Giáo trình Cơ học lý thuyết - Phần 1: Cơ học hệ vật rắn
PHÁN I: CÅ HOC HÃ VÁT RÀN
CHÆÅNG I: TORSÅ , GOC Å LE, VI PHÁN VEC TÅ.
§1. TORSÅ.
1.Hã vec tå.
r
-Vi âàt âiãm Ai co gia ∆i;i = 1, n .
r
-V
(
M
, N ∈ D ∈ R3
)
2.Cac phán tæ rut gon cua hã.
a)Vec tå täng håp.
r
r
IR = V + V
(
N
)
dV
∑
i
∫
D
r
r
r
r
V
Trong âo: V
(
N
)
dV = V
(
N
)
V
(
N
)
(
N dV
)
∫
∫
dL + ∫∫ dS + ∫∫∫
D
L
S
V
b)Træång mä men.
r
r
r
i
r
M he
(
M
)
r
=
MA ∧V + MN ∧V
(
N
)
dV
∑
i
∫
D
IR va Mhe la phán tæ rut gon cua hã tai âiãm M.
3.Træång mä men.
Cho M1, M2 ∈ R3 . Ta co cäng thæc:
r
M he
r
(
M 2
)
= M he
(
M1 + M 2 M1 ∧ IR
)
Hã qua:
1.Nãu M2M1 = λR ⇒ Mhe
2.∀M1, M2 . Nãu nhán vä hæång M1M2 ta co:
r
(
M1
)
= Mhe
(
M2
)
uuuuuuur
r
r
r
(
M2
)
.M1M2 = Mhe
(
M1
)
.M1M2 vç M2M1 ∧ R ⊥M2M1
Mhe
3.Bát biãn cua hã.
r
Mhe
r
r
r
(
M2
)
.R = Mhe
(
M1 .R
)
r
r
Têch vä hæång Mh & R khäng phu thuäc vao âiãm M.
4.Âënh nghéa Torså.
a)Hã tæång âæång: Hai hã vec tå tæång âæång våi nhau nãu chung co cung
træång mämen nhæ nhau
r
r
∀M : Mhe1
(
M
)
= Mhe2
M
( )
Hã1 Hã2
Hay noi cach khac: no cung tac dung cå hoc.
b)Âënh nghéa: Mät phán tæ cua khäng gian co tæ cac phán tæ thu gon cua hã vec tå
(vectå täng håp va træång mämen) va cac quan hã tæång âæång cua no goi la Torså.
5.Cac âënh ly.
Âënh ly 1: Nãu hai hã tæång âæång thç chung co cung vec tå täng håp nhæ
nhau.
Âënh ly 2: Âiãu kiãn cán va âu âã hai hã tæång âæång nãu chung co cung cac
phán tæ thu gon tai 1 âiãm nhæ nhau.
Âënh ly 3: Âiãu kiãn cán va âu âã hai hã tæång âæång nãu chung co cung
mämen tai 3 âiãm khäng thàng hang nhæ nhau.
6.Cac phep tênh âäi våi hã.
a)Täng cua hã.
r r
r
r
r
R1, R2 ⇒ R = R1 + R2
r
M1
r
r
r
r
(
M
)
, M 2
(
M
)
⇒ M
(
M
)
= M1
(
M
)
+ M 2
M
( )
b)Nhán våi âai læång vä hæång.
r
r
r
r
R = λR1, M
(
M
)
= λ
(
M1
(
M
)
. ∀M
)
7.Cac vê du cå så.
a)Hã tao tæ 1 vec tå. V , ta co
r
r
r r
r
R = V, M
(
M
)
= MA ∧ V
b)Ngáu.
Hã tao tæ 2 vec tå ma täng cua chung bàng 0.
r
r
r
r
r
r
M
(
M2
)
= M
(
M1 + M2 M1 ∧ R
)
V = −V ⇒ R = 0 va
1
r r
ta co: M
M2
2r
r
(
)
= M
(
M1
)
= M
§2. THU GON HÃ VEC TÅ.
Cho hã vec tå bát ky ta âi tçm 1 hã tæång âæång, ma âån gian rát nhiãu so våi hã âa cho.
1.Âënh ly. Mät hã bát ky tæång âæång våi 1 hã gäm 1 ngáu va 1 vec tå.
2.Cac hã täi gian (suy biãn).
r
a)Hã tæång âæång våi 1 ngáu: nãu R = 0
r
b)Hã tæång âæång våi 1 vec tå duy nhát, nãu M
r
r
r
(
0 .R = 0 & R ≠ 0
)
c)Hã tæång âæång våi hã räng. (hay 0)
Âiãu kiãn cán va âu âã hã tæång âæång våi hã räng la cac phán tæ thu gon âäng thåi
r
r
bàng 0
(
R = 0;M
(
0
)
= 0
)
3.Truc trung tám.
r
r
Cho hã vec tå bát ky biãt cac phán tæ thu gon cua no tai 1 âiãm 0 la R & M
(
0
)
.
r
r
r
r
r
1
Ta se tçm nhæng âiãm M ∈mf⊥R ⇒ sao cho M
(
M
)
≡ R ⇒ 0M = −
(
M
(
0
)
∧ R
.
)
R2
Âiãu nay chæng to ràng âiãm M thuäc màt phàng thoa man âiãu kiãn cua bai toan.
r
Váy âæång thàng âi qua M & // R goi la truc trung tám cua hã.
4.Mä ta træång mä men.
a)Træång håp täng quat.
r
r
r
R ≠ 0;M
(
0 .R ≠ 0
)
r
M
r
r
(
A
)
= M
(
0 + 0A ∧ R
)
Ngæåi ta chæng minh ràng,nhæng âæång tac dung cua læc cua træång nhæ trãn la
nhæng âæång xoàn äc.
b)Hã tæång âæång våi 1 vec tå.
r
Nãu M
(
0 = 0
)
c)Hã tæång âæång våi 1 ngáu.
r
M
r
(
0
)
= M = const
Nãu
d)Hã tæång âæång våi hã räng.
r
M
r
(
0
)
= M = 0
5)Têch vä hæång cua hai Torså.
a)Âënh nghéa:
r
r
r
r
[
T
]
:
(
R , M1
r 1
+ R2 .M1 (0)
(
0
))
&
[
T2
]
:
(
R2 , M2
(
0
))
goi
[
T
]
. T2
[ ]
goi têch vä hæång.
