Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 10: Hợp chuyển động của vật rắn
-128-
Ch−¬ng 10
HîP chuyÓn ®éng cña vËt r¾n
1
Trong ch−¬ng nµy m« h×nh kh¶o s¸t
lµ vËt r¾n ®ång thêi tham gia hai chuyÓn
®éng t−¬ng ®èi so víi hÖ ®éng o1x1y1z1 vµ
chuyÓn ®éng kÐo theo cña hÖ ®éng
o1x1y1z1 chuyÓn ®éng so víi hÖ cè ®Þnh
oxyz (H×nh 10.1).
0
1
y
1
x1
0
y
Sau ®©y sÏ kh¶o s¸t chuyÓn ®éng
x
tæng hîp cña c¸c tr−êng hîp th−êng gÆp.
H×nh 10-1
10.1. Hîp hai chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn
Kh¶o s¸t vËt r¾n tham gia hai chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ kÐo theo ®Òu lµ
chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn.
Do tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn mäi ®iÓm trªn vËt r¾n sÏ cã chuyÓn
®éng t−¬ng ®èi vµ kÐo theo nh− nhau v× thÕ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña chóng
còng nh− nhau.
Tõ ®ã ®i ®Õn kÕt luËn: Hép hai chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn cña mét vËt r¾n lµ
mét chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. VËn tèc vµ gia tèc mäi ®iÓm trong chuyÓn ®éng tæng
hîp ®−îc tÝnh b»ng tæng h×nh häc c¸c vÐct¬ vËn tèc hoÆc c¸c vect¬ gia tèc cña
hai chuyÓn ®éng thµnh phÇn.
r
r
r
V = V + V2
(10.1)
(10.2)
1
W = W + W2
1
r
Trong ®ã: V vµ W lµ vËn tèc vµ gia tèc cña chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn tæng
-129-
r
r
hîp; V 1, V 2 vµ W 1, W 2 lµ vËn tèc vµ gia tèc cña hai chuyÓn ®éng tÜnh tiÕn
thµnh phÇn.
10.2. HîP hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc
Kh¶o s¸t vËt r¾n ®ång thêi tham gia hai chuyÓn ®éng: chuyÓn ®éng quay
r
t−¬ng ®èi víi vËn tèc gãc lµ ω1 quanh trôc quay Aa vµ chuyÓn ®éng quay kÐo
r
theo lµ chuyÓn ®éng cña trôc Aa quay quanh trôc Bb víi vËn tèc gãcω2 .Ta sÏ
kh¶o s¸t chuyÓn ®éng tæng hîp cña vËt r¾n trong c¸c tr−êng hîp sau.
10.2.1. Khi hai vÐc t¬ ω 1 vµ ω 2 song song cïng chiÒu.
XÐt vËt r¾n lµ mét ®Üa ph¼ng chuyÓn
b'
a'
ω2
ω1
®éng t−¬ng ®èi quay quanh trôc Aa víi vËn tèc
gãc ω1 vu«ng gãc víi mÆt ®Üa. Trôc Aa l¹i
quay quanh trôc Bb song song víi vËn tèc gãc
ω2 cïng chiÒu víi ω1 (h×nh 10.2).
B
A
Ta cã nhËn xÐt r»ng trong qu¸ tr×nh
chuyÓn ®éng mÆt ph¼ng cña ®Üa cã ph−¬ng
kh«ng ®æi nghÜa lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña
nã lµ chuyÓn ®éng song ph¼ng. VËn tèc cña
®iÓm A vµ B trªn ®Üa cã thÓ x¸c ®Þnh:
b
a
H×nh 10-2
c'
a'
b'
B
ω
ω
ω1
VA = ω2.AB ; VB = ω1.AB
ω
2 C
A
A
Ph−¬ng chiÒu biÓu diÔn trªn h×nh
vA
(10.3).
