Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân
Phần 2
Toán tử Laplace
Phép biến đổi Lapalace
Phép biến đổi Lapalace ngược
Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân
Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện
Toán Kỹ Thuật 2014
1
Chương 5 Ứng dụng biến đổi Laplace vào PTVP
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số hằng
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) +. .+. a1 y'(t) + a0 y(t) = f (t)
y(0)
y’(0)
y”(0)
……
Điều kiện đầu
(sơ kiện)
y(n-1)(0)
y(t) = ytöïdo + ycöôõng böùc
y(t) = yquaùñoä + yxaùclaäp
y(t) = yzero_input + yzero_state
Nghiệm (riêng, tổng quát)
Giải trực tiếp → không dễ !!
Toán K ỹ Thuật 2014
2
Dùng biến đổi Laplace
Qui trình
Nghiệm
Phương trình vi phân biến t
y(t)
Biến đổi
Biến đổi
Lapalce thuận
Lapalce ngược
Nghiệm
Phương trình đại số biến s
Y(S)
Toán K ỹ Thuật 2014
3
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
y"+ y = t
Cho
Tìm y(t). Cho biết y(0)=1 ; y’(0)=2
Qui ước ký hiệu
Miền t : x, y, z… thay cho x(t), y(t), z(t)…
Miền S : X, Y, Z… thay cho X(s), Y(s), Z(s)…
Giải
1
L y = Y ; L t =
{ }
{ }
2
L y" = s2Y − sy(0− ) − y'(0− ) = s2Y − s − 2
1
s + 2 1
⇒ (s2 +1)Y − s − 2 =
⇒ Y = +
2
s2 +1 s2 (s2 +1)
1 s +1
→ y(t) = t + cost + sint
⇒ Y = +
2 2
Toán K ỹ Thuật 2014
4
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
1 t ∈[0,1]
Cho biết y(0)=0 ; y’(0)=1
Tìm nghiệm riêng y(t)
y"+ 4y = f (t) =
0 t ∉[0,1]
Giải
f (t) = u(t) −u(t −1)
Biến đổi Laplace cho 2 vế
1− e−s
−s
1− e
1
s2Y −1+ 4Y =
⇒ Y =
+1
s
s2 + 4
s
−s
1− e 2 1
1
1
⇒ Y =
−
−
+
8 s s − j2 s + j2 s2 + 4
2 − 2 cos 2t u(t) − 2 − 2 cos 2(t −1) u(t −1)
(
)
(
)
sin 2t
y(t) =
+
u(t)
Toán K ỹ Thuật 2014
5
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
Cho biết y(0-)=2 ; y’(0-)=1
Tìm y(t)
y"+ 5y'+ 6y = f '+ f
f (t) = e−4tu(t)
Giải
s 1
(s2Y − 2s −1) + 5(sY − 2) + 6Y =
s +1
+
⇒ Y(s2 + 5s + 6) =
+ 2s +11
s + 4
2s2 + 20s + 45
2s2 + 20s + 45
⇒ Y =
⇒ Y =
=
(s2 + 5s + 6)(s + 4) (s + 2)(s + 3)(s + 4)
13/ 2 3 3/ 2
−
−
s + 2 s + 3 s + 4
−2t
−3t
−4t
13
2
→ y(t) = e −3e − 3 e u(t)
2
Toán K ỹ Thuật 2014
6
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
Cho biết y(0-)=2 ; y’(0-)=1
Tìm yzero_input ; yzero_state
y"+ 5y'+ 6y = f '+ f
f (t) = e−4tu(t)
Giải
s 1
(s2Y − 2s −1) + 5(sY − 2) + 6Y = +
+ 2s +11
s +1
⇒ Y(s2 + 5s + 6) =
Do sơ kiện
Do f(t)
Nghiệm zero_state là nghiệm gây ra do tác động f(t)
Nghiệm zero_input là nghiệm do sơ kiện
Toán K ỹ Thuật 2014
7
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
s +1
⇒ Y(s2 + 5s + 6) =
+ 2s +11
Do f(t)
Do sơ kiện
s +1
2s +11
⇒ Y =
+
(s + 4)(s2 + 5s + 6) s2 + 5s + 6
1/ 2 2 3/ 2
7 5
⇒ Y = − + −
+
−
s + 2 s + 3 s + 4 s + 2 s + 3
y(t) = − 1 e−2t + 2e−3t − 3 e−4t u(t) + 7e−2t −5e−3t u(t)
2
2
yzero_state
yzero_input
Toán K ỹ Thuật 2014
8
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
y"+ 5y'+ 6y = f '+ f
f (t) = e−4tu(t)
Tìm nghiệm tổng quát y(t)
Giải
Trường hợp này không có sơ kiện
Đặt y(0-)=A ; y’(0-)=B
s
1
(s2Y − As − B) + 5(sY − A) + 6Y =
+
s +1
As2 + Cs + D
⇒ Y(s2 + 5s + 6) =
+ As + 5A+ B =
s + 4
s + 4
As2 + Cs + D
k1
k2
k3
⇒ Y =
=
+
+
(s + 2)(s + 3)(s + 4) s + 2 s + 3 s + 4
→ y(t) = k e−2t + k e−3t + k e−4t u(t)
1
2
3
Toán K ỹ Thuật 2014
9
Giải hệ phương trình vi phân
x' = Ax + By
y' = Cx + Dy
Hệ phương trình vi phân cấp 1
x(0) = x
0
Điều kiện đầu
y(0) = y0
sX − x = AX + BY
X (s)
0
Biến đổi Laplace
→
sY − y0 = CX + DY
Y(s)
Biến đổi Laplace ngược
−1
x(t) = L X (s)
{ }
−1
y(t) = L Y(s)
{ }
Toán K ỹ Thuật 2014
10
Ví dụ
x(0) = 8
y(0) = 3
x' = 2x −3y
y ' = y − 2x
Biết:
Giải
Giải hệ:
sX −8 = 2X −3Y
Biến đổi Laplace
Giải trong miền s
sY −3 = Y − 2X
5
3
X =
+
s +1 s − 4
5
2
Y =
−
s +1 s − 4
−t
4t
x(t) = 5e + 3e
Biến đổi ngược
y(t) = 5e−t − 2e4t
Toán K ỹ Thuật 2014
11
11 trang
22460
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_5_ung_dung_bien_doi_laplace_v.pdf