Cho 2 Torså:
1
1
r r
= R1.M 2
r
[
T1 ][T2
]
0
( )
b)Cac tênh chát.
-Giao hoan.
-Phán phäi.
-Kãt håp
§3. GOC Å LE.
1.Âënh nghéa.
Cho 2 hã toa âä Âã cac vuäng goc01xyz va 01 x1y1z1 va cac vec tå âån vë
r
r r
i , j,k
va
r
r r
(i1 , j1 ,k1 )
r
Goi D giao tuyãn cua 2 màt phàng 01 x1y1 & 01 xy båi vec tå âån vë u
Goi:
ψ =
01 x1,01 u
→ 01 Zs
θ = 01 z1,01 zi → 0i u
ϕ = 01u,0x → 01z
(
ψ,θ,ϕ
)
0 xyz
(
T
)
0 x y z
( )
T
goi goc Å le cua hã
so våi
1
1
1
1
1
1
ψ goi la goc tiãn âäng.
θ goi la goc chæång âäng.
ϕ goi la goc quay riãng.
Cac goc Å le ψ, θ,ϕ cho ta âënh âæåc vë trê cua T so våi T
1
Âã biãn âäi tæ T → T ta thæc hiãn 3 lán quay cac truc va goc theo så âä sau
1
r
r
r
(
ψ,k1
)
(
θ,u
)
(
ϕ,k
)
T ⎯q⎯uay⎯⎯→ R1 ⎯q⎯uay⎯⎯→ R2 ⎯q⎯uay⎯⎯→ T
1
01 x1y1z
01 x1y1z1
01 uy1z1
01uvz
Våi:
r
r
1r
r
u = cosψi1 + sin ψj
r
r
V = −sin ψi1 + cosψj
1
r
1
r
r
V = cos θV + sin θk1
1
§4.VI PHÁN VEC TÅ.
âäi våi hã qui chiãu T.
r
Cho V
(
t
)
1.Âao ham theo thåi gian.
'
⎧
⎪
⎧
⎪
x
y
z
(
t
)
)
)
x
(
t
)
)
)
r
r
V
dV
(
t
)
(
t
∈T ⇒ y'
(
t
⇒
⎨
⎪
⎩
⎨
dt /T
'
⎪
(
t
z
(
t
⎩
2.Cac phep tênh âao ham.
r r
r
r
r
r
d(U1U2 ) dU1
dU2
a)
b)
c)
=
.U2 +U1.
r
dt
dt /T
dt /T
r
r
r
r
r
d(U1 ∧U2 ) dU1
dU2
=
∧U2 +U1 ∧
dt
dt
dt
r
r
r
r
r
r
&
d
(
λU1 + µU2
)
dU 1
dU2
&
= λU1 + µU2 + λ
+ µ
dt /T
dt /T
dt /T
3.Âënh ly.
r r r
Nãu i, j, k la 3 vec tå cå så cua hã qui chiãu T, âao ham theo tham sä t so våi hã qui
r
chiãu T tän tai vec tå va chè 1 ma thäi la ωT /T1 sao cho:
1
r
r
r
di
= ωT /T ∧ i
1
dt /T1
r
r
r
dj
= ωT /T ∧ j
1
dt /T
r 1
r
r
dk
= ωT /T ∧ k
1
dt /T1
r
Nãu t: la thåi gian thi ω goi vec tå (ván täc goc) quay tæc thåi cua T so våi T .
1
(Tæ chæng minh).
Vê du: (trong træång quay quanh 1 truc).
Tçm vec tå quay tæc thåi quanh 1 truc.
r
r
Cho T va T va k = kj; goi α = g 01 x1,01 x
1
r
r
r
dk1
r
dk
=
= 0 = ωT /T ∧ k
1
dt /T1 dt /T
r
r
r
⇒ ωT /T = ωk = ωk1
1
r
r
i = cos αi1 + sin αj
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
di
&
&
&
= −α sinαi +α cosαj = αj = ωT /T1 ∧ i = ωk ∧ i = ωj
dt /T1
r
r
r
&
&
&
⇒ ω = α va ωT /T = αk = αk1
1
4.Cäng thæc so sanh cac âao ham.
r
r
r
r
r
Cho V ∈ T : V = xi + yj + zk
r
r
r
r
r
r
r
dV
di
dj
dk
&
&
&
Khi âo
= xi + yj + zk + x
+ y
+ z
dt /T
dt /T1
dt /T1
dt /T1
r
r
r
r
r
r
r
dV
=
+ x
(
ωT /T1 ∧ i
)
+ y
(
ωT /T1 ∧ j
)
+ z
(
ωT /T1 ∧ k
)
dt /T
r
dV
r
r
r
r
=
+ ωT /T1 ∧
(
xi + yj + zk
)
dt /T
r
r
r
r
dV
dV
Váy
=
+ ωT /T1 ∧V
dt /T1 dt /T
5.Hã thæc Saclå.
Cho n hã quy chiãu T ,T2 ,...,Tn .
1
Theo cäng thæc trãn ta co:
r
r
r
r
dV
dV
=
r
dV
+ ωT /T1 ∧V
2
dt /T1 dt /T2
r
dV
r
r
=
+ ωT /T2 ∧V
3
dt /T2 dt /T3
..................................
r
dV
r
dV
r
r
=
+ ωT /Tn−1 ∧V
n
dt /Tn−1 dt /Tn
Màt khac ta co:
r
r
r
r
dV
dV
=
+ ωT /T1 ∧V
n
dt /T1 dt /Tn
r
r
r
r T
r
r
⇒
(
ω /T1 + ω /T2 + ... + ωT /Tn−1 −ωT /T1 ∧V = 0
)
r T
r
n r
2
3
n
⇒ ωT /T1 = ωT /Tn−1 + ωT /Tn−2 + ... + ωT /T1
n
n
n−1
2
6.Ap dung.
r
r
r
dV
dV
a)Nãu T & T2 gán chát nhau, váy ωT /T1 = 0 va
=
1
2
dt /T1 dt /T2
r
r
b) ωT /T2 = −ωT /T1
1
2
c)Tênh vec tå quay tæc thåi la ham cac goc Å le.
r
r
r
r
ωT /T1 = ωT / R2 + ωR / R1 + ωR /T1
2
1
r
r
&
ma ω / R2 = ϕk
rT
ωR / R1 = θu
r
&
2
r
r
&
ωR /T1 =ψk1
r1
r
r
r
&
&
&
Váy ωT /T1 =ψk1 +θu +ϕk
CHÆÅNG II: CHUYÃN ÂÄNG HOC.
