Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 2: Lý thuyết về hệ lực

-15-

Ch−¬ng 2

Lý thuyÕt vÒ hÖ lùc

Trong tÜnh häc cã hai bµi to¸n c¬ b¶n: thu gän hÖ lùc vµ x¸c ®Þnh ®iÒu

kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc. Ch−¬ng nµy giíi thiÖu néi dung cña hai bµi to¸n c¬

b¶n nãi trªn.

2.1 §Æc tr−ng h×nh häc c¬ b¶n cña hÖ lùc

HÖ lùc cã hai ®Æc tr−ng h×nh häc c¬ b¶n lµ vÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh.

2.1.1. VÐc t¬ chÝnh

r

XÐt hÖ lùc (F , F ,..F_n) t¸c dông lªn vËt r¾n (h×nh 2.1a).

1

2

VÐc t¬ chÝnh cña hÖ lùc lµ vÐc t¬ tæng h×nh häc c¸c vÐc t¬ biÓu diÔn c¸c

lùc trong hÖ (h×nh 2.1b)

r

F₂

r

F₁

r

F₃

r

F₂

b

c

a

r

F₁

r

F₃

m

O

r

F_n

r

R

r

F_n

r

R

n

a/

b/

H×nh 2.1

n

r

1

r

2

r

n

r

F

i

R = F + F + ... F =

(2-1)

∑

i=1

r

H×nh chiÕu vÐc t¬ R lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz ®−îc x¸c ®Þnh qua h×nh chiÕu

c¸c lùc trong hÖ:

n

r

R = x + x +...+ x = X ;

∑

x

1

2

n

i

i=1

-16-

n

r

R = y + y +...+ y = Y ;

∑

y

1

2

n

i

i=1

n

r

R = z + z +... +z = Z .

∑

z

1

2

n

i

i=1

Tõ ®ã cã thÓ x¸c ®Þnh ®é lín, ph−¬ng, chiÒu vÐc t¬ chÝnh theo c¸c biÓu

thøc sau:

r

R = R²+ R²+ R²;

x

y

z

R_y

R

R_x

R

R_z

R

cos(R,X) =

;

cos(R,Y) =

;

cos(R,Z) =

.

VÐc t¬ chÝnh lµ mét vÐc t¬ tù do.

2.1.2. M« men chÝnh cña hÖ lùc

VÐc t¬ m« men chÝnh cña hÖ lùc ®èi víi t©m O lµ vÐc t¬ tæng cña c¸c vÐc

t¬ m« men c¸c lùc trong hÖ lÊy ®èi víi t©m O (h×nh 2.2). NÕu ký hiÖu m« men

r

chÝnh lµ M _ota cã

n

r

M = m (F )

(2 -2)

∑

o

i

i=1

•

r

F₁

m₂

A₁

r

M ₀

r

z₁

r

m ₃₀

m ₂₀

r

A₂

r

F₂

z₂

m ₁₀

O

r

z₃

A₃

r

F₃

H×nh 2.2

r

H×nh chiÕu cña vÐc t¬ m« men chÝnh M _otrªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz ®−îc

x¸c ®Þnh qua m« men c¸c lùc trong hÖ lÊy ®èi víi c¸c trôc ®ã:

-17-

n

r

1

r

2

r

n

r

M = m (F ) + m (F ) +...+ m (F ) = m (F );

∑

x

i

i=1

n

r

1

r

2

r

n

r

M = m (F ) + m (F ) +...+ m (F ) = m (F );

∑

y

i

i=1

n

r

1

r

2

r

n

r

M = m (F ) + m (F ) +... +m (F ) = m (F ).

∑

z

i

i=1

Gi¸ trÞ vµ ph−¬ng chiÒu vÐc t¬ m« men chÝnh ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c biÓu

thøc sau:

M_o= M²+ M²+ M²

x

y

z

M_y

M_o

M_x

M_z

M_o

cos(M_o,x) =

;

cos(M_o,y) =

;

cos(M_o,z) =

.

M_o

r

Kh¸c víi vÐc t¬ chÝnh R vÐc t¬ m« men chÝnh M _olµ vÐc t¬ buéc nã phô

thuéc vµo t©m O. Nãi c¸ch kh¸c vÐc t¬ chÝnh lµ mét ®¹i l−îng bÊt biÕn cßn vÐc

t¬ m« men chÝnh lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi theo t©m thu gän O.

2.2. Thu gän hÖ lùc

Thu gän hÖ lùc lµ ®−a hÖ lùc vÒ d¹ng ®¬n gi¶n h¬n. §Ó thùc hiÖn thu gän

hÖ lùc tr−íc hÕt dùa vµo ®Þnh lý rêi lùc song song tr×nh bµy d−íi ®©y.

