
E.betti
thç
H.4.15
k
∆
P
∆
Pm
mk
km
Suy ra
=
(a)
k
∆
km
Goi δkm =
. Âai læång nay chênh la chuyãn vë âån vë tæång æng våi phæång
Pm
va vë trê Pk do Pm = 1 gáy ra.
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 109
∆
P
mk
Tæång tæ cho δmk =
.
k
Tæ (a) suy ra δkm = δmk (4 - 10)
Phat biãu:Trong hã âan häi tuyãn tênh, chuyã
ø
n vë âån vë tæång æng våi vë trê va
phæång cua læc Pk do læc Pm = 1 gáy ra tæång hä bàng chuyãn vë âån vë tæång æng våi
vë trê va phæång cua læc Pm do læc Pk = 1 gáy ra.
III. Âënh ly tæång hä vã cac phan læc âån vë (Âënh ly L. Rayleigh 1875):
Xet mät hã âan häi våi hai trang thai (H.4.16):
- Trang thai “m”
∆
m
chè chëu mät chuyãn vë
cæång bæc ∆m tai liãn kãt
m.
"m"
"k"
Rkm
- Trang thai “k”
chè chëu mät chuyãn vë
cæång bæc ∆k tai liãn kãt
k.
∆
k
H.4.16
Rmk
Goi Rkm la phan læc tai liãn kãt k do chuyãn vë ∆m gáy ra va Rmk la phan læc tai
liãn kãt m do chuyãn vë ∆k gáy ra.
Theo âënh ly E.Betti thç Rkm.∆k = Rmk.∆m
Rkm Rmk
Suy ra
=
(b)
∆
∆
m
k
Rkm
Goi rkm =
. Âáy chênh laì phan læc âån vë tai liãn kãt k do chuyãn vë cæång
∆
m
bæc bàng âån vë tai liãn kãt m gáy ra.
Rmk
Tæång tæ cho rmk =
∆
k
Tæ (b) suy ra rkm = rmk
(4 - 11)
Phat biãu: Trong hã âan häi tuyãn tênh, phan læc âån vë ta
û
i liãn kãút k do chuyãn
vë cæång bæc bàng âån vë tai liãn kãt m tæång hä bàng phan læc âån vë tai liãn kãt m do
chuyãn vë cæång bæc bàng âån vë tai liãn kãt k gáy ra.
IV. Âënh ly tæång hä vã chuyãn vë âån vë va phan læc âån vë (Âënh ly A. A.
Gvozdiev 1927):
Xet mät hã âan häi tuyãn tênh våi hai trang thai (H.4.17):
- Trang thai “m” chè chëu læc Pm.
- Trang thai “k” co mät liãn kãt k cua hã chëu chuyãn vë cæång bæc ∆k.
Goi Rkm la phan læc tai liãn kãt k do Pm gáy ra (å trang thai “m”) va ∆mk la
chuyãn vë tæång æng våi vë trê va phæång cua læc Pm do ∆k gáy ra (å trang thai “k”)
Theo âënh ly E.Betti thç Pm.∆mk + Rkm.∆k = 0
Rkm
∆
∆
mk
Suy ra
= −
(c)
Pm
k
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 110
•
Rkm
Pm
Goi rkm =
. Âáy chênh la phan læc âån vë tai liãn kãt k do Pm = 1 gáy ra.
Pm
"m"
Rkm
∆
k
"k"
∆
mk
H.4.17
•
∆
∆
mk
δ mk
=
. Âáy chênh la chuyãøn vë âån vë tai vë trê va phæång cua læc Pm do
k
chuyãn vë ∆k = 1 gáy ra.
•
•
Theo (c) suy ra: rkm = −δ mk .
Phat biãu: Trong hãû âan häöi tuyãn tênh, phan læc âån vë tai liãn kãt k do læc Pm
(4 - 12)
bàng âån vë gáy ra tæång hä bàng chuyãn vë âån vë tæång æng phæång va vë trê læ
do chuyãn vë cæång bæc bàng âån vë tai liãn kãt k gáy ra nhæng trai dáu.
