Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt (Phần 3)

T (ξ,τ) = T (ξ,τ) = T = const

⎧

{

1

2

s

⎪

(W )

⎨

5

dξ

dτ

λ T (ξ,τ) − λ T (ξ,τ) = lρ

⎪ 1 1x

2 2x

⎩

Trong ®ã T_1x(ξ,τ) vµ T_2x(ξ,τ) lµ gradient cña tr−êng nhiÖt ®é T₁

dξ

dτ

trong pha r¾n vµ T₂pha láng, cßn

lµ tèc ®é di ®éng cña biªn x = ξ,

hay tèc ®é chuyÓn pha, ρ lµ khèi l−îng riªng cña pha tr−íc qóa tr×nh

chuyÓn pha.

7.1.3. M« h×nh TH bµi to¸n biªn di ®éng

Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n biªn di

®éng do sù chuyÓn pha sÏ lµ 1 hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, trong ®ã cã hai

ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña T₁, T₂thuéc 2 pha, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸c

cña chóng vµ ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5, nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (W₅) ë trªn,

t¹i biªn tiÕp xóc gi÷a 2 pha.

VÝ dô: M« h×nh bµi to¸n 1 chiÒu cã biªn chuyÓn pha nh− h×nh H57 lµ:

T₁τ (x, τ) = a₁T_1xx(x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0

T₂τ (x, τ) = a₂T_2xx(x, τ), ξ< x < L , τ > 0

T₂(x, 0) = T_o> T_s(§K ®Çu)

(T₁, T₂)

C¸c §K biªn t¹i x = 0, x = L

T₁(ξ, τ) = T₂(ξ, τ) = T_s= const

dξ

λ₁T_1x(ξ, τ) - λ₂T_2x(ξ, τ) = lρ

, (t¹i x = ξ)

²dτ

Gi¶i bµi to¸n biªn di ®éng lµ nh»m x¸c ®Þnh T₁(x, τ), T₂(x, τ) vµ

dξ

tÝnh vËn tèc di chuyÓn cña biªn

vµ dÉn ra c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña hÖ

dτ

2 pha ®−îc kh¶o s¸t.

7.2. Bµi to¸n biªn ho¸ r¾n

7.2.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ®ãng b¨ng vïng ®Êt −ít

XÐt 1 vïng ®Êt −ít, réng vµ s©u v« cïng, cã ®é Èm W, nhiÖt ®é

®«ng ®Æc T_s, nhiÖt ho¸ láng l, nhiÖt ®é ban ®Çu T₂(x, 0)=T_o= const >T_s.

129

Lóc τ > 0 ®ét nhiªn h¹ nhiÖt ®é mÆt ®Êt xuèng trÞ sè T₁(0, τ) = T_w

= const < T_s. Cho biÕt c¸c th«ng sè vËt lý ρ₁, C₁, λ₁cña ®Êt b¨ng vµ ρ₂,

C₂, λ₂cña ®Êt −ít. T×m tr−êng nhiÖt ®é T₁(x,τ) trong ®Êt b¨ng, tr−êng

T₂(x, τ) trong ®Êt −ít, vËn tèc di chuyÓn cña mÆt ®ãng b¨ng. TÝnh ®é

dµy líp b¨ng sau thêi gian τ, tÝnh thêi gian τ ®Ó cã líp b¨ng dµy L cho

tr−íc. (Xem minh häa t¹i h×nh H57)

7.2.2. Ph¸t biÓu m« h×nh:

dξ

dτ

T×m T₁(x, τ), T₂(x, τ) vµ

cho bëi hÖ ptvp sau:

2

⎧

⎪

∂T x,τ

∂ T x,τ

(

)

(

)

1

= a

,∀ 0 < x < ξ,τ > 0 (1)

(

)

1

2

∂τ

∂x

2

∂T x,τ

∂ T x,τ

(

)

(

∂x

)

2

= a

,∀ ξ < x < ∞,τ > 0 (2)

(

)

2

∂τ

T x,0 = T = const ≥ T ,∀ ξ < x < ∞,τ = 0 (3)

(

)

(

)

2

o

s

T ,T T 0,τ = T = const < T ,∀ x = 0,τ > 0

(4)

(

)

(

)

(

)

⎨

⎪

1 2

1

w

s

∂T ∞,τ

(

)

2

= 0, x → ∞,τ > 0

(5)

(

)

∂x

T ξ,τ = T ξ,τ = T = const,∀ x = ξ,τ > 0 (6)

(

)

(

)

(

)

1

2

s

∂T ξ,τ

(

)

(

)

dξ

dτ

1

2

λ

− λ

= Wlρ

,∀ x = ξ,τ > 0

(

)

(7)

1

2

∂x

⎪

⎩

7.2.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Stefan

* Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n (4.3) vÒ vËt b¸n v« h¹n, ta sÏ t×m

nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) ë d¹ng sau:

