Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 3: Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát
-37-
Ch−¬ng 3
Ma s¸t vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t
3.1. Ma s¸t tr−ît vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t
tr−ît
3.1.1. Ma s¸t tr−ît vµ c¸c tÝnh chÊt cña ma s¸t tr−ît
Thùc tiÔn cho thÊy bÊt kú vËt nµo chuyÓn ®éng tr−ît trªn bÒ mÆt kh«ng
nh½n cña vËt kh¸c ®Òu xuÊt hiÖn mét lùc c¶n l¹i sù tr−ît cña vËt gäi lµ lùc ma s¸t
r
tr−ît ký hiÖu Fms. Lµm thÝ nghiÖm biÓu diÔn trªn h×nh 3.1. VËt A ®Æt trªn mÆt
r
tr−ît n»m ngang vµ chÞu t¸c dông cña lùc P hîp víi ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc
r
r
r
r
α. Ph©n tÝch P thµnh hai thµnh phÇn P 1 vµ P 2 nh− h×nh vÏ. NhËn thÊy r»ng P 1
r
r
lu«n lu«n c©n b»ng víi ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N. Cßn lùc P 2 lµ lùc cÇn ®Ó ®Èy vËt
A tr−ît trªn mÆt.
r
Khi P kh«ng ®æi ta nhËn thÊy gãc α t¨ng th×
r
P 2 t¨ng. Trong giai ®o¹n ®Çu vËt A ®øng yªn trªn
r
N
r
r
mÆt B. Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt A cho thÊy P 2
P
r
P 1
α
r
r
Fms
b»ng lùc ma s¸t nh−ng ng−îc chiÒu. NÕu tiÕp tôc
t¨ng gãc α ®Õn mét trÞ sè ϕ th× vËt A b¾t ®Çu tr−ît.
P 2
r
Lùc ma s¸t lóc ®ã còng tiÕn tíi giíi h¹n Fn.
H×nh 3.1
TrÞ sè Fn = Ntgϕ
(3.1)
ë ®©y N = P1 lµ ph¶n lùc ph¸p tuyÕn cña mÆt tr−ît. Gãc ϕ gäi lµ gãc ma
s¸t; tgϕ = f gäi lµ hÖ sè ma s¸t. Tõ (3.1) cã thÓ kÕt luËn: lùc ma s¸t tr−ît lu«n
lu«n cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi chuyÓn ®éng tr−ît, cã trÞ sè tû lÖ thuËn
víi ph¶n lùc ph¸p tuyÕn (¸p lùc) cña mÆt tr−ît.
HÖ sè ma s¸t f ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm, nã phô thuéc vµo vËt liÖu
vµ tÝnh chÊt cña bÒ mÆt tiÕp xóc. B¶ng (3-1) cho ta trÞ sè cña hÖ sè ma s¸t tr−ît
®èi víi mét vµi vËt liÖu th−êng gÆp
-38-
B¶ng 3-1
Tªn vËt liÖu
HÖ sè ma s¸t
0,46 ÷ 0,6
0,62
§¸ tr−ît trªn gç
Gç tr−ît trªn gç
Kim lo¹i tr−ît trªn gç
§ång tr−ît trªn gang
§ång tr−ît trªn s¾t
ThÐp tr−ît trªn thÐp
0,62
0,16
0,19
0,15
Lùc ma s¸t xuÊt hiÖn trong giai ®o¹n vËt ë tr¹ng th¸i tÜnh gäi lµ ma s¸t
tÜnh. Lùc ma s¸t tÜnh t¨ng tõ kh«ng ®Õn trÞ sè giíi h¹n Fn = f0N. Lùc ma s¸t xuÊt
hiÖn trong giai ®o¹n vËt chuyÓn ®éng tr−ît ta gäi lµ lùc ma s¸t ®éng. Trong tr¹ng
th¸i tÜnh lùc kÐo (®Èy) vËt lu«n c©n b»ng víi lùc ma s¸t tÜnh cßn trong tr¹ng th¸i
chuyÓn ®éng lùc kÐo (®Èy) P2 võa ph¶i th¾ng ma s¸t ®éng võa ph¶i d− mét phÇn
®Ó t¹o ra chuyÓn ®éng cña vËt. NÕu gäi lùc ma s¸t ®éng cña vËt lµ Fmssd th× Fmsd =
fdN, trong ®ã fd gäi lµ hÖ sè ma s¸t ®éng. Qua nhiÒu thùc nghiÖm thÊy r»ng lùc
ma s¸t ®éng th−êng nhá h¬n mét chót so víi ma s¸t tÜnh giíi h¹n. HÖ sè ma s¸t
®éng kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo vËt liÖu vµ tÝnh chÊt bÒ mÆt tiÕp xóc cña vËt mµ
cßn phô thuéc vµo vËn tèc tr−ît cña vËt. Trong phÇn lín c¸c tr−êng hîp cho thÊy
khi vËn tèc t¨ng th× hÖ sè ma s¸t ®éng gi¶m vµ ng−îc l¹i. ThÝ dô hÖ sè ma s¸t
®éng gi÷a b¸nh ®ai lµm b»ng gang víi d©y ®ai phanh b»ng thÐp cã thÓ x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc:
1+ 0,0112v
1+ 0,006v
fd =
ft
Trong ®ã v lµ vËn tèc tr−ît tÝnh b»ng km/h cßn ft = 0,45 khi mÆt tiÕp xóc
kh« vµ ft = 0,25 khi mÆt tiÕp xóc −ít.