§1. TRÆÅNG VÁN TÄC.
1.Træång ván täc.
a)Âënh nghéa.
Cho âiãm M bát ky va hã qui chiãu T , gäc 01
1
dO1M
m
s
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
VS /T
(
M =
)
1
dt /T1
dO1M
Nãu MG (S)
VS /T
(
M =
)
1
dt /T1
b)Cäng thæc.
r
VS /T
(
M
)
= VS /T
(
O + ωT /T ∧ O1M
)
1
1
1
Træång håp âàc biãt:
Láy T' ∈
(
S
)
; vç T & T' ∈
( )
S
r
r
r
nãn ωT ' /T = 0 ; theo Hã thæc Sarlå; Ta co ωT /T1 = ωS /T1
váy VS /T
(
M
)
= VS /T
(
O + ωS /T ∧O1M
)
1
1
1
2.Træång gia täc.
a)Âënh nghéa.
d 2 O1M
dt2 /T1
dV/T
( )
M
1
γ /T
(
M
)
=
=
1
dt /T1
b)Cäng thæc.
dωS /T
1
γ /T
(
M
)
= γ /T
(
O
)
+
∧ OM + ωS /T
∧
(
ωS /T ∧ OM
)
1
1
1
1
dt /T1
§2. TRÆÅNG HÅP CHUYÃN ÂÄNG.
1.Håp ván täc.
Cäng thæc ván täc âiãm våi 2 hã qui chiãu T & T
1
dOM
(
M
)
= V/T
(
O
)
+
+ ωT /T ∧ OM
ta co:
V
/T
1
1
1
dt /T1
+V/T
hay: V/T
(
M
)
= V/T
(
O
)
(
M
)
+ ωT /T ∧ OM
1
1
1
V/T
(
M
)
= V/T
(
M
)
+VT /T
M
( )
1
1
V/T
(
M
)
= Va
(
M
)
;V/T
(
M
)
= Vr
(
M
)
;VT /T
(
M
)
= Ve
M
( )
1
1
Ta cäng thæc láp ván täc: Va
2.Håp gia täc.
(
M
)
= Vr
(
M
)
+Ve
(
M
)
d 2 O1M
dt2 /T1
dV/T
( )
M
1
γ /T
(
M
)
=
=
1
dt /T1
Ta co:
dωT /T
1
γ /T
(
M
)
= γ /T
(
M
)
+ γT /T
(
O
)
+
∧ OM + ωT /T
∧
(
ωT /T ∧ OM
)
+ 2ωT /T ∧V/T
M
( )
1
1
1
1
1
dt /T1
goi:
γ / T
(
M
)
)
= γ a
= γ r
( )
M
1
γ /T
(
M
(
M
)
dωT /T
1
γT /T
(
O
)
+
∧ OM + ωT /T
∧
(
ωT /T ∧ OM
)
= γ e
M
( )
1
1
1
dt /T1
2ωT /T ∧V/T
(
M
)
= γ c
(
M
)
1
Váy ta cäng thæc håp gia täc:
γ a
(
M
)
= γ r
(
M
)
+ γ e
(
M
)
+ γ c
M
( )
§3. CAC DANG CHUYÃN ÂÄNG ÂÀC BIÃT CUA VÁT RÀN.
1.Chuyãn âäng quay quanh 1 truc cä âënh.
La chuyãn âäng vec tå quay tæc thåi co 1 hæång cä âënh.
r
r
u vec tå âån vë.
ωT /T = λu ,
1
2.Chuyãn âäng dæng (än âënh).
La chuyãn âäng cua (S) so hã qui chiãu T , nãu VT / T
(
)
A = const
1
1
∀A∈T ; khäng phu thuäc thåi gian ma phu thuäc vë trê cua A.Hay noi cach khac
1
Ván täc cua cac thuäc vát (S) tai 1 thåi âiãm nhæ nhau.
dωT /T
1
Co tênh chát:
= 0,ωT /T = const so T & T
1
1
dt /T1
nãu ωT /T = 0 →chuyãn âäng tênh tiãn.
1
3.Chuyãn âäng song phàng.
a)Âënh nghéa.
(
S
)
∈T
T
chuyãn âäng so hã qui chiãu 1 goi la chuyãn âäng song phàng nãu
P∈T ≡ P ∈T
1
1
b)Tám quay tæc thåi.
I goi tám quay tënh tiãn nãu VT /T
( )
I = 0 (viãt tàt C.I.R)
1
I tän tai va duy nhát å mäi thåi âiãm.
Cáu truc hçnh hoc: âäi våi ∀M ∈T ta co:
VT /T
(
M
)
= VT /T
(
I
)
+ ωT /T ∧ IM , vç VT /T
(
I = 0
)
1
1
1
1
⇒ VT /T
(
M
)
= ωT /T ∧ IM
1
1
c)Làn khäng træåt.
CHÆÅNG III: ÂÄNG HOC.
§1. TORSÅ ÂÄNG HOC.
1.Vë trê khäi tám.
Xet hã chát âiãm. ∑ tao nãn vát ràn.
m: khäi læång cua hã. Ta co :m = dm
∫
∑
Âënh nghéa: Goi G la khäi læång cua hã nãu
mOG = OMdm
∫
∑
2.Ván täc khäi tám.
d 0Mdm
∑
∫
d0G
dt /T
d0M
mV/T
(
G
)
= m
=
=
dm
∫
dt /T
∑ dt /T
(vç m=const)
mV/T
(
G
)
= V/T
(
M dm
)
∫
∑
3.Âënh nghéa Torså.
Goi
mV
(
G
)
la âäng læång cua 1 chát âiãm.
/T
Q∑ /T = V/T
(
G
)
dm = mV/T
dm →Vec tå mä men âäng læång thu gon âäi våi âiãm P.
Q∑ /T &σ∑ /T
goi Torså âäng hoc (hay Torså âäng læång
(
G
)
→Vec tå âäng læång thu gon
∫
∑
σ ∑ /T
(
P
)
= PM ∧V/T
M
( )
∫
∑
( )
P
Hai âai læång thu gon
∑
cua hã ).