2.2.1. §Þnh lý 2.1 : T¸c dông cña lùc lªn vËt r¾n sÏ kh«ng thay ®æi nÕu ta

rêi song song nã tíi mét ®iÓm ®Æt kh¸c trªn vËt vµ thªm vµo ®ã mét ngÉu lùc phô

r

F

r

F'

A

B

d

r

F''

H×nh 2.3

-18-

cã m« men b»ng m« men cña lùc ®· cho lÊy ®èi víi ®iÓm cÇn rêi ®Õn.

r

Chøng minh: XÐt vËt r¾n chÞu t¸c dông lùc F ®Æt t¹i A. T¹i ®iÓm B trªn vËt

r

®Æt thªm mét cÆp lùc c©n b»ng (F', F'') trong ®ã F' = F cßn F'' = - F. (xem

h×nh 2.3).

r

Theo tiªn ®Ò 2 cã: F ∼ (F, F', F'').

r

HÖ ba lùc (F, F', F'') cã hai lùc (F, F'') t¹o thµnh mét ngÉu lùc cã m«

r

men m = m _B(F) (theo ®Þnh nghÜa m« men cña ngÉu lùc).

r

r r

Ta ®· chøng minh ®−îc F ∼ F' + ngÉu lùc (F, F'')

2.2.2 Thu gän hÖ lùc bÊt kú vÒ mét t©m

a. §Þnh lý 2.2: HÖ lùc bÊt kú lu«n lu«n t−¬ng ®−¬ng víi mét lùc b»ng vÐc

t¬ chÝnh ®Æt t¹i ®iÓm O chän tuú ý vµ mét ngÉu lùc cã m« men b»ng m« men

chÝnh cña hÖ lùc ®èi víi t©m O ®ã.

r

Chøng minh: Cho hÖ lùc bÊt kú (F , F ,...,F_n) t¸c dông lªn vËt r¾n. Chän

1

2

®iÓm O tuú ý trªn vËt, ¸p dông ®Þnh lý rêi lùc song song ®−a c¸c lùc cña hÖ vÒ

r

®Æt t¹i O. KÕt qu¶ cho ta hÖ lùc (F , F ,...,F_n)_o®Æt t¹i O vµ mét hÖ c¸c ngÉu lùc

1

2

r

1

r

2

r

phô cã m« men lµ m ₁= m _o(F ) , m ₂= m _o(F ), ... m _n= m _o(F_n) (h×nh 2.4).

r

Hîp tõng ®«i lùc nhê tiªn ®Ò 3 cã thÓ ®−a hÖ lùc (F , F ,...F_n)_ovÒ t−¬ng

1

2

r

®−¬ng víi mét lùc R .

Cô thÓ cã:

M = M_o

r

1

r

2

r

1

r

2

r

F₁

A₁

(F , F ) ∼ R ₁trong ®ã R ₁= F +F

r

m ₂₀

r

(R ₁,F₃) ∼ R ₂trong ®ã R ₂= R ₁+ F₃

=

r

1

r

2

r

m ₃₀

m ₁₀

F +F + F₃

A₂

r

F₂

O

r

F₁

....

r

R

r

F₃

r

F₂

(R _(n-1),F_n) ∼ R

A₃

r

F₃

H×nh 2.4

-19-

n

r

n

r

F

i

trong ®ã R = R _(n-2)+F =

∑

i=1

r

Hîp lùc R cña c¸c lùc ®Æt t¹i O lµ vÐc t¬ chÝnh R ₀cña hÖ lùc.

C¸c ngÉu lùc phô còng cã thÓ thay thÕ b»ng mét ngÉu lùc tæng hîp theo

c¸ch lÇn l−ît hîp tõng ®«i ngÉu lùc nh− ®· tr×nh bµy ë ch−¬ng 1. NgÉu lùc tæng

n

r

hîp cña hÖ ngÉu lùc phô cã m« men M = m (F ). §©y lµ m« men chÝnh cña

∑

o

i

i=1

hÖ lùc ®· cho ®èi víi t©m O

Theo ®Þnh lý 2.2, trong tr−êng hîp tæng qu¸t khi thu gän hÖ lùc vÒ t©m O

bÊt kú ta ®−îc mét vÐc t¬ chÝnh vµ mét m« men chÝnh. VÐc t¬ chÝnh b»ng tæng

h×nh häc c¸c lùc trong hÖ vµ lµ mét ®¹i l−îng kh«ng ®æi cßn m« men chÝnh b»ng

tæng m« men c¸c lùc trong hÖ lÊy ®èi víi t©m thu gän vµ lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi

theo t©m thu gän.

§Ó x¸c ®Þnh quy luËt biÕn ®æi cña m« men chÝnh ®èi víi c¸c t©m thu gän

kh¸c nhau ta thùc hiÖn thu gän hÖ lùc vÒ hai t©m O vµ O₁bÊt kú (h×nh 2.4a).

Thùc hiÖn thu gän hÖ vÒ t©m O ta

r

R ₀

r

M ₀

®−îc R ₀vµ M _o.

R ₀₁

r

M ₀₁

Trªn vËt ta lÊy mét t©m O₁kh¸c O

r

sau ®ã rêi lùc R _ovÒ O₁ta ®−îc

O

O₁

r

R _o∼ R _o1+ ngÉu lùc (R _o, R '_o1).

r

R '₀₁

r

Suy ra (R _o, M _o) ∼ R _o1+ ngÉu lùc

H×nh 2.4a

r

(R _o, R '_o1) + M _o

r

NÕu thu gän hÖ vÒ O₁ta ®−îc M _o1vµ R _o1.

