Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt (Phần 2) - Nguyễn Bốn
nhiÖt sÏ kÕt hîp c¶ 3 ®iÒu kiÖn biªn
dtije
3. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ
, sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
dτ
®¹i sè cña tije, k+1, víi n Èn sè.
Zl
+1
z
q
∆
ri+1
H31. Sai ph©n bµi to¸n trô t(π,ϕ,z,τ)
Dïng xÊp xØ Euler: tijek+1 = tije + dtije ⎢k∆τ,
k
dτ
®Æt = δi, = δ, ∆ϕ = γ vµ F = a∆τ , ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè:
∆
ri
∆
R
2
∆
δi
2
δi
γ
1
δ2
⎧
⎩
tijek+1 = F (1− )ti-1je+( )2 tij-1e+tije-1+( -4-2 )tije
⎨
F
γ2
+ tije+1+( δγi ) tij+1e+ (1+ δ2i )ti+1je
∀(ije)∈ V
⎫
⎬
⎭
k
⎧
δ2
2
tijek+1 = F⎪⎨
t +
R-ije
tRj-1e+tRje-1+[ 1
.
⎪
2 − δ
− 4 −
(t)
δ
γ2 (1− )
4
δ
4
F
δi
4
(1− )
⎪
1−
⎪
⎩
2
⎫
δ
4
δ2
2BF
( δ - -B)]tRje+tRje+1
+
tRj+1e
+
tf, ∀(ije)∈ W3
⎬
⎭
γ2
δ
4
δ
γ2 (1− )
k
(1− )
4
vµ c¸c ph−¬ng tr×nh cã nót trªn biªn, c¹nh, gãc, kh¸c.
2
D¹ng ma trËn:[t]k+1 = F{A[t]+[tw1]+[ 2∆ q]+[2Btf]+[ ∆ qv]}k nh− trªn
a
λ
víi A lµ ma trËn hÖ (nxn), c¸c ma trËn kh¸c lµ ma trËn cét (nx1).
65
5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn:
5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh:
- §Þnh nghÜa:
Tm
n
1. Ph−¬ng tr×nh F(T ,
) = 0 cã n ≠ 1 hoÆc m ≠ 1 gäi lµ ph−¬ng
x
tr×nh phi tuyÕn tÝnh
2. §iÒu kiÖn biªn ®−îc m« t¶ bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi
tuyÕn gäi lµ ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn
- VÝ dô: ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, khi mÆt v¸ch tiÕp xóc chÊt khÝ hoÆc
ch©n kh«ng, trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng chñ yÕu b»ng bøc x¹, x¸c
®Þnh nhê ®Þnh luËt Stefan-Boltzmann, th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt
trªn biªn cã d¹ng:
T4
4
-λTx (W,τ) = εwσ0[T (W,τ)-
]
f
§ã lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n (hay ®iÒu kiÖn biªn) phi tuyÕn
tÝnh. NÕu W tiÕp xóc m«i tr−êng ch©n kh«ng v« h¹n ngoµi vò trô th×
coi Tf = 3.K hoÆc gÇn ®óng, coi Tf = O.K
Ch¼ng h¹n, tr−êng hîp mÆt W cã nhiÖt ®é TW lín, trao ®æi nhiÖt
phøc t¹p víi kh«ng khÝ hoÆc ch©n kh«ng, hay v¸ch T§N phøc t¹p víi
s¶n phÈm ch¸y cã Tf lín, lµ c¸c bµi to¸n biªn phi tuyÕn
5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn
1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng réng ∞, dµy δ = L cã (a, λ)
kh«ng ®æi (hoÆc phô thuéc (M,τ)), nhiÖt ®é ban ®Çu T(x,0) = Ti[K],
mÆt x = δ ®−îc c¸ch nhiÖt , mÆt x = 0 tiÕp xóc ch©n kh«ng cã nhiÖt ®é
Tf vµ T§N bøc x¹ ra m«i tr−êng nµy. T×m ph©n bè t(x,τ) khi τ > 0.
2. M« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n lµ:
66
t
Tτ = aTxx
T(x,0) = Ti
δ
δ
T
x
= 0
Tf
(t)
a
λ
2
− εσ0
s
T4
[ -T (0,τ)]
4
4
4
Tx(0,τ)=
ε∂
f
q = (Tf - To )
0
1
3
4
λ
S
Tx(0,τ) = 0
x
NhËn xÐt: bµi to¸n nµy cã cïng
mét m« h×nh TH víi bµi to¸n biªn
thuÇn nhÊt, khi v¸ch dµy 2δ vµ T§N
O
L
H32. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn
bøc x¹ víi hai m«i tr−êng khÝ ®ång chÊt, cã cïng nhiÖt ®é Tf.