⎛

⎞

x

T (x, τ) = A + B erf

⎜

⎟

1

2 a τ

1

⎝

⎠

−1 ⁿx²ⁿ⁺¹

x

⎛

⎞

∞

2

x

2

(

)

e^−δdδ=

T (x,τ)=

2

,ë ®©y erf(x) =

A +B erf

⎜

⎟

∑

n=0

∫

2

n! 2n+1

δ=0

(

)

2 a τ

π

2

⎝

⎠

130

lµ hµm sai sè Gauss. C¸c h»ng sè A₁B₁A₂B₂®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c

§K ®¬n trÞ nh− sau:

* A₁x¸c ®Þnh theo §KB (4):

T₁(0, τ) = T_w= A₁

A₂t×m theo gi¶ thiÕt cho r»ng T₂(∞, τ) = T_o

T₂(∞, τ) = T_o= A₂+ B₂→ A₂= T_o- B₂

VËy nghiÖm riªng cña (1) + (4) vµ (2) + (5) lµ:

⎛

⎞

x

T (x, τ) = T + B erf

vµ

⎜

⎟

1

w

1

2 a τ

1

⎝

⎠

⎡

⎤

⎥

⎛

⎞

⎛

⎞

x

T (x, τ) = T − B 1− erf

= T − B erfc

o 2

⎢

⎜

⎟

⎜

⎟

2

o

2

2 a τ

⎢

⎣

⎥

⎦

2

⎝

⎠

⎝

⎠

* B₁vµ B₂sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (6) nh− sau:

T₁(ξ, τ) = T₂(ξ, τ) = T_scã d¹ng:

⎛

⎞

⎛

⎞

ξ

T + B erf

= T − B erfc

= T

s

⎜

⎟

⎜

⎟

w

1

o

2

2 a τ

2

1

⎝

⎠

⎝

⎠

V× (B₁, B₂) = const ∀τ nªn c¸c ®¼ng thøc trªn chØ thùc hiÖn ®−îc

khi

ξ = C τ , víi C lµ 1 h»ng sè nµo ®ã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh.

Do ®ã, §KB (6) sÏ lµ:

⎛

⎞

⎛

⎞

C

T + B erf

= T − B erfc

= T

s

⎜

⎟

⎜

⎟

w

1

o

2

2 a

1

2

⎝

⎠

⎝

⎠

T − T

s

w

o

s

Suy ra

vµ

B =

1

2

⎛

⎞

⎛

⎞

C

erf

erfc

⎜

⎟

⎜

⎟

2 a

1

2

⎝

⎠

⎝

⎠

VËy nghiÖm riªng cña [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) lµ:

131

⎛

⎞

T − T

(

)

x

s

w

T₁(x, τ) = T +

erf

⎜

⎟

W

⎛

⎞

2 a τ

C

1

⎝

⎠

erf

⎜

⎟

2 a

1

⎝

⎠

⎛

⎞

T − T

(

)

x

o

s

T₂(x, τ) = T −

erfc

⎜

⎟

o

⎛

⎞

2 a τ

C

2

⎝

⎠

erfc

⎜

⎟

2 a

2

⎝

⎠

* C ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB lo¹i 5 (7) nh− sau:

∂T C τ,τ

(

)

(

)

1

2

C

λ

- λ

= Wlρ

2

1

2

∂x

dξ

dτ

∂x

2 τ

d

C

ë ®©y

=

C τ =

lµ vËn tèc di ®éng cña biªn, tøc lµ

(

)

dτ

2 τ

vËn tèc ®ãng b¨ng.

C¸c hµm sai sè Gauss cã d¹ng:

n

−1 x²ⁿ⁺¹

∞

2

( )

2

erf(x) =

^δ=xe^−δdδ =

,

∑

∫

δ=0

n=0

n! 2n +1

(

)

π

n

2n+1

∞

2

−1 x

( )

2

∞

−δ

erfc(x) =

e dδ =1− erf (x) =1−

∑

∫

δ=x

n! 2n +1

(

)

π

0

n=1

§¹o hµm cña chóng lµ:

n

2

n

2n

−x

∞

∑

2

(

)

−1 x

( )

d

2

−x

erf (x) =

=

e

∑

dx

n!

π

n=0

2

d

2

−x

erfC(x) = − erf(x) = −

e

dx

π

C

Do ®ã, §KB (7) lµ λ T C τ,τ - λ T C τ,τ = Wlρ

sÏ

(

)

(

)

1

1x

2 2x

2

2 τ

øng víi ph−¬ng tr×nh sau:

132

2

⎛

⎞

⎛

⎞

C

exp −

⎜

⎟

⎠

⎜

⎟

⎠

⎜

4a

2

T − T

(

)

1

(

)

s

w

⎝

o

s

⎝

λ

.

+ λ

.