T
4.Mä men âäng hoc cua vát ràn âàc biãt tai 1âiãm.
a)Âënh nghéa ma trán quan tênh.
σ S /T
(
O
)
= OM ∧V/T
(
M
)
dm = OM ∧
ωS /T ∧ OM
dm
∫
∫
S
S
σS /T
(
O
)
=
[
I
(
O
)
]
ωS /T
hay
b)Tênh chát: Ma trán quan tênh co tênh âäi xæng âäi våi hã qui chiãu træc quan:
σj = αijωj
r
r
α j = OM ∧
ej ∧ OM
ej dm
Våi
i
∫
S
c)Tênh ma trán quan tênh.
A
− F − E
⎡
⎢
⎤
⎥
⎥
⎦
r
r
r
r
r
r
r
r r
a ∧
b ∧ c
=
(
a.0
)
b −
ab
c
[
I
(
0
)]
= − F
B
− D
⎢
⎢− E − D C ⎥
⎣
Trong âo:
2
2
r
r
r
⎡
⎤
dm
A =
[
0M ∧
(
e1 ∧ 0M
)
]
e1dm = 0M −
(
e1.0M
)
∫
∫
⎢
⎥
⎦
⎣
S
S
2
2
r
⎡
⎤
dm
B = 0M −
(
e2.0M
)
∫
⎢
⎥
⎦
⎣
S
C =
∫
r
r
r
r
F = −
0M ∧
e2 ∧ 0M
e2dm =
e1.0M0m.e2
dm
∫
∫
S
S
r
r
D = −
0M ∧
e2 ∧ 0M
e3dm
∫
S
r
r
E =
0M ∧
e3 ∧ 0M
ef dm
∫
S
Cho M
(
[
(
x, y,z
x2 + y2 + z2
)
A =
)
− x2
]
dm =
(
∫
y2 + z2
dm
)
∫
S
S
goi mä men quan tênh cua hã âäi våi truc x
B =
C =
F =
(
z2 + x2
)
dm cua hã âäi våi truc y.
dm cua hã âäi våi truc z.
dm;D = yz dm;E = zx dm
∫
S
(
x2 + y2
)
∫
S
(
xy
)
(
)
( )
S
∫
∫
∫
S
S
goi la quan tênh.
d)Âënh ly Huyghens.
Cho hã truc Gxyz : biãt ma trán quan tênh.
Hã truc 0xyz // Gxyz
Våi x = XG + X;y = yG + Y;Z = ZG + Z .
Goi AG , BG ,...,FG cac phán tæ cua ma trán quan tênh tai G
A0 , B0 ,....,F cac phán tæ cua ma trán quan tênh tai 0.
0
Ta co cäng thæc sau:
A0 = AG + m
(
yG2 + zG2
)
B0 ,C0 tæång tæ
D0 = DG + myG zG ;E0 = EG + mzG xG ;F0 = FG + mxG yG
e)Cac phán tæ cua ma trán quan tênh âäi våi vát cå tênh âäi xæng.
(
x0y
)
;G ∈
(
x0y
)
;D = E = 0;ZG = 0
*Màt âäi xæng
(
x0y & y0z
)
⇒ G ∈0y;D = E = F = 0
*Co 2 màt âäi xæng
*Co âäi xæng tiãn tiãn (quay quanh truc 0z ): D = E = F = 0 & A = B
*Vát la 1 âéa (0Z⊥ màt phàng âéa)
A = y2dm;B = x2dm;C =
(
x2 + y2
dm ⇒ C = A + B
)
∫
∫
∫
S
S
S
f)Hã truc quan tênh chênh.
A 0
0
⎡
⎤
⎢
⎥
[
I
(
0
)]
= 0 B 0 ⇒ Hã truc quan tênh chênh tai 0. D = F = E = 0
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢0 0 C⎥
5.Torså âäng hoc va täng håp chuyãn âäng.
Muc âêch: Chung ta âi so sanh Torså âäng hoc cua hã âäi våi 2 hã qui chiãu khac
nhau.
a)Âënh lê Känic.
Q
= Q∑ / T + Q
∑ /T1
∑∈T / T1
σ ∑ / T
(
P
)
= σ ∑ / T
(
P
)
+ σ ∑∈T / T
P
( )
1
1
Q∑ /T
: tuyãt âäi
: tæång âäi
: theo
1
Q∑ /T
Q∑∈T /T
1
Âënh ly: Mä men âäng læång âäi våi khäi tám cua 1 hã so hã qui chiãu T bàng Mä
1
men âäng læång cua âiãm âo cua 1 hã so hã qui chiãu T. Nãu chuyãn âäng T so
T :la tënh tiãn.
1
σ ∑ / T
(
G
)
= σ ∑ / T
G
( )
1
b)Tênh mämen âäng læång.
*Mä men âäng læc cua vát ràn chuyãn âäng:
σ S / T
P
( )
1
(
S
)
T
1
Cho
chuyãn âäng so sao cho co 1 âiãm 0 cä âënh
σ S / T
(
O
)
=
[I
(
O
)
(
O
]
ωS / T
va theo cäng thæc tënh træång mä men
1
1
σ S / T
(
P
)
= σ S / T
)
+ mP0 ∧V/ T
G
( )
1
1
1
Ap dung Âënh luát Känic:
( )
σ S / T G = σ S / K
G
( )
1
σS / K
(
G
)
=
[
I
(
G
)
]
ωS / K
T
vç K tënh tiãn so
1
nãn
ωS / K = ω
S / T1
Váy
( )
= σ S / T
( )
σ
G =
[
(
I G
]
ω
S / T1
S / T1
σ S / T
(
P
)
P
)
+ mPG ∧VT
( )
G
1
1
*Mä men âäng læång cua hã vát ràn.
n
n
=
S
σ
khi âä
(
P
)
=
σ
P
( )
Nãu hã la hã vát ràn :
∑ U
∑
i
∑ /T
Si /T1
1
i=1
i=1
Bai táp.
Tênh
( )
σ S /T O1 ?
