Bài giảng Xác suất và thống kê - Chương 1: Những khái niệm cơ bản về xác suất
Chu’o’ng 1
`
ˆ ´
˜
’
’
´
ˆ
ˆ
´
’
NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT
.
’
ˆ
`
ˆ
’
ˆ
’
´
´
’
1. BO TUC VE GIAI TICH TO HOP
.
´
˘
1.1 Qui tac nhˆan
’
’
Gia su mˆot cˆong viˆec n`ao d¯o´ d¯uoc chia th`anh k giai d¯oan. C´o
’ ’
c´ach thuc hiˆen giai
’
.
’
1
.
.
.
.
.
´
´
´
´
c´ach thuc hiˆen giai d¯oan thu
d¯oan thu nhˆat,
c´ach thuc hiˆen giai d¯oan thu hai,...,
’
’
.
’
’
.
’
2
.
.
.
.
.
k. Khi d¯o´ ta c´o
=
1
2
c´ach thuc hiˆen cˆong viˆec.
’
.
.
.
’
’
´
’
´
`
`
’
’
˘
• V´ı du 1 Gia su d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen C ta bat buˆoc phai d¯i qua d¯iˆem B. C´o 3 d¯uong kh´ac
’ ’
’
’
.
.
’
’
´
`
’
´
`
’
`
’
`
nhau d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen B v`a c´o 2 d¯uong kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu B d¯ˆen C. Vˆay c´o = 3 2 ca´ch
’ ’
kh´ac nhau d¯ˆe d¯i tu A d¯ˆen C.
.
’
´
A
B
C
’
1.2 Chinh hop
’
.
’
´
˜
’
’
`
’
’
`
Dinh nghia 1 Chinh hop chˆap k cua n phaˆn tu ( ≤ ) l`a mˆot nh´om (bˆo) c´o thu tu
’
’
’ ’
.
’
.
.
¯ .
.
.
’
’
`
`
`
gˆom k phˆan tu kh´ac nhau chon tu n phˆan tu d¯a˜ cho.
.
´
’
’
`
’
’
Sˆo chinh hop chˆap k cua n phˆan tu k´ı hiˆeu l`a
.
’
.
.
.
!
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh:
=
= ( − 1) ( − + 1)
’
( − )!
’
´
`
`
’
’
• V´ı du 2 Mˆot buˆoi hop gˆom 12 nguoi tham du. Hoi c´o mˆay c´ach chon mˆot chu toa
’ ’
’
.
.
.
.
.
.
.
v`a mˆot thu k´y?
’
.
’
Giai
Mˆoi c´ach chon mˆot chu toa v`a mˆot thu ky´ tu 12 nguoi tham du buˆoi hop l`a mˆot
’
˜
`
’
`
’ ’
’
’
’
.
.
.
.
.
.
.
’
’
`
’
’
chinh hop chaˆp k cua 12 phˆan tu.
’
.
.
1
2
Chu’o’ng 1.
2
12
´
Do d¯´o sˆo c´ach chon l`a
.
= 12 11 = 132.
’
´
˜
´
´
`
• V´ı du 3 Voi c´ac chu sˆo 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe lˆap d¯uoc bao nhiˆeu sˆo kh´ac nhau gˆom 4
’
’
’ ’
.
.
.
´
˜
chu sˆo.
’
’
Giai
´
`
˘
´
´
´
´
˜
`
`
˜
’
˘
C´ac sˆo bat d¯ˆau bang chu sˆo 0 (0123, 0234,...) khˆong phai l`a sˆo gˆom 4 chu sˆo.
’
’
´
´
´
˜
’
`
˜
˜
’
Chu sˆo d¯ˆau tiˆen phai chon trong c´ac chu sˆo 1,2,3,4,5. Do d¯o´ c´o 5 c´ach chon chu sˆo
’
’
.
.
`
d¯ˆau tiˆen.
3
5
’
´ ´ ´
´
˜
’
˜
Ba chu sˆo kˆe tiˆep c´o thˆe chon tu`y y´ trong 5 chu sˆo c`on lai. C´o
c´ach chon.
.
’
.
.