1

2

⎛

⎞

⎛

⎞

πa τ

2

C

1

erf

erfc

⎜

⎟

⎜

⎟

2 a

1

2

⎝

⎠

⎝

⎠

C

= Wlρ

. NÕu ®Æt C = K2 a , tøc K =

ta cã ph−¬ng

2

1

2 τ

2 a

1

tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh C nh− sau:

⎛

⎞

a

2

exp −

K

a

⎜

⎟

exp −K

πlWρ a

(

)

2 1

⎛

⎜

⎞

⎛

⎞

⎟

T − T

λ

a

1

a

2

⎝

⎛

⎠

1

o

s

2

=

K.

+

⎟

⎜

⎝

T − T λ

(

)

erf K

T − T

⎞

( )

s

w

1

⎠

1 ⎝ s

w ⎠

2

erfc K

⎜

⎟

⎠

a

1

⎝

lWρ a

2 1

§Æt

= K , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

o

T − T λ

(

)

s

w

1

y

y=f(K)

f(K) = πK K → Gi¶i b»ng ®å thÞ

(

)

o

π

y=

K_oK

ta cã K vµ t×m ®−îc C = K2 a K.

1

K

H»ng sè K_olµ 1 ®¹i l−îng kh«ng thø

nguyªn, ®−îc gäi lµ tiªu chuÈn (hoÆc

o

a₁

K=c/2

sè) Koccivich

H58. §Ó x¸c ®Þnh K vµ C.

a τ

1

* ChuyÓn vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn b»ng c¸ch ®Æt F_ox=

,

2

x

a

2

Fox gäi lµ biÕn Fourier cña to¹ ®é vµ thêi gian, K_a=

, ta cã nghiÖm

a

1

cña bµi to¸n ®· nªu ë d¹ng kh«ng thø nguyªn nh− sau:

⎛

⎞

1

erf

⎜

⎟

2 F

T x,τ − T

(

)

ox

⎝

⎠

1

w

θ =

=

= θ F

1 ox

(

)

1

T − T

erf K

( )

s

w

133

⎛

⎞

1

erfc

⎜

⎟

2 K F

T − T x,τ

(

)

=

a ox

⎝

⎠

o

2

θ =

= θ F

2 ox

(

)

2

T − T

erfc K K

o

s

(

)

a

7.2.4. TÝnh gÇn ®óng trong kü thuËt:

* Do c¸c chuçi cña erf(x) vµ exp(x²) héi tô rÊt nhanh khi n t¨ng,

nªn víi ®é chÝnh x¸c cho phÐp cña kü thuËt, cã thÓ chØ cÇn lÊy sè h¹ng

®Çu cña c¸c chuçi nµy (øng víi n = 0) khi tÝnh to¸n, tøc lµ coi:

n

2n+1

∞

∑

−1 x

( )

2

erf x =

( )

=

&

x

n! 2n +1

(

)

π

n=0

2

erfc x =1− erf x = 1−

x

( )

&

π

n

2

∞

⎛

⎞

⎛

⎜

⎝

⎞

C

1

C

exp −

=

−

= 1. Khi ®ã cã:

&

⎜

⎟

⎠

⎟

⎠

∑

⎜

⎝

⎜

4a

n! 4a

n=0

⎛

⎞

C

2

C

erf

=

&

.

=

⎜

⎟

⎜

2 a

π 2 a

πa

1

⎝

⎠

⎛

⎞

C

= 1 -

&

erfc

⎜

⎟

2 a

πa

2

⎝

⎠

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh §KB lo¹i 5 ®Ó x¸c ®Þnh C sÏ cã d¹ng:

T − T

πa

1

T − T

(

)

1

(

)

C

s

w

o

C

s

λ

+ λ

= Wlρ

2

1

2

⎛

⎞

C πa τ

2 τ

1−

πa τ

2

⎜

⎟

πa

2

⎝

⎠

⎛

⎞

2λ T − T

(

)

(

)

C

1

s

w

1

o

s

hay C²=

+

⎜

⎟

lwρ

πa − C

2

⎝

⎠

* XÐt tr−êng hîp T_o= T_s, tøc lµ khi nhiÖt ®é ban ®Çu cña pha Èm

b»ng nhiÖt ®é ®ãng b¨ng.

134

2λ T − T

(

)

1 s

w

Khi T_o= T_sta cã: C =

lρ W

2

1

2

⎡

⎤

2λ

1

NÕu pha Èm (2) lµ n−íc, cã ®é Èm w = 1, th× C =

- Lóc nµy, tr−êng nhiÖt ®é trong 2 pha cã d¹ng:

T − T

(

)

s

w

⎢

⎣

⎥

⎦

lρ

2

⎛

⎞

πa

C

x

1

T (x, τ) = T + (T - T )

hay

erf

&

⎜

⎟

1

w

s

w

2 a τ

1

⎝

⎠

lρ W

x

2

T (x, τ) = T + (T - T )

.

