Giáo trình Cơ học kết cấu II - Chương 9: Tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp đúng dần
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 93
CHƯƠNG 9 TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐÚNG DẦN
Cách tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp chuyển vị hay phương pháp lực cho
ta các kết quả có độ chính xác cao. Tuy nhiên, việc tính theo các phương pháp này
có gây ra những khó khăn nhất định đặc biệt là khi số lượng các ẩn số càng lớn
nhưng với những công cụ tính toán thông thường.
Để giải quyết khó khăn này, người ta tìm cách giải bài toán với kết quả gần
đúng bằng những cách tính đơn giản và kết quả gần đúng đó là chấp nhập được khi
thiết kế kết cấu. Một trong các cách tính đó là phương pháp tính đúng dần.
Đặc điểm của phương pháp này là ta chỉ cần thực hiện phép tính theo một
trình tự nhất định, lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi thỏa mãn yêu cầu độ chính
xác là được.
Nội dung của phương pháp tính đúng dần nói chung được trình bày dưới
dạng phân phối mômen hay phân phối biến dạng theo hình thức này hoặc hình thức
khác.
Sau đây, ta đi tìm hiểu 2 phương pháp đúng dần, đó là phương pháp H.Cross
và phương pháp G.Kani.
ß 1. PHƯƠNG PHÁP H.CROSS
I. Khái niệm:
Phương pháp H.Cross là hình thức khác của phương pháp chuyển vị, trong
đó việc giải hệ phương trình chính tắc được thực hiện theo phương pháp đúng dần
mang ý nghĩa vật lý.
* Ưu điểm của phương pháp:
- Tính toán đơn giản.
- Chỉ yêu cầu phải giải 1 số lượng phương trình rất ít so với số lượng các
phương trình theo phương pháp "chính xác" và có trường hợp không cần phải giải
hệ phương trình.
* Nhược điểm của phương pháp: Chỉ áp dụng có hiệu quả cho những hệ có
nút không chuyển vị thẳng.
II. Quy ước cách đọc tên và xét dấu của nội lực:
1. Quy ước khi đọc tên của nội lực:
Ta dùng ký hiệu cho nội lực tương ứng như đã
P
biết nhưng kèm theo hai chỉ số:
- Chỉ số thứ thứ nhất biểu thị vị trí của tiết diện
chứa thành phần nội lực.
- Chỉ số thứ hai kết hợp với chỉ số thứ nhất biểu thị
thanh chứa nội lực đó.
B
A
H.9.1.1
Ví dụ: MAB: mômen tại tiết diện A thuộc thanh AB.
QAC: đọc là lực cắt tại tiết diện A thuộc
thanh AC.
2. Quy ước dấu:
- Mômen uốn tại nút được xem là dương khi nó làm cho thớ giữa của thanh
quay theo chiều kim đồng hồ và ngược lại. Xem ví dụ trên hình (H.9.1.2a).
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 94
- Lực cắt được xem là dương làm cho thành phần thanh chịu lực quay theo
chiều kim đồng hồ và xem là âm khi nó quay ngược chiều kim đồng hồ (giống
SBVL) (H.9.1.2b).
M < 0
Q > 0
M > 0
M < 0
Q > 0
Q > 0
M < 0
M < 0
M < 0
Q > 0
H.9.1.2a
III. Sự phân phối mômen xung quanh một nút:
H.9.1.2b
Xét một hệ chỉ gồm có một nút không có chuyển vị thẳng và chịu mômen tập
trung tại nút như trên hình (H.9.1.3a). Ta đi xác định mômen uốn MAB, MAC, MAD
tại các đầu thanh quy tụ tại nút A và mômen MBA, MCA, MDA tại các đầu đối diện
với nút A.
Z1
D
M
C
lAD
lAC
EJAC
EJAD
A
H.9.1.3b
EJAB
lAB
H.9.1.3a
B
Chọn cách giải hệ bằng phương pháp chuyển vị:
- Chọn hệ cơ bản trên hình (H.9.1.3b), hệ phương trình chính tắc có dạng:
r11Z1 + R1P = 0
- Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
+ Các biểu đồ (M1 ) và (M Po ) vẽ trên hình (H.9.1.3.c & H.9.1.3d).