3. Gi¶i b»ng FDM.
L
L
4
1. Chia chia chiÒu dµy δ = L ra c¸c kho¶ng ∆x = , vÝ dô ∆x =
n
t¹o ra 5 phÇn tö cã 5 nót lµ i, (i = 0÷4)
2. Sai ph©n theo x: ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lµ:
- Trªn biªn bøc x¹ xi = 0:
dTo
ρcS ∆x
= εσ0(Tf4 - T04 )S - ∆x (T0-T1)S →
λ
2 2dτ
dTo
2εσ0
ρc∆x (Tf4 - T04 ) -
2λ
ρc∆2x
=
(T0-T1)
2dτ
T
NÕu chuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt
θ =
Ti
∆x
L
x
X = → ∆X =
L
aτ
λτ
F =
=
cρL2
L2
T a
∂θ
∂F
∂θ
∂F
∂τ
∂T
∂T
i
Th× do
= . . =
.
nªn:
∂τ ∂θ ∂F
dθ0 L2 dT0
dF aT dτ
L2
2εσ0L2
2λL2 (T0 − T4 )
(T4 − T04 ) −
hay
=
.
=
f
λ
λ
(L∆x)2 aTi
i
Ta(L∆x)
i
a
a
67
εσ0 .LT3
εσ0 .LT3
λ∆X
dθ0
⎡
1
∆Xθ3
⎤
i
.θf4
i
=
-2(1+
0 )θ0+2θ1 +2
⎢
dF (∆X)2
⎥
λ
⎣
⎦
εσ0 .LT3
i
NÕu ®Æt R=
lµ ®¹i l−îng kh«ng thø nguyªn, ta cã:
λ
2R
1
θf4
, ∈ W6
θ0F=
θiF=
θ2F=
θ3F=
θ4F=
[-2(1+R∆X.θ30 )θ0+2θ1]+
[θ0- 2θ1+θ2]
(∆X)2
∆X
1
(∆X)2
1
(θF)
[θ1- 2θ2+θ3]
[θ2- 2θ3+θ4]
[2θ3- 2θ4]
∈V
(∆X)2
1
(∆X)2
1
∈W20
(∆X)2
∆F
(∆X)2
3. XÊp xØ Euler θk+1= θk+θFk∆F, ®Æt
= p ta cã hÖ ph−¬ng
tr×nh ®¹i sè, viÕt ë d¹ng ma trËn nh− sau:
θ0,k+1= [1-2p(1+R∆Xθ30 ]θ0,k+2pθ1,k+2pR∆Xθf4
(θi)
θi,k+1= pθi-1k+(1-2p)θik+pθ1+1,k
θ4,k+1= 2pθ3,k+(1-2p)θ4,k
víi i = 1,2,3
( Víi biªn c¸ch nhiÖt θX = 0, do ®èi xøng, coi θi-1 = θi+1)
4. ChuyÓn hÖ (θi) sang d¹ng ma trËn, cã:
2p
[1-2p(1+R
∆
X
θ30
]
2pR
∆
0
0
0
0
X
θf4
θ0
θ1
θ2
θ3
θ4
θ0
θ1
θ2
θ3
θ4
p
(1-2p)
p
p
(1-2p)
p
p
=
+
(1-2p)
2p
p
(1-2p)
k+1
k
k
Thay ®iÒu kiÖn ®Çu lóc τ = 0 (tøc F = 0) theo θ(X,0) = 1 vµo
68
[θ]k=0 tÝnh phÇn tö bøc x¹ cña ma trËn [1-2p(1+R∆Xθ30k ] theo θ0,0 = 1,
ta tÝnh ®−îc [θ]k=1. LÆp l¹i chu tr×nh nµy, tÝnh ®−îc [θ]k=2, ...v. v
5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn:
NÕu thay §KB t¹i x = L cña bµi to¸n t¹i H.32 bëi ®iÒu kiÖn biªn
lo¹i 3, ta cã bµi to¸n sau:
t
Tτ = aTxx
T(x,0) = Ti
Tf1
(t)
a
λ
2
− εσ0
s
[Tf41 -T4(0,τ)]
ε∂
4
4
Tx(0,τ) =
Tx(L,τ) =
q = (Tf1- To )
0
1
3
4
α
Tf2
λ
α
[T(L,τ)-Tf2]
x
− λ
δ
O
Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i t−¬ng
tù nh− trªn, chØ kh¸c ph−¬ng
tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho nót
biªn W2 lµ:
H33. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt KOD
phi tuyÕn tÝnh
∆x
2
λ
∆x
α∆x
λ
αL
λ
pc
T4τ =
(T3-T4)-α[T4-Tf2] hay víi B =
=
∆X →
2B
(∆X)2
1
θF=
[2T3-2(1-B)T4]+
Tf2
(∆X)2
XÊp xØ Euler dÉn tíi ph−¬ng tr×nh:
θ4k+1= 2pθ3+[1-2(1-B)]θ4+2pBθf2
Do ®ã, d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ:
θ30
]
θ0
2pR
0
∆X
θf4
2p
θ0
[1-2p(1+R
p
∆
X
(1-2p)
p
p
θ1
θ2
θ3
θ4
θ1
θ2
θ3
θ4
=
(1-2p)
p
p
+ 0
(1-2p)
0
p
[1-2p(1-B)
2p
2B2pθf2
k
k+1
Ph−¬ng tr×nh nµy còng ®−îc gi¶i víi ®iÒn kiÖn ®Çu θ (X,0) = 1
Bµi to¸n nµy cã thÓ ¸p dông ®Ó tÝnh nhiÖt cho v¸ch èng sinh h¬i
69
cña lß h¬i, khi nã nhËn nhiÖt BX tõ buång löa vµ trao cho n−íc trong
lß.