§iÒu tÊt nhiªn ph¶i cã lµ :

r

(R _o, M _o) ∼ (R _o1,M _o1).

Thay kÕt qu¶ chøng minh ë trªn ta cã:

-20-

r

(R _o, M _o) ∼ R_o1+(R _o, R '_o1) + M_o∼ (R _o+M_o1)

r

hay M ₀₁∼ M _o+ ( R _o, R '₀₁)

(2.3)

r

NgÉu lùc ( R _o, R ₀₁) cã m« men M ' =m_o1.(R_o)

KÕt luËn: Khi thay ®æi t©m thu gän vÐc t¬ m« men chÝnh thay ®æi mét ®¹i

l−îng M' b»ng m« men cña vÐc t¬ chÝnh ®Æt ë t©m tr−íc lÊy ®èi víi t©m sau.

2.2.3. C¸c d¹ng chuÈn cña hÖ lùc

KÕt qu¶ thu gän hÖ lùc vÒ mét t©m cã thÓ xÈy ra 6 tr−êng hîp sau

2.2.3.1. VÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh ®Òu b»ng kh«ng

r

R = 0 ;

M _o= 0

HÖ lùc kh¶o s¸t c©n b»ng.

2.2.3.2. VÐc t¬ chÝnh b»ng kh«ng cßn m« men chÝnh kh¸c kh«ng

r

R = 0;

M _o≠ 0

HÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét ngÉu lùc cã m« men b»ng m« men chÝnh.

2.2.3.3. VÐc t¬ chÝnh kh¸c kh«ng cßn m« men chÝnh b»ng kh«ng

r

R ≠ 0; M _o= 0

HÖ cã mét hîp lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh.

2.2.3.4. VÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh ®Òu kh¸c kh«ng nh−ng vu«ng gãc víi

nhau (h×nh 2.5)

r

R ≠ 0; M _o≠ 0 vµ R ⊥ M _o

r

Trong tr−êng hîp nµy thay thÕ m« men chÝnh M _ob»ng ngÉu lùc (R ', R '')

víi ®iÒu kiÖn:

r

R ' = R ; R '' = - R vµ M _o= m _o(R ')

r

M _o

r

R

r

R

O'

O

O'

r

M _o

r

R _o

R_oⁿ

P

O

d

P'

r

R

'

a)

b)

O'

-21-

r

Ta cã (R , M _o) ∼ (R , R ', R '' ).

r

Theo tiªn ®Ò 1 R _ovµ R '' c©n b»ng do ®ã cã thÓ bít ®i vµ cuèi cïng hÖ cßn

l¹i mét lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh nh−ng ®Æt t¹i O₁. Nãi kh¸c ®i hÖ cã mét hîp lùc ®Æt

t¹i O₁.

2.2.3.5. Hai vÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh kh¸c kh«ng nh−ng song song víi

nhau (h×nh 2.6).

r

R _o≠ 0; M _o≠ 0 vµ R _o// M _o

r

r r

Trong tr−êng hîp nµy nÕu thay M _ob»ng mét ngÉu lùc (P P ') mÆt ph¼ng

r

cña ngÉu nµy vu«ng gãc víi vÐc t¬ chÝnh R .

r

HÖ ®−îc gäi lµ hÖ vÝt ®éng lùc. NÕu vÐc t¬ R song song cïng chiÒu víi

r

vÐc t¬ M _ohÖ gäi lµ hÖ vÝt ®éng lùc thuËn (ph¶i) vµ ng−îc l¹i gäi lµ hÖ vÝt ®éng

lùc nghÞch (tr¸i). H×nh 2.6 biÓu diÔn vÝt ®éng lùc thuËn

2.2.3.6. Hai vÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh kh¸c kh«ng vµ hîp lùc víi nhau

mét gãc ϕ bÊt kú (h×nh 2.7)

Tr−êng hîp nµy nÕu thay thÕ

r

r r

r

vÐc t¬ M _ob»ng mét ngÉu lùc (P P ')

M ₀

r

trong ®ã cãlùc P ®Æt t¹i O cßn lùc

r

P

r

O₁

P ' ®Æt t¹i O₁sao cho m_o(P) = M _o.

R '

r

P '

Râ rµng mÆt ph¼ng t¸c dông cña

ϕ

r r

ngÉu lùc (P P ') kh«ng vu«ng gãc víi

r

R ₀

r

R _o. MÆt kh¸c t¹i O cã thÓ hîp hai

r

H×nh 2.7

lùc P vµ R _othµnh mét lùc R '. Nh−

-22-

r

vËy ®· ®−a hÖ vÒ t−¬ng ®−¬ng víi hai lùc P ', R ' hai lùc nµy chÐo nhau.