3
5
´
Vˆay sˆo c´ach chon l`a 5
= 5 (5 4 3) = 300
.
.
’
˘
1.3 Chinh hop lap
’
.
.
’
´
˜
`
`
’
’
˘
Dinh nghia 2 Chinh hop lap chˆap k cua n phˆan tu l`a mˆot nh´om c´o thu tu gˆom k
’
.
’
’ ’
.
.
.
¯ .
.
’
’
’
’
’
’
’
˜
`
`
’
`
`
`
˘
.
phˆan tu chon tu n phˆan tu d¯a˜ cho, trong d¯´o moˆi phˆan tu c´o thˆe c´o mat 1,2,...,k lˆan trong
.
nh´om.
´
’
’
`
’
’
˘
˘
.
Sˆo chinh hop lap chap k cua n phˆan tu d¯uoc k´ı hiˆeu
’ ’
.
’
.
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
=
´
´
´
’
˘
• V´ı du 4 Xˆep 5 cuˆon s´ach v`ao 3 ngan. Hoi c´o bao nhiˆeu c´ach xˆep ?
.
’
Giai
´
´
˜
˜
`
’
’
˘
˘
.
˘
Mˆoi c´ach xˆep 5 cuˆon s´ach v`ao 3 ngan l`a mˆot chinh hop lap chˆap 5 cua 3 (Mˆoi lˆan
’
.
.
.
´
´
´
˘
˘
xˆep 1 cuˆon s´ach v`ao 1 ngan xem nhu chon 1 ngan trong 3 ngan. Do c´o 5 cuˆon s´ach nˆen
viˆec chon ngan d¯uoc tiˆen h`anh 5 lˆan).
’
.
´
`
˘
’ ’
.
.
.
5
3
= 35 = 243.
´
´
Vˆay sˆo c´ach xˆep l`a
.
1.4 Ho´an vi
.
’
´
˜
`
`
`
’
’
˘
Dinh nghia 3 Ho´an vi cua m phˆan tu l`a mˆot nh´om c´o thu tu gˆom d¯u mat m phˆan
’
’ ’
.
.
.
¯ .
.
’
tu d¯a˜ cho.
’
´
’
’
`
’
Sˆo ho´an vi cua m phˆan tu d¯uoc k´ı hiˆeu l`a
.
’ ’
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
=
!
´
´
˜
`
’
• V´ı du 5 Mˆot ba`n c´o 4 hoc sinh. Hoi c´o mˆay c´ach xˆep chˆo ngˆoi ?
.
.
.
’
Giai
´
Mˆoi c´ach xˆep chˆo cua 4 hoc sinh o mˆot b`an l`a mˆot ho´an vi cua 4 phˆan tu. Do d¯´o sˆo
´
’
’
˜
˜
’
’
’
`
’
.
.
.
.
´
c´ach xˆep l`a
= 4! = 24.
4
3
’
1.5 Tˆo hop
’
.
’
’
`
˜
`
’
Dinh nghia 4 Tˆo hop chˆap k cua n phˆan tu ( ≤ ) l`a mˆot nh´om khˆong phˆan biˆet
’
.
’
.
.
.
¯ .
´
’
’
’
`
`
`
’
thu tu, gˆom k phˆan tu kh´ac nhau chon tu n phaˆn tu d¯a˜ cho.
’ ’
’
.
.
’
´
’
’
`
’
Sˆo tˆo hop chˆap k cua n phˆan tu k´ı hiˆeu l`a
.
’
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc t´ınh
’
!
( − 1) ( − + 1)
=
=
!( − )!
!
ꢀ Chu´ y´
´
i) Qui uoc 0! = 1.
’ ’
ii)
iii)
−
=
.
−1
=
+
.
−1
−1
’
´
´
˜
`
`
`
’
’
’
• V´ı du 6 Moˆi d¯ˆe thi gˆom 3 cˆau hoi lˆay trong 25 cˆau hoi cho truoc. Hoi c´o thˆe lˆap
’ ’
.
.
nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe thi kh´ac nhau ?
’
Giai
25!
25 24 23
1 2 3
3
25
’
´
`
Sˆo d¯ˆe thi c´o thˆe lˆap nˆen l`a
=
=
= 2 300.