ω1
ω2
B
DÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc t©m vËn tèc
tøc thêi cu¶ ®Üa lµ ®iÓm C vµ trôc Cc ®i qua
C song song víi Aa vµ Bb lµ trôc quay tøc
thêi cña ®Üa. Tõ vËn tèc cña ®iÓm A vµ B ta
C
(S)
vB
H×nh 10-3
r
cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω cña ®Üa.
VA VB
ω =
=
AC BC
-130-
VA + VB VA + VB
hay: ω =
=
AC + BC
AB
Thay VA = ω2.AB vµ VB = ω1.AB vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc:
ω = ω1 + ω2
(10.3)
KÕt luËn: Hîp hai chuyÓn ®éng quay cïng chiÒu quanh hai trôc song song
lµ mét chuyÓn ®éng quay tøc thêi víi vËn tèc gãc b»ng tæng vËn tèc gãc hai
chuyÓn ®éng thµnh phÇn quanh trôc quay tøc thêi song song víi hai trôc quay ®·
cho vµ ®i qua ®iÓm C chia trong ®o¹n AB theo tû lÖ:
ω1 ω2
BC AC AB
ω
=
=
10.2.2. Khi hai vÐc t¬ ω 1 vµ ω 2 song song ng−îc chiÒu
Khi hai vÐc t¬ ω1 vµ ω2 song song
ng−îc chiÒu ,víi c¸ch biÓu diÔn nh− ë trªn
chuyÓn ®éng cña ®Üa vÉn lµ chuyÓn ®éng
song ph¼ng biÓu diÔn trªn (h×nh 10.4). Gi¶
thiÕt r»ng ω1 > ω2 khi ®ã vËn tèc hai ®iÓm
c'
a'
ω
1
ω
ω
b'
C
A
B
ω
2
VA = ω2.AB vµ VB = ω1.AB nh−ng hai vÐc
ω
ω
1
A
2
r
r
B
t¬ V A vµ V B song song cïng chiÒu.
C
v
A
(S)
v
B
Trªn ®Üa lóc nµy cã thÓ x¸c ®Þnh
®−îc t©m vËn tèc tøc thêi C lµ ®iÓm chia
H×nh 10-4
ω1 ω2
BC AC AB
ω
ngoµi ®o¹n AB theo tû lÖ
=
=
vµ vËn tèc gãc cña ®Üa ®−îc x¸c ®Þnh:
VB VA VB − VA
BC AC BC − AC
VB − VA
ω =
=
=
=
AB
Thay gi¸ trÞ cña VA vµ VB vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc:
ω = ω1 - ω2 (10.4)
-131-
KÕt luËn: Hîp hai chuyÓn ®éng quay ng−îc chiÒu quanh hai trôc song
song lµ mét chuyÓn ®éng quay tøc thêi víi vËn tèc gãc b»ng hiÖu sè vËn tèc gãc
hai chuyÓn ®éng thµnh phÇn quanh trôc quay tøc thêi song song víi hai trôc
quay ®· cho vµ ®i qua ®iÓm C chia ngoµi ®o¹n AB theo tû lÖ:
ω1 ω2
BC AC AB
ω
=
=
Tr−êng hîp ®Æc biÖt nÕu ω1 = ω2 nghÜa lµ 2 vÐc t¬ ω1 vµ ω2 t¹o thµnh
mét ngÉu vÐc t¬, khi ®ã theo (10.4) ta cã ω=
0. §iÒu nµy chøng tá vËt sÏ cã chuyÓn ®éng
tæng hîp lµ tÜnh tiÕn.
ThÝ dô bµn ®¹p cña xe ®¹p (h×nh 10.5).
ϕ
1
ω
1
D
Bµn ®¹p quay quanh trôc cña nã víi
A
ϕ
2
vËn tèc ω1 trôc bµn ®¹p l¹i quay quanh trôc
V
gi÷a cña xe víi vËn tèc ω2 = ω1, hai vÐc t¬
nµy song song ng−îc chiÒu do ®ã chuyÓn
®éng tæng hîp cña bµn ®¹p sÏ lµ chuyÓn
®éng tÞnh tiÕn.