ViÖc chän ∆τ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn æn ®Þnh lµ :
min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R∆θ30 ]} > 0
tøc lµ: 1-2p(1+ R∆Xθ30 > 0 →
∆F
(∆X)2
θ3
1-2
(1+R∆X ) > 0 tøc ph¶i chän;
0
(∆X)2
2[1+ R∆X(maxθ30 )]
Tf1
∆F <
, víi max θ0 =
Ti
2
∆
x
,[s]
L2∆xεσ0
NghÜa lµ cÇn chän ∆τ <
2a(1+
Tf31 )
λ
Khi gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ph¶i th−êng xuyªn tÝnh l¹i sè h¹ng
θ3
®Çu [1-2p(1+R∆ )] theo θ sau mçi b−íc.
0
k
0, k
70
Ch−¬ng 6
ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n
finite element method (FEM)
6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n
6.1.1. Néi dung FEM.
T− t−ëng cña FEM lµ thay bµi to¸n gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
(t) b»ng mét bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng, tøc lµ t×m hµm sè t lµm cùc
tiÓu mét phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t).
Bµi to¸n biÕn ph©n ®−îc gi¶i gÇn ®óng nhê phÐp xÊp xØ tÝch ph©n
b»ng c¸ch thay hµm t(x,y,z,τ) bëi mét hÖ M hµm thêi gian tn(τ) t¹i c¸c
nót (®Ønh) cña mét sè h÷u h¹n E phÇn tö t¹o ra vËt cÇn xÐt.
KÕt qu¶ cho biÕt, ®Ó cùc tiÓu biÕn hµm I, hµm t ph¶i t×m cÇn tho¶
m·n hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 nh− sau:
d
C dτ [t] = -(K+H)[t] + (h+q)
Trong ®ã C, K, H lµ c¸c ma trËn vu«ng (MxM) cña c¸c hÖ sè nhiÖt
dung C, dÉn nhiÖt λ, to¶ nhiÖt α, cßn h, q lµ c¸c ma trËn cét (Mx1)
cña c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é m«i tr−êng tf vµ dßng nhÞªt q qua biªn lo¹i 2,
t
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
1
..
[t] =
lµ ma trËn cét (Mx1) cña c¸c nhiÖt ®é nót.
⎢
⎣
⎥
⎦
t M
&
t
NÕu bµi to¸n (t) lµ æn ®Þnh ,
= 0, hµm t ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ
ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: (K+ H) [t] = h + q.
NÕu bµi to¸n (t) kh«ng æn ®Þnh, th× sau khi sö dông phÐp sai ph©n
thêi gian, ta thu ®−îc mét hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, cho phÐp x¸c
®Þnh t theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM
§Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) theo FEM, cã thÓ tiÕn hµnh c¸c
b−íc nh− sau:
71
1. X¸c ®Þnh phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t).
Tr−êng hîp bµi to¸n t víi biªn lo¹i 1, 2, 3 tæng qu¸t, phiÕm hµm
I sÏ cã d¹ng tÝch ph©n sau:
t2
I[t(x,y,z)] = f(x,y,z,t,tx,ty,tz) dV + (qt + α )dw
∫
∫
2
v
w
Víi W lµ biªn cña vËt V, cßn d¹ng hµm f x¸c ®Þnh theo bµi to¸n
(t) vµ ®Þnh lý Euler-Lagrange vÒ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm.
§iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I lµ biÕn ph©n δI = 0.
t
t(x,
y, =
con
st)
τ
t
ζ
21 k
fi
f(e)
S
3
i
e
k
O
W
H. 32 Ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e hai chiÒu
2. M« t¶ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 ë d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
th−êng cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót (hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè khi (t)
lµ bµi to¸n æn ®Þnh). B−íc nµy cã thÓ chia ra c¸c b−íc nhá nh− sau:
2.1. Chia V (hoÆc S, hoÆc δ) ra mét sè h÷u h¹n phÇn tö cã d¹ng
khèi tø diÖn (hoÆc tam gi¸c, hoÆc ®o¹n ∆x) bëi hÖ thèng M ®iÓm nót
(coi lµ ®Ønh phÇn tö). §¸nh sè thø tù vµ ghi ®Þa chØ nót theo to¹ ®é (i, j,
k) cña mçi nót.
2.2. Gi¶ thiÕt r»ng: T¹i mét thêi ®iÓm τ bÊt kú, ph©n bè nhiÖt ®é
t(e) trong phÇn tö e lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c nhiÖt ®é nót (tøc cã
d¹ng mÆt ph¼ng qua 3 ®iÓm ti, tj, tk), vµ x¸c ®Þnh ph©n bè t(e) nh− hµm
tuyÕn tÝnh cña c¸c biÕn, cã d¹ng f(x,y,ti,tj, tk) = t(e) (xem H.32)
72
2.3. XÊp xØ tÝch ph©n I nh− lµ tæng c¸c tÝch ph©n I(e) trªn mçi ph©n
E
tö (e): I =
I(e)
∑
e=1
Cho thÊy I = I(t1, t2,..., tM) lµ phiÕm hµm cña M hµm nhiÖt ®é nót
dI
ti(τ) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 trë thµnh
= 0,
d[t]
dIe
t
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
E
1
dI
víi [t] =
tøc
=
d[t] = 0
∑
..
d[t]
e=1
⎢
⎣
⎥
⎦
t M
2.4. Dïng phÐp biÕn ®æi ma trËn ®Ó ®−a ®iÒu kiÖn trªn vÒ d¹ng:
dI
&
t
d[t] = K[t] + C[ ] + H[t] - h - q = 0
dt
&
t
§ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cña t vµ =
dτ
&
t
3. NÕu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, [ ] ≠ 0, tiÕp tôc dïng phÐp sai
ph©n thêi gian, chuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n theo dτ thµnh hÖ
ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu.