.
3! (22)!
’
’
’
’
´
˜
’
˜
`
’
˘
• V´ı du 7 Moˆt m´ay t´ınh c´o 16 coˆng. Gia su tai mˆoi thoi d¯iˆem baˆt k`y mˆoi cˆong hoac
’
’
.
.
.
.
’
’
’
’
’
˘
.
˘
.
trong su dung hoac khˆong trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯ˆong hoac khˆong thˆe hoat
d¯oˆng. Hoi c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach chon) trong d¯´o 10 cˆong trong su dung, 4 khˆong
’
.
.
.
.
.
’
´
’
’
’
’
.
.
.
’
trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯oˆng v`a 2 khoˆng hoat d¯ˆong?
’
’
.
.
.
.
.
’
Giai
’
´
´
Dˆe x´ac d¯inh sˆo c´ach chon ta qua 3 buoc:
’ ’
.
.
¯
10
16
’
´
’
’
Buoc 1: Chon 10 cˆong su dung: c´o
’ ’
= 8008 c´ach.
.
.
’
’
’
´
’
’
Buoc 2: Chon 4 cˆong khˆong trong su dung nhung c´o thˆe hoat d¯ˆong trong 6 cˆong c`on
’ ’
’
.
.
.
.
4
lai: c´o
= 15 c´ach.
.
6
2
2
’
’
´
Buoc 3: Chon 2 cˆong khˆong thˆe hoat d¯ˆong: c´o
= 1 c´ach.
’ ’
.
.
.
10
16
4
6
2
2
´
˘
Theo qui tac nhˆan, ta c´o
= (8008) (15) (1) = 120 120 c´ach.
´
1.6 Nhi thuc Newton
’
.
’
’
˘
’
`
´
´
´
’
˘
O phˆo thˆong ta d¯a˜ biˆet c´ac hang d¯ang thuc d¯´ang nho
’
’
1
1
+
=
=
=
+
( + )2
( + )3
2 + 2
+
1 1
2
3 + 3 2 1 + 3
’
´
+
1 2
3
’
`
˘
´
`
’
˘
C´ac hˆe sˆo trong c´ac hang d¯ang thuc trˆen c´o thˆe x´ac d¯inh tu tam gi´ac Pascal
’
.
.
4
Chu’o’ng 1.
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
0
1
2
3
4
−1
’
´
´
´
Newton d¯a˜ chung minh d¯uoc cˆong thuc tˆong qu´at sau (Nhi thuc Newton):
’
’ ’
.
’
’
.
−
( + )
=
=
=
0
1
−1
2
−2 2
−
−1
−1
+
+
+
+
+
+
+
´
´
(a,b l`a c´ac sˆo thuc; l`a sˆo tu nhiˆen)
’
.
’
.
´
´
´
´
ˆ
ˆ
ˆ
`
ˆ
´
ˆ
˜’
2. BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO
.
’
´
´
2.1 Ph´ep thu v`a biˆen cˆo
’
’
`
’
’
’
Viˆec thuc hiˆen mˆot nh´om c´ac d¯iˆeu kiˆen co ban d¯ˆe quan s´at mˆot hiˆen tuong n`ao d¯o´
’ ’
’
.
.
.
.
.
.
.
.
’
’
’
´
’
’
´
´
’
’
d¯uoc goi mˆot ph´ep thu. C´ac kˆet qua c´o thˆe xay ra cua ph´ep thu d¯uoc goi l`a biˆen cˆo (su
’ ’
’ ’
.
’
.
.
.
.
.
kiˆen).
.
• V´ı du 8
.
’
’
´
’
’
`
`
`
`
˘
.
i) Tung d¯oˆng tiˆen lˆen l`a mˆot ph´ep thu. Doˆng tiˆen lˆat mat n`ao d¯´o (xˆap, ngua) l`a mˆot
.
.
.
¯
´
´
biˆen cˆo.
´
’
˘
ii) Ban mˆot ph´at su´ng v`ao mˆot c´ai bia l`a mˆot ph´ep thu. Viˆec viˆen d¯an tru´ng (trˆat)
’
.