Trong tÜnh häc v× chØ xÐt bµi to¸n c©n b»ng nªn ma s¸t ph¶i lµ ma s¸t tÜnh.
-39-
3.1.2. Bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi chÞu ma s¸t tr−ît
XÐt vËt r¾n ®Æt trªn mÆt tùa (mÆt tr−ît). Gi¶ thiÕt vËt chÞu t¸c dông cña c¸c
r
r
r
r
lùc F1, F , ... Fn . C¸c lùc liªn kÕt bao gåm ph¶n lùc ph¸p tuyÕn Nj vµ lùc ma s¸t
2
r
Fmsj.
Khi vËt c©n b»ng ta cã hÖ lùc sau:
r
r
r
2
r
r
(F1, F , ... Fn , Nj, Fmsj) ∼ 0
j = 1 ....s lµ sè bÒ mÆt tiÕp xóc
§Ó vËt c©n b»ng ph¶i cã c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nh− ®· xÐt ë ch−¬ng 2.
Ngoµi c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ra ®Ó ®¶m b¶o vËt kh«ng tr−ît ph¶i cã c¸c ®iÒu
kiÖn:
Fnj ≤ foNj.
Fnj lµ lùc ®Èy tæng hîp.
Trë l¹i s¬ ®å (3.1) ta thÊy khi kh«ng cã tr−ît th×
Fms
tgα =
≤ fo = tgϕ
N
Ta cã thÓ ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît nh− sau:
r
§iÒu kiÖn ®Ó vËt kh«ng tr−ît lµ hîp lùc P t¸c dông lªn vËt n»m trong mÆt
nãn cã gãc ®Ønh 2ϕ ( ta gäi nãn nµy lµ nãn ma s¸t).Khi P n»m trªn nãn ma s¸t lµ
lóc s¾p x¶y ra sù tr−ît cña vËt A.
ThÝ dô 3.1: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn ®Ó
r
N
r
Fms
cho vËt A cã träng l−îng P n»m c©n b»ng
trªn mÆt nghiªng so víi ph−¬ng ngang mét
gãc β. HÖ sè ma s¸t tÜnh lµ fo (h×nh 3.2)
β
Bµi gi¶i: XÐt vËt A n»m c©n b»ng
trªn mÆt nghiªng d−íi t¸c dông cña c¸c lùc
r
r
r
(P , N, Fms) V× vËt cã xu h−íng tr−ît
H×nh 3.2
r
xuèng nªn lùc ma s¸t Fms lu«n lu«n h−íng
vÒ phÝa trªn nh− h×nh vÏ.
§Ó vËt c©n b»ng ph¶i cã:
-40-
r
r
r
(P , N, Fms) ∼ 0 vµ FN ≤ foN.
Gi¶ thiÕt r»ng vÞ trÝ ®ang xÐt lµ vÞ trÝ giíi h¹n gi÷a c©n b»ng vµ tr−ît th× lùc
ma s¸t Fms = Fn = foN. §iÒu kiÖn ®Ó hÖ lùc t¸c dông lªn hÖ vËt c©n b»ng lµ:
Fn = Ntgβ
MÆt kh¸c v× Fn ≤ Nf0. Suy ra tgβ ≤ fo.