B−íc 1, 2 vµ 3 cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ cho m¸y tÝnh thùc hiÖn:
6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM:
- Còng nh− FDM,FEM cã kh¶ n¨ng gi¶i mäi bµi to¸n biªn bÊt kú,
cã ®iÒu kiÖn vËt lý vµ ®iÒu kiÖn ®Çu cho tïy ý, víi ®é chÝnh x¸c cao
tuú ý.
- FEM rÊt tiÖn lîi khi hÖ vËt cã biªn d¹ng kh«ng quy t¾c, v× khi ®ã
chØ cÇn ghi ®i¹ chØ c¸c nót biªn, kh«ng cÇn tÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch
mÆt c¸c phÇn tö nh− trong FDM.
- Khi biªn di ®éng (bµi to¸n biªn lo¹i 5), c¶ FDM, FEM sÏ trë nªn
phøc t¹p.
6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n
C¬ së cña FEM lµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña hµm sè vµ phiÕm hµm
cïng phÐp xÊp xØ tÝch ph©n.
6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn)
- Theo phÐp tÝnh vi ph©n, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm u = u(x) ®¹t
73
du
cùc tiÓu t¹i x lµ: = 0 vµ
dx
d 2 u
dx 2
> 0
- §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó u = u(x,y) ®¹t cùc tiÓu t¹i (x,y) lµ:
u = 0, u = 0
⎧
⎪
⎪
⎩
x
y
⎨
u > 0, (u u − u2 ) > 0
xy
xx
xx yy
- Tæng qu¸t, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm n biÕn u = u(x1, x2,...,xn) ®¹t
cùc tiÓu lµ tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm riªng u theo lÇn l−ît c¸c biÕn ®Òu triÖt
tiªu, tøc:
∂u
∂xi
= 0, ∀i = 1 ÷ n. Sau ®©y sÏ dïng ký hiÖu "A ∆ B", cã nghÜa lµ " B
®−îc ®Þnh nghÜa lµ A".
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
x1
§Þnh nghÜa mét ma trËn cét [x] ∆ x2 , ®iÒu kiÖn trªn cã thÓ viÕt ë
⎢
⎥
..
⎢
⎣
⎥
⎦
xn
∂u
∂x1
∂u
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
0
∂u
∂u
∂[x]
⎢ ⎥
d¹ng:
= 0hay cô thÓ ,
∆
=
∂x2
⎢ ⎥
∂[x]
⎢ ⎥
...
⎢... ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥
∂u
∂xn
⎢ ⎥
0
⎢
⎣
⎥
⎦
⎣ ⎦
Sau ®©y ta chØ quan t©m tíi ®iÒu kiÖn cÇn nãi trªn, cßn ®iÒu kiÖn
®ñ ®Ó ®¹t cùc tiÓu ®−îc x¸c ®Þnh bëi néi dung cña bµi to¸n biÕn ph©n
cô thÓ. Trong kü thuËt, viÖc cùc tiÓu phiÕm hµm I[t], t−¬ng øng viÖc
x¸c ®Þnh hµm t sao cho sai sè cùc tiÓu, so víi hµm t x¸c ®Þnh chÝnh
x¸c theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng.
6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n:
- §Ó xÊp xØ mét tÝch ph©n, ta chia miÒn tÝch ph©n ra c¸c phÇn tö
h÷u h¹n vµ gi¶ thiÕt r»ng, hµm tÝch ph©n thay ®æi tuyÕn tÝnh trong mçi
phÇn tö. Cô thÓ, coi hµm F(x) lµ ®−êng th¼ng trong phÇn tö mét chiÒu
74
t
∆x = xj - xi , hµm F(x,y) lµ mÆt ph¼ng
trong phÇn tö tam gi¸c 2 chiÒu ∆e, hµm
F(x,y,z) lµ tuyÕn tÝnh víi c¸c biÕn täa
®é (xi, yj, zk) t¹i 4 ®Ønh cña tø diÖn.
F(x)
1
2
(Fi + fj)
- Nhê c¸ch chia vµ gi¶ thiÕt nãi
trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh tÝch ph©n I nh−
(1) (2)
(e)
(E)
x
o
x1
xi x
xM
tæng c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch
∆x j
E
ph©n trªn mçi phÇn tö I = I(e)
∑
H.33. §Ó xÊp xØ tÝch ph©n I
e=1
- VÝ dô: BiÓu thøc xÊp xØ tÝch ph©n trªn E = 5 phÇn tö ë h×nh H.33.