ûc Pm
§ 7. CÄNG THÆC TÄNG QUAT XAC ÂËNH CHUYÃN VË
CUA HÃ THANH
(Cäng thæc Maxwell - Morh 1874)
I. Thiãt láp cäng thæc:
Xet mät hãû thanh
Pm
k
âan häi tuyãn tênh chëu tac
dung cua cac nguyãn
nhán: cac tai trong Pm,
chuyãn vë cæång bæc tai
cac liãn kãt Zm, sæ biãn
thiãn nhiãt âä t2m & t1m.
Cac tiãt diãn trong hã se
chuyãn vë. Vê du hã cho
"k"
Zjm
∆
km
H.4.18.a
Pk
"m"
H.4.18.b
Rjk
trãn hçnh (H.4.18.a). Trang thai nay cua hã goi la trang thai “m”.
Yãu cáu: tçm chuyãn vë thàng âæng tai tiãt diãn k.
Cach tiãn hanh:
Tao trang thai kha dé “k” bàng cach trãn hã âa cho âàt læc Pk tæång æng våi vë trê
va phæång cán tçm chuyãn vë, chiãu tuy y chon (H.4.18.b).
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 111
Ap dung cäng thæc cäng kha dé cho læc å trang thai “k” trãn chuyãn vë kha
í
dé å
trang thai “m”:
M k .M m
E.J
Nk .Nm
E.F
Qk .Qm
G.F
Pk.∆km +
R .Z
=
jm
ds +
ds +
υ
ds +
∑
∑
∑
∑
∫
jk
∫
∫
j
α
h
+
(t2m − t )M ds +
α.tcm Nk ds
∑
∑
∫
1m
k
∫
Rjk
M k
Nk
Qk
Chia hai vã cho Pk va âäng thåi ky hiãu:
M k =
; N k =
;Qk =
; R jk =
P
P
P
P
k
k
k
k
Noi cach khac M k , N k ,Qk , R jk chênh la Mk, Nk, Qk, Rk tæång æng do Pk = 1 ráy
ra trãn hã å trang thai “k”.
Thay vao ta âæåc cäng thæc täng quat xac âënh chuyãn vë trong hã thanh âan
häi:
Qk .Qm
G.F
M k .M m
E.J
N k .Nm
E.F
∆km = − R jk .Z +
ds +
ds +
υ
ds +
∑
∑
∑
∑
∫
jm
∫
∫
j
α
h
+
(t2m − t )M k ds +
α.tcm N k ds (4 - 13)
∑
∑
∫
1m
∫
II. Cac chu y:
+ Cäng thæc Morh chè ap dung cho hã gäm nhæng thanh thàng hoàc cong våi âä
h
1
cong be ( ≤ ).
r
5
+ Khi tênh hã å trang thai “k” chè cán âat læc Pk = 1.
+ Nãu cán tçm chuyãn vë thàng thç Pk la læc táp trung; nãu tçm chuyãn vë goc
xoay thç Pk la mämen táp trung.
+ Nãu kãt qua ∆km > 0 thç chuyãn vë la cung chiãu våi læc Pk âa gia âënh va
ngæåc lai.
+ Zjm la chuyãn vë tai liãn kãt j cua hã å trang thai “m”.
+ R jk la phan læc tai liãn kãt j tæång æng våi chuyãn vë Zjm do læc Pk = 1 gáy ra å
trang thai “k”.
+ Têch R jk .Z jm láy dáu dæång khi R jk va Zjm cung chiãu nhau.
+ Mm, Nm, Qm la cac biãu thæc giai têch cua näi læc å trang thai “m”
+ M k , N k ,Qk la cac biãu thæc giai têch cua näi læc å trang thai “k” do Pk = 1 gáy
ra.
+ Cäng thæc Morh cung ap dung âæåc cho hã siãu ténh.
§ 8. VÁN DUNG CÄNG THÆC MORH VAO CAC BAI TOAN
CHUYÃN VË
I. Hã dám va khung chëu tai trong:
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 112
Trong hã dám va khung chëu, anh hæång cua biãn dang âan häi doc truc va træåt
la rát nho so våi biãn dang uän. Va trong tênh toan thæång cho phep bo qua anh hæång
cua chung. Luc nay cäng thæc (4 - 13) co dang:
M k .Mm
∆km =
ds
(4 - 14)
∑
∫
E.J
*Vê du 1: Xac âënh chuyãn vë thàng âæng tai tai B. Cho biãt âä cæng cua thanh
dám E.J = const.