Nh− vËy ®iÒu kiÖn ®Ó cho vËt c©n b»ng ph¶i lµ tgβ ≤ fo.
TrÞ sè cña gãc β = βo víi tagβo = fo chÝnh b»ng gãc ma s¸t ϕ.
ThÝ dô 3.2: Gi¸ treo vËt nÆng cã s¬ ®å nh− h×nh vÏ 3-3. VËt treo cã träng
l−îng P, hÖ sè ma s¸t tr−ît t¹i c¸c ®iÓm tùa A vµ B lµ fo. KÝch th−íc cho theo
h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho gi¸.
Bµi gi¶i:
Kh¶o s¸t sù c©n b»ng
y
r
r
F'
l
R
y A
ϕo
cña gi¸. Lùc t¸c dông lªn gi¸
r
N '
r
A
A
r
R B
ngoµi träng l−îng P cña vËt
r
F
h
h
A cßn cã ph¶n lùc ph¸p
tuyÕn vµ lùc ma s¸t ë ®iÓm
l
ϕo
r
N
B
B
r r
r r
x
tùa A vµ B lµ: N, N', F, F'
r
P
r
P
NÕu kho¶ng c¸ch l lµ
kh«ng ®æi, ®iÒu kiÖn c©n
b»ng cña gi¸ lµ:
a)
b)
H×nh 3.3
r r
r
r r
(P , N, N', F, F') ∼ 0
vµ F ≤ foN; F' ≤ foN'
T¹i vÞ trÝ giíi h¹n nghÜa lµ lóc s¾p xÈy ra sù tr−ît cña gi¸ trªn c¸c ®iÓm tùa
ta cã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nh− sau:
N- N' = 0;
(1)
(2)
F=foN
(4)
(5)
F + F' -P = 0
F' = foN'
-41-
N.h - F.dgh - P = 0;
(3)
ë ®©y dgh lµ kho¶ng c¸ch giíi h¹n cña hai ®iÓm tùa A vµ B cho phÐp øng
víi lóc b¾t ®Çu tr−ît.
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc:
N = N'
F = F';
P = 2foN;
h
h = fodgh + 2fol hay
dgh =
- 2l
fo
Kho¶ng c¸ch d cµng lín ¸p lùc N cµng lín vµ ma s¸t cµng lín, ®iÒu kiÖn
c©n b»ng cña gi¸ viÕt ®−îc:
h
dgh ≥
- 2l
fo
ThÝ dô 3.3: T×m ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît cña d©y ®ai quÊn trªn b¸nh ®ai trßn
cã kÓ ®Õn ma s¸t tr−ît víi hÖ sè fo (h×nh 3-4) , bá qua tÝnh ®µn håi cña d©y ®ai.
Bµi gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît cña d©y ®ai cã nghÜa lµ t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng
r
r
cña ®o¹n ®ai AB cña ®ai d−íi t¸c dông c¸c lùc T 1, T 2 (T2 > T1) c¸c ph¶n lùc
ph¸p tuyÕn N vµ c¸c lùc ma s¸t tr−ît F ph©n bè liªn tôc trªn cung AB.
Khi d©y ®ai s¾p tr−ît ta xÐt mét cung nhá ED trªn d©y ®ai. Bªn nh¸nh chñ
r
r
®éng cã lùc t¸c dông lµ T + ∆T cßn bªn nh¸nh
y
r
dθ
r
d N
phô ®éng lùc t¸c dông lµ T . Gäi ph¶n lùc ph¸p
r
r
r
(T +d T )
dF
r
D
R
dθ
r
T
tuyÕn lªn cung ®ai nµy lµ Nvµ lùc ma s¸t tr−ît
dθ
A
α
θ
lªn cung nµy lµ F ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng:
B
r
T 2
dθ
2
dθ
2
r
T 1
- T cos
+ (T+dT)cos
- F = 0
dθ
- N - Tsin
- (T- dT) = 0
2
H×nh 3.4
Trong ®ã F = fN. Bá qua c¸c v« cïng bÐ
-42-
bËc hai trë lªn ta ®−îc: F = dT vµ N = Tdθ. Thay gi¸ trÞ trªn vµo biÓu thøc F =fN
ta cã dT = f.T.dθ. TÝch ph©n hai vÕ t−¬ng øng víi cËn tõ A ®Õn B ta ®−îc
A
A
B
T2
lnT = foθ
hay ln
= f.α
B
T
1
α lµ gãc ch¾n cung AB gäi lµ gãc bao cña ®ai.