EJ AD
lAD
Z1 = 1
M
4EJ AB
lAB
3EJ AC
lAC
(M Po )
(M 1 )
H.9.1.3d
H.9.1.3c
2EJ AB
lAB
* r11:
3.EJAC
4.EJAB
EJAD
r =
+
+
11
lAB
lAC
lAD
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 95
r11
M
EJ AD
lAD
RAD
3EJ AC
.M
ΣR
lAC
RAB
.M
4EJ AB
lAB
ΣR
R1P
RAC
.M
(M)
ΣR
EJAB
Gọi: RAB
=
- độ cứng đơn vị quy ước
H.9.1.3e
lAB
RAB
của thanh AB (thanh có đầu đối diện là ngàm).
EJ
.M
2ΣR
3
AC
RAC
=
- độ cứng đơn vị quy
4 lAC
ước của thanh AC (thanh có đầu đối diện là khớp).
EJ
1
AD
RAD
=
- độ cứng đơn vị quy ước của thanh AD (thanh có đầu đối
4 lAD
diện là ngàm trượt song song với trục thanh).
Suy ra: r11 = 4.(RAB + RAC + RAD) = 4 ∑R
* R1P:
R1P = -M.
Thay vào phương trình chính tắc:
M
M
4.(RAB + RAC + RAD).Z1 - M = 0⇒ Z1 =
=
4(RAB + RAC + RAD ) 4ΣR
- Vẽ biểu đồ mômen (M):
(M ) = (M1 )Z1 + M Po . Kết quả thể hiện trên hình (H.9.1.3e).
Từ đây, ta xác định được giá trị mômen uốn tại các đầu thanh quy tụ tại nút
A:
RAB
RAC
RAD
M AB
=
.M ,
M AC
=
.M ,
M AD
=
.M
ΣR
ΣR
ΣR
- Các mômen uốn MAB, MAC, MAD là do mômen M phân phối vào nút A nên
gọi là mômen phân phối. Và nếu xét dấu theo qui ước H.Cross thì:
RAB
RAC
RAD
M AB = −
.M ,
M AC = −
.M ,
M AD = −
.M
ΣR
ΣR
ΣR
- Mômen uốn tại các đầu thanh đối diện với nút A:
1
M BA = + .M AB ; MCA = 0.MAC; MDA = -1.MAD.
2
Các mômen này gọi là mômen truyền.
♦ Tổng quát: Khi nút A gồm nhiều thanh quy tụ, ta có:
+ Mômen phân phối tại đầu A thuộc thanh AX:
MAX = -γAX.M.
+ Mômen truyền:
MXA = βXA.MAX.
Trong đó: γAX - hệ số phân phối của thanh AX.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 96
RAX
γ AX
=
.
ΣR
RAX: là độ cứng đơn vị quy ước của thanh AX, phụ thuộc vào liên kết đầu
đối diện với nút.
∑R: tổng độ cứng đơn vị quy ước của các thanh quy tụ tại nút A.
βXA: hệ số truyền của thanh AX.
* Chú ý: Mômen M tập trung tại nút trong các biểu thức trên được lấy dấu
dương khi xoay cùng chiều kim đồng hồ và ngược lại.
B.9.1.1 Bảng độ cứng đơn vị vi ước và các hệ số truyền
Liên kết đầu đối diện nút
RAX
βXA
3 EJ
4 l
1 EJ
4 l
EJ
- Khớp
0
- Ngàm trượt
-1
- Ngàm
+1/2
0
l
0
- Tự do
Ví dụ 1: Xác định mômen phân phối và mômen truyền của hệ cho trên hình
(H.9.1.4a). Cho biết độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const.
1. Xác định độ cứng đơn vị quy ước:
EJ EJ
EJ EJ
RAB =
=
; RAC =
=
;
lAB
4
lAC
4
3 EJ 3 EJ EJ
3 EJ 3 EJ EJ
RAD =
.
= .
=
; RAE = .
= .
4 lAE 4 3
=
4 lAD 4 3
4
4
2. Xác định hệ số phân phối và mômen phân phối:
- Hệ số phân phối:
RAX
γ AX
=
.