1. Tênh hã å trang thai “m”: (H.4.19.a)
P
B
A
"m"
z
Mm(z) = -P.z
[0 ≤ z ≤ l]
våi trang thai “k”:
l
2. Tao va tênh hã
û
H.4.19.a
(H.4.19.b)
Pk = 1
M k (z) = -Pk.z= -z
[0 ≤ z ≤ l]
"k"
z
3. Xac âënh yB:
H.4.19.b
M k .Mm
ds =
E.J
yB = ∆km =
∑
∫
l
P.z3
P.l3
l
(−P.z).(−z)
=
dz =
=
> 0
∫
Kãt luán: Chuyãn vë cung chiãu Pk (hæång xuäng).
E.J
3E.J
3E.J
0
0
*Vê du 2: Xac dënh chuyãn vë nàm ngang tai B (H.4.20.a). Cho biãt âä cæng cua
cac thanh la nhæ nhau va E.J = const.
q
Pk = 1
B
C
z
z
q.l
1
"m"
"k"
2
H.4.20.a
A
H.4.20.b
A
0
-1
q.l
-1
2
l
1. Tênh hã å trang thai “m”: (H.4.20.a)
q.l.z q.z2
- Trong thanh BC: Mm(z) =
−
[0 ≤ z ≤ l] (gäc tai B)
2
2
- Trong thanh AB: Mm(z) = 0
2. Tao va tênh hã våi trang thai “k”: (H.4.20.b)
- Trong thanh BC: M k (z)= 1.(l − z)
[0 ≤ z ≤ l] (gäc tai B)
[0 ≤ z ≤ l] (gäc tai B)
- Trong thanh AB: M k (z)= 1.(l − z)
3. Xac âëng xB:
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 113
l
(q.l.z − q.z2 ).1(l − z)
M k .Mm
xB =
ds =
dz =
∑
∫
∫
E.J
2.E.J
0
2
q
l.z
2
z4
q.l4
l
− .l.z3 +
=
> 0
=
.
2.E.J
2
3
4
24E.J
0
* Kãt luán: Chuyãn vë la cung chiãu våi Pk (hæång sang phai)
II. Hã dan khåp chëu tai trong:
Trong hã dan, cac thanh chè tän tai læc doc. Nãn cäng thæc (4 - 13) co dang:
N k .Nm
∆km =
ds
∑
N
∫
E.F
Cac âai læång k , N , E.F thæång bàng const âäi våi tæng thanh dan. Suy ra:
m
N ik .Nim
N ik .N
im .li
∆km =
(4 - 15)
ds =
∑
∑
∫
E.F
E.F
i
i
i
i
* Vê du: Xac âënh chuyãn vë nàm ngang tai màt dan
sä 5. Cho biãt âä cæng trong cac thanh dan la nhæ nhau va
E.F = const.
1.Trang thai “m”: (H.4.21.a).
"m"
P
P
ì
6
4
5
3
Xac âënh Nim . Kãt qua thã hiãn trong Bang 4.1
2. Trang thai “k”: (H.4.21.b)
Xac âënh ik . Kãt qua thãt hiãn trong Bang 4.1
N
3. Xac âënh x5:
1
2
N ik .N
im .li
x5 = ∆km =
-2P
∑
E.F
i
i
-3P
3P
Kãt qua tênh toan âåc thã hiãn trong Bang 4.1
Diãn ta Bang 4.1:
d
H.4.21.a
+ Cät (1) ghi cac thanh dan.
+ Cät (2) ghi chiãu dai cac thanh dan.
1
"k"
Pk = 1
5
6
4
+ Cät (3) ghi gia trë
(å âáy la nhæ nhau cho cac
E.F
thanh dan)
+ Cät (4) ghi læc doc trong cac thanh dan Nim .
3
+ Cät (5) ghi læc doc trong cac thanh dan
N ik
N ik .N
im .li
+ Cät (6) ghi kãt qua
cho tæng thanh dan.
