Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng

Toán kỹ thuật

I. Giải tích Fourier

II. Phép biến đổi Laplace

III.Hàm phức và ứng dụng

Hàm phức và ứng dụng

1. Hàm giải tích

2. Tích phân phức

3. Chuỗi hàm phức

4. Lý thuyết thặng dư

5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

6. Phép biến đổi bảo giác

1. Hàm giải tích

a. Hàm biến phức

b. Giới hạn và liên tục

c. Đạo hàm

d. Điều kiện Cauchy – Riémann

e. Các tính chất của hàm giải tích

f. Cám hàm phức sơ cấp

1. Hàm giải tích

a. Hàm biến phức

Định nghĩa:

w = f(z)

với z = x + jy

w = u(x,y) + jv(x, y)

Ví dụ:

1

w  f (z)   u(x, y)  jv(x, y)

z

1

x

y

f (z) 



 j

x  jy x² y²

x² y²

x

y

 u(x, y) 

; v(x, y)  

x² y²

1. Hàm giải tích

b. Giới hạn và liên tục

Định nghĩa:

Giới hạn:

lim f (z)  w₀

zz₀

   0, (): f (z)  w  , z  0  z  z   ()





0

Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z₀nếu:

lim f (z)  f (z₀)

zz₀

1. Hàm giải tích

c. Đạo hàm

Định nghĩa:

dw

dz

f (z  z)  f (z)

 w'  f '(z)  lim

z0

z

Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm?

1. Hàm giải tích

d. Điều kiện Cauchy – Riémann

w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)

u v

x y







Điều kiện Cauchy – Riémann:





u v

 





y x

- f(z) có đạo hàm tại z = z₀ f(z) thỏa điều kiện Cauchy –

Riémann tại z₀.

- f(z) có đạo hàm tại z = z₀và tại mọi điểm trong lân cận

của z₀: f(z) giải tích tại z₀.

z₀là một điểm thường của f(z).

- f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D.

1. Hàm giải tích

d. Điều kiện Cauchy – Riémann

Đạo hàm của hàm giải tích:

u v v u

f '(z)   j   j

x x y y

Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm

số sau:

a. f (z)  z

c. f (z)  z²

b. f (z)  z.Re z

 

d. f (z)  e^{ z}

Giải:

a, c: xem sách.

1. Hàm giải tích

d. Điều kiện Cauchy – Riémann

b. f (z)  (x  jy)x  x² jxy  u(x, y)  x²;v(x, y)  xy

u

x

v u v

 2x;  x;  0;  y

y y x

f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0.

 x







u  e cos y

d. f (z)  e^{ (x jy)} e^{ x}cos y  jsin y 





v  e^{ x}sin y

u

x

u

y

v

y

 e^{ x}cos y;  e^{ x}cos y;

v

 e^{ x}sin y;  e^{ x}sin y

x

u v

f '(z)   j  e^{ x}(cos y  jsin y)  e^{ z}

x x

1. Hàm giải tích

d. Điều kiện Cauchy – Riémann

Ví dụ: cho u(x,y) = x²– y²+ 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho

f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích.

Giải:

Điều kiện Cauchy – Riemann:

v u

  2x  2  v  2xy  2y  F(x)

y x

u v

y x

dF

   2y  2y   F(x)  C

dx

Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0:

f(z) = x²– y²+ 2x + j(2xy + 2y) = z²+ 2z

1. Hàm giải tích

e. Các tính chất của hàm giải tích:

Khái niệm Hàm điều hòa:

Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương

trình Laplace:

² ²



 0

x²y²

Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai

hàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai

hàm điều hòa liên hợp.

Ví dụ: xét hàm: f(z) = x²– y²+ 2x + j(2xy + 2y) = z²+ 2z

1. Hàm giải tích

e. Các tính chất của hàm giải tích:

Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D

thì các đường cong u(x,y) = c₁là những quỹ đạo trực giao

với các đường cong v(x,y) = c₂.

Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay

z  z

z  z

2i

x 

; y 

2

ta sẽ thu được hàm theo biến z.

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

i. Hàm mũ e^z:

e^z e^xcos y  je^xsin y

Các tính chất:

 e⁰1

 e^zw e^ze^w

 e^z 0;z

 e^z1/ e^z

 e^jt e^{ jt};t 

 e^z1 z  2n j;n

 e^{z2n j} e^z

 de^z/ dz  e^z

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

i. Hàm mũ e^z:

Ví dụ: Giải phương trình e^z= 1 + 2j

e^z e^xcos y  je^xsin y 1 2 j

Giải:

x

e^2x 5











e cos y 1



e^xsin y  2 tan y  2



1







x  ln5

1



 z  ln5 j arctan(2)

2





y  arctan(2)

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

ii. Hàm lượng giác cosz, sinz:

e^jz e^{ jz}

e^jz e^{ jz}

2 j

cos z 

; sin z 

2

 cos²z  sin²z 1

 cos jy  cosh y; sin jy  jsinh y

 cos z  cos(x  jy)  cos xcosh y  jsin xsinh y

 sin z  sin(x  jy)  sin xcosh y  j cos xsinh y

 cos(z₁ z₂)  cos z₁cos z₂sin z₁sin z₂

 sin(z₁ z₂)  sin z₁cos z₂ cos z₁sin z₂

 d(cos z) / dz  sin z; d(sin z) / dz  cos z

 sin z  0  z  n; cos z  0  z  (2n 1) / 2; n

 sin(z  2n )  sin z; cos(z  2n)  cos z; n

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

iii. Hàm hyperbol:

e^z e^z

2

e^z e^z

cosh z 

; sinh z 

2

sinh z

cosh z

sinh z

tanh z 

; coth z 

cosh z

Các tính chất:

 cosh jy  cos y; sinh jy  jsin y

 cosh z  cosh xcos y  jsinh xsin y

 sinh z  sinh xcos y  j cosh xsin y

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

iv. Hàm logarithm lnz :

w  ln z  e^w z

z  re^j(    )

ln z  ln r  j(  2n)

ln z  ln | z |  j arg z









 







Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0)

Các tính chất:

 ln(z₁z₂)  ln z₁ ln z₂

z₁

 ln  ln z₁ ln z₂

z₂

 ln z^m mln z

1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

iv. Hàm logarithm lnz :

Ví dụ:



4



^_

2n

 ln(1 j)  ln 2e^j

 ln 2  j  2n







4



























 ln(3)  ln 3e^{j 2n1} ln3 j(2n 1)









1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

v. Hàm lũy thừa z^s:

z^s e^{sln z};s

1

 z^s

z^s

Nhánh chính:

z^s e^sLnz; | z | 0;   arg z  



2









^_

Ví dụ:

 j^{2 j} e^{2 jln j} e

j

2n





^{ }



2 jln 1e



2





2n

 e^{2 j. j}

 e^(4n1)













4











4







4

(1 j) ln 2 j  2n

j ln 2 2n







 e^{ln 2 2n}e







 (1 j)^{1 j} e^{(1 j)ln(1 j)} e







 2e⁴^2ncos ln 2   2n  jsin ln 2   2n















4



4



























 2e⁴^2ncos ln 2   jsin ln 2 







4



























4









1. Hàm giải tích

f. Các hàm phức sơ cấp

vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược:

arcsin z   j ln z  1 z²





arccos z   j ln z  z²1



1 j  z

arctan z  j ln

2 j  z

arcsinh z  ln z  z²1





arccosh z  ln z  z²1



1 1 z

arctanh z  ln

2 1 z

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Hàm giải tích