E
E
xM
F + Fj
i
I(e)
F(x)dx
I =
lµ I =
=
(xj-xi)
∑
∑
∫
x1
2
e=1
e=1
víi Fi = F(xi), Fj = F(xj), (Fi+Fj)/2 lµ trÞ trung b×nh cña F(x) trªn
e
∆
phÇn tö (e) cã kÝch th−íc x = xj-xi
∆
NÕu chän xij xj - xi = ∆, M = 4, E = 5 th× ta cã:
=
xM
∆
2
= ∆2 (F1+2F2 + 2F3 + 2F4 + F5)
F(x)dx =
(F + F )e
∑
i
j
∫
x1
6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory)
(Cã thÓ tham kh¶o tµi liÖu: Variationoe istrislenie cña L.E.Elgols).
6.3.1. PhiÕm hµm
- Kh¸i niÖm: PhiÕm hµm lµ mét ®¹i l−îng biÕn thiªn mµ trÞ sè cña
nã phô thuéc vµo mét hay mét vµi hµm sè nµo ®ã.
Ký hiÖu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u1(x), [u2(x)] v.v
- §inh nghÜa: ®¹i l−îng biÕn thiªn v ®−îc gäi lµ phiÕm hµm phô
thuéc hµm sè y(x), (y(x) gäi lµ ®èi thøc), ký hiÖu lµ ν = ν[y(x)], nÕu
øng víi mçi hµm y(x)thuéc mét líp hµm nµo ®ã, cã mét gi¸ trÞ ν x¸c
®Þnh. T−¬ng tù ®Þnh nghÜa phiÕm hµm ν = ν [t(x,y)] hoÆc ν =
ν [u1(x),u2(x)], ...v.v
- PhiÕm hµm th−êng lµ mét tÝch ph©n cña mét hµm F nµo ®ã trªn
mét miÒn x¸c ®Þnh cho tr−íc.
75
VÝ dô:
+ C«ng mµ hÖ thùc hiÖn trong mét qu¸ tr×nh p = p(v) bÊt kú gi÷a
v2
p(v)
hai tr¹ng th¸i (p1, v2), (p2,v2) lµ phiÕm hµm l = l[p(v)] =
dv
∫
v1
+ NhiÖt l−îng do hÖ trao ®æi trong qu¸ tr×nh bÊt kú T = T(s) gi÷a
s2
T(s)
hai tr¹ng th¸i (T1,s1), (T2, s2) lµ phiÕm hµm q = q[T(s)] =
ds.
∫
s1
+ §é dµi ®−êng cong y(x) bÊt kú qua 2 ®iÓm (x0,y0) (x1,y1) lµ
x2
1+ y'2 dx
phiÕm hµm l = l[y(x)] =
∫
x1
6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n:
- Lý thuyÕt biÕn ph©n lµ mét ngµnh cña to¸n häc chuyªn nghiªn
cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña c¸c phiÕm hµm. Nã cho phÐp t×m
®−îc mét hoÆc mét sè hµm sè lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm ®· cho.
- Bµi to¸n biÕn ph©n lµ bµi to¸n t×m cùc tiÓu cña mét phiÕm hµm
cho tr−íc, phô thuéc mét vµi hµm sè ch−a biÕt. PhÐp tÝnh biÕn ph©n
y
cho phÐp t×m ®−îc c¸c hµm sè nµy.
- VÝ dô: c¸c bµi to¸n biÕn ph©n tiªu biÓu:
1. T×m mÆt cùc tiÓu:
y(x)
T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm
(x0,y0) (x1,y1) cho tr−íc, ®Ó khi quay
quanh Ox t¹o ra mÆt cã diÖn tÝch cùc tiÓu.
x
O
S
xo
x1
z
H.34. Bµi to¸n t×m mÆt cùc tiÓu
Ph¸t biÓu biÕn ph©n cña bµi to¸n
y
(1) lµ t×m cùc tiÓu cña
phiÕm
x1
hµm:S[y(x)] =
1+ y'2 dx
∫
x0
y(x)
v
ds
g
2. T×m ®−êng ®o¶n thêi:
dx
T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm
A(x0,y0), B (x1,y1) cho tr−íc ®Ó chÊt
®iÓm l¨n kh«ng ma s¸t trªn nã tõ A ®Õn
B tèn Ýt thêi gian nhÊt.
x
O
xo
x1
H35. BT ®−êng ®o¶n thêi
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, t×m thÊy quan hÖ τ = τ[y(x)]
76
vµ bµi to¸n biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm nh− sau:
dx2 + dy2
2
m
2
(
)2 →
dy
dx
1
⎛
⎜
⎞
⎟
dτ
1+
dx
mgy =
→
dτ
2gy
⎝
⎠
1+ y'2
x1
1
dx
τ = τ[y(x)] =
∫
x0
2g
y
3. T×m ®−êng tr¾c ®Þa:
z
T×m ®−êng cong f(x,y,z) nèi hai
®iÓm A,B trªn mÆt cong ϕ(x,y,z) = 0
cho tr−íc, cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Theo
ý nghÜa h×nh häc, bµi to¸n (3) theo
(x,y
ϕ
,z)=
0
B
biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm
x2
l= l[y(x),z(x)] =
1+ y'2 +Z'2 dx
∫
x1
A
y
y = y(x)
z = z(x)
⎧
⎨
⎩
trong ®ã
lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh
O
x
d¹ng tham sè cña ®−êng cong
f(x,y,z)∈ϕ(x,y,z) = 0.