E.F
i
1
2
2
Kãt qua x5 la täng cua cac hang trong cät (6):
-1
N ik .N
P.d
im .li =
(11+ 6 2)
-2
H.4.21.b
x5 = ∆km =
> 0
∑
E.F
E.F
i
i
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 114
N ik .N
im .li
1
Nim
Thanh
li
N ik
E.F
E.F
i
(1)
(2)
d
(3)
(4)
2P
3P
(5)
1
(6)
1 - 2
1 - 3
3 - 2
4 - 2
3 - 4
3 - 6
4 - 6
5 - 6
5 - 3
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
1/E.F
2.P.d/E.F
6.P.d/E.F
d
2
d.
-2P
-
4
2
.P.d/E.F
2
2
2
2
d
d
-P
0
-1
P.d/E.F
0
0
d.
P
.P.d/E.F
2
2
2
2
d
d
d
-P
-P
0
-1
-1
0
P.d/E.F
P.d/E.F
0
Bang 4.1 Bang tênh chuyãn vë cua hã dan
III. Hã ténh âënh chëu chuyãn vë cæång bæc tai cac gäi tæa:
Nguyãn nhán nay khäng gáy ra näi læc trong hã ténh âënh nãn N = M = Q = 0.
Luc nay biãu thæc (4 - 13) âæåc viãt lai:
∆km = − R jk .Z
(4 - 16)
∑
jm
j
Cac âai læång trong biã
thæc Morh.
ø
u thæc âa dæåc gia thêch trong phán cac chu y cua cäng
* Vê du: Xac âënh âä vong tai B va goc xoay tai C.
MA= -2a
Pk = 1
ϕ
A
C
∆
B
VA = 1
"m"
"k1"
H.4.22.a
H.4.22.b
D
2a
1. Trang thai “m”: (H.4.22.a)
a
2. Trang thai “k”: (H.4.22.b) âã xac âënh yB va (H.4.22.c) âã xac âënh ϕC.
3. Xac âënh yB & ϕC:
yB = − R jk .Z = -[-MA.ϕ - VA.∆] = -[2a.ϕ -1.∆] = ∆ - 2a.ϕ.
∑
jm
j
1
∆
a
ϕC = − R jk .Z = -[-MA.ϕ - VA.∆] = -[-2.ϕ + .∆ ] = 2.ϕ −
∑
jm
a
j
* Nhán xet: Co thã xac âënh âæåc chuyãn vë bàng cac âiãu kiãn hçnh hoc
(H.4.22.d).
yB = ∆ - 2a.ϕ
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 115
yB
∆
a
ϕC = −
= 2.ϕ −
∆
Mk = 1
yB
MA= 2
ϕ
ϕ
∆
ϕ
VA =-1/a
"k2"
H.4.22.c
H.4.22.d
IV. Hã ténh âënh chëu biãn thiãn nhiãt âä:
Nguyãn nhán nay cung khäng gáy ra näi læc trong hã ténh âënh nãn:
α
h
∆km =
(t2m − t )M k ds +
α.tcm N k ds
∑
∑
∫
1m
∫
Nãu α, h, t2m, t1m = const trãn tæng âoan thanh thç
α
h
∆km =
∑
Trong âo:
(t2m − t1m )Ω
M k
+
α.t Ω
N k
(4 - 17)
∑
cm
+ t2m, t1m va tcm la biãn thiãn nhiãt âä thå dæåi, thå trãn va thå giæa cua thanh.
+ Ω
+ Ω
+ Ω
M k
la diãn têch cua biãu âä
la diãn têch cua biãu âä
M k
trãn tæng âoan thanh.
N k
N k
trãn tæng âoan thanh.
M k
, Ω
N k
láy dáu theo dáu cua biãu âä
M k
,
N k
.
* Vê du: Xac âënh âä vong tai tiãt diãn k cua hã cho trãn hçnh (H.4.23.a)
Cho biãt α = 1,2.10-5oC-1; hAB = 30cm; hBC = 20cm.
Pk = 1
Pk = 1
30o
k
B
C
20o
0,25l
"k"
1/2
1/2
"k"
N k
20o
40o
"m"
M k
H.4.23.b
- Âä biãn thiãn nhiãt âä doc truc cac thanh:
0
0
H.4.23.a
A
0,5
H.4.23.c
l/2
l/2
1/2
1/2
40 + 20
30 + 20
tcAB
=
= 30o C ; tcBC
=
= 25o C
2
2
- Trang thai “m”: (H.4.23.a) Cac näi læc Mm, Nm, Qm khäng tän tai.