α
Suy ra: T2 = T1.ef
Lùc kÐo bªn nh¸nh chñ ®éng T2 cµng lín h¬n bªn nh¸nh bÞ ®éng th× kh¶
n¨ng tr−ît cµng nhiÒu do ®ã ®iÒu kiÖn ®Ó d©y kh«ng tr−ît ph¶i lµ:
α
T2 ≤ T1.ef
C«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ c«ng thøc ¬le
3.2. Ma s¸t l¨n vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt r¾n khi cã ma
s¸t l¨n
Ma s¸t l¨n lµ m« men c¶n chuyÓn ®éng l¨n cña vËt thÓ nµy trªn vËt thÓ kh¸c.
XÐt mét con l¨n h×nh trô b¸n kÝnh R träng l−îng P l¨n trªn mét mÆt ph¼ng
r
ngang, nhê lùc Q ®Æt vµo trôc con l¨n (xem h×nh 3.5). Trong tr−êng hîp nµy con
r
r
r
r
r
r
l¨n chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: P , Q , N, Fms. Trong c¸c lùc ®ã hai lùc Q vµFms
t¹o thµnh mét ngÉu lùc cã t¸c dông lµm cho con l¨n chuyÓn ®éng l¨n. Cßn l¹i hai
r
r
lùc P vµ Ntrong tr−êng hîp con l¨n vµ mÆt l¨n lµ r¾n tuyÖt ®èi th× chóng trïng
ph−¬ng.Trong thùc tÕ con l¨n vµ mÆt l¨n lµ nh÷ng vËt biÕn d¹ng hai lùc P vµ N
kh«ng trïng ph−¬ng lu«n song song vµ c¸ch nhau mét kho¶ng c¸ch k. Hai lùc
nµy t¹o thµnh mét ngÉu lùc cã t¸c dông c¶n l¹i sù l¨n cña con l¨n. M« men cña
r
r
ngÉu (P , N) ®−îc gäi lµ m« men ma s¸t l¨n. NÕu ký hiÖu m« men ma s¸t l¨n lµ
Mms th× Mms = kN.
Gäi k lµ hÖ sè ma s¸t l¨n. Kh¸c víi hÖ sè ma s¸t tr−ît hÖ sè ma s¸t l¨n k
cã thø nguyªn lµ ®é dµi.
-43-
HÖ sè ma s¸t l¨n ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm, nã còng phô thuéc vµo
tÝnh chÊt vËt liÖu vµ bÒ mÆt l¨n, kh«ng phô thuéc vµo lùc N. Sau ®©y lµ hÖ sè ma
s¸t l¨n cña mét vµi vËt th−êng gÆp.
VËt liÖu
HÖ sè k (cm)
0,05 ÷ 0,08
0,005
Gç l¨n trªn gç
ThÐp l¨n trªn thÐp
Gç l¨n trªn thÐp
Con l¨n thÐp trªn mÆt thÐp
0,03 ÷ 0,04
0,001
r
r
r
Q
N
r
Q
N
C
C
k
r
F
r
F
B
A
A
r
r
P
P
a)
b)
H×nh 3.5
Bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t l¨n ngoµi ®iÒu kiÖn hÖ lùc t¸c
dông lªn hÖ kÓ c¶ c¸c ph¶n lùc vµ lùc ma s¸t c©n b»ng cßn ph¶i thªm ®iÒu kiÖn
kh«ng cã l¨n biÓu diÔn bëi ph−¬ng tr×nh:
Mms ≥ Q.R
r
N
r
P 1
C
r
F
ThÝ dô 3.4: T×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña con l¨n
träng l−îng P, b¸n kÝnh R n»m trªn mÆt ph¼ng nghiªng mét
gãc α. Cho hÖ sè ma s¸t l¨n lµ k. (xem h×nh 3-6)
r
P 2
α
r
P
Bµi gi¶i:
r
XÐt con l¨n ë vÞ trÝ c©n b»ng. Ph©n tÝch P thµnh hai
H×nh 3.6
r
r
lùc P 1, P 2 nh− h×nh vÏ (3-6).