1
[
I
( )]
G
Træåc hãt tênh ma trán quan tênh
âäi våi G xyz
Do âäi xæng D = E = F = 0, A = B va C = A + B = 2A
ma2
a3
3
A = 2 2Qµy2dy = 4aµ
Tênh
vç m = 4a2µ ⇒ A =
∫
3
0
2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
ma
3
0
0
0
ma2
3
ϕ = 0
[
I
(
G
)]
=
0
r
r
r
2ma2
3
(vç k1 = sin θV + cosθk)
0
0
⎢
⎣
⎥
⎦
r
r
r
r
u = i;v = j
r
r
r
&
r
r
&
&
&
&
Con
ωS / T =ψk1 +θu = θi +ψ sinθj +ψ cosθk
1
vç
(G )
[
= I (G ) ω
]
σ
ma2
S / T1
S / T1
2ma2
3
ma2
3
r
r
r
&
&
&
=
θi +
ψsin θj +
ψcosθk
3
Theo
( )
( )
σ S / T O1 = σ S / T G + O1G ∧ mV/ T
G
( )
1
1
1
r
r
01G = 01 P + PG = lu + au
r
r
r
r
d
V/T
(
&
G
)
=
(
lu + au
)
= ωT /T
∧
(
lu + av
)
1
1
dt
r
r
r
r
r
&
&
=
θi +ψ sinθj +ψ cosθk
∧
(
lu + av
)
r
r
r
r
&
&
&
&
= θak − lψsinθk + ψlcosθvp − aψcosθu
r
r
r
r
r
r
&
&
&
&
(
lu + av
)
∧
θak − lψ sin θk + lψ cos θv − aψ cos θu
r
a2
⎡
⎤
⎛
⎞
&
σS
(
0
)
r
2
&
= ⎜m + ma ⎟θ − malψsin θ u
⎢
⎣
⎥
⎦
⎜
⎟
T
3
1
⎝
⎠
a2
⎡
⎤
⎛
⎞
r
2
&
&
⎜
⎟
+ − mlaθ + m + ml ψsin θ v
⎢
⎥
⎦
⎜
⎟
3
⎝
⎠
⎣
a2
r
⎡
⎢
⎤
⎧
⎨
⎫
⎛
⎞
+
⎜2m + m
(
l2 + a2
)
⎟ ψ cosθ k
&
⎥
⎬
⎭
⎜
⎟
3
⎢ ⎝
⎠
⎥
⎦
⎩
⎣
ma2
3
+ ma2
− mal
ma2
0
0
[
I
(
01
)]
=
− mal
+
+ ma2
3
2ma2
0
0
+ m
(
l2 + a2
)
3
§2. TORSÅ ÂÄNG LÆC HOC.
1.Âënh nghéa.
mγ /T
(
M
)
: quantite d’acceleration
Torså âäng læc hoc cua 1 hã so våi hã qui chiãu T la hai âai læång thu gon:
A∑ /T = γ /T
(
M
)
dm = mγ /T
G
( )
∫
∑
h∑ /T = PM ∧ γ /T
(
M dm
)
∫
∑
Tæång tæ Torså âäng hoc va âäng læc hoc.
2.Quan hã giæa Torså âäng hoc va âäng læc hoc.
dQ∑ / T
A∑ /T
=
dt /T
∧V/T
d
con h∑ /T
(
P
)
=
σ ∑ /T
(
P
)
+ mV/T
(
P
)
( )
G
dt /T
Ta chæng minh:
d PM ∧V/T
(
M dm
)
∫
d
(
PM ∧V/T
(
M
)
)
d
∑
σ ∑ /T
(
P
)
=
=
dm
∫
dt /T
vç PM = P0 + 0M ⇒
Thã vao:
dt /T
dt /T
∑
d PM
= V/T
(
M
)
−V/T
P
( )
dt /T
dσ∑/T
( )
P
(
( )
( )
)
( )
( )
= V/T M −V/T P ∧V/T M dm+ PM ∧V/T M dm
∫
∫
dt/T
∑
∑
Nãu tai 1 âiãm cä âënh so våi T:
dσ ∑ /T
( )
P
h∑ /T
(
P
)
=
(a)
dt /T
tai khäi tám cua hã:
dσ ∑ /T
( )
G
h∑ /T
(
G
)
=
(b)
dt /T
3.Âënh lê Känic âäi våi mämen âäng læc.
Nãu K la hã qui chiãu co goc trung våi khäi tám cua hã chuyãn âäng tënh tiãn so
våi hã qui chiãu T ta co:
h∑ /T
(
P
)
= h∑ / K
G
( )
dσS /T
(
O
)
dσS /T
( )
O
1
1
1
1
hS /T
(
O
)
=
=
+ωR /T ∧σS /T
( )
O
1
1
Tênh:
1
2
1
1
dt/T
dt/R2
1
4.Tênh mämen âäng læc.
Bàng tçm mä men âäng læc cua hã tai 1 âiãm cä âënh hay mä men âäng læc cua hã
tai khäi tám cua hã.
Theo cäng thæc (a) va (b)
n
Nãu la hã vát ràn: ∑ US ta co:
=
i
i=1
n
h∑
(
P
)
=
h P
( )
∑
/
T
S /T
i=
1
§3. ÂÄNG NÀNG.
1.Âënh nghéa.
T∑ /T
=
V/T
(
M
)
2dm
≥ 0
1
,
vä hæång
∫
2 ∑
2.Âäng nàng cua vát ràn co 1 âiãm cä âënh.
Cho
S
( )
chuyãn âäng co âiãm 0 cä âënh so våi hã qui chiãu T.
VS / T
(
M = ωS / T ∧ 0M
)
2
VS /T
(
M
)
=
ωS /T ∧ 0M ωS /T ∧ 0M
= ωS /T
0M ∧
ωS /T ∧ 0M
= ωS /T
0M ∧VS /T
(
M
)
2TS /T = ωS /T
0M ∧VS /T
(
M
)
dm = ωS /T 0M ∧VS /T
(
M
)
dm
∫
∫
S
S
2TS /T = ωS /T .σ S /T
O
( )
σS /T
(
O
T
)
=
[
(
[
I
(
O
0
)
]
ωS /T
màt khac
2TS / T
=
ωS / T } σ S / T
)
T
Hay:
}
( )
]
2TS /T = ωS /T I 0 ωS /T
goi p,q,r la cac thanh phán cua vec tå quay tæc thåi.