→

&

1

w

s

w

2λ T − T

(

)

τ

1

s

w

⎧

=

&

lf W

x

ρ₂

2

T x,τ = T +

T − T .

s w

=

&

(

)

(

)

⎪

⎨

1

w

2λ

τ

1

⎪

⎩

T x,τ = T = T = const

(

)

2

o

s

- VËn tèc dÞch chuyÓn biªn, tøc vËn tèc ®ãng b¨ng, lµ:

λ T − T

(

)

a

1

τ

C

dξ

dτ

dξ

dτ

1 s

w

=

= f τ , tæng qu¸t

( )

= K

, víi

2lρ W.τ

2 τ

2

λ₁(T − T_w)

2lρ₂Wa₁

C

s

K =

=

.

2 a

1

VËy vËn tèc ®ãng b¨ng chØ phô thuéc τ, ®ång biÕn theo λ₁, T_s

nghÞch biÕn theo T_w, l, ρ₂, W vµ τ.

VËn tèc ®ãng b¨ng tû lÖ nghÞch víi τ, tøc lµ khi τ t¨ng 4 lÇn th×

vËn tèc gi¶m 2 lÇn.

Biªn chuyÓn ®éng chËm dÇn víi gia tèc

2

λ T − T

(

)

, [m/s²]

d ξ

1

2

1 s

w

ξ'' =

= −

2lρ Wτ³

2

dτ

2

3

NhËn xÐt: Gia tèc cã trÞ ©m, lµm biªn di chuyÓn chËm dÇn. Khi τ

lín, cã thÓ coi gia tèc ξ'' = 0.

135

'

ξ

c

ξ' =

Lóc nµy biªn di chuyÓn gÇn nh− ®Òu,

nh−ng rÊt chËm.

7.2.5. TÝnh ®é dµy líp b¨ng t¹i thêi

®iÓm τ

* Tr−êng hîp tæng qu¸t, ®é dµy líp b¨ng

t¹i thêi ®iÓm τ lµ

2 τ

o

τ

− c

ξ^"=

4 τ³

"

ξ

H59. VËn tèc vµ gia tèc

cña mÆt b¨ng x = ξ

x = ξ = C τ , víi C = 2 a K, tøc x = ξ = 2K a τ , [m]

1

* Tr−êng hîp T_o= T_svµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1 theo x, cã

2λ

1

C =

T − T nªn ®é dµy líp b¨ng lµ

(

)

s

w

lρ W

2

2λ

1

x = ξ =

T − T τ , [m]

(

)

s

w

lρ W

2

* NÕu pha (2) lµ n−íc, cã W = 1, ë ®iÒu kiÖn T_o= T_sth×

2λ

1

x = ξ =

T − T τ , m

s w

(

)

lρ

2

7.2.6. TÝnh thêi gian ®ãng b¨ng ®Õn ®é dµy ®· cho ξ = L.

* Tr−êng hîp tæng qu¸t víi líp b¨ng ph¼ng, réng ∞, thêi gian ®¹t

2

⎛

⎞

L

⎛ ⎞

tíi ®é dµy ξ = L = C τ lµ τ =

=

, [s]

⎜

⎟

⎜ ⎟

2

C

⎝ ⎠

2 a K

4a K

1

⎝

⎠

1

* Tr−êng hîp T_o= T_svµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1, cã

2

lρ WL

2

τ =

, [s]

2λ T − T

(

)

1 s

w

* Víi n−íc ë T_o= T_sth× thêi gian ®Ó t¹o líp b¨ng ph¼ng, dµy L lµ

(cho W = 1):

2

lρ

L

2

τ =

.

= K

o

λ T − T

2

2a

(

)

1 s

w

1

136

7.3. Bµi to¸n ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n

7.3.1. Môc ®Ých chñ yÕu khi tÝnh ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n

lµ tÝnh thêi gian ®Ó nhiÖt ®é cùc ®¹i trong vËt b»ng 1 trÞ sè cho tr−íc.

Thêi gian ®«ng l¹nh τ gåm 2 giai ®o¹n: τ = τ_o+ τ₁, trong ®ã τ_olµ

thêi gian ®Ó ho¸ r¾n toµn bé vËt Èm, cã nhiÖt ®é t©m vËt b»ng T_s, cßn

τ₁lµ thêi gian ®Ó nhiÖt ®é t©m vËt gi¶m trõ T_s®Õn nhiÖt ®é T_kcho tr-

−íc, theo yªu cÇu cña c«ng nghÖ cÊp ®«ng

ViÖc tÝnh τ₁cã thÓ dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng

æn ®Þnh trong vËt r¾n 1 pha.