- Trang thai “k”: (H.4.23.b & c) Cac biãu âä
(H.4.23.b & c).
- Xac âënh âä vong tai k:
M k
&
N k
âæåc veî trãn
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 116
α
h
yk =
(t2m − t1m )Ω
M k
+
α.t Ω
N k
∑
∑
cm
α
0,25l.l
.(20 − 30).
+α.30.(−0,5l) = −6,25.α.l2 −1,5.α.l
=
0,2
2
V. Hã dan ténh âënh co chiãu dai cac thanh chã tao khäng chênh xac:
* Nhán xet: Co thã âæa nguyãn nhán nay vã sæ biãn thiãn nhiãt âä doc truc
thanh. Thát váy, âã thay âäi chiã
u dai cac thanh dan mät læång ∆ ta chè viãc thay âäi tc
âã sao cho ∆ = α.l.tc. Nhæ váy ta trå lai bai toan hã chëu nguyãn nhán la sæ biãn thiãn
la nhiãt âä våi chu y la = 0.
ø
ö
ö
M k
∆km =
α.t Ω N k
=
α .t .N ik .l = N ik .∆ (4 - 18)
∑
∑
∑
cm
i
ci
i
i
i
i
∆i > 0 khi thanh dai hån so våi yãu cáu (con goi la âä däi) va
la âä hut).
ì
ngæåc lai (co
ì
n goi
* Vê du: Xac âënh chuyãn
vë nàm ngang tai màt sä 5 cua hã
dan trãn hçnh (H.4.24.a)
"m"
6'
6
"k"
Pk = 1
5
∆/2
6
4
5
3
Trang thai “k” âæåc tao
3
4
trãn hçnh (H.4.24.b). Å âáy cán
xac âënh
trong hai thanh (4 -
N ik
2'
2
2) & (4 - 6).
1
∆
1
2
2
,
N 4−6 = −1 N 4−2 = −1
Chuyãn vë nàm ngang tai
-1
d
-2
màt sä 5.
X5 = ∆km =
H.4.24.b
H.4.24.a
N ik .∆ =
∑
i
i
∆
2
∆
2
∆
2
= N 4−6 .(+ ) + N 4−2 .(−∆) = −1.(+ ) + (−1).(−∆) = > 0
Kãt luán: Chuyãn vë theo chiãu Pk (hæång sang phai)
§ 9. CACH TÊNH TÊCH PHÁN TRONG CÄNG THÆC
CHUYÃN VË BÀNG PHEP “NHÁN BIÃU ÂÄ VÃRÃSAGHIN”
I. Thiãt láp cäng thæc:
Trong cäng thæc Morh (4 - 13) nãu xet hã chè gäm nhæng thanh thàng chëu
nguyãn nhán la tai trong va E.J, E.F, G.F = const trãn tæng âoan thanh thç co thã âæåc
viãt lai:
1
1
υ
G.F
∆km =
M k .M dz +
N k .N dz +
Qk .Qm dz (4 - 19)
∑
∑
∑
m
m
∫
∫
∫
E.J
E.F
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 117
Luc nay, sau dáu têch phán nao cung la têch cua hai ham sä, phep “ nhán biãu
âä” Vãrãxaghin cho phep thay thã viãc tênh têch phán cua têch hai ham sä bàng cach
thuán tiãn hån. Näi dung nhæ sau:
Nãu mät trong hai ham sä dæåi dáu têch phán co bác nho hån hay bàng mät vã
màt toan hoc (ham con lai co bác bát ky) thç:
z2
A(z).B(z)dz = Ω.y (4 - 20)
∫
z1
Trong âo Ω la diãn têch cua biãu âä co bác bát ky láy trãn âoan [z1, z2].
y la tung âä trãn biãu âä co bác nho hån hay bàng mät tai vê trê tæång
æng våi trong tám diãn têch Ω.