.
.
.
.
.
´
´
bia l`a mˆot biˆen cˆo.
.
´
´
´
´
˜
2.2 C´ac biˆen cˆo v`a quan hˆe giua c´ac biˆen cˆo
’
.
i) Quan hˆe k´eo theo
.
´
´
´
´
´
’ ’
, nˆeu A xay ra th`ı B xay
Biˆen cˆo A d¯uoc goi l`a k´eo theo biˆen cˆo B, k´ı hiˆeu
⊂
’ ’
.
.
.
ra.
ii) Quan hˆe tuong d¯uong
’ ’ ’ ’
.
´
´
´
´
Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a tuong d¯uong voi nhau nˆeu
’ ’ ’ ’ ’ ’
⊂
v`a ⊂ , k´ı hiˆeu
’
.
.
.
=
.
´
´
´
iii) Biˆen cˆo so cˆap
’
’
´
´
´
´
´
˜
Biˆen cˆo so cˆap l`a biˆen cˆo khˆong thˆe phˆan t´ıch d¯uoc nua d¯uoc nua.
’ ’ ’ ’
’
’
’
.
.
´
´
˘
´
´
˘
iv) Biˆen cˆo chac chan
´
´
´
’
’
’
L`a biˆen cˆo nhˆat d¯inh se˜ xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. K´ı hiˆeu Ω.
’
.
.
.
.
5
´
´
˘
´
´
´
´
˘
˘
• V´ı du 9 Tung mˆot con xu´c xac. Biˆen coˆ mat con xu´c xac c´o sˆo chˆam b´e hon 7 l`a
’
.
.
.
´
˘
´
˘
´
´
biˆen cˆo chac chan.
’
´
´
v) Biˆen cˆo khˆong thˆe
´
´
´
’
’
’
L`a biˆen cˆo nhˆat d¯inh khˆong xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. K´ı hiˆeu ∅.
’
.
.
.
.
’
´
´
´
’
´
´
’
˜
⊕ Nhˆan x´et Biˆen cˆo khˆong thˆe ∅ khˆong bao h`am mˆot biˆen cˆo so cˆap n`ao, nghia l`a
.
.
´
´
´
´
khˆong c´o biˆen cˆo so cˆap n`ao thuaˆn loi cho biˆen cˆo khˆong thˆe.
’
’
.
.
´
´
˜
vi) Biˆen cˆo ngˆau nhiˆen
’
´
´
’
’
’
’
’
˘
´
L`a biˆen cˆo c´o thˆe xay ra hoac khˆong xay ra khi thuc hiˆen ph´ep thu. Ph´ep thu m`a
’
.
’
.
.
´
´
’
’
˜
˜
’ ’
c´ac kˆet qua cua n´o l`a c´ac biˆen cˆo ngˆau nhiˆen d¯uoc goi l`a ph´ep thu ngˆau nhiˆen.
’ ’
.
.
’
´
´
vii) Biˆen cˆo tˆong
’
´
´
´
´
´
´
´
’
+ , nˆeu C xay
’
Biˆen cˆo C d¯uoc goi l`a tˆong cua hai biˆen cˆo A v`a B, k´ı hiˆeu
’ ’
=
.
.
.
´
’
’
ra khi v`a chi khi ´ıt nhˆat mˆot trong hai biˆen cˆo A v`a B xay ra.
.
´
´
´
´
´
`
`
’ ’
+
˘
˘
• V´ı du 10 Hai nguoi tho san cu`ng ban v`ao mˆot con thu´. Nˆeu goi A l`a biˆen cˆo nguoi
’ ’
’
.
.
.
.
´
˘
´
˘
´
´
´
´
`
’ ’
thu nhˆat ban tru´ng con thu´ v`a B l`a biˆen cˆo nguoi thu hai ban tru´ng con thu´ th`ı
=
’
’
´
´
´
˘
l`a biˆen cˆo con thu´ bi ban tru´ng.
.