Sau ®©y ta sÏ tÝnh τ_otheo ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng. PhÐp tÝnh gÇn

®óng sÏ dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt sau:

7.3.2. C¸c gi¶ thiÕt

1. C¸c vËt Èm h÷u h¹n cã d¹ng ®èi xøng

2. §iÒu kiÖn biªn ngoµi vËt cã tÝnh ®èi xøng, lo¹i 1

3. NhiÖt ®é ban ®Çu trong vËt Èm lµ ®ång nhÊt, vµ b»ng nhiÖt ®é

ho¸ r¾n: T₂(M, τ) = T_s

4. Trong líp vËt r¾n t¹o thµnh sau chuyÓn pha, ph©n bè nhiÖt ®é lµ

tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn di ®éng x = ξ

7.3.3. TÝnh thêi gian lµm ®«ng τ_o

1. §«ng ®Æc vËt Èm ph¼ng, réng

T

2L, cã T_o= T_s, cã λ₁, l, ρ₂hai biªn

ngoµi cã T_w= const < T_o®èi xøng.

Bµi to¸n nµy cã m« h×nh gièng m«

h×nh bµi to¸n ë trªn.

T

s

0

T

W

T

W

ξ

o

x

-L

L

§iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 trªn biªn

di ®éng x = ξ lµ:

dξ

λ₁T_1x(ξ,τ)-λ₂T_2x(ξ,τ)=lρ

W

²dτ

H60. Lµm ®«ng vËt ph¼ng

do T₂(x, τ) = T_s= const nªn T_2x(ξ, τ) = 0

137

Do T₁(x, τ) tuyÕn tÝnh víi x = ξ t¹i ∀τ nªn

T − T

s

w

T_1x(ξ, τ) =

ξ

VËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W₅cã d¹ng:

λ T − T

T − T

dξ

dτ

(

)

1 s

w

s

w

λ

= lρ

W hay ξdξ =

dτ

1

2

ξ

lρ W

2

Thêi gian lµm ®«ng τ_oøng víi khi ξ = L nªn cã:

2

λ T − T

τ

λ T − T

1 s w

(

)

L

(

)

L

o

1 s

w

o

ξdξ =

dτ →

=

τ

o

∫

o

lρ W

2

lρ W

2

lρ W

L

lρ Wa

2

1

VËy τ_o=

.

= K

, víi K_o=

o

λ T − T

2

2a

λ T − T

(

)

(

)

1 s

w

1

1 s

w

2. §«ng ®Æc vËt Èm h×nh trô gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta ®−îc

t

2

lρ W

R

2

τ_o=

.

= K

o

T

s

λ T − T

4

4a

1

(

)

1 s

w

3. Bµi to¸n lµm ®«ng vËt Èm

h×nh cÇu cho kÕt qu¶

T

W

r

o

ξ

R

2

lϕ W

R

2

τ_o=

.

= K

o

H61. Lµm ®«ng vËt trô

λ T − T

6

6a

1

(

)

1 s

w

C¸c c«ng thøc trªn khi tÝnh

cho khèi chÊt láng hoµn toµn th×

lÊy W = 1

T

W

o

T

ξ

s

r

R

7.3.4. So s¸nh thêi gian τ_o:

H62. Lµm ®«ng vËt cÇu

- NÕu c¸c vËt ph¼ng, trô, cÇu cã cïng ®é dÇy tøc R = L th× ta cã:

τ_of= 2τ_ot= 3τ_oc

Víi vËt Èm h×nh d¹ng bÊt kú, thêi gian ®ãng b¨ng τ_otû lÖ thuËn

víi b×nh ph−¬ng ®é dÇy cña vËt. §é dÇy cña vËt ®−îc hiÓu lµ kho¶ng

c¸ch trung b×nh gi÷a hai mÆt ®−îc lµm l¹nh cña vËt. Do ®ã, ®Ó gi¶m

138

thêi gian thêi gian ®«ng kÕt, nªn gi¶m ®é dÇy cu¶ vËt Èm.

7.4. Bµi to¸n ®«ng kÕt vËt ®óc

7.4.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n

Khi tÝnh ®«ng kÕt vËt ®óc, th−êng coi vïng kim lo¹i láng cã nhiÖt

®é ph©n bè ®Òu, b»ng nhiÖt ®é nãng ch¶y t_s. Khi ®ã chØ cÇn t×m ®é dµy

líp kim lo¹i ®«ng kÕt ξ = ξ(τ) vµ tèc ®é biªn ξ, tøc tèc ®é ngng kÕt

dξ

dτ

= f(τ) trªn c¬ së gi¶ thiÕt nh− ë môc (7.2.3), tøc lµ coi tr−êng

nhiÖt ®é trong líp ®· ho¸ r¾n lµ tuyÕn tÝnh víi x = ξ.

t

Khi ®ã bµi to¸n lµ:

∂t

∂x

∂t '

∂x

dξ

dτ

q

(τ)

⎧

⎪

, ,

,

s

ρc

λ

'

ρ'

= ϕ'l

ρc

λ

−λ'

λ

t

s

x=ξ

⎪

ξ τ = 0 = 0

(

)

⎪

t

w

ξ

d

⎨

⎪

t ' x > ξ,τ = t = const

τ

(

)

x

s

o

x =

ξ

t − t

∂t

s

w

=

H63. BT ®«ng kÕt vËt ®óc

∂x

ξ

⎪

⎩

x=ξ

7.4.2. TÝnh ξ(τ) vµ tèc ®é ®«ng kÕt

∂t'