2.2.4. §Þnh lý Va ri nh«ng

r

§Þnh lý: Khi hÖ lùc cã hîp lùc R th× m« men cña R ®èi víi mét t©m hay

mét trôc nµo ®ã b»ng tæng m« men cña c¸c lùc trong hÖ lÊy ®èi víi t©m hay trôc

®ã.

n

r

m (R ) = m (F )

∑

o

i

i=1

n

r

m (R ) = m (F )

(2.4)

∑

z

i

i=1

r

F₁

r

1

r

2

r

z

Chøng minh: Cho hÖ lùc (F , F ,...,F_n)

r

F₂

r

t¸c dông lªn vËt r¾n. Gäi R lµ hîp lùc cña hÖ

r

R

(h×nh 2.8).

r

R '

y

O

r

F_n

T¹i ®iÓm C trªn ®−êng t¸c dông cña

r

x

hîp lùc R ®Æt thªm lùc R ' = - R .HÖ lùc ®·

r

cho cïng víi R ' t¹o thµnh mét hÖ lùc c©n

H×nh 2.8

b»ng:

r

1

r

2

r

(F , F ,... F_n, +R ') ∼ 0

Khi thu gän hÖ lùc nµy vÒ mét t©m O bÊt kú ta ®−îc mét vÐc t¬ chÝnh vµ

mét m« men chÝnh. C¸c vÐc t¬ nµy b»ng kh«ng v× hÖ c©n b»ng, ta cã:

n

r

M = m (F ) + m (R ') = 0

∑

o

i

o

i=1

r

Thay R ' = - R ta cã:

n

r

m (F ) - m (R ) = 0

∑

o

i

o

i=1

n

r

Hay m (R ) = m (F )

∑

o

i

i=1

ChiÕu ph−¬ng tr×nh trªn lªn trôc oz sÏ ®−îc:

-23-

n

r

m (R ) = m (F )

∑

z

i

i=1

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh

2.2.5. KÕt qu¶ thu gän c¸c hÖ lùc ®Æc biÖt

2.2.5.1. HÖ lùc ®ång quy

HÖ lùc ®ång quy lµ hÖ lùc cã ®−êng t¸c dông cña c¸c lùc giao nhau t¹i mét

®iÓm. Trong tr−êng hîp hÖ lùc ®ång quy nÕu chän t©m thu gän lµ ®iÓm ®ång quy

kÕt qu¶ thu gän sÏ cho vÐc t¬ chÝnh ®óng b»ng hîp lùc cßn m« men chÝnh sÏ

b»ng kh«ng.

R₀≠ 0, M_o= 0 víi O lµ ®iÓm ®ång quy.

2.2.5.2. HÖ ngÉu lùc

NÕu hÖ chØ bao gåm c¸c ngÉu lùc, khi thu gän hÖ sÏ ®−îc mét ngÉu lùc

tæng hîp cã m« men ®óng b»ng m« men chÝnh cña hÖ.

n

M = m ; m lµ m« men cña ngÉu lùc thø i vµ n lµ sè ngÉu lùc cña hÖ.

∑

i

i=1

2.2.5.3. HÖ lùc ph¼ng

HÖ lùc ph¼ng lµ hÖ cã c¸c lùc cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng.

NÕu chän t©m thu gän n»m trong mÆt ph¼ng cña hÖ th× kÕt qu¶ thu gän

r

vÉn cho ta mét m« men chÝnh M _ovµ vÐc t¬ chÝnh R _o. VÐc t¬ chÝnh R n»m trong

r

mÆt ph¼ng cña hÖ cßn m« men chÝnh M _ovu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña hÖ. Theo

r

kÕt qu¶ thu gän ë d¹ng chuÈn ta thÊy: hÖ lùc ph¼ng khi cã vÐc t¬ chÝnh R vµ m«

r

men chÝnh M _okh¸c kh«ng bao giê còng cã mét hîp lùc n»m trong mÆt ph¼ng

cña hÖ.

2.2.5.4. HÖ lùc song song

HÖ lùc song song lµ hÖ lùc cã ®−êng t¸c dông song song víi nhau.

r

KÕt qu¶ thu gän vÒ mét t©m bÊt kú cho ta mét vÐc t¬ chÝnh R vµ mét m«

r

men chÝnh M _o. VÐc t¬ chÝnh cã ®Æc ®iÓm song song víi c¸c lùc cña hÖ.

-24-

2.3. §iÒu kiÖn c©n b»ng vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc

2.3.1. §iÒu kiÖn c©n b»ng vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc bÊt kú trong

kh«ng gian

2.3.1.1. §iÒu kiÖn c©n b»ng

§iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc bÊt kú trong kh«ng gian lµ vÐc t¬ chÝnh vµ

m« men chÝnh cña nã khi thu gän vÒ mét t©m bÊt kú ®Òu b»ng kh«ng.

n

r

R = F = 0

∑

1

i=1

n

r

M = m (F ) = 0

(2-5)

∑

o

1

i=1

2.3.1.2. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng

NÕu gäi R_x, R_y, R_zvµ M_x, M_y, M_zlµ h×nh chiÕu cña c¸c vÐc t¬ chÝnh vµ m«

men chÝnh lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz th× ®iÒu kiÖn (2-5) cã thÓ biÓu diÔn b»ng c¸c

ph−¬ng tr×nh ®¹i sè gäi lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc bÊt kú trong kh«ng

gian. Ta cã:

n

R = X = 0, R = Y =0, R = Z = 0

∑

i=1

x

i

y

i

z

i

i=1

n

r

M = m (F ) = 0, M = m (F ) = 0, M = m (F ) = 0.