ꢀ Chu´ y´
’
’
´
´
´
´
´
´
˜
˜
`
’
i) Moi biˆen cˆo ngˆau nhiˆen A d¯ˆeu biˆeu diˆen d¯uoc duoi dang tˆong cua mˆot sˆo biˆen cˆo
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
’
´
´
´
´
´
´
so cˆap n`ao d¯o´. C´ac biˆen cˆo so cˆap trong tˆong n`ay d¯uoc goi l`a c´ac biˆen cˆo thuˆan loi cho
’ ’
’
’
’
.
.
.
.
´
´
biˆen cˆo A.
’
’
´
´
˘
´
`
´
´
´
´
´
´
’
´
˜
´
’
˘
ii) Biˆen cˆo chac chan Ω l`a tˆong cua moi biˆen cˆo so cˆap c´o thˆe, nghia l`a moi biˆen cˆo
’
.
.
´
´
so cˆap d¯ˆeu thuˆan loi cho Ω. Do d¯o´ Ω c`on d¯uoc goi l`a khˆong gian c´ac biˆen cˆo so cˆap.
’
’
.
’ ’
.
.
.
´
´
´
´
’
˘
• V´ı du 11 Tung mˆot con xu´c xac. Ta c´o 6 biˆen cˆo so cˆap
6, trong
1
2
3
4
5
.
.
´
´
´
˘
.
d¯o´
l`a biˆen cˆo xu´at hiˆen mat j chˆam = 1 2
6.
.
˜
´
´
´
´
´
´
´
´
˘
˘
Goi A l`a biˆen cˆo xuaˆt hiˆen mat voi sˆo chˆam chan th`ı A c´o 3 biˆen cˆo thuˆan loi l`a
’
’
.
.
.
.
.
.
6
2
4
Ta c´o
=
+
+
4
2
6
´
´
´
´
´
´
´
´
´
˘
Goi B l`a biˆen cˆo xuaˆt hiˆen mat voi sˆo chaˆm chia hˆet cho 3 th`ı B c´o 2 biˆen cˆo thuˆan
’
.
.
.
.
loi l`a
.
6
’
3
.
Ta c´o
=
+
3
6
´
´
viii) Biˆen cˆo t´ıch
´
´
´
´
´
’
’
Biˆen cˆo C d¯uoc goi l`a t´ıch cua hai biˆen cˆo A v`a B, k´ı hiˆeu AB, nˆeu C xay ra khi v`a
’ ’
.
.
.
˜
’
’
’
chi khi ca A lˆan B cu`ng xay ra.
6
Chu’o’ng 1.
´
`
˘
• V´ı du 12 Hai nguoi cu`ng ban v`ao moˆt con thu´.
’ ’
.
.
´
´
˘
´
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Goi A l`a biˆen cˆo nguoi thu nhaˆt ban truot, B l`a biˆen cˆo nguoi thu hai ban truot th`ı
’ ’
’
’ ’
.
’ ’
’
’ ’
.
.
´
´
´
˘
=
l`a biˆen cˆo con thu´ khˆong bi ban tru´ng.
.
´
´
ix) Biˆen cˆo hiˆeu
.
´
’
´
´
´
´
´
’
’
Hiˆeu cua biˆen cˆo A v`a biˆen cˆo B, k´ı hiˆeu A \ B l`a biˆen cˆo xay ra khi v`a chi khi A
.
.
’
’
xay ra nhung B khˆong xay ra.
’
´
´
´
˘
x) Biˆen cˆo xung khac
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a hai biˆen cˆo xung khac nˆeu chu´ng khˆong d¯ˆong thoi
’ ’
.
’
.
’
’
’
xay ra trong mˆot ph´ep thu.
.
`
`
• V´ı du 13 Tung mˆot d¯ˆong tiˆen.
.
.
´
´
´
´
´
´
´
’
’
˘
˘
.
Goi A l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat xˆap, B l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat ngua th`ı
= ∅.
.
.
.
.
´
´ ´
xi) Biˆen cˆo d¯ˆoi lˆap
.
´
´
´
´
´
´ ´
´
´
´
’
Biˆen cˆo khˆong xay ra biˆen cˆo A d¯uoc goi l`a biˆen cˆo d¯ˆoi lˆap voi biˆen cˆo A. K´ı hiˆeu .
’ ’
.
’
.
.
.
