Đề ôn tập Olympic toán sinh viên - Chủ đề: Phép tính vi phân hàm một biến
Trường ĐHBK TpHCM
Bộ môn Toán ứng dụng
Đề ôn tập Olympic toán sinh viên
Chủ đề: Phép tính vi phân hàm một biến
1
n
1. Với điều kiện nào, hàm số f : x −→ |x| sin m , x = 0, f(0) = 0, m > 0, có
|x|
a) đạo hàm bị chặn trong lân cận của điểm gốc tọa độ.
b) đạo hàm không bị chặn trong lân cận của điểm gốc tọa độ.
ꢀ
ꢀ
π
ꢀ
ꢀ
2
x cos , x = 0,
ꢀ
ꢀ
x
2. Chứng minh rằng, hàm số f : x −→
có những điểm trong
0, x = 0,
lân cận của điểm gốc tọa độ, mà đạo hàm hữu hạn tại điểm đó không tồn tại,
nhưng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x = 0.
2
sin x, x ∈ Q,
3. Chứng minh rằng, hàm số f : x −→
những điểm xk = kπ, k ∈ Z.
có đạo hàm chỉ tại
0, x ∈ R\Q,
arcsin x2
1
sin , x = 0,
x
x
4. Chứng minh rằng, hàm số f : x −→
liên tục tại điểm
0, x = 0,
x = 0, nhưng không có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x = 0.
1
2n
x sin , x = 0,
x
5. Chứng minh rằng, hàm số f : x −→
với n ∈ N, có đạo hàm
0, x = 0,
đến cấp n tại điểm x = 0, nhưng không có đạo hàm cấp (n + 1) tại điểm x = 0.
6. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) | sin x − sin y| 6 |x − y|;
b) pyp−1(x − y) 6 xp − yp 6 pxp−1(x − y), nếu 0 < y < x và p > 1;
c) arctan a − arctan b| 6 |a − b|;
a − b
a
< ln <
b
a − b
d)
, nếu 0 < b < a.
a
b
7. Chứng minh rằng, nếu hàm số f khả vi nhưng không bị chặn trên khoảng hữu
hạn (a, b) thì đạo hàm của nó f0 cũng không bị chặn trên khoảng (a, b).
8. Chứng minh rằng, nếu hàm số f khả vi trong khoảng (x0, +∞) và lim f0(x) = 0
x→+∞
f(x)
thì lim
= 0.
x→+∞
x
9. Chứng minh rằng, nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm hữu hạn
trong khoảng (a, b), f không là hàm tuyến tính, thì trong khoảng (a, b) tồn tại ít
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
f(b) − f(a)
0
nhất một điểm c sao cho |f (c)| >
·
b − a
10. Chứng minh rằng, nếu hàm số f có đạo hàm cấp 2 trên đoạn [a, b] và f0(a) =
f0(b) = 0, thì trên khoảng (a, b) tồn tại ít nhất một điểm c sao cho
4
f00(c) >
· |f(b) − f(a)|·
(b − a)2
11. Chứng minh rằng, nếu ϕ là hàm khả vi, đơn điệu tăng và
|f0(x)| 6 ϕ0(x), ∀x > x0,
thì
|f(x) − f(x0)| 6 ϕ(x) − ϕ(x0), ∀x > x0.
12. Cho hàm số f liên tục trên khoảng [a, +∞) và f0(x) > k > 0, ∀x > a, với k là
hằng số. Chứng minh rằng, nếu f(a) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất
ꢁ
ꢂ
f(a)
một nghiệm thực trong khoảng a, a −
k
13. Chứng minh rằng, nếu
a) hàm số ϕ và ψ có đạo hàm đến cấp n;
b) ϕ(k)(x0) = ψ(k)(x0), k = 0, n − 1;
c) ϕ(n)(x) > ψ(n)(x), ∀x > x0,
thì ϕ(x) > ψ(x), ∀x > x0.
14. Cho hàm số f khả vi đến cấp hai trong khoảng [a, +∞) sao cho f(a) = A > 0,
f0(a) < 0, và f00(x) 6 0, ∀x > a. Chứng minh rằng, phương trình f(x) = 0 có
duy nhất một nghiệm thực trong khoảng (a, +∞).
15. Chứng minh rằng, nếu hàm số f khả vi đến cấp 2 trong khoảng (x0, +∞) và
lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, thì trong khoảng (x0, +∞) có ít nhất một điểm ξ
x→x+0
x→+∞
sao cho f00(ξ) = 0.
1
1
−
, x = 0;
x
ex − 1
16. Khảo sát tính khả vi tại điểm x = 0 của hàm số f(x) =
12, x = 0
x1+x
17. Tìm tiệm cận của hàm số y =
, x > 0.
(1 + x)x
2 trang
22500
Free
Bạn đang xem tài liệu "Đề ôn tập Olympic toán sinh viên - Chủ đề: Phép tính vi phân hàm một biến", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_on_tap_olympic_toan_sinh_vien_chu_de_phep_tinh_vi_phan_ha.pdf