Do t' = const nªn

= 0. Ta cã ph−¬ng tr×nh:

∂x

t_s− t_w

dξ

dτ

λ

ρ'l

λ

= ρ'l

hay

ξdξ =

t − t dτ

(

)

s

w

ξ

1

λ

ρ'l

2

t − t τ + C

(

)

s

w

2

2λ

ρ'l

Theo ξ (τ = 0) = 0 = C. VËy: ξ =

t − t τ, m

(

)

[ ]

s

w

λ t − t

(

)

, [m/s]

dξ

dτ

s

w

Tèc ®é ®«ng kÕt lµ ξ' =

=

2ρ'τ

139

NÕu vËt ®óc dµy 2L, 2 biªn lo¹i 1 ®èi xøng th× thêi gian ®«ng kÕt

lµ:

2

ρ'l

L

τ =

.

= K

, [s]

o

λ t − t

2

2a

(

)

s

w

7.5. TÝnh truyÒn nhiÖt khi nãng ch¶y líp b¶o vÖ vá phi thuyÒn cã vËn tèc lín

7.5.1. VÊn ®Ò b¶o vÖ nhiÖt cho vá phi thuyÒn

Khi bay vµo khÝ quyÓn víi vËn tèc lín, do ma s¸t víi kh«ng khÝ,

vá phi thuyÒn sÏ nhËn 1 l−îng nhiÖt rÊt lín.

T

s

q_o

T

K

T

O

v

_ρc_λ_lT

S

δ

H64. Líp b¶o vÖ vá tµu b»ng vËt liÖu nãng ch¶y

1

2

L−îng nhiÖt nµy tû lÖ víi lùc c¶n cña kh«ng khÝ F = Kρ v S vµ

k

2

vËn tèc v cña tµu, vµ b»ng:

1

3

Q_o= Kρ v S, [W] hay

k

2

Q

1

3

= Kρ v , [W/m²]

o

q_o=

k

S

2

nguy h¹i cho c¶ con tµu. Do ®ã, ng−¬× ta ph¶i t×m c¸ch gi¶i tho¸t l−îng

nhiÖt nµy, b¶o ®¶m cho nhiÖt ®é thµnh tµu kh«ng v−ît qu¸ 1 gi¸ trÞ an

toµn T_knµo ®ã.

Gi¶i ph¸p hiÖn nay lµ bäc vá tµu b»ng 1 líp vËt liÖu cã nhiÖt ®é

nãng ch¶y T_skh«ng lín h¬n T_knãi trªn, T_s< T_k. NhiÖt ma s¸t lµm

nãng ch¶y líp vá nµy råi tho¸t ra khÝ quyÓn.

ViÖc thiÕt kÕ líp b¶o vÖ nhiÖt bao gåm viÖc chän vËt liÖu thÝch

hîp, x¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nhËn nhiÖt nãng ch¶y, tÝnh vËn

140

tèc nãng ch¶y vµ x¸c ®Þnh ®é dµy ®ñ an toµn cho chuyÕn bay. Sau mçi

chuyÕn bay, líp b¶o vÖ sÏ bÞ nãng ch¶y råi tho¸t c¶ nhiÖt lÉn chÊt vµo

khÝ quyÓn, vµ ng−êi ta sÏ bäc l¹i cho lÇn bay tiÕp theo.

7.5.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n líp nãng ch¶y

T×m tr−êng nhiÖt ®é T(y, τ) trong líp vËt liÖu cã c¸c th«ng sè vËt

lý (ρ, C, λ, l, T_s) cho tr−íc, cã biªn nãng ch¶y cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh

vi ph©n sau:

T

⎧

⎪

2

∂T

∂τ

∂ T

T

K

= a

2

ρ

cλ

W

,l

τ

∂y

T

s

ξ

d

W

=

q_O

T y,τ = 0 = T ξ → ∞,τ = T

dτ

(

)

(

)

o

⎪

T

O

∂T

∂ξ

⎪

y

T

( )

= 0

⎨

⎪

O

δ

ξ

ξ→∞

=

y

- W

τ

T ξ = 0,τ = T

(

)

s

H65. Bµi to¸n biªn nãng ch¶y

∂ξ

∂τ

∂T

∂ξ

(W₅)

q = ρl

− λ

o

⎪

⎩

ξ=0

7.5.3. X¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nãng ch¶y

dξ

Gäi vËn tèc di ®éng biªn nãng ch¶y ξ lµ W =

. ChuyÓn bµi to¸n

dτ

(T) sang hÖ to¹ ®é ®éng (ξ, τ) b»ng c¸ch ®æi biÕn ξ = y - Wτ. Khi ®ã

2

∂T ∂T ∂ξ

∂τ ∂ξ ∂τ

∂T

∂ξ

∂ T ∂ T

=

.