ΣR
E
M = 4T.m
1
0,5
1
A
B
1
D
C
1
(M)
H.9.1.4a
4m
H.9.1.4b
(T.m)
0,5
3m
EJ
EJ
EJ
EJ
4
EJ
4
EJ
4
EJ
4
→
;
;
;
γ AB
=
= 0,25 γ AC
=
= 0,25 γ AD
=
= 0,25 γ AE
=
= 0,25
EJ
4
4
4
4
4
4
4
4
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Mômen phân phối: MAX = -γAX.M.
Page 97
→ MAB = - 0,25.(-4) = 1; MAC = - 0,25.(-4) = 1;
MAD = - 0,25.(-4) = 1; MAE = - 0,25.(-4) = 1
3. Xác định hệ số truyền và mômen truyền:
1
- Hệ số truyền: βBA = βCA = ; βDA = βEA = 0.
2
- Mômen truyền: MXA = βXA.MAX.
1
1
→ MBA = .1 = 0,5; MCA = .1 = 0,5; MDA = MEA = 0.
2
2
Kết quả tính toán có thể được vẽ trên biểu đồ (M) (H.9.1.4b)
IV. Cách tính hệ có nút không chuyển vị thẳng:
Ta phân tích cách tính hệ trên hình (H.9.1.5a). Tuy nhiên, cách lập luận vẫn
mang tính tổng quát cho hệ bất kỳ có nút không chuyển vị thẳng.
M
C
MB
M
M
C
C
B
E
A
D
A
D
B
M
E
M
F
F
F
E
H
H
G
G
H.9.1.5a
H.9.1.5b
M C* = −M C
M B* = −M B
MB
M
C
M
C
C
A
D
B
A
D
B
M E* = −M E
M F* = −M F
M
E
E
M
F
F
F
E
H
G
H
G
H.9.1.5d
H.9.1.5c
Giả sử ngăn cản chuyển vị xoay của tất cả các nút bằng cách đặt thêm vào
mỗi nút một liên kết mômen, ta sẽ thu được một hệ mới
chính là hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị
MB
(H.9.1.5b). Tại mỗi nút bị chốt, sẽ phát sinh những phản
MBA
MBC
lực mômen gọi là ngẫu lực chèn. Ngẫu lực chèn phải cân
bằng với mômen uốn tại các dầu thanh quy tụ tại nút đó.
Ví dụ: Với nút B:
MBE
MB + MBA + MBE + MBC = 0.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Suy ra: MB = -(MBA + MBE + MBC).
Page 98
Vậy ngẫu lực chèn tại một nút sẽ bằng tổng đại số mômen uốn tại các đầu
thanh quy tụ tại mỗi nút đang xét do tải trọng gây ra trên hệ có nút bị chốt nhưng
trái dấu.
Nhận xét:.- Các ngẫu lực chèn chính là RkP của phương pháp chuyển vị.
Tiếp tục biến đổi nút bị chốt bằng cách thay các liên kết mômen bằng các
ngẫu lực chèn tương ứng tại mỗi nút ta sẽ được hệ tương đương trên hình
(H.9.1.5c). Hệ này khác với hệ ban đầu là hệ có thêm các ngẫu lực chèn tại các nút.
Xét một hệ phụ lấy từ hệ ban đầu, trong đó chỉ chịu các ngẫu lực đặt tại các
nút. Các ngẫu lực này có giá trị bằng ngẫu lực chèn nhưng ngược chiều và được gọi
là mômen nút cứng (H.9.1.5d).
Theo nguyên lý cộng tác dụng thì:
Hệ ban đầu + ngẫu lực
chèn tại các nút cứng
(H.9.1.5c)
Hệ ban đầu chỉ chịu
mômen nút cứng
(H.9.1.5d)
Hệ ban đầu
H.9.1.5a
=
+
Như vậy, thay vì đi giải bài toán với hệ trên hình (H.9.1.5.a), ta đi giải bài
toán trên hình (H.9.5.1b) hoặc (H.9.5.1c) và (H.9.5.1d).
- Đối với hệ trên hình (H.9.5.1c) ta dễ dàng xác định được nội lực, đó chính
là nội lực do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là biểu đồ
(M Po ) của phương pháp chuyển vị.