(2-6)

∑

i=1

x

i

y

i

z

i

i=1

Trong c¸c ph−¬ng tr×nh trªn X_i, Y_i, Z_ilµ thµnh phÇn h×nh chiÕu cña lùc F_i;

r

m_x(F_i), m_y(F_i), m_z(F_i) lµ m« men cña c¸c lùc F_i®èi víi c¸c trôc cña hÖ täa ®é

oxyz. Ba ph−¬ng tr×nh ®Çu gäi lµ ba ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu cßn 3 ph−¬ng tr×nh

sau gäi lµ 3 ph−¬ng tr×nh m« men.

2.3.2. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña c¸c hÖ lùc ®Æc biÖt

2.3.2.1 HÖ lùc ®ång quy

r

NÕu chän t©m thu gän lµ ®iÓm ®ång quy O th× m« men chÝnh M _osÏ b»ng

kh«ng do ®ã 3 ph−¬ng tr×nh m« men lu«n lu«n tù nghiÖm. VËy ph−¬ng tr×nh c©n

b»ng cña hÖ lùc ®ång quy chØ cßn:

-25-

n

R = X = 0

∑

x

i

i=1

n

R = Y =0

(2-7)

∑

y

i

i=1

n

R = Z = 0

∑

z

i

i=1

2.3.2.2. HÖ ngÉu lùc

r

Khi thu gän hÖ ngÉu lùc vÒ mét t©m ta thÊy ngay vÐc t¬ chÝnh R ₀= 0 ®iÒu

®ã cã nghÜa c¸c ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu lu«n lu«n tù nghiÖm. Ph−¬ng tr×nh c©n

b»ng cña hÖ ngÉu lùc chØ cßn l¹i ba ph−¬ng tr×nh m« men sau:

n

r

M = m (F ) = m = 0,

∑

x

i

ix

i=1

n

r

M = m (F ) = m = 0,

(2-8)

∑

y

i

iy

i=1

n

r

M = m (F ) = m = 0.

∑

i=1

z

i

iz

i=1

ë ®©y m_Üx, m_iy, m_izlµ h×nh chiÕu lªn c¸c trôc hÖ täa ®é oxyz cña vÐc t¬ m«

r

men m_icña ngÉu lùc thø i.

2.3.2.3. HÖ lùc song song

Chän hÖ to¹ ®é oxyz sao cho oz song song víi c¸c lùc. Khi ®ã c¸c h×nh

chiÕu R_x, R_ycña vÐc t¬ chÝnh vµ M_zcña m« men chÝnh lu«n lu«n b»ng kh«ng.

V× vËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc song song chØ cßn l¹i ba ph−¬ng

tr×nh sau:

n

R = Z = 0;

∑

z

i

i=1

n

r

M = m (F ) = 0;

(2-9)

∑

x

i

i=1

-26-

n

r

M = m (F ) = 0

∑

y

i

i=1

Trong ®ã ph−¬ng tr×nh ®Çu lµ ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu cßn hai ph−¬ng

tr×nh cuèi lµ ph−¬ng tr×nh m« men.

2.3.2.4. HÖ lùc ph¼ng

r

CÇn l−u ý r»ng trong hÖ lùc ph¼ng vÐc t¬ chÝnh R vµ m« men chÝnh M

r

lu«n lu«n vu«ng gãc víi nhau, nghÜa lµ hÖ lùc ph¼ng lu«n lu«n cã hîp lùc R

n»m trong mÆt ph¼ng cña hÖ ®· cho. §Ó ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn hîp lùc cña hÖ b»ng

kh«ng tøc lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ ta cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng d−íi

3 d¹ng kh¸c nhau.

1. D¹ng hai ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu mét ph−¬ng tr×nh m« men:

§Ó hÖ lùc c©n b»ng còng nh− c¸c tr−êng hîp kh¸c ph¶i cã R = 0 vµ M_o=

0. NÕu chän hÖ to¹ ®é oxy lµ mÆt ph¼ng chøa c¸c lùc cña hÖ ta thÊy ngay c¸c

n

ph−¬ng tr×nh R = z = 0; M = m (F ) = 0 vµ M = m (F ) = 0 lµ lu«n lu«n

∑

i=1

z

i

x

i

y

i

i=1

tù nghiÖm v× vËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng chØ cßn :

n

R = X = 0;

∑

x

i

i=1

n

R = Y = 0;

(2-10)

∑

y

i

i=1

n

M = m (F ).

∑

z

i

i=1

Hai ph−¬ng tr×nh ®Çu lµ ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu cßn ph−¬ng tr×nh thø ba

lµ ph−¬ng tr×nh m« men. CÇn chó ý v× c¸c lùc cïng n»m trong mÆt ph¼ng oxy do

n

®ã M_{z =}m (F ) chÝnh lµ tæng m« men ®¹i sè cña c¸c lùc ®èi víi t©m O.