A(z)
A
Thát váy, trong biãu thæc têch phán (4-20),
gia sæ A(z) co bác bát ky, âä thë cua A(z) âæåc ve
nhæ trãn hçnh (H.4.25.a); B(z) co bác nho hån hay
bàng mät, âä thë cua no âæåc ve trãn hçnh
Ω
dΩ
G
O
z1
z2
z
z
z
dz
(H.4.225.b). Keo dai âä
ö thë B(z) âãn càt truc z tai
H.4.25.a
B
C, goi hoanh âä cua âiãm C la zo, goc cua B(z) so
våi truc z la α. Khi âo co
sau:
ï thã biãu thë B(z) nhæ
yG
α
O
z1
z2
C
B(z)
B(z) = (z - zo).tgα
Thay vao trong dáu têch phán:
zo
zG
z2
z2
A(z).B(z)dz = A(z).(z − zo ).tgαdz
H.4.25.b
∫
∫
z1
z1
Thay A(z)dz = dΩ va âæa hàng sä ra ngoai dáu têch phán
z2
z2
A(z).B(z)dz = tgα (z − zo ).dΩ
∫
∫
z1
z1
z2
+ z.dΩ chênh la mämen ténh cua diãn têch Ω âäi våi truc tung, no chênh bàng
∫
z1
diãn têch Ω nhán våi khoang cach zG tæ trong tám G cua diãn têch Ω âãn truc tung.
z2
+ zo .dΩ = zo.Ω
∫
z1
Váy
z2
A(z).B(z)dz = tgα.(zG − zo ).Ω
∫
z1
Màc khac dã thá
ú
y (zG - zo).tgα = yG: la tung âä cua âä thë B(z) láy tai vë trê
tæång æng dæåi trong tám diãn têch Ω. Váy
z2
A(z).B(z)dz = Ω.yG (âpcm)
∫
z1
Viãt lai (4 - 20) theo “phep nhán biãu âä”
CÅ HOC KÃT CÁU 1
Page 118
∆km = (M k ).(M m ) + (N k ).(Nm ) + (Qk ).(Qm )
II. Cac chu y khi nhán biãu âä:
+ Phep “ nhán biãu âä” chè ap dung cho hã gäm nhæng thanh thàng.
+ Tung âä y bàt buäc pha
i láy trãn biãu âä co bác ≤ 1 con diãn têch Ω âæåc láy
trãn biãu âä co bác bát ky.
í
+ Nãu Ω, y cung dáu thç kãt qua “nhán biãu âä” co dáu dæång va ngæåc lai.
+ Nãu âæång biãu âä cua biãu âä láy tung âä bë gay khuc thç chia thanh nhiãu
âoan khäng gáy khuc âã nhán, sau âo cäng kãt qua lai våi nhau. (Vê du H.4.26)
Ω.y = (ω1.y1) + (-ω2.y2)
+ Khi biãu âä láy diãn têch Ω la phæc tap (viãc xac âënh diãn têch va vë trê cua
trong tám kho khàn) thç nãn chia thanh nhiãu hçnh âån gian âã tênh va sau âo cäng cac
kãt qua lai våi nhau. (Vê du H.4.27)
Ω.y = (ω1.y1) + (-ω2.y2) + (-ω3.y3) + (-ω4.y4)
ϖ1
C1
C3
ϖ3
C4
ϖ1
C2
ϖ2
C2
C1
ϖ4
ϖ2
y2
H.4.26
y1
y2
y1
y3
y4
H.4.27
* Vê du 1: Xac âënh âä vong tai B
P
(H.4.28.a).Chè xet biãn da
= const.
ûng uän. Cho biãt E.J
B
A
"m"
l
1. Trang thai “m”: Ve (Mm). Kãt qua
trãn hçnh (H.4.28.b)
2. Trang thai “k”: Ve
P.l
H.4.28.a
M m
î
M k
. Kãt qua
H.4.28.b
trãn hçnh (H.4.28.c)
l
Pk = 1
3. Xac âënh yB:
"k"
yB = (M k ).(Mm ) =
1
P.l.l 2
. .l =
1
P.l3
M k
H.4.28.c
=
.
.
> 0
E.J
2
3
E.J
3
* Vê du 2: Xac âënh chuyãn vë thàng âæng tai B (H.4.29.a). Chè xet biãn dang
uän. Cho biãt E.J = const.
1. Trang thai “m”: Ve (Mm). Kãt qua trãn hçnh (H.4.29.b)
Tải về để xem bản đầy đủ
23 trang
19860
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học kết cấu I - Chương 4: Xác định chuyển vị trong hệ thanh phẳng đàn hồi tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ket_cau_i_chuong_4_xac_dinh_chuyen_vi_tron.pdf