- Đối với hệ trên hình (H.9.5.1d), ta tìm cách tính đúng dần. Cách thực hiện
như sau:
+ Lần lượt tháo từng chốt. Khi tháo từng chốt thì mômen nút cứng sẽ phân
phối vào nút đó và truyền vào các nút lân cận như đã trình bày trong bài toán sự
phân phối mômen xung quanh một nút. Và nút này sẽ xoay đến vị trí cân bằng mới.
+ Chốt lại nút này và chuyển sang nút khác và thực hiện tương tự.
Quá trình cứ tiến hành như vậy và lặp lại nhiều lần cho đến khi ta tháo tất cả
các chốt thì các nút không xoay nữa (mômen tại các nút đã cân bằng).Thực chất vẫn
chưa cân bằng nhưng giá trị của mômen uốn không cân bằng là không đáng kể. Lúc
này, ta dừng quá trình thực hiện và trạng thái đó là trạng thái cần tìm.
Mômen uốn tại các đầu thanh tương ứng chính là tổng đại số mômen phân
phối và mômen truyền tích luỹ trong các chu trình.
- Muốn tìm mômen uốn tại các đầu thanh nào của hệ đã cho ban đầu, ta lấy
tổng đại số mômen do tải trọng gây ra trên hệ có các nút bị chốt với mômen uốn do
mômen nút cứng gây ra trên các đầu thanh tương ứng.
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục trên hình (H.9.1.6.a). Cho
biết độ cứng trong tất cả các thanh là EJ = const.
1. Xác định độ cứng đơn vị quy ước của các thanh:
3 EJ 3EJ
EJ EJ
RAB
=
=
; RBC
=
=
.
4 lAB
16
lBC
3
EJ EJ
3 EJ EJ
RCD
=
=
; RDE
=
=
.
lCD
4
4 lDE
4
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 99
2. Xác định hệ số phân phối từng đầu thanh quy tụ vào nút:
- Tại nút B:
3EJ
EJ
16
3
;
γ BA
=
= 0,36 γ BC
=
= 0,64.
3EJ EJ
3EJ EJ
(
(
+
)
(
+
)
16
3
16
EJ
3
- Tại nút C:
EJ
3
4
;γ
=
= 0,429.
γ CB
=
= 0,577
CD
EJ EJ
EJ EJ
+
)
(
+
)
3
4
3
4
- Tại nút D:
EJ
4
EJ
4
;
γ DC
=
= 0,5 γ DE
=
= 0,5.
EJ EJ
EJ EJ
(
+
)
(
+
)
4
4
4
4
3. Xác định mômen nút cứng M* tại các đầu thanh do tải trọng gây ra:
Tra bảng cho các phần tử chịu tải trọng và xét dấu theo qui ước H.Cross.
M B*A = -2,25(T.m); M B*C = 0,9(T.m); M C*B = -0,9(T.m);
MC*D = 1(T.m); M D* C = -1(T.m); M D* E = 1,35(T.m).
4. Phân phối và truyền mômen:
Quá trình phân phối và truyền mômen được lập thành bảng. Bảng có thể
được lập như sau:
* Hàng thứ nhất ghi ký hiệu các nút và các đầu thanh có liên kết ngàm.
* Hàng thứ hai ghi ký hiệu những đầu thanh quy tụ tại nút tương ứng. Nút có
bao nhiêu thanh quy tụ thì có bấy nhiêu cột.
* Hàng thứ ba ghi các hệ số phân phối tương ứng với các đầu thanh quy tụ
vào nút.
* Hàng thứ tư ghi trị số mômen nút cứng tại các đầu thanh.
* Các hàng tiếp theo ghi kết quả phân phối và truyền mômen lần lượt tương
ứng với các nút được tháo chốt.
Với ví dụ trên quá trình được thực hiện như sau:
Chu trình 1:
- Tháo chốt nút B:
+ Mômen không cân bằng:
M B* = -2,25 + 0,9 = -1,35(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MBA = (-0,36).(-1,35) = 0,486(T.m)
MAB = 0.
1
MBC = (-0,64).(-1,35) = 0,864(T.m)
M CB = .0,864 = 0,432
2
- Chốt nút B, tháo chốt nút C:
+ Mômen không cân bằng:
MC* = -0,9 + 1 + 0,432 = 0,532(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MCB = (-0,571).0,532) = -0,3037(T.m)
MBC = -0,1519(T.m)
CƠ HỌC KẾT CẤU II
MCD = (-0,429).0,532 = -0,2282(T.m)
Page 100
MDC = -0,1141(T.m)
- Chốt nút C, tháo chốt nút D:
+ Mômen không cân bằng:
M D* = -1 + 0,35 - 0,1141 = 0,2359(T.m).