Ta cã ®iÒu kiÖn ®Ó con l¨n kh«ng l¨n lµ:P1.R = R.P.sinα ≤ P2.k = P cosα
k
Hay
R.P.sinα ≤ P.cosα. tgα ≤
R
-44-
k
Nh− vËy ®iÒu kiÖn ®Ó con l¨n c©n b»ng lµ: tgα ≤
R
ThÝ dô 3.5: VËt h×nh trô cã träng l−îng P b¸n kÝnh R n»m trªn mÆt ph¼ng
nghiªng mét gãc α. Khèi trô chÞu t¸c dông lùc ®Èy Q song song víi mÆt ph¼ng
nghiªng. T×m ®iÒu kiÖn khèi trô ®øng yªn trªn mÆt ph¼ng nghiªng vµ ®iÒu kiÖn ®Ó
nã l¨n kh«ng tr−ît lªn phÝa trªn. HÖ sè ma s¸t l¨n lµ k vµ hÖ sè ma s¸t tr−ît lµ f.
y
y
r
Q
r
Q
O
r
P
r
O
r
P
r
x
x
N
N
r
Fms
A
M
r
A
M
Fms
α
α
a)
b)
H×nh 3.7
Bµi gi¶i:
§iªï kiÖn ®Ó khèi trô c©n b»ng trªn mÆt ph¼ng nghiªng lµ :
r
r
r
r
r
(P , Q , N, Fms, M ms) ∼ 0
MÆt kh¸c ®Ó khèi trô kh«ng l¨n (h×nh3.7a ) kh«ng tr−ît xuèng ph¶i cã
thªm ®iÒu kiÖn:
Mms ≤ k.N;
Fms ≤ f.N
Nh− vËy ph¶i tho¶ m·n c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
∑Xi = Q - Psinα + Fms = 0;
∑Yi = - Pcosα +N = 0;
∑mA = P.R.sinα - Q.R - Mms = 0
Fms ≤ f.N
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
M ms≤ k.N
-45-
Tõ ba ph−¬ng tr×nh ®Çu t×m ®−îc:
N = Pcosα ; Fms = Psinα - Q ; Mms = R(Psinα - Q)
Thay c¸c kÕt qu¶ vµo hai bÊt ph−¬ng tr×nh cuèi ®−îc:
P.sinα - Q ≤ f.Pcosα ;
R(Psinα-Q) ≤ k.Pcosα
Hay: Q ≥ P(sinα - f.cosα)
k
Q ≥ P(sinα - cosα)
R
k
Th−êng th×
< f do ®ã ®iÒu kiÖn tæng qu¸t lµ:
R
Q
P
k
≥ sinα - cosα ≥ sinα - f.cosα
R
§Ó vËt l¨n kh«ng tr−ît lªn ( h×nh3.7b ) ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn:
∑xi = Q-Psinα + Fms = 0;
∑yi =- Pcosα +N = 0;
∑mA = P.sinα - Q.R + Mms = 0;
Fms ≤ f.N
(1')
(2')
(3')
(4')
(5')
M ms≥ k.N
BÊt ph−¬ng tr×nh (4') ®¶m b¶o cho vËt chuyÓn ®éng cã tr−ît lªn. Cßn bÊt
ph−¬ng tr×nh (5') ®¶m b¶o cho con l¨n cã kh¶ n¨ng l¨n lªn trªn.
Tõ 3 ph−¬ng tr×nh ®Çu ta ®−îc:
N = Pcosα;
Fms = Q - Psinα ;
Mms = R(Q-Psinα)
Thay thÕ vµo hai ph−¬ng tr×nh cuèi ta ®−îc:
Q - Psinα ≤ f.P.cosα;
R(Q-Psinα) ≥ kPcosα.
VËy ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô l¨n kh«ng tr−ît lªn trªn lµ:
k
Q
P
sinα + cosα ≤
< sinα + f cosα.
R
k
§iÒu nµy nãi chung cã thÓ ®−îc nghiÖm v×
th−êng nhá h¬n f.s
R
9 trang
20820
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 3: Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_chuong_3_ma_sat_va_bai_toan_can.pdf