B
ω
2
H×nh 10- 5
10.2.3. Khi hai vÐc t¬ ω 1 vµ ω 2 giao nhau t¹i mét ®iÓm
Kh¶o s¸t vËt r¾n tham gia ®ång thêi hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc
Oa vµ Ob c¾t nhau t¹i O vµ cã vËn tèc gãc lµ ω1, ω2.
Nh− ®· biÕt trong ch−¬ng 9 chuyÓn ®éng tæng hîp cña vËt trong tr−êng
hîp nµy lµ chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh chÝnh lµ giao ®iÓm O cña
2 vÐc t¬ vËn tèc gãc ω1, ω2. Nãi c¸ch kh¸c chuyÓn ®éng tæng hîp cña vËt r¾n
khi nã ®ång thêi tham gia hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau sÏ lµ
mét chuÓyn ®éng quay tøc thêi quanh trôc quay tøc thêi ∆ ®i qua giao ®iÓm O
cña hai trôc quay trong chuyÓn ®éng thµnh phÇn víi vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω=
ω1 + ω2.
Theo (9.6) vµ (9.7) th× vËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm bÊt kú trªn vËt sÏ
-132-
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: V = ω + OM ; W M = W Mω + W M
r
ε
M
ThÝ dô: X¸c ®Þnh vËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña b¸nh r¨ng nãn 1 biÓu diÔn trªn
(h×nh 10.6) cho biÕt t©m A cña b¸nh xe chuyÓn ®éng víi vËn tèc VA vµ kÝch
th−íc AC = R; OA = l.
Bµi gi¶i: ChuyÓn ®éng cña b¸nh
xe ®−îc h×nh thµnh tõ hai chuyÓn ®éng
B
quay: t−¬ng ®èi quanh trôc OA cña b¸nh
ω1
xe vµ chuyÓn ®éng kÐo theo do trôc OA
quay quanh trôc OB. NÕu gãc ϖ1 lµ vËn
tèc gãc cña chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi , ϖ2
lµ vËn tèc gãc cña chuyÓn ®éng kÐo theo
th× hai vect¬ ϖ1 vµ ϖ2 giao nhau t¹i O lµ
®iÓm cè ®Þnh trªn trôc OB. ChuyÓn ®éng
O
A
α
C
ω2
H×nh 10-6
ω
tæng hîp cña b¸nh xe sÏ lµ chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh. V× b¸nh xe
(1) ¨n khíp víi b¸nh xe 2 cè ®Þnh nªn ®iÓm C cã vËn tèc VC= 0. DÔ dµng nhËn
thÊy OC lµ trôc quay tøc thêi cña b¸nh xe. NÕu gäi vËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña
b¸nh xe lµ ϖ theo (9.7) ta cã:
ϖ = ϖ1 +ϖ2.
VA
Trong ®ã ϖ2 cã ph−¬ng OB h−íng xuèng d−íi vµ cã trÞ sè
ω2=
.
l
ω2
sinα
R
DÔ dµng tÝnh ®−îc:
ω=
víi sinα =
.
l2 + R2
VA
R
R2
l2
Cuèi cïng nhËn ®−îc:
ω =
1+
.
10.3. Hîp hai chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn vµ chuyÓn ®éng quay.
Kh¶o s¸t vËt r¾n tham gia ®ång thêi hai chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn víi vËn tèc
v vµ quay quanh mét trôc Aa víi vËn tèc gãc ϖ .
-133-
Bµi to¸n cã thÓ gÆp ph¶i c¸c tr−êng hîp sau:
10.3.1 Khi vËn tèc chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn vu«ng gãc víi vËn tèc gãc
cña chuyÓn ®éng quay.