6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm
hµm:
H.36. BT t×m ®−êng
y = y(x)
z = z(x)
⎧
⎨
⎩
tr¾c ®Þa
6.3.3.1. BiÕn ph©n cña ®èi
thøc:
- §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δu cña hµm u(x) (hay ®èi thøc u(x)) lµ
u(x)
hiÖu hai hµm sè δu =
- u(x) trong
thay ®æi tuú ý trong líp hµm
u
u(x
)
u(x)
®ã
δ
u
u(x
)
u(x,ε) nµo ®ã, gÇn ®−êng cong u(x).
T−¬ng tù ®Þnh nghÜa:
u(x, y)
δu(x,y) =
- ý nghÜa h×nh häc:
u(x)
- u(x,y)
x
O
x0
x1
H.37. BiÕn ph©n δu(x)
thay ®æi trong líp ®−êng cong
qua hai ®iÓm biªn (x0,y0) (x1,y1) phô thuéc th«ng sè ε nhá nµo ®ã:
77
u(x)
u(x;ε)
u(x)
-u(x)
u
∈
= u(x) + ε[
= u(x) + εδu.
u(x,
y)
δ
u
u(x,
y)
u(x, y)
thay ®æi trong líp mÆt cong qua
chu tuyÕn S, phô th«ng sè ε nhá nµo ®ã:
s
y
D
u(x, y)
∈ u(x,y;ε) vµ u(x,y;ε) = u(x,y) +
-u(x,y)] = u(x,y) + εδu(x,y).
u(x, y)
ε[
x
H.38. BiÕn ph©n δu(x,y)
BiÕn ph©n δu lµ sù sai kh¸c nhá gi÷a hai hµm u cïng chung biªn
nµo ®ã.
6.3.3.2. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm:
- §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I[u(x)] lµ ®¹o hµm cña
phiÕm hµm I[u(x) + εδu(x)] theo tham sè ε, tÝnh t¹i ε = 0.
d
δI[u(x)] = I[u(x)] + εδu(x)]⏐ε
=0
dε
T−¬ng tù cã c¸c ®Þnh nghÜa
d
δI[u(x,y)] = I[u(x,y)] + εδu(x,y)]⏐ε
,vµ
=0
dε
d
δI[u1(x),..,un(x)] = I[(u1(x) + εδu1),..,(un(x) + εδun)]⏐ε
=0
dε
- ý nghÜa: BiÕn ph©n δI lµ phÇn chÝnh bËc 1 (tuyÕn tÝnh) cña sè
gia phiÕm hµm ∆I = I[u + δu] - I[u] khi max [δu] → 0
δI m« t¶ sai sè c¸c tÝch ph©n (phiÕm hµm) suy tõ mét ®Þnh luËt
b¶o toµn nµo ®ã, so víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng.
6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange
x1
F(x,u,u')dx
6.3.4.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I[u(x)] =
∫
x0
- CÇn t×m hµm u = u(x) qua 2 ®iÓm biªn cho tr−íc [x0, u0 = u(x0)]
vµ [x1, u1 = u(x1)] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng:
x1
F
I[u(x)] =
(x,u(x), u'(x))dx.
∫
x 0
- TËp hîp c¸c ®−êng cong qua 2 ®iÓm biªn cã thÓ m« t¶ b»ng hµm
78
u
u(x
)
u(x,ε) cña x vµ th«ng sè ε ∈ [0,1] bëi:
δ
u
u(x
)
u
u(x,ε) = u(x) + ε[ (x) - u(x)]
= u(x) + εδu(x)
u(x)
x
víi
lµ ®−êng cong gÇn
O
x1
x0
u(x) vµ δu(x) lµ biÕn ph©n cña hµm
u(x).
H.39. §Ó cùc tiÓu
I[u(x)]
- Víi ®−êng cong u(x;ε) th× phiÕm hµm I[u(x,ε)] lµ mét hµm chØ
cña ε, do ®ã ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu phiÕm hµm cña hµm u(x), øng
víi ε = 0, lµ:
d
I[u(x,ε)]ε = 0 tøc lµ δI = 0
=0
dε
x1
d
→ δI = 0 tøc lµ δI =
F(x,u(x;ε), u'(x;ε))dx|ε
∫
=0
x0
dε
x1
∂F ∂u(x,ε)
∂F ∂u'(x,ε)
∂u' ∂ε
⎡
⎣
⎤
.
+
.
dx
=
=
∫
⎥
⎦
⎢
x0
∂u
∂ε
ε=0
x1
(Fu.δu + Fu'δu')dx = 0
∫
x0
Ph©n ®o¹n tÝch ph©n sau, ta cã:
x1
x1
d
x
1
∫
(
Fu ' )δudx
δI =
Fu δu dx + Fu' δu |x -
∫
0
x0
dx
x0
x1
d
x
1
(Fu −
Fu ')δudx = 0
=
(do δu |x = 0 - 0 = 0)
∫
0
x0
dx
d
V× δu (x) ≠ 0 ∀x ∈ (x0, x1) nªn Fu -
Fu' = 0
dx
→ Suy ra ®Þnh lý Euler - Lagrange:
- §Þnh lý E - L1:
x
1
§Ó cùc tiÓu phiÕm hµm I[µ(x)] =
F(x, u, u')dx, hµm u(x) cÇn
∫
x
0
79
∂F
∂u
d ∂F
dx ∂u '
−
(
) = 0
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau:
6.3.4.2. Ph−¬ng ph¸p biªn ph©n:
- Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n lµ ph−¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cùc
tiÓu ®Ó t×m ®−êng cong cùc trÞ.
d
- §iÒu kiÖn cùc tiÓu I[y(x)] theo EL lµ: Fy- dx Fy' = 0 → suy ra:
Fy- Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 ,(E)
Ph−¬ng tr×nh (E) gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler.