∑

z

i

i=1

n

M = ± m (F )

∑

z

i

i=1

-27-

2. D¹ng mét ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vµ hai ph−¬ng tr×nh m« men

r

§iÒu kiÖn hîp lùc R cña hÖ b»ng kh«ng cã thÓ biÓu diÔn b»ng ba ph−¬ng

tr×nh sau ®©y:

n

R = X = 0;

∑

z

i

i=1

n

M = ± m (F ) = 0;

(2-11)

∑

A

i

i=1

n

M = ± m (F ) = 0

∑

B

i

i=1

Víi ®iÒu kiÖn trôc x kh«ng vu«ng gãc víi AB.

r

Th¹t vËy tõ ph−¬ng tr×nh (1) cho thÊy hîp lùc R cña hÖ lùc b»ng kh«ng

hoÆc vu«ng gãc víi trôc x.

r

Theo ®Þnh lý Va ri nh«ng ,tõ ph−¬ng tr×nh (2) ta thÊy hîp lùc R hoÆc

b»ng kh«ng hoÆc ®Þ qua A.

r

Tõ ph−¬ng tr×nh (3) ta còng thÊy hîp lùc R cña hÖ b»ng kh«ng hoÆc ®i

qua B.

KÕt hîp c¶ ba ph−¬ng tr×nh ta thÊy hîp lùc cña hÖ hoÆc b»ng kh«ng hoÆc

ph¶i ®i qua hai ®iÓm A,B vµ vu«ng gãc víi trôc x (kh«ng vu«ng gãc víi AB).

§iÒu kiÖn hîp lùc võa qua A, B vµ võa vu«ng gãc víi trôc x lµ kh«ng thùc hiÖn

®−îc v× tr¸i víi gi¶ thiÕt.

Nh− vËy nÕu hÖ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (2-11) th× hîp lùc cña nã sÏ b»ng

kh«ng nghÜa lµ hÖ lùc c©n b»ng.

3. D¹ng ba ph−¬ng tr×nh m« men ®èi víi 3 ®iÓm

n

r

M = ±m (F ) = 0

∑

A

i

i=1

-28-

n

r

M = ±m (F ) = 0

(2-12)

∑

B

i

i=1

n

r

M = ±m (F ) =0

∑

C

o

i

i=1

Víi ®iÒu kiÖn A, B, C kh«ng th¼ng hµng.

r

ThËt vËy, nÕu hÖ lùc ph¼ng tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh M_A= ∑±m_A(F) = 0 th×

theo ®Þnh lý Va ri nh«ng hîp lùc cña hÖ sÏ b»ng kh«ng hoÆc ®i qua A. Còng lý

luËn t−¬ng tù ta thÊy ®Ó tho¶ m·n M_B= 0 vµ M_c= 0 th× hîp lùc ph¶i b»ng kh«ng

hoÆc ph¶i ®i qua B, ®i qua C.

V× chän 3 ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng nªn ®iÒu kiÖn ®Ó hîp lùc qua 3

®iÓm lµ kh«ng thùc hiÖn ®−îc. ChØ cã thÓ hîp lùc b»ng kh«ng, cã nghÜa lµ nÕu

tÝch hoÆc ph−¬ng ph¸p h×nh häc nh−ng phæ biÕn vµ cã hiÖu qu¶ nhÊt lµ ph−¬ng

ph¸p gi¶i tÝch.

cÇn thiÕt cho yªu cÇu x¸c ®Þnh cña bµi to¸n. NÕu nh− bµi to¸n t×m ph¶n lùc liªn

kÕt th× vËt kh¶o s¸t ph¶i lµ vËt chÞu t¸c dông cña ph¶n lùc liªn kÕt cÇn t×m, nÕu lµ

2. Gi¶i phãng vËt kh¶o s¸t khái liªn kÕt vµ xem ®ã lµ vËt tù do d−íi t¸c

dông cña c¸c lùc ®· cho vµ ph¶n lùc liªn kÕt.

hÖ lùc t¸c dông lªn vËt kh¶o s¸t bao gåm c¸c lùc cho vµ ph¶n lùc liªn kÕt.

-29-

c¸c ph¶n lùc liªn kÕt hoÆc thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c lùc ®Ó ®¶m b¶o ®iÒu

5. NhËn xÐt c¸c kÕt qu¶ thu ®−îc.

CÇn chó ý r»ng chiÒu cña c¸c ph¶n lùc th−êng ch−a ®−îc x¸c ®Þnh v× thÕ

thÓ x¸c ®Þnh chiÒu cña c¸c ph¶n lùc chän ®óng hay sai. NÕu c¸c ph¶n lùc liªn

. MÆt kh¸c còng cÇn l−u ý r»ng bµi to¸n cã tr−êng hîp gi¶i ®−îc (bµi to¸n tÜnh

tr−êng hîp kh«ng gi¶i ®−îc (bµi to¸n siªu tÜnh) khi Èn sè cÇn t×m lín h¬n sè

ThÝ dô 2.1. Cét ®iÖn OA ch«n th¼ng ®øng trªn mÆt ®Êt vµ ®−îc gi÷ bëi hai

mÆt ph¼ng AOD vµ mÆt ph¼ng AOB lµ ϕ = 60⁰. T¹i ®Çu A cña cét ®iÖn cã hai

lµ P₁vµ P₂nh− h×nh vÏ. Cho biÕt P₁= P₂= P = 100kN.