Khi vËn tèc chuyÓn ®éng tÞnh
tiÕn vu«ng gãc víi vËn tèc gãc cña
chuyÓn ®éng quay. (h×nh 10.7) dÔ
dµng nhËn thÊy r»ng chuyÓn ®éng
tæng hîp cña vËt lµ chuyÓn ®éng song
ph¼ng. Cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc trôc
quay tøc thêi Pp cña vËt b»ng c¸ch
quay VA ®i mét gãc 900 theo chiÒu
quay vßng cña ω trong mÆt ph¼ng
p
a
ω′
ω
(S)
P
A
v
Π
H×nh 10-7
VA
vu«ng gãc víi vect¬ ϖ vµ lÊy trªn ®ã ®iÓm P c¸ch A mét ®o¹n AP=
.
ω
10.3.2. Khi vËn tèc chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn vµ vËn tèc gãc ϖ song song víi
nhau .
XÐt vËt r¾n tham gia 2 chuyÓn ®éng, quay quanh trôc Aa víi vËn tèc gãc
ϖ vµ tÞnh tiÕn víi vËn tèc v theo chiÒu Aa (h×nh 10.8).
ChuyÓn ®éng tæng hîp cña vËt lóc nµy gäi lµ chuyÓn ®éng vÝt. NÕu v vµ ϖ
Cïng chiÒu ta ®−îc chuyÓn ®éng vÝt
a
thuËn vµ v, ϖ ng−îc chiÒu ra ®−îc chuyÓn
ω
®éng vÝt nghÞch.
vM
Kh¶o s¸t 1 ®iÓm trªn vËt trong qu¸ tr×nh
chuyÓn ®éng quü ®¹o cña nã n»m trªn mÆt trô
cã trôc Aa b¸n kÝnh b»ng kho¶ng c¸ch gi÷a
®iÓm ®Õn trôc. D¹ng cña ®−êng quü ®¹o lµ
®−êng xo¾n vÝt. Sau khi quay ®−îc mét vßng
th× ®iÓm ®ång thêi còng dêi theo trôc Aa mét
v M
h
A
H×nh 10-8
-134-
v
®o¹n h = 2π. gäi lµ b−íc vÝt.
ω
Khi vËt chuyÓn ®éng vÝt vËn tèc cña mét ®iÓm M bÊt kú ®−îc x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc:
VM = v2 + r2.ω
Trong ®ã r lµ kho¶ng c¸ch tõ M tíi trôc quay. Ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quü
h
®¹o ( ®−êng vÝt), nghÜa lµ hîp víi ®−êng sinh mét gãc α ( tgα =
10.3.3 Khi v vµ ϖ hîp víi nhau 1 gãc bÊt kú.
).
2.π.r
XÐt chuyÓn ®éng cña vËt quay
ω′
quanh trôc Aa víi vËn tèc gãc ω vµ ®ång
ω
thêi chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn víi vËn tèc v
ω
v
v
α
1
v
α
theo ph−¬ng hîp víi Aa 1 gãc α .( H×nh
A
A
v2
10.9). Trong tr−êng hîp nµy nÕu ph©n
r
r
ω′′
tÝch vect¬ v thµnh hai thµnh phÇn v 1
a)
H×nh 10 - 9
b)
r
theo ph−¬ng ω vµ v 2 vu«ng goc víi ω
r r
r
nghÜa lµ v = v1 + v2 . Theo kÕt qu¶ ë
r
môc 10.3.2 chuyÓn ®éng cña vËt cã ω vµ v 2 ®−îc thay thÕ b»ng chuyÓn ®éng
quay tøc thêi quanh trôc C (trôc quay tøc thêi) víi cïng vËn tèc ω. KÕt qu¶
r
chuyÓn ®éng cña vËt sÏ thùc hiÖn hai chuyÓn ®éng: tÞnh tiÕn víi vËn tèc v 1 vµ
quay quanh trôc C víi vËn tèc gãc ω song song víi v1 vµ c¸ch A mét ®o¹n AP =
v2/ω = v.sinα/ω. Ta gäi chuyÓn ®éng nµy lµ chuyÓn ®éng vÝt tøc thêi.
7 trang
18800
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 10: Hợp chuyển động của vật rắn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_chuong_10_hop_chuyen_dong_cua_va.pdf