- Ph−¬ng ph¸p t×m ®−êng cong cùc trÞ lµ:
1) TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh Euler thu ®−îc hµm y(x,c1, c2)
2) X¸c ®Þnh c1, c2 theo hai ®iÒu kiÖn biªn y0 = y(x0), y1 = y(x1)
VÝ dô: Khi hµm F chØ phô thuéc y vµ y':
F=F(y,y') → ph−¬ng tr×nh (E) cã d¹ng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 →
Nh©n hai vÕ víi y' cã:
y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' =
d
= (F-Fy'.y')= 0, (d¹ng ®¹o hµm toµn phÇn theo x)
dx
TÝch ph©n ®Çu theo x cã F- Fy'y' = C1 lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n
kh«ng chøa x, gi¶i ®−îc b»ng c¸ch t¸ch biÕn hoÆc ®æi biÕn, vÝ dô
* T×m mÆt cùc tiÓu (bµi to¸n 1) :
x - c2
c1
y = c1ch
MÆt trßn xoay qua (o,y0), (x1,y1)
cùc tiÓu khi phiÕm hµm S[y(x)] cùc
y
y
y1o
tiÓu. Do dS
=
2πyds
=
ds
dx
x
dx2 + dy 2
2πy
nªn suy ra
O
x1
x1
y 1+ y'2 dx
z
S[y(x)] = 2π
.
∫
x = 0
H.40. MÆt Catenoid
y 1+ y'2
Víi F =
= F (y,y'), ta cã tÝch ph©n ®Çu:
80
yy'2
1+ y'2
y
1+ y'2
F- y'Fy' = y
-
=
= C1
1+ y'2
C1shtdt
sht
dy
=
=
C1dt
§æi biÕn y' = sht th× y = C1cht vµ dx =
y'
→ x = C1t + C2
x = C t + C
⎧
⎨
⎩
x − C2
C1
1
2
Khö t tõ
cã y = C1ch
lµ ®−êng d©y xÝch, quay
y = C1cht
quanh ox t¹o ra mÆt Catenoid, víi C1, C2 t×m theo ®iÒu kiÖn biªn yo =
y(0) , y1 = y(x1).
* T×m ®−êng ®o¶n thêi: (bµi to¸n 2)
Thêi gian chÊt ®iÓm l¨n trªn ®−êng cong y(x) tõ A→B lµ:
0 ≡A
x
1+ y'2
x1
1
dx
+τ = τ[y(x)] =
∫
ds
x=0
y
2g
v =
d
dτ
ds
y
g
1+ y'2
d
x
Víi F = F(y,y') =
y
y1
B
ta cã tÝch ph©n ®Çu:
y
y'2
y(1+ y'2 )
1+ y'2
H.41. §−êng ®o¶n thêi
F- y'Fy' =
-
y
x = C(t − sin t)
⎧
Cycloid⎨
⎩
y = C(1− cos t)
1
=
= C
y(1+ y'2 )
→ y(1 + y'2) = C1 lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 phi tuyÕn.
C1
1+ y'2
C1
=
§æi biÕn y' = cotg t cã y =
1+ cot g2t
C1
= C1sin2t =
(1-cos2t) vµ :
2
2C1 sint cost.dt
cot gt
dy
dx =
=
= 2C1sin2t dt
y'
81
= C1(1- cos2t)dt → x = C1(t- 12 sin2t) + C2
C1
hay x =
(2t - sin2t) + C2
2
§−êng ®o¶n thêi cã d¹ng hä ®−êng cycloid
C1
⎫
⎧
x =
y =
(2t − sin 2t) + C2
(1− cos2t)
⎪
⎪
⎪
⎪
C1
2
2
C1
⎨
⎪
⎬
⎪
qua A(0,0) → C2 = 0 ®Æt C =
,
⎪
⎩
⎪
⎭
2
2t = ϕ ta cã ®−êng ®o¶n thêi lµ ®−êng cycloid, m« t¶ bëi ph−¬ng
tr×nh d¹ng tham sè sau:
x = C(ϕ − sin ϕ)
y = C(1− cosϕ)
y
y
⎧
⎨
⎩
hay x = c[arcos(1- ) - sin(arcos(1- ))]
c
c
víi C = b¸n kÝnh vßng trßn l¨n ®Ó vÏ ra Cycloid, x¸c ®Þnh theo y1
= y(x1).
6.3.4.3. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y)]
F
I[u(x,y)] =
(x,y,u,ux,uy)dxdy
∫∫
D
- CÇn t×m hµm u(x,y) trong miÒn D cã trÞ sè cho tr−íc trªn biªn
W ∈ D, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm
∂u ∂u
,
F
I[u(x,y)] =
(x,y,u
)dxdy
∫∫
∂x ∂y
D
- øng víi c¸c mÆt thay ®æi trong hä mÆt cong
u(x,y,ε) = u(x,y) + ε[u (x,y) - u(x,y) ]
= u(x,y) + εδu(x,y)
th× phiÕm hµm I[u(x,y,ε)] chØ phô thuéc ε, ®−îc cùc tiÓu khi:
d
I[u(x,y,ε)]ε = δI = 0, tøc lµ khi:
=0
dε
82
∂uy
⎡
⎤
∂u
∂ε
∂ux
∂ε
Fu
+ Fux
+ Fuy
δI =
dxdy
⎢
⎣
⎥
⎦
∫∫
∂ε
D
ε=0
F δµ + F δux + F δuy )dxdy = 0
=
u
ux
uy
∫∫
u
u(x,y
D
δ
u
u(x,y
∂Fux
∂x
∂Fuy
∂
∂x
∂
⎧
(Fux δu) =
(Fuy δu) =
δu + Fux δux
δu + Fuy δuy
⎪
⎪
s
⎨
⎪
- V× cã:
y
⎪
⎩
∂y
∂y
D
0
(Fuxδux + Fuyδuy )
W
nªn
dxdy =
∫∫
D
x
⎤
∂
∂
∂y
⎡
H.42. §Ó cùc tiÓu
phiÕm hµm I[µ(x,y)]
(Fux δu) +
∂Fu
(Fuy δu)
=
dxdy-
⎥
⎦
∫∫⎢⎣∂x
D
∂Fux
∂x
+
y )δudxdy
∫∫(
∂y
D
∂Fu
∂Fux
∂x
(
+
y )δudxdy
= -
∫∫
∂y
D
∂
∂x
∂
∂y
[ (Fuxδu) + (Fuyδu)]dxdy
(do theo c«ng thøc Green cã:
∫∫
D
(Fux δu − Fuyδu)dx = 0
=
v× δu|W = 0
)
∫
w
- V× vËy, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm lµ:
∂Fu
∂y
∂Fux
∂x
−
y )δudxdy
δI = ∫∫(Fu −
= 0, do δu|D ≠ 0 suy ra:
D
∂F ∂ ∂F
∂u ∂x ∂ux
∂ ∂F
∂y ∂uy
−
(
) −
(
) = 0
→
§Þnh lý Euler-Lagrange N02:
F
§Ó cùc tiÓu phiÕm hµm: I[u(x,y)] =
(x,y,u,ux,uy,)dxdy, hµm
∫∫
D
83
∂F ∂ ∂F
∂u ∂x ∂ux
∂ ∂F
( ) = 0
−
(
) −
u(x,y) cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
∂y ∂u y
6.3.4.4. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y,z)].
C¸c bµi to¸n truyÒn nhiÖt 3 chiÒu kh«ng æn ®Þnh víi biªn lo¹i 2 vµ 3
th−êng t−¬ng øng víi phiÕm hµm d¹ng:
t2
F
(qt + α )ds
I[u(x,y,z)] =
(x,y,z,t,tx,ty,tz)dV+
∫∫∫
∫
2
D
S
- Khi cùc tiÓu phiÕm hµm I, cÇn cã δI = 0, tøc lµ:
⎡
⎤
∂F
∂t
∂F
∂tx
∂F
∂ty
∂F
∂tz
(qδt +αtδt)ds
= 0
δt +
δtx +
δty +
δt
δI = ⎢
z ⎥ dV+
∫
∫
⎢
V
⎣
⎥
⎦
S
∂t
∂x
∂
∂x
δ ( ) = (δt)
- Theo δtx =
, v.v., ta cã:
δI=
z
⎡
⎢
⎤
⎥
∂F
∂t
∂F ∂
∂t x ∂x
∂F ∂
∂t y ∂y
∂F ∂
∂t z ∂z
→
n0
d
δt +
.
(δt) +
.
(δt) +
.
(δt)
∫
V
⎢
⎥
⎣
⎦
S
δt(q +αt)ds
V+
= 0
∫
S
V
y
- Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn (per partes) ta
0
cã:
x
∂F ∂
V ∂tx ∂x
∂F
∂tx
∂
∂F
H.43. MiÒn tÝch ph©n V,S
cña bµi to¸n 3 chiÒu
=
(δt)dV
dS -
dS -
.
δt.lx
δt.ly
δt .(
)dV
∫
∫
∫
∂x ∂tx
S
V
∂F
∂ty
∂
∂F
∂F ∂
δt .(
)dV
=
.
(δt)dV
(δt)dV
∫
∫
∂y ∂ty
∫
V ∂ty ∂y
S
V
∂F ∂
∂
∂F
∂F
∂tz
.
∫
=
dS - δt .( )dV
δt.lz
∫
∫
V ∂tz ∂z
∂z ∂tz
S
V
víi lx, ly, lz lµ cosin chØ ph−¬ng cña ph¸p tuyÕn
n phÝa ngoµi V t¹i M ∈ S. Do ®ã, ®iÒu kiÖn δI = 0
sÏ cã d¹ng:
84
Tải về để xem bản đầy đủ
64 trang
22920
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt (Phần 2) - Nguyễn Bốn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_cac_phuong_phap_tinh_truyen_nhiet_phan_2_nguyen_b.pdf