= −W

vµ

=

nªn ph−¬ng tr×nh vi

2

∂y

∂ξ

2

∂T

∂ξ

∂ T

W

a

hay T_ξξ+

T = 0 →

−W

= a

yy

ξ

2

∂ξ

W

⎛

⎝

⎞

⎠

NghiÖm tæng qu¸t lµ T(ξ) = A exp − ξ + B, víi c¸c h»ng sè A,

⎜

⎟

a

B t×m theo §KB:

T(ξ = 0) = T_s= A + B

T(ξ → ∞) = T_o= B

B = T_o

→

A = T_s- T_o

141

VËy tr−êng T cã d¹ng:

W

⎛

⎝

⎞

⎠

T(ξ) = (T_s- T_o) exp − ξ + T_o

⎜

⎟

a

Hay ë d¹ng kh«ng thø nguyªn

T − T

W

⎛

⎞

⎟

⎠

o

θ(ξ) =

= exp − ξ

⎜

T − T

a

⎝

s

o

7.5.4. X¸c ®Þnh vËn tèc nãng ch¶y

dξ

dτ

VËn tèc nãng ch¶y W =

®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (W₅)

∂T

∂ξ

W

a

λ

hay, do a = nªn:

ρc

q_o= ρlW − λ

= ρlw + λ(T_s- T_o)

ξ=0

q_o= ρlw + Cρw(T_s- T_o) = wρ [l + C(T_s- T_o)]

VËy vËn tèc nãng ch¶y b»ng

q

dξ

o

W =

=

, [m/s]

dτ ρ l + C T − T

⎡

⎤

)

⎦

(

s

o

⎣

Tr−êng nhiÖt ®é trong líp vá b¶o vÖ cho bëi:

⎧

⎪

⎫

⎪

−q Cξ

o

T ξ = T − T exp

( )

+ T

víi

o

(

)

⎪

⎨

⎬

s

o

λ l + C T − T

⎡

⎤

)

⎦

(

⎪

⎩

q τ

⎪

⎭

s

o

⎣

T y,τ

(

)

(

)

⎪

o

ξ = y −

, hoÆc cô thÓ h¬n, lµ:

⎪

ρ l + C T − T

⎡

⎤

)

⎦

(

s

o

⎣

⎩

⎧

⎪

⎫

⎪

⎡

⎤

⎥

−q C

q τ

o

T y,τ = T − T exp

y −

+ T

o

(

)

(

)

⎢

⎨

⎬

s

o

λ l + C T − T

ρ l + C T − T

⎡ ⎤

s o

⎡

⎤

(

)

(

)

⎢

⎣

⎥

⎦

s

o

⎪

⎩

⎪

⎭

⎣

⎦

⎣

⎦

7.5.5. TÝnh l−îng nhiÖt dÉn vµo vá tµu

Môc ®Ých cña líp b¶o vÖ lµ khö bá phÇn lín nhiÖt l−îng sinh ra do

ma s¸t. PhÇn nhiÖt cßn l¹i sÏ dÉn vµo trong, lµm t¨ng néi n¨ng cña líp

b¶o vÖ cßn l¹i vµ dÉn tiÕp vµo thµnh tµu, phÇn nhiÖt nµy b»ng:

142

∂T

∂ξ

q_v= −λ

= ρCW (T_o- T_s) hay

ξ=0

q C T − T

C T − T

s o

q

(

)

(

)

o

s

o

v

o

q_v=

, →

=

l + C T − T

(

)

s

o

s o

C«ng thøc trªn cho thÊy nÕu chän vËt liÖu cã nhiÖt nãng ch¶y lín,

l ↑, th× dßng nhiÖt thõa q_vsÏ nhá.

7.5.6. X¸c ®Þnh chiÒu dµy an toµn cña líp c¸ch nhiÖt nãng

ch¶y

Gäi thêi gian con tµu cÇn bay trong khÝ quyÓn lµ τ. §Ó chuyÕn bay

an toµn, chiÒu dµy δ líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y ph¶i ®−îc chän sao cho

δ > Wτ, hay δ = kWτ víi k > 1 lµ hÖ sè dù phßng chän tr−íc.

q τ

o

δ = k

ρ l + C T − T

⎡

⎤

)

⎦

(

s

o

⎣

NÕu liªn hÖ víi biÓu thøc cña q_o, ta cã:

3

Kρ v τ

k

δ = k

, m

[ ]

2ρ l + C T − T

⎡

⎤

)

⎦

(

s

o

⎣

Tãm l¹i, khi thiÕt kÕ líp an toµn nhiÖt cho vá tµu, ph¶i chän vËt

liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y T_s≤ T_k, cã nhiÖt nãng ch¶y l lín, vµ ®é dµy

δ tho¶ m·n c«ng thøc nªu trªn.