Bµi gi¶i:

z

r

Chän vËt kh¶o s¸t lµ ®Çu A cña cét ®iÖn.

R ₃

r

P ₂

r

P ₁

AB, AD vµ phÇn cét ®iÖn cßn l¹i.

r

α

R ₁

r

R ₂

r

víi chiÒu chän nh− h×nh vÏ 2-8. Khi gi¶i

phãng ®iÓm A khái liªn kÕt ®iÓm A sÏ chÞu t¸c

dông cña c¸c lùc P₁, P₂vµ c¸c ph¶n lùc R₁R₂

O

B

ϕ

y

x

D

H×nh 2.8a

-30-

r

(P ₁, P ₂, R ₁, R ₂, R ₃) ∼ 0. HÖ lùc nµy ®ång quy t¹i A do ®ã ph−¬ng tr×nh

§Ó tr¸nh nhÇm lÉn ta lËp b¶ng (2-1) h×nh chiÕu c¸c lùc lªn 3 trôc cña hÖ

täa ®é oxyz nh− sau:

B¶ng 2-1

F₁

x₁

y₁

z₁

P₁

0

P₂

-P

0

R₁

R₂

R₃

0

R₂sinαsinϕ

R₂sinαcosϕ

-R₂cosα

-P

0

R₁sinα

-R₁cosα

0

R₃

∑Xi =- P + R₂sinαsinϕ = 0;

(a)

( b)

(c)

∑Yi = - P + R₁sinα + R₂sinαcosϕ = 0

∑Zi = -R₁cosα - R₂cosα + R₃= 0

HÖ 3 ph−¬ng tr×nh trªn chøa 3 Èn sè R₁, R₂, R₃nªn bµi to¸n lµ tÜnh ®Þnh.

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc:

P

1

1− cot gϕ

sin α

R₁= P

; R₂=

; R₃= P cotgα(1-cotgϕ +

);

sinαsinϕ

sinϕ

Thay c¸c trÞ sè cña α,ϕ vµ P ta nhËn ®−îc:

R₁= 85kN; R₂= 231 kN; R₃= 273kN.

KÕt qu¶ ®Òu d−¬ng nªn chiÒu c¸c ph¶n lùc chän lµ ®óng.

ThÝ dô 2.2: Mét xe 3 b¸nh ABC ®Æt trªn mét mÆt ®−êng nh½n n»m ngang.

®−êng lªn c¸c b¸nh xe (xem h×nh 2-9)

-31-

Bµi gi¶i:

Gi¶i phãng xe khái mÆt ®−êng vµ

thay b»ng c¸c ph¶n lùc cña mÆt ®Êt

z

r

N _B

r

B

r

N _C

P

r

lªn c¸c b¸nh xe lµ N_A, N_B, N_C.

V× xe ®Æt trªn mÆt nh½n nªn

c¸c ph¶n lùc nµy cã ph−¬ng vu«ng

gãc víi mÆt ®−êng.

G

O

C

y

r

N _A

A

r

t¸c dông cña 4 lùc P , N_A, N_B, N_C.

x

H×nh 2.9

HÖ 4 lùc nµy lµ hÖ lùc song song.

trªn theo (2-9) cã d¹ng:

∑Z_i= N_A+ N_B+ N_C- P = 0

(a)

(b)

(c)

∑m_x(F_i) = -P.0,5 + N_C.1,5 = 0

∑m_y(F_i) = - N_A.0,5 + N_B.0,5 = 0

HÖ ba ph−¬ng tr×nh trªn chøa 3 Èn sè N_A, N_B, N_Cnªn bµi to¸n lµ tÜnh

®Þnh.

Gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn x¸c ®Þnh ®−îc:

N_A= N_B= N_C= P/3

kN

KÕt qu¶ cho c¸c gi¸ trÞ d−¬ng nªn chiÒu ph¶n lùc h−íng lªn lµ ®óng.

ThÝ dô 2.3: Xµ AB ®−îc gi÷

n»m ngang nhê liªn kÕt nh− h×nh vÏ

(2.10). T¹i A cã khíp b¶n lÒ cè

®Æt xiªn mét gãc α so víi xµ. T¹i B

D

q

M

C

E

α

A

B

P

2

1

G

2

H×nh 2.10

-32-

Xµ cã träng l−îng G ®Æt t¹i gi÷a, chÞu mét ngÉu lùc n»m trong mÆt ph¼ng

= 8 kNm; q = 0,5 kN/m; α = 30⁰. C¸c kÝch th−íc cho trªn h×nh vÏ.