Ta co:
2TS /T = Ap2 + Bq2 + Cr2 − 2Dqr − 2Erp − 2Fpq
Trong hã truc qui trçnh chênh: ta co
2TS /T = A' p'2 + B'q'2 + C'r'2
Chu y:
∂TS /T ∂TS /T ∂TS /T
;
;
σ
O
( )
la cac thanh phán cua
S /T
∂p
∂q
∂r
⎡ ∂T
∂TS /T
∂q
∂TS /T
∂r
⎤
1
2
S /T
T
=
p.
+ q
+ r
hay :
S /T
⎢
⎥
∂p
⎣
⎦
r
Âäi våi quay quanh truc cä âënh: ωS /T = ωu
1
T
= ω2 R2dm
Ta tênh âæåc :
S /T
∫
2
S
I∆ = R2dm = C la mä men quan tênh âäi våi truc .
∫
S
3.Âäng nàng trong træång håp chuyãn âäng.
Ta V a
(
M
)
= V r
(
M
)
+V e
( )
M
TS /T = Tr +Te + V r
(
M
)
V e
(
M dm
)
∫
∑
2
2
1
1
Tr =
V r
(
M
)
dm;Te = V e
(
M dm
)
∫
∫
2 ∑
2∑
Nãu T so T1 tënh tiãn ; theo âënh ly Känic ta co:
2
1
TS /T = Tr + V e
(
G
)
.m + V e
(
G
)
dm.V r
(
G = 0
)
∫
2
∑
2
m
TS /T = Tr + V e
G
( )
2
4.Âäng nàng cua vát ràn bát ky.
Ap dung âënh ly Kä nic ta co:
2
2TS / T = 2TS / K + mVK / T
(
G
)
= ω S / K σ S / K
(
G
)
+ QS / T V/ T
G
( )
1
1
1
Têch vä hæång
( )
( )
Q∑ / T ,σ / T P ω∑ / T ,V/ T
P
2
2
2
2
2TS /T = ωS /T .σS /T
(
G
)
+VS /T
+V∑ /T
(
G .QS /T
)
Âäi våi ∀M :
2TS /T = ω∑ /T σ∑ /T
(
M
)
(
M .Q∑ /T
)
§4. ÂÄNG HOC HÃ THÄNG.
1.Liãn kãt.
a)Âënh nghéa: liãn kãt la nhæng âiãu kiãn ràng buäc cå hoc vã màt hçnh hoc va
âäng hoc. Nhæng âiãu kiãn âäc láp våi âiãu kiãn ban âáu cua chuyãn âäng vao cac
læc tac dung lãn cå hã.
b)Phæång trçnh liãn kãt.
r
r
fα
(
t, r, V ...
)
≥≤ 0
i
2.Phán loai liãn kãt.
a)Liãn kãt dæng va khäng dæng.
b)Liãn kãt giæ va khäng giæ.
c)Liãn kãt Hä lä näm va khäng hä lä näm.
3.Toa âä suy räng.
Táp håp cac thäng sä âu âã xac âënh âæåc vë trê cua cå hã trong 1 hã qui chiãu xac
âënh goi cac toa âä suy räng.
(
q1,q2 ,q3,...,qm
)
,qk
t
( )
Ky hiãu
4.Biãu thæc ván täc theo toa âä suy räng.
r
0M = M
(
t,q1,...,qm
)
r
r
m
r
r
∂M
∂M ∂M ∂M
&
V/T
(
M
)
=
qi +
=
+
∑
∂qi
∂t
∂qi
∂t
(i)
5.Biãu thæc âäng nàng theo toa âä suy räng.
2dm
1
T∑ /T
=
V/T
( )
M
∫
2 ∑
r
r
2
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
∂M
∂qi
∂M
∂t
⎜
⎜
⎝
&
2T∑ /T
=
qi +
dm
∫
∑
r
r
r
r
2
∂M
∂M
∂qi
∂M
∂t
∂M 2
∂t
⎡
⎢
⎣
⎤
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎟
⎜
⎜
⎝
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
⎟
⎟
⎠
&
&
qi
⎥
dm
=
qi + 2
+
∫
⎟
∂qi
⎢
⎥
∑
⎠
⎦
r
r
r
r
r
∂M ∂M
∂qi ∂qi
∂M ∂M
∂qi
∂M 2
∂t
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎜
⎝
⎟⎜
⎟⎜
& &
&
=
dm qi q j + 2
dm qi +
dm
∫
∫
∫
⎟
⎟
qt
⎠⎝
⎠
⎠⎝
⎠
∑
∑
∑
âàt
r
r
∂M ∂M
∂qi ∂q j
aij =
dm
∫
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
r
r
⎞
∂M ∂M
⎟
⎟
bi =
dm
∫
∂qi ∂t
∑
⎠
r
∂M 2
∂t
C =
dm
∫
∑
& &
&
2T∑ /T = aij qi qj + bi qi + C
T
T
&
&
&
(
b
q
}
+ C
Dang ma trán :
2T =
q
}
[
a
]
q
}
+
Træång håp cå hã chëu liãn kãt hå lä näm va dæng
r
r
∂M
∂M
&
V/T
(
M
)
=
qi
= 0
con
∂qi
∂t
T
&
&
2T =
q
}
[
a
]
q
Bai táp:
Tênh âäng nàng (13.2) T134
2T = 2TS /T + 2TS
2 /T0
1
0
2
2TS /T = σ S /T
(
O1
)
ωS 2
.ωS /T + MVS /T
O1
( )
1
0
1
0
1
0
1
0
r2
VS 2
TS 2 σ S 2
T0
(
G
)
( )
G
2
=
.