143

Môc lôc

Trang

Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt ........................3

1.1. §Þnh luËt Fourier ..............................................................................3

1.1.1. ThiÕt lËp ....................................................................................3

1.1.2. Ph¸t biÓu ...................................................................................4

1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt .........................................................................4

1.2.1. §Þnh nghÜa .................................................................................4

1.2.2. ThiÕt lËp.....................................................................................4

1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) ................................................................6

1.3.1. §Þnh nghÜa .................................................................................6

1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) .................................................6

1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB.........................................7

1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt...........................................................8

Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch.........................10

2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm...............................................10

2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ..................10

2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm ............................................................10

2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ .......................................................................11

2.2. ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn fourier .........................................................12

2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier ............................12

2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt .........................................12

144

2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W₂+W₃)...........12

2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh ...................................................14

2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ .................................14

2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ ..............................................14

2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W₁) ..................14

2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè........................................................16

2.4.1. Ph¹m vi sö dông......................................................................16

2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS................................................17

2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W₂+ W₂₀) .....................................17

2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu .............20

2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp.....................................................20

2.5.2. Ph−¬ng ph¸p quy vÒ c¸c bµi to¸n 1 chiÒu .............................23

2.5.3. §Þnh lý giao nghiÖm ................................................................25

Ch−¬ng 3: ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc

vµ c¸c bµi to¸n dao ®éng nhiÖt.............26

3.1. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................................................26

3.1.1. Kh¸i niÖm dao ®éng nhiÖt ......................................................26

3.1.2. M« h×nh mét bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................26

3.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc hay tæ hîp phøc (Complex Combination) ....27

3.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc (TTP)..........................27

3.2.2. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc..............................27

3.3. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt trong vËt b¸n v« h¹n ...................................28

3.3.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh (Nh− môc 3.1.2)...................................28

3.3.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p THP.................................................28

3.3.3. Kh¶o s¸t sãng nhiÖt.................................................................29

3.4. Dao ®éng nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng ................................31

3.4.1. §Æt vÊn ®Ò................................................................................31

145

3.4.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................32

3.4.4. NghiÖm riªng æn ®Þnh .............................................................35

3.4.5. NghiÖm riªng kh«ng æn ®Þnh..................................................35

3.4.6. NghiÖm riªng dao ®éng...........................................................37

3.4.7. KÕt luËn....................................................................................39

Ch−¬ng 4: ph−¬ng ph¸p to¸n tö laplace.................41

4.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace..............................................41

4.1.1. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ..............................................................41

4.1.2. PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn..................................................41

4.1.3. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc..................................................42

4.1.4. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p Laplace

4.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö cho bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn W1.......................43

4.3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö t×m (x,f) trong vËt b¸n v« h¹n...........................45

4.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................45

4.3.2. M« h×nh BT..............................................................................45

4.3.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö .............................................45

Ch−¬ng 5: ph−¬ng ph¸p SAI PH¢N H÷U H¹N ................47

5.1.1. Néi dung FDM.........................................................................47

5.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FDM..........................................................47

5.1.3. Ph¹m vi sö dông FDM............................................................48

5.3. C¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian .................................51

146

5.3.1. Ph−¬ng ph¸p Euler ................................................................51

5.3.2. Ph−¬ng ph¸p Èn (Implicit) .....................................................51

5.3.3. Ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson................................................52

5.3.4. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ..........................................................52

5.4. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh.....................53

5.5. FDM cho bµi to¸n KO§ mét chiÒu tæng qu¸t.........................................54

5.6. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu tæng qu¸t ............................57

5.6.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ..................................................................57

5.6.2. M« h×nh TH ............................................................................58

5.7. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 3 chiÒu t(x,y,z,τ) ...............................62

5.7.1. Trong täa ®é vu«ng gãc xyz ...................................................62

5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn........................................................66

5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh.................................................66

5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn ..........................................................66

5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn.............................69

Ch−¬ng 6: ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n,

finite element method (FEM) ....................71

6.1.1. Néi dung FEM.........................................................................71

6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM..........................................................71

6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM .........................................................73

6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x₁, x₂,...,x_n)..........................73

147

6.3.1. PhiÕm hµm...............................................................................75

6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange ........................................................78

6.4. VÝ dô minh ho¹ c¸c b−íc ¸p dông FEM ................................................85

6.4.1. Bµi to¸n biªn c« lËp................................................................85

6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation)...86

6.5. Bµi to¸n biªn T§N W₂+ W₃..................................................................95

6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh..............................................................95

6.5.3. Ph¸t biÓu FEM ........................................................................96

6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n

kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y, ) víi biªn c« lËp...................................99

τ

6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh ...................................................................99

6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n...........................................100

6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ.............................................................106

6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n

kh«ng æn ®Þnh t (x,y, ) tæng qu¸t.......................................................107

τ

6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh .................................................................107

6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n...................................................109

6.7.4. TÝnh ®¹o hµm theo [t] cña I_λvµ I_C.....................................109

6.7.5. TÝnh dI_g/d[t]...........................................................................109

148

Giáo trình Các phương pháp tính truyền nhiệt (Phần 3) - Nguyễn Bốn