+ Mômen phân phối:
MDC = (-0,5).0,2359) = -0,1179(T.m)
MDE = (-0,5).0,2359 = -0,1179 (T.m)
Chu trình 2:
Mômen truyền:
MCD = -0,0589(T.m)
MED = 0.
- Tháo chốt nút B:
+ Mômen không cân bằng:
M B* = -0,1519(T.m).
* Nhận xét: Khi tháo chốt ở các nút trong chu kỳ thứ (i) nào đó thì nguyên
nhân làm cho nút không cân bằng là các mômen truyền từ các nút khác tới trong
chu trình thứ (i-1) chứ không phải do mômen phân phối.
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MAB = 0.
MCB = 0,0486(T.m)
MBA = (-0,36).(-0,1519) = 0,0546(T.m)
MBC = (-0,64).(-0,1519) = 0,0972(T.m)
- Chốt nút B, tháo chốt nút C:
+ Mômen không cân bằng:
MC* = 0,0486 - 0,0589 = -0,0103(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MCB = (-0,571).(-0,0103) = 0,0058(T.m)
MCD = (-0,429).(-0,0103) = 0,0044(T.m)
- Chốt nút C, tháo chốt nút D:
+ Mômen không cân bằng:
M D* = 0,0022(T.m).
MBC = 0,0029(T.m)
MDC = 0,0022(T.m)
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
1
MDC = (-0,5).0,0022= -0,0011(T.m)
MCD = .(-0,0011) = -0,0005(T.m)
2
MDE = (-0,5).0,0022= -0,0011 (T.m)
Chu trình 3:
MED = 0.
- Tháo chốt nút B
+ Mômen không cân bằng:
M B* = 0,0029(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MAB = 0.
MCB = -0,0009(T.m)
MBA = -0,36.0,0029 = -0,0010(T.m)
MBC = -0,64.0,0029 = -0,0018(T.m)
- Chốt nút B, tháo chốt nút C:
+ Mômen không cân bằng:
MC* = -0,0009 - 0,0005 = -0,0014(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MCB = (-0,571).(-0,0014) = 0,0008(T.m)
MCD = (-0,429).(-0,0014) = 0,0006(T.m)
- Chốt nút C, tháo chốt nút D:
+ Mômen không cân bằng:
MBC = 0,0004(T.m)
MDC = 0,0003(T.m)
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 101
M D* = 0,0003(T.m).
+ Mômen phân phối:
Mômen truyền:
MDC = (-0,5).0,0003= -0,00015(T.m)
MDE = (-0,5).0,0003= -0,00015(T.m)
MCD = -0,00007(T.m)
MDC = 0.
Các mômen phân phối đã khá nhỏ, ta có thể dùng quá trình tại đây. Kết quả
tính toán ta thể hiện trên bảng (B.9.1.2).
P = 3T
P = 2T
q = 1,2T/m
q = 1,2T/m
A
B
C
D
E
H.9.1.6a
2m
2m
3m
2m
2m
1,23
3m
1,71
0,72
M
(T.m)
2
1,35
H.9.1.6b
1,35
3
Nút
(Ngàm)
A
B
C
D
E
Đầu AB
BA
0,36
-2,25
BC
0,64
0,9
CB
0,571
-0,9
CD
0,429
1
DC
0,5
-1
DE
0,5
1,35
ED
γ
M*
B
C
D
B
C
D
B
C
D
0
0
0
0
0,486
0,864
0,432
-0,1519 -0,3037 -0,2282 -0,1141
-0,0589 -0,1179 0,1179
0
0
0,05476 -0,0972 0,0486
0,0029 0,0058 0,0044 0,0022
-0,0005 -0,0011 -0,0011
-0,0010 -0,0018 -0,0009
0,0004 0,0008 0,0006 0,0003
-0,00007 -0,00015 -0,00015 0
Mcc
-1,7102 1,7108 -0,7174 0,7173 -1,230
1,230
0
B.9.1.2 Bảng phân phối mômen.