+ m
T0
T0
T0
2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
ml
12
0
0
⎥
⎥
⎥
ml2
r
r
r
r
r
&
&
&
&
&
[
I
(
G
)]
=
0
0
0 ; ωS / T =ψ1k2 +θ2u =ψ1 cosθ2k2 +ψ1 sinθ2v2 +θ2u
1
0
12
0
⎥
⎥
0
⎢
⎥
⎣
⎦
σ
(
G
)
.ω
=
ml2
[
I
(
G
)
]
.ω
S1 / T0
S1 / T0
S1 / T0
0
0
&
12
⎛
⎞
⎟
θ
ml2
⎜
&
&
&
&
(
θ,ψ1 sin θ2 ,ψ1 cosθ2
)
0
0
0 ψ sin θ
⎜
⎟
⎟
⎠
1
2
12
0
⎜
&
ψ1 cosθ2
0
⎝
ml2
12
&
θ
0
0
&
⎛
⎞
⎟
θ
ml2
12
θ ml
ml2
12
2
2
⎜
&
2
2
&
&
&
=
=
0
0
ψsin θ2 0 ψ sin θ
=
+
ψ sin θ2
⎜
⎟
⎟
⎠
1
2
12
⎜
&
ψ1 cosθ2
0
0
⎝
ml2
12
2
2
2
1
2
&
&
θ + ψ sin θ
(
)
2
uuur
r
r
r
l
0G = Ri + ζ1k0 + k2
1
2
VS
(
G
)
= ωS / T ∧ OG
/ T0
2
1
r
r
r
dσ0
dt /T0
( )
G
1
&
&
&
VS
(
G
)
=
= Ri +ξ1k0 + k2
2 /T0
2
r
&
r
r
&
r
1
r
r
&
i = ω ∧ i = ψ1k1 ∧ i = ψ1f1
1
S1
1
r
r
r
r
r
r
1
2
r
&
&
&
k2ωS /T ∧ k2 =
(
ψ1 cosθ2k2 +ψ1 sinθ2v2 +θu
)
∧ k2
1
0
r
r
l
l
r
l
r
l
r
&
&
= ψ1 sin θ2v2 ∧ k2 + θ2u ∧ k2 = ψ1 sin θ2u − θ2v2
2
2
2
2
r
r
r
r
l
l
&
&
&
&
Váy VS /T
(
G
)
= Rψ1 f1 +ζ1k0 + ψ1 sinθ2u − θ2v2
1
0
2
2
12
12
⎡
⎤
2
2
2
2
2
2
2
2
&
&
& &
&
&
&
mVS /T
(
G
)
= M R ψ1 + ξ1 + ψ1 sin θ + θ2 − Rψ1 sinθ2 −ξ11θ2 sinθ2
⎢
⎥
⎦
1
0
4
4
⎣
2
l
l2
⎡
⎤
⎥
⎛
⎝
⎞
⎠
2
1
2
2
&
&
& &
&
= m ψ R − sin θ2 + ζ1 + θ2 − lζ2θ2 sin θ2
⎢
⎜
⎟
2
4
⎢
⎣
⎥
⎦
CHÆÅNG IV: ÂÄNG LÆC HOC.
§1. CAC NGUÃN LY CÅ BAN CUA ÂÄNG LÆC HOC.
1.Læc.
Âai læång tac dung lãn vát ràn lam thay âäi trang thai chuyãn âäng cua vát.
a)Vê du.
mm'
AB2
r
*Læc hut niu tån: FBA = −FAB − FAB = G
mm'
r
FBA = −G
u
AB
r
1
qq'
*Læc hut cu läng: F =
4πε0 AB
mdm r
r
mςdv r
*Læc hän håp: dF = −G
u = −G
u
l2
l2
b)Mä hçnh hoc.
Cac læc tac dung lãn cac vát ràn âæåc biãu diãn bàng torså
c)Näi læc va ngoai læc.
r
[ ]
F
r
[
F
]
&
[ ]
F
0
i
2.Nguyãn ly.
Âäi våi hã qui chiãu tuyãt âäi va thåi gian tuyãt âäi å tai mäi thåi âiãm âäi våi ta
co:
[
A
]
=
[ ]
F
e
3.Cac âënh ly täng quat.
a)Âënh luát chuyãn âäng khäi tám.
r
A∑ /T = mγ /T
(
G
)
= ℜe
b)Mämen âäng læång âäi våi khäi tám
dσ Z /T
r
(
G
)
h∑ /T
=
= Me
G
( )
dt /T
Træång håp âàc biãt co âiãm 0 cä âënh thay G → 0
c)Hã qui chiãu Gali lã.
Nguyãn ly khäng thay âäi.
Hã qui chiãu Ga li lã la hã qui chiãu bàng chuyãn âäng tënh tiãn so våi hã qui chiãu
tuyãt âäi.
d)Hã qui chiãu khäng Ga li lã.
r
r
r
[
A
]
=
[ ]
;
F
γ
(
[
M
)
+
= γ a
(
M
)
[ ]
= γ r + γ e + γ c
a
e
/T1
[
A a
]
=
A r
]
[
A e
]
+
A c
Váy
hay
[
[
A
A
]
+
[
= −
A
]
A e
+
[
−
A c
]
A c
=
[ ]
F
a
e
e
]
[
]
[
]
+
[ ]
F
r
e
4.Âënh ly tac dung va phan tac dung.
Cho 2 hã
&
∑1 ∑2
Sau tac dung
Ngæåc lai
lãn
: tac dung
∑1 ∑2
lãn
: phan tac dung.
∑2 ∑1
[
F
]
+
[
F21
]
=
0
[ ]
Ta co
12
Täng näi læc cua hã bàng khäng.
5.Cac træång håp âàc biãt cua âënh ly täng quat.
a)Cán bàng.
r
r
γ
r
⎧
⎨
⎩
(
G
)
= 0
= 0
⎫
⎬
⎭
ℜe = 0
[ ]
= 0 vç
F
⇒
r
e
V
G
( )
MeG = 0
b)Nguyãn ly quan tênh.
r
γ
(
G
)
= 0 ⇒ mV∑ /T
(
G = Cte
)
6.Vê du: (phæång trçnh chuyãn âäng).
§2. CÄNG SUÁT.
1.Cäng suát cua læc tac dung lãn vát ràn.
(
S
)
[
F
]
F
[ ]
Cho
chuyãn âäng sang hã qui chiãu T,
tac dung ta goi cäng suát cua læc
[ ]
F
la têch vä hæång qui
våi torså træång ván täc: âæåc viãt:
r
r
P
(
[
F
]
)
= ℜ.VS /T
(
M
)
+ M
(
M ωS /T
)
S /T
2.Cac træång håp riãng.
a)Vec tå træåt.
r
P
(
[
F
]
)
= ℜ.VS /T
( )
M
S /T
b)Ngáu læc.
r
r
Γ ; P
(
[
F
]
)
= Γ.ωS / T
S / T
c)Vát chuyãn âäng tënh tiãn.