Ta c´o
+
= Ω
= ∅
⊕ Nhˆan x´et
.
’
´
´
´
´
´
´
’
Qua c´ac kh´ai niˆem trˆen ta thˆay c´ac biˆen cˆo tˆong, t´ıch, hiˆeu, d¯ˆoi lˆap tuong ung voi
’ ’
’
.
.
.
’
´
’
’
`
’
tˆap hop, giao, hiˆeu, phˆan bu` cua ly´ thuyˆet tˆap hop. Do d¯´o ta c´o thˆe su dung c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆap hop cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆen cˆo.
’
.
’
.
.
.
.
.
´
´
’
.
.
’
’
’
´
´
`
’
Ta c´o thˆe du`ng biˆeu d¯ˆo Venn d¯ˆe miˆeu ta c´ac biˆen cˆo.
Ω
Ω
Ω
´
´
˘
AB
A+B
˘
Bc chac chan
Ω
Ω
Ω
A
A
A
B
B
´
´
Dˆoi lˆap
A=⇒B
˘
A,B xung khac
.
¯
7
´
ˆ
´
3. XAC SUAT
’
’
´
´
˜
3.1 Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen
¯
.
’
’
’
’
´
´
`
˜
’
’
˘
Dinh nghia 5 Gia su ph´ep thu c´o n biˆen coˆ d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯´o
’
’
¯ .
’
´
´
´
´
´
´
´
`
’
’
˘
c´o m biˆen cˆo d¯ˆong kha nang thuˆan loi cho biˆen cˆo A (A l`a tˆong cua m biˆen cˆo so cˆap
n`ay). Khi d¯´o x´ac suˆat cua biˆen cˆo A, k´ı hiˆeu ( ) d¯uoc d¯inh nghia bang cˆong thuc sau:
’ ’
’
.
’
.
´
`
˘
´
´
´
˜
’
’
.
.
.
´
`
Sˆo truong hop thuˆan loi cho A
’ ’
’
.
’
.
.
( ) =
=
’
´
`
’
Sˆo truong hop c´o thˆe xay ra
’ ’
’
.
´
´
´
´
´
`
˘
˘
.
• V´ı du 14 Gieo mˆot con xu´c xac cˆan d¯ˆoi, d¯ˆong chˆat. T´ınh x´ac suˆat xuaˆt hiˆen mat
.
.
.
˜
˘
chan.
’
Giai
˜
˘
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
˘ ˘
l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat i chˆam v`a A l`a biˆen cˆo xuˆat hiˆen mat chan th`ı
. . . .
Goi
.
=
+
+
4
2
6
’
´
’
´
´
´
’
`
’
’
˘
Ta thˆay ph´ep thu c´o 6 biˆen cˆo so cˆap d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra trong d¯´o c´o 3
’
´
´
biˆen cˆo thuˆan loi cho A.
’
.
.
3
6
1
2
( ) =
=
´
´
´
`
`
’
• V´ı du 15 Mˆot nguoi goi d¯iˆen thoai nhung lai quˆen 2 sˆo cuˆoi cua sˆo d¯iˆen thoai cˆan
’ ’
´
’
.
.
.
.
.
.
˜
.
.
’
´
’
´
’
`
’ ’
goi m`a chi nho l`a 2 soˆ d¯´o kh´ac nhau. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe nguoi d¯o´ quay ngaˆu nhiˆen mˆot
.
.
´
`
`
lˆan tru´ng sˆo cˆan goi.
.
’
Giai
´
´
´
`
˜
`
`
Goi A l`a biˆen cˆo nguoi d¯´o quay ngˆau nhiˆen mˆot lˆan tru´ng sˆo cˆan goi.
’ ’
.
.
.
2
10
’
´ ´
´
´
´
´
´
`
’
’
˘
Sˆo biˆen cˆo so cˆap d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra (sˆo c´ach goi 2 sˆo cuˆoi) l`a
=
= 90.
’
.
´
´
´
Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho A l`a = 1.
’
.
.
1
90
Vˆay ( ) =
.
.
’
´
´
´
`
˘
• V´ı du 16 Trong hˆop c´o 6 bi trang, 4 bi d¯en. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆay tu hoˆp ra d¯uoc
’
’ ’
.