Mômen uốn tại các đầu thanh trong hệ ban đầu sẽ bằng mômen uốn trong hệ
có các nút bị chốt ghi ở hàng thứ 4 trên bảng cộng với mômen uốn trong hệ chịu các
mômen nút cứng đặt tại nút cứng là tổng cá giá trị ghi từ hàng thứ 5 trở xuống.
5. Vẽ biểu đồ nội lực:
Sau khi đã biết mômen uốn tại các đầu thanh ta vẽ được biểu đồ (M) theo
cách đã biết như phương pháp treo biểu đồ chẳng hạn (H.9.1.6b).
6. Kiểm tra cân bằng nút:
Nút B: -1,7102 + 1,7108 = 0,0006 ≈ 0.
Nút C: -0,7174 + 0,7173 = -0,0001 ≈ 0.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Nút D: -0,1230 + 0,1230 = 0.
Page 102
* Chú ý:
- Ta luôn kiểm tra kết quả trong quá trình tính toán:
+ Tổng hệ số phân phối xung quanh một nút bằng đơn vị.
+ Tổng mômen phân phối bằng mômen nút cứng nhưng trái dấu.
- Theo kinh nghiệm, ta nên tháo chốt nút có mômen không cân bằng lớn nhất
làm nút khởi đầu.
- Trong trường hợp hệ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ hay chuyển vị
cưỡng bức của các gối tựa, cũng tính tương tự với cách tính trên, riêng ở bước xác
định mômen nút cứng M*, ta thực hiện giống như lúc vẽ biểu đồ (MZo ) , (Mto )của
phương pháp chuyển vị.
V. Tính hệ có nút chuyển vị thẳng:
Để đơn giản, ta đi tìm hiểu cách tính hệ trên hình (H.9.1.7a).Tuy nhiên, cách
lập luận vẫn tổng quát, áp dụng cho hệ bất kỳ.
Đưa hệ đã cho về hệ có nút không chuyển vị thẳng bằng cách đặt thêm hai
liên kết thanh vào ngang mức
hai tầng (H.9.1.7b).
∆
2
Để hệ mới làm việc
giống hệ ban đầu, ta cần gây ra
các chuyển vị cưỡng bức ∆1,
∆2 tương ứng với vị trí và
phương của liên kết thanh mới
thêm vào và thiết lập điều kiện
phản lực trong các liên kết
thanh này bằng không: R1 = 0;
R2 = 0.(*).
∆
1
=
∆
2
H.9.1.7a
H.9.1.7b
∆
1
=
+
+
H.9.1.7c
H.9.1.7e
H.9.1.7d
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta đưa hệ trên hình (H.9.1.7b) về ba hệ
thành phần:
- Hệ có nút không chuyển vị thẳng và chịu tải trọng (H.9.1.7c).
- Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng nhưng tại liên kết
đặt thêm vào tại tầng một chịu chuyển vị cưỡng bức ∆1(H.9.1.7d).
- Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng, nhưng tại liên kết
đặt thêm vào tầng hai chịu chuyển vị cưỡng bức ∆2 (H.9.1.7e).
Viết lại điều kiện (*):
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 103
R (P,∆ ,∆ ) = 0
R + R1∆1 + R1∆2 = 0
1
1
2
1P
→
R2 (P,∆1 ,∆2 ) = 0
R2P + R2∆1 + R2∆2 = 0
Trong đó:
RkP: phản lực tại liên kết k đặt thêm vào do tải trọng gây ra trong hệ có nút
không chuyển vị thẳng.
Rk∆m : phản lực tại liên kết k thêm vào do chuyển vị cưỡng bức tại liên kết m
có giá trị bằng ∆m gây ra.
Mặc khác, các chuyển vị ∆m là chưa biết, để thuận lợi cho việc tính toán, ta
biểu thị:
∆m = km.δm
δm: chuyển vị tại liên kết m, δm có thể chọn tuỳ ý (thường chọn bằng đơn vị),
còn km chưa biết giữ vai trò ẩn số.
Nếu gọi rkm là phản lực tại liên kết k do δm gây ra thì Rk∆m = rkm.km.