ωS /T = 0
r
P
(
[
F
]
)
= ℜ.VS /T
M
( )
S /T
d)Vát quay quanh 1 truc cä âënh.
r
VS
( )
0
Goi 0 âiãm nàm trãn truc cä âënh ⇒
= 0
T
r
r
ωS
r
P
(
[
F
]
)
= µ
(
0
)
ωS /T ma
= ωu
S /T
T
r
r
nãn P
3.Tênh chát cua cäng suát.
a)Trong chuyãn âäng täng håp: T & T ta co:
(
[
F
]
)
= ωµ
(
0
)
.u
S /T
1
VS /T
(
M
)
= VS /T
(
M
)
+VT /T
M
( )
1
1
Ta co: P
Hay: P
b)Thán håp læc.
Nãu
(
F
[
]
F
]
= P
)
= P
(
+ P
[
F
]
)
+ L
([ ])
F
S /T1
S /T
S∈T /T1
(
[
)
(
[
F
]
)
([ ])
F
a
r
e
[F
]
=
[
F
]
+
[
F2
]
⇒ P
(
[F
]
)
= P
(
[
F
]
)
+ P
(
[ ]
)
F2
1
S /T
1
S /T
S /T
([
F = 0
]
)
c) Nãu
F
[ ]
= 0 ⇒ P
d) Cäng suát cua tæng læc âæåc xac âënh theo phán bä vec tå.
1
r
⎧
V
(
M
)
dV = F
(
P
)
dV
⎪
∫
∫
⎪
∞
S
vç
[
T
]
⎨
r
1
M
(
0
)
= 0M ∧ V
(
N
)
dV = MP ∧ F
(
P dV
)
⎪
1
∫
∫
⎪
⎩
S
r
⎧
V
( )
M
[
T2
]
=
⎨
⎩
ωS /T
r
[T1 ][T2
]
= P
(
[
F
]
)
= ℜ
(
P
)
.VS /T
(
P
)
dV
(*)
S /T
∫
4.Læc tac dung hã vát ràn. (tæ xem)
§3. ÂËNH LY ÂÄNG NÀNG.
dT
1.Giai thêch âai læång
(
2T &
)
dt
a)Âäi våi 1 vát ràn.
(
S
)
Cho
chuyãn âäng so våi hã qui chiãu T, ta co âäng nàng
2
1
1
TS /T
=
VS /T
(
M
)
dm = VS /T
(
M
)
.VS /T
(
M dm
)
∫
∫
1
0
2 S
2S
Theo (*)
[
F
]
→
f
( )
M
Nãu Torså cua læc
Thç cäng suát cua
âæåc soi :
F
[ ]
âæåc viãt:
P
(
[
F
])
=
f
(
M
)
.VS /T
(
M dV
)
S /T
∫
S
2TS
T
Tæ âáy ta co thã hiãu
giäng cäng suát cua Torså âæåc xac âënh: ςVS /T
(
M
)
;
dm
ς : khäi læång thã têch
dV
ςVS /T
(
M
)
: Torså âäng hoc.
2TS
T
Váy
la cäng suát cua Torså âäng hoc.
2TS /T = 2ωS /T σ S /T
.VS /T dm = P
(
G
)
+ mVS /T
(
G
)
.VS /T
G
( )
dTS /T
dt
Con
= γ S /T
(
M
)
(
M
)
[A]
( )
S /T
∫
S
dTS /T
dt
dTS /T
dt
giäng cäng suát cua Torså âæåc xac âënh ωS /T
(
M
)
âäi vát ràn:
la cäng
suát cua Torså âäng læc hoc.
b)Hã vát.
n
⎛
⎞
2T∑ /T
=
2T
⎜
∑
∑
⎜∑US ⎟
S /T
i
⎟
⎝
i=1
⎠
dT∑ /T
dt
dTS /T
dt
=
=
P
A
([ ])
∑
S /T
ςV
(
M ;ςγ S / T
)
Si / T
2.Âënh ly.
a)Bä âã.
Nãu hai Torså cua hai tac dung lãn vát ràn cung nhau thç cäng suát âäi våi Torså
bàng nhau.
[F
]
=
[
F
]
−
[
F2
]
= 0;P
(
[
F
]
)
= P
(
[
F
]
)
− P
(
[ ]
)
F2
1
S /T
1
S /T
S /T
[
F
]
=
[
F2
]
⇒ P
(
[
F
]
)
= P
(
[ ]
)
F2
1
1
S / T
S / T
b)Âënh ly.
Chæng minh:
[
A
]
=
dTS /T
dt
[
F
]
e
= P
(
[
Fe
]
)
;
P
[A]
( )
= P
(
[ ]
)
Fe
S /T
S /T
S /T
Âao ham âäng nàng cua vát ràn theo thåi gian âäi våi 1 hã qui chiãu Ga li lã bàng
cäng suát cua cac læc ngoai tac dung lãn vát âo.
Chu y: -Khäng phai phæång trçnh bä xung.
-Chè âung våi hã qui chiãu Gia li lã.
c)Âënh ly âäi våi hã vát.
dT∑ /T
= P
(
[
Fe
]
)
− P
(
[ ]
)
F
i
∑ /T
∑ /T
dt
Âao ham âäng nàng cua hã vát ràn theo thåi gian âäi våi 1 hã qui chiãu Gia li lã
bàng cäng suát cua cac læc la näi læc va ngoai læc tac dung lãn hã.
[
F = 0
).
]
Chu y: Âënh ly nay âung våi 1 vát (vç
3.Âënh ly âäng nàng biãn dang têch phán.
i
a)Âäi våi hã ly tæång.
Hã liãn kãt ly tæång nãu læc chëu liãn kãt hä lä näm va dæng cac læc liãn kãt khäng
co læc ma sat tham gia.
P
(
[
Ft
]
)
= 0
∑ /T
dT∑ /T
= 0 ⇒ T∑ /T = cte
Âäng nàng cua hã âæåc bai toan theo t
dt
b)Ham læc.
U goi la ham læc: chè phu thuäc vë trê cua âäi våi hã qui chiãu T cua
F
[ ]
dU
P
(
[
F
])
=
∑ /T
dt
*U âæåc xac âënh båi âao ham cua no theo thåi gian t.
*Ta âàt V=-U: goi la thã nàng.
θ2
dU
*W =
dt = U2 − U1
12
∫
dt
θ1
Tải về để xem bản đầy đủ
30 trang
23940
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết - Phần 1: Cơ học hệ vật rắn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_phan_1_co_hoc_he_vat_ran.pdf