.
.
.
i) 1 viˆen bi d¯en.
´
˘
ii) 2 viˆen bi trang.
’
Giai
´
´ ´
´
´ ´
`
`
’
Goi A l`a biˆen cˆo lˆay tu hˆop ra d¯uoc 1 viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆen cˆo lˆay tu hˆop ra 2
’
’ ’
.
.
.
.
´
˘
viˆen bi trang.
Ta c´o
8
Chu’o’ng 1.
1
4
1
10
2
=
i) ( ) =
ii) ( ) =
5
2
6
2
10
1
=
3
´
˜
˜
`
• V´ı du 17 Ru´t ngˆau nhiˆen tu mˆot cˆo b`ai tu´ lo kho 52 l´a ra 5 l´a. T`ım x´ac suˆat sao
’
’
’
.
.
cho trong 5 l´a ru´t ra c´o
’
a) 3 l´a d¯o va` 2 la´ d¯en.
`
b) 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chuˆon.
’
’
Giai
´
´
’
Goi A l`a biˆen cˆo ru´t ra d¯uoc 3 l´a d¯o v`a 2 l´a d¯en.
’ ’
.
.
´
´
`
B l`a biˆen cˆo ru´t ra d¯uoc 2 con co, 1 con rˆo, 2 con chuˆon.
’ ’
.
’
5
52
’
´
´
´
’
Sˆo biˆen cˆo c´o thˆe xay ra khi ru´t 5 l´a b`ai l`a
.
3
26
2
´
´
´
a) Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho A l`a
.
26
’
.
.
3
26
2
26
845000
( ) =
=
= 0 3251
5
52
2598960
2
13
1
13
2
13
´
´
´
b) Sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho B l`a
’
.
.
2
13
1
2
13
79092
13
( ) =
=
= 0 30432
5
52
2598960
’
´
`
`
• V´ı du 18 (B`ai to´an ng`ay sinh) Mˆot nh´om gˆon nguoi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe c´o ´ıt
’ ’
.
.
´
`
’ ’
nhˆat hai nguoi c´o cu`ng ng`ay sinh (cu`ng nga`y va` cu`ng th´ang).
’
Giai
’
´
´
`
’ ’
’
˘
Goi l`a tˆap hop c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe cua nguoi v`a l`a biˆen cˆo c´o ´ıt
’
.
.
.
´
`
nhˆat hai nguoi trong nh´om c´o cu`ng ng`ay sinh trong nam.
’ ’
´
´
´
`
Ta c´o l`a biˆen cˆo khˆong c´o hai nguoi bˆat ky` trong nh´om c´o cu`ng ng`ay sinh.
’ ’
´
`
’
Sˆo c´ac truong hop cua l`a
’ ’
’
.
( ) = 365 365 365 = 365
´
`
Sˆo truong hop thuaˆn loi cho l`a
’ ’
’
.
’
.
.
( ) = 365 364 363
[365 − ( − 1)]
[365 364 363
(366 − )](365 − )!
=
(365 − )!
365!
=
(365− )!
9
´
`
’
˘
V`ı c´ac biˆen cˆo d¯ˆong kha nang nˆen
365!
(365− )!
365
( )
365!
( ) =
´
=
=
( )
365 (365 − )!
’
´
`
Do d¯´o x´ac suˆat d¯ˆe ´ıt nhˆat c´o hai nguoi c´o cu`ng ng`ay sinh l`a
’ ’
365!
(365− )!
365
365!
( ) = 1 − ( ) = 1 −
=
365 (365 − )!
’
Bang b`ai to´an ng`ay sinh
’
’
´
´
´
´
˜
ꢀ Chu´ y´ Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen c´o mˆot sˆo han chˆe:
.
.
.
¯
´
´
´
’
’
˜
i) N´o chi x´et cho hˆe huu han c´ac biˆen cˆo so cˆap.
’
.
.
`
’
’
’
˘
ii) Khˆong phai lu´c n`ao viˆec ”d¯ˆong kha nang” cu˜ng xay ra.
.