Thay vào hệ phương trình trên ta được:
R + r k + r k = 0
1P
11
1
12
2
R2P + r21k1 + r212 k2 = 0
Biểu đồ mômen cuối cùng trong hệ:
(M ) = (M P ) + (M∆1 ) + (M∆2 ) = (M P ) + k1.(M1 ) + k2 .(M2 ).
- (Mm ) là biểu đồ mômen uốn do chuyển vị δm gây ra trên hệ có nút không
chuyển vị thẳng;(M Po )là biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trên hệ có nút
không chuyển vị thẳng.
+ Biểu đồ (MP) ta dễ dàng vẽ được theo hệ có nút không có chuyển vị thẳng
và chỉ chịu tải trọng như ở phần phương pháp chuyển vị.
+ Biểu đồ (Mm ) cũng thực hiện như vẽ biểu đồ (MP) nhưng ở đây nguyên
nhân tác dụng là chuyển vị cưỡng bức là δm.
Vấn đề còn lại là đi xác định k1, k2. Cách thực hiện như sau:
- Sau khi vẽ được biểu đồ (MP), (Mm ) , ta sẽ xác định được rkm, RkP bằng cách
thực hiện mặt cắt, tách ra một hệ và xét cân bằng như lúc xác định các hệ số của
phương pháp chuyển vị tại liên kết thanh đặt thêm vào. Sau đó giải hệ trên ta sẽ
được k1, k2.
Trong trường hợp tổng quát, hệ có n nút chuyển vị độc lập:
- Phương trình thứ i của hệ xác định các ki:
RiP + r k1 + r k2 ..........r kn = 0;i = 1,n.
i11
i1 2
in
- Và (M ) = (M P ) + (M1 ).k1 + .............(Mn ).kn .
* Chú ý:
- Trường hợp hệ có thanh đứng không song song hay chịu tác dụng của
nguyên nhân biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa, nguyên tắc
tính toán vẫn không thay đổi. Tuy nhiên, cần chú ý vận dụng sơ đồ chuyển vị hay
giản đồ Williot khi xác định các mômen nút cứng.
- Nếu chọn δk = δm thì rkm = rmk.
Ví dụ : Vẽ biểu đồ nội lực của hệ cho trên hình (H.9.1.8a). Cho biết độ cứng
trong các thanh đứng là EJ, trong các thanh ngang là 2EJ.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 104
q = 2,4T/m
1. Xác định độ cứng đơn vị quy
ước của các thanh:
EJ
RAD = RBE = RCF
=
;
D
A
E
B
F
4
2EJ EJ
RDE = REF =
=
.
H.9.1.8a
4m
4
2
C
2. Xác định hệ số phân phối:
Nút
EJ
D:
4m
4
;
= 0,3333
γ DA
=
=
EJ EJ
+
2
4
EJ
2
γ DE
= 0,6666.
EJ EJ
+
2
4
Nút E:
EJ
EJ
EJ
4
2
2
;
;
γ ED
=
= 0,4 γ EF
=
= 0,4 γ EB
=
= 0,2.
EJ EJ EJ
EJ EJ EJ
EJ EJ EJ
+
+
+
+
+
+
2
4
2
2
4
2
2
4
2
EJ
4
EJ
2
Nút F:
;
γ FC
=
= 0,3333 γ FE
=
= 0,6666.
EJ EJ
EJ EJ
+
+
2
4
2
4
3. Tính hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu tải trọng. (H.9.1.8b)
- Xác định mômen nút cứng:
ql2 2,4.42
M D* E = −M E*D
=
=
= 3,2(T.m).
12
12
- Lập bảng phân phối mômen (B.9.1.3)
- Dựa vào kết quả của bảng tính, ta có thể vẽ được (M Po ).
- Xác định phản lực R1P: Thực hiện cắt ra khỏi hệ 1 phần như trên hình vẽ
(H.9.1.8c). Lực cắt tại các đầu thanh bị cắt được suy ra từ biểu đồ mômen (M Po ).
