Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng
PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1
Trần Anh Dũng
Tóm tắt: Bài viết “Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng” là một
nghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp giải toán. Ý tưởng xuất phát một khái niệm
toán học quen thuộc “tâm tỉ cự” tương đồng với moment lực trong vật lý. Tác giả đã
chuyển những bài toán có tính chất afin với các khái niệm đồng qui, thẳng hàng, tìm
tỉ số bằng cách đặt các trọng số đồng thời đưa ra khái niệm tổng, hiệu của hệ điểm và
ứng dụng giải nhiều bài toán hấp dẫn với lời giải đẹp. Với phương pháp này, tác giả
đã sử dụng làm công cụ giải hai định lý toán học phổ dụng là định lý Cê-va và định lý
Menelaus.
Từ khóa: Tâm tỉ cự, trọng số, trọng tâm, đồng quy, thẳng hàng, tỉ số.
1. Mở đầu
Cho một tam giác ABC, người ta gắn tại
các đỉnh của tam giác các trọng lượng khác nhau
m1, m2, m3. Có thể chọn điểm G (gọi là điểm cân
bằng) trên mặt phẳng tam giác này làm điểm treo
để tam giác cân bằng (mặt phẳng (ABC) vuông
góc với phương thẳng đứng) được hay không?
Đây là một bài toán không khó.
Ta xét riêng trên đoạn thẳng BC của tam
giác, dựa vào công thức về moment lực ta có thể
tìm được điểm cân bằng GAÎBC sao cho m2GAB
= m3GAC. Dễ dàng khẳng định rằng tổng trọng lượng của B và C lúc này là m2 + m3 sẽ
đặt lên điểm GA và điểm cân bằng G của tam giác ABC thuộc đoạn thẳng AGA (khẳng
định này sẽ được lý giải trong phần khái niệm cơ sở) sao cho m1AG = (m2 + m3)AGA
và khi đó tổng trọng lượng ba điểm A, B, C sẽ đặt vào điểm G.
Lại thấy rằng nếu gọi GB, GC lần lượt là điểm cân bằng của các cạnh CA, AB thì
dễ dàng khẳng định được các đường thẳng AGA, BGB, CGC đồng quy tại G. Từ ý tưởng
trên, bằng hướng này, ta có thể giải được một số bài toán afin ở dạng chứng minh thẳng
hàng, đồng quy hoặc tìm tỉ số đoạn thẳng.
Điểm cân bằng (điểm đặt) trong moment lực vật lý của hai điểm B,C như trong
tình huống trên hoàn toàn tương đương với khái niệm tâm tỉ cự hình học của chúng.
_________
1. ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam
17
PHưƠNG PHáP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Dựa vào khái niệm về tâm tỉ cự của hệ điểm ta có thể dễ dàng giải quyết được
những bài toán dạng trên ở mức độ phức tạp hơn. Với hệ điểm A1, A2, ..., An và các hệ
n
m GA = 0. Ta
số m , m , ..., m tương ứng luôn tồn tại một điểm G là tâm tỉ cự sao cho å
i
i
1
2
n
i=1
thấy rằng điểm cân bằng đa giác được nói nôm na trong tình huống trên chính là tâm
tỉ cự của tập hợp điểm.
Từ ý tưởng trên, ta thử giải một bài toán đơn giản theo hướng này:
Bài toán. Chứng tỏ trọng tâm chia trung tuyến tam giác theo tỉ số 1:2.
Giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC, ta có:
, như vậy khi đặt A, B, C các trọng lượng 1 thì G là điểm cân bằng
GA+GB + BC = 0
và có trọng số 3, trung điểm M là điểm cân bằng của B và C có trọng số 2. Như vậy với
3 điểm thẳng hàng A, G, M trong đó G là điểm cân bằng của A(trọng số 1) và M(trọng
số 2), với cùng lập luận, ta dễ dàng suy ra được
. Tức là GA = 2GM.
GA+2GM = 0
Như vậy từ những bài toán đơn giản trên, ta có thể hướng đến một cách giải cho
một số bài toán hình học.
2. Nội dung
2.1. Khái niệm cơ sở:
Định lý. Trong mặt phẳng (hoặc không gian), Tâm tỉ cự của hệ điểm cho trước
k
m = m ¹ 0. Khi đó, tồn
k điểm A , A ,..., A và k số thực m , m ,..., m thỏa mãn å
i
1
2
k
1
k
2
k
i=1
tại duy nhất điểm G sao cho: å
m GA = 0 .
i
i
i=1
Ta gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm (A1, A2, ..., Ak) gắn với các hệ số (m1, m2, ...,
mk), gọi tắt G là tâm tỉ cự của hệ điểm (Ai, mi)k.
mi
Chứng minh. Lấy một điểm o tùy ý, gọi li=
Î, i =1, k . Khi đó ta luôn chọn
m
k
k
k
1
được điểm G sao cho OG = l OA Û OG =
m OA
Û
mOG = m OA
∑
∑
∑
i
i
i
i
i
i
m
i=1
i=1
i=1
m GA = 0 (ĐPCM)
k
k
k
k
Û
m OG = m OA
Û
m GO + OA = 0
Û
(
)
∑
∑
∑
∑
i
i
i
i
i
i
i
Trong phạm vi nội dung bàiiv=1iết này, ta ký hiệu tâm tỉi=c1ự G trong định lý trên
i=1
i=1
k
làG(m) =
A (m ) và các hệ số m, m được gọi là trọng số của các điểm G, A .
å
i
i
i
i
k
i=1
Mệnh đề 1. Cho G1 là tâm tỉ cự của hệ điểm (Ai, m )
m ¹ 0 . G2 là tâm tỉ cự
i k, å
i
i=1
k
n ¹ 0. Khi đó, tâm tỉ cự của hệ k+s điểm trên với các hệ số
của hệ điểm (B , n ) , å
i
j
j s
i=1
tương ứng trùng với tâm tỉ cự của hai điểm (G1, G2) với hệ số tương ứng (m, n) trong đó
18
TRẦN ANH DŨNG
k
s
m =
m , n =
n
,
(hiển nhiên G thuộc đường thẳng G G ).
m + n ¹ 0
å
å
i
j
1
2
i=1
j=1
Chứng minh.
G(m+n) = G1(m) + G2(n)
mGG1 +nGG2 = 0
Û
k
k
l
l
æ
ö
æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
m GG +
m G A +
÷ ç
n GG +
n G B = 0
ç
Û
(vì
Û
çå
å
çå
å
i
1
i
1
j
2
j
2
j
÷
÷
ø
i
÷
÷
ç
è i=1
ø
è j=1
n G B = 0, m =
i=1
j=1
j
k
l
k
1
m G A = 0,
m , n =
n
)</