´
´
´
˜
3.2 Dinh nghia x´ac suˆat theo lˆoi thˆong kˆe
¯
.
’
’
’
’ ’
.
´
´
´
˜
`
`
’
Dinh nghia 6 Thuc hiˆen ph´ep thu n lˆan. Gia su biˆen cˆo A xuaˆt hiˆen m lˆan. Khi
’
’
.
.
¯ .
d¯o´ m d¯uoc goi l`a tˆan soˆ cua biˆen coˆ A v`a ty sˆo
´
.
´
´
´
´
´
´
´
`
`
’
’
d¯uoc goi l`a tˆan suaˆt xuˆat hiˆen biˆen
’ ’
.
.
.
.
’
’
cˆo A trong loat ph´ep thu.
.
´
’
´
´
´
´
´
`
`
`
˘
’
Cho sˆo ph´ep thu tang lˆen vˆo han, tˆan suˆat xuˆat hiˆen biˆen cˆo A dˆan vˆe mˆot sˆo x´ac
’
.
.
.
´
´
´
d¯inh goi l`a x´ac suˆat cua biˆen cˆo A.
.
.
( ) = l→im∞
´
´
’
’
´
˘
˘
• V´ı du 19 Mˆot xa thu ban 1000 viˆen d¯an v`ao bia. C´o xˆap xi 50 viˆen tru´ng bia. Khi
.
.
’
.
.
50
1000
’
´
d¯o´ x´ac suˆat d¯ˆe xa thu ban tru´ng bia l`a
= 5%.
.
’
´
`
´
´
`
´
`
`
’
`
˘
`
˘
.
• V´ı du 20 Dˆe nghiˆen cuu kha nang xuˆat hiˆen mat sˆap khi tung mˆot d¯ˆong tiˆen, nguoi
’ ’
’
.
.
.
¯
´
´
`
’
’
’
’
ta tiˆen h`anh tung d¯ˆong tiˆen nhiˆeu lˆan v`a thu d¯uoc kˆet qua cho o bang duoi d¯ˆay:
’ ’ ’ ’
.
10
Chu’o’ng 1.
´
´
´
`
`
`
`
Nguoi l`am Sˆo lˆan Sˆo lˆan d¯uoc Tˆan suˆat
’ ’ ’ ’
.
´
˘
.
th´ı nghiˆem tung
mat sˆap
( )
.
Buyffon
Pearson
Pearson
4040
12.000
24.000
2.048
6.019
12.012
0,5069
0,5016
0,5005
’
´
˜
3.3 Dinh nghia x´ac suˆat theo quan d¯iˆem h`ınh hoc
¯
.
.
’
’
´
´
´
˜
˜
Dinh nghia 7 X´et mˆot ph´ep thu c´o khˆong gian c´ac biˆen cˆo so caˆp Ω d¯uoc biˆeu diˆen
’
’
’ ’
.
.
¯ .
’
´
´
’
’
`
’
˜
’
boi miˆen h`ınh hoc Ω c´o d¯ˆo d¯o (d¯ˆo d`ai, diˆen t´ıch, thˆe t´ıch) huu han kh´ac 0, biˆen cˆo A
.
’
’
.
.
.
.
´
´
´
˜
`
’
’
’
d¯uoc biˆeu diˆen boi miˆen h`ınh hoc A. Khi d¯´o x´ac suˆat cua biˆen coˆ A d¯uoc xa´c d¯inh boi:
’ ’
’ ’
.
.
.
.
`
’
Dˆo d¯o cua miˆen A
.
¯
( ) =
`
’
Dˆo d¯o cua miˆen Ω
.
¯
’
’
˜
´
˘
• V´ı du 21 Trˆen d¯oan thang
ta gieo ngˆau nhiˆen hai d¯iˆem v`a c´o toa d¯ˆo tuong
’ ’
.
.
.
.
´
’
ung
= ,
=
( ≥ ). T`ım x´ac suˆat sao cho d¯ˆo da`i cua d¯oan
b´e hon d¯ˆo
’
.
’
.
.
’
d`ai cua d¯oan
.
.
’
Giai
y
’
’
’
= . C´ac toa d¯ˆo v`