→ R1P = 0,367 – 0,522 – 0,122 = -0,277.
q = 2,4T/m
q = 2,4T/m
R1P
D
A
E
F
0,522
0,367
H.9.1.8c
0,122
B
C
H.9.1.8b
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 105
Nút
(Ngàm)
A
B
D
E
F
C
Đầu
thanh
γ
AD
BE DA
DE
ED
EB
0,2
EF
FE
FC
CF
0,3333 0,666
3,2
0,4
-3,2
0,4 0,6666 0,3333
M*
D
-0,533
-0,142
-0,018
-0,022
-1,066 -2,133 -1,066
0,853 1,706 0,853 1,706 0,853
-0,284 -0,568 -0,284 -0,142
-0,284 -0,568 -0,284
-0,037 -0,075 -0,037
-0,004 -0,009 -0,004
E
F
D
E
F
D
E
F
0,426
0,056
0,007
0,113 0,227 0,113 0,227 0,113
-0,037 -0,075 -0,037 -0,018
0,014 0,029 0,014 0,029 0,014
-0,004 -0,009 -0,004 -0,002
D
Mcc -0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162
B.9.1.3 Bảng phân phối mômen do tải trọng
4. Tính hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu chuyển vị cưỡng bức:
- Hệ số phân phối và hệ số truyền đã xác định ở mục 3.
- Xác định mômen nút cứng:
Chốt tất cả các nút và tra bảng cho các phần tử chịu chuyển vị cưỡng bức
(H.9.1.8d):
6EJ
l2
M D* A = M E*B = M F*C
=
.δ1
l 2
Nếu chọn δ =
thì M D* A = M E*B = M F*C = 1
6EJ
Suy ra được: M *AD = M B*E = MC*F = 1/ 2 .
- Lập bảng phân phối mômen (B.9.1.4)
- Dựa vào kết quả của bảng tính, ta có thể vẽ được ( ).
M 1
- Xác định phản lực r11:
Thực hiện cắt ra khỏi hệ 1 phần như trên hình vẽ (H.9.1.8d). Lực cắt tại các
đầu thanh bị cắt được suy ra từ biểu đồ mômen ( ).
M 1
→ r11 = 0,261 + 0,345 + 0,251 = 0,857.
5. Thay tất cả vào phương trình xác định k:
r11k1 + R1P = 0 → 0,877.k1 - 0,277 = 0 → k1 = 0,323.
δ
1
r
11
0,261
0,345
0,251
H.9.1.8d
H.9.1.8e
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 106
Nút
(Ngàm)
A
B
D
E
F
C
Đầu
thanh
γ
AD
BE
DA
DE
ED
EB
EF
FE
FC
CF
0,5
0,333 0,666 0,4
1
-0,333 -0,666 -0,333
0,2
1
0,4 0,666 0,333
1
M*
D
0,5
-0,166
0,5
E
F
-0,066
-0,133 -0,266 -0,133 -0,266 -0,133
-0,577 -0,288 -0,144
D
0,022
0,044 0,088 0,044
E
F
D
E
0,024
0,003
0,048 0,097 0,048 0,097 0,048
-0,015 -0,031 -0,015 -0,007
-0,008
-0,015 -0,031 -0,015
0,006 0,012 0,006 0,012 0,006
-0,002 -0,004 -0,002 -0,001
F
Mcc 0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348
B.9.1.4 Bảng phân phối mômen do δ1
6. Xác định mômen uốn tại các đầu thanh của hệ ban đầu:
Đầu
thanh
M Po
AD
BE
DA
DE
ED
EB
EF
FE
FC
CF
-0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162
0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348
0,112 0,149 0,225 -0,222 -0,149 0,297 -0,149 -0,222 0,213 0,112
M 1
.k
M 1
1
Mcc -0,583 0,638 -1,170 1,173 -2,778 1,277 1,488 0,106 -0,112 -0,50
B.9.1.5 Bảng xác định mômen trên hệ.
Sau khi đã xác định được mômen
uốn tại các đầu thanh, ta có thể vẽ được
biểu đồ (M). Xem hình (H.9.1.8f).
2,778
1,488
1,17
0,122
Sau khi đã vẽ được biểu đồ (M),
tiến hành biểu đồ lực cắt (Q) và lực dọc
theo nguyên tắc đã biết.
1,277
4,8
0,583
0,638
H.9.1.8f
M
(T.m)
0,50
14 trang
14000
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ học kết cấu II - Chương 9: Tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp đúng dần", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ket_cau_ii_chuong_9_tinh_he_sieu_tinh_bang.pdf