Bµi gi¶i:

Chän vËt kh¶o s¸t lµ xµ AB. Gi¶i phãng liªn kÕt ®Æt lªn xµ ta cã:

r

Liªn kÕt t¹i A ®−îc thay thÕ b»ng ph¶n lùc R _An»m trong mÆt ph¼ng h×nh

r

B thay b»ng lùc c¨ng ®óng b»ng P nh−ng cã chiÒu h−íng lªn trªn. ChiÒu cña R _A

r

c¸c lùc (G , M , R _A, T , P ), c¸c lùc nµy n»m trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng tøc lµ

mÆt ph¼ng h×nh vÏ (hÖ lùc ph¼ng ). Chän hÖ to¹ ®é Axy nh− h×nh vÏ vµ lËp

∑X_i= X_A- Tcos30⁰;

(a)

(b)

∑Y_i= Y_A- Q - G +T cos60⁰+ P = 0;

r

∑m_A(F_i) = - Q.1 - G.3 + T.4sin30⁰- M + 6P = 0. (c)

Trong c¸c ph−¬ng tr×nh trªn

y

®Æt t¹i ®iÓm gi÷a AE.

r

90⁰

Q

r

P

r

Y_A

A

T

M

Ba ph−¬ng tr×nh trªn chøa 3

Èn sè X_A, Y_A, vµ T do ®ã bµi to¸n lµ

tÜnh ®Þnh.

X_A

1

C

x

α

B

1

2

r

G

H×nh 2.11

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn ta

®−îc:

Q.1+ G.3 + M − p.6 1.1+10.3 + 8 − 5.6

T =

=

= 4,5 kN;

4.sin30⁰

4.0,5

-33-

X_A= Tcos30⁰= 4,5.0,866 = 3,90kN;

Y_A= Q + G -T cos60⁰- P = 1 + 10 - 4,5.0,5 - 5 = 3,75, kN

KÕt qu¶ cho c¸c trÞ sè cña T, X_A, Y_A®Òu d−¬ng do ®ã chiÒu chän ban ®Çu

lµ ®óng.

ThÝ dô 2.4: Trôc truyÒn n»m ngang ®Æt trªn hai gèi ®ì b¶n lÒ cè ®Þnh A vµ

B (xem h×nh vÏ 2-12). Trôc nhËn

®Õn b¸nh ®ai C cã b¸n kÝnh r₁= 20

cuèn trªn trèng têi cã b¸n kÝnh r₂=

cã ph−¬ng song song víi trôc oy vµ

cã lùc c¨ng T₁vµ T₂víi T₁= 2T₂;

Träng vËt P= 180kN; a = 40cm; b =

60cm vµ α = 30⁰. X¸c ®Þnh ph¶n lùc

t¹i hai gèi ®ì A vµ B.

z

Z_A

T₂

a

C

T₁

b

Z_B

y

Y_A

a

A

B

α

x

Y_B

P

H×nh 2.12

Bµi gi¶i:

Chän vËt kh¶o s¸t lµ trôc BC.

r

Liªn kÕt lªn trôc lµ c¸c æ ®ì A, B. C¸c lùc t¸c dông cho lµ T ₁, T ₂vµ F .

r

®Þnh nªn ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A vµ B cã hai thµnh phÇn theo trôc oy vµ oz. Gi¶i

phãng liªn kÕt ®Æt lªn trôc vµ thay b»ng c¸c ph¶n lùc liªn kÕt khi ®ã trôc AC chÞu

r

nhÇm lÉn ta lËp b¶ng h×nh chiÕu vµ m« men cña hÖ lùc ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é

(b¶ng 2-2) .

-34-

B¶ng 2-2

r

F₁

r

F

r

T ₁

r

T ₂

r

R _A

r

R _B

X₁

Y₁

Z₁

0

ThÐp

T₂

Y_A

Z_A

0

Y_B

Fcosα

-Fsinα

-F.r₂

45

0

Z_B

m_x(F)

m_y(F)

m_z(F)

0

-T₂r₁

0

T₁r₁

0

-Z_B(a+b)

Y_A(a+b)

Fsinα.b

Fcosα.b

-T₂a

0

-T₁.a

∑Yi = Pcosα + T₁+T₂+ Y_A+ Y_B= 0;

∑Zi = Fsinα + Z_A+ Z_B= 0;

∑Mx = F.r₂+ T₁r₁- T₂r₁= 0;

∑My = Fsinα.b - Z_B(a+b) = 0;

∑Mz = Fcosα.b - T₁a- T₂a + Y_B(a+b) = 0;

HÖ 5 ph−¬ng tr×nh trªn chøa 5 Èn sè lµ Y_A, Z_A, Y_B, Z_Bvµ T₁nªn bµi to¸n lµ

tÜnh ®Þnh.

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn t×m ®−îc:

P.r₂180.15

T₂=

Z_B=

=

= 135kN ; T₁= 2T₂= 270 kN;

r

20

b.Psinα

a + b

60.180.0,5

=

= 54 kN;

40 + 60

3

40.3.135 −180.60.

a.3T₂− Pb cos α

a + b

2

Y_B=

=

= 69 kN

40 + 60

3

Y_A=- Pcosα-3T₂- Y_B= -180.

-3.135- 69 ≈ -630KN

2

Z_A= Psinα - Z_B= 180. 0,5 - 54 = 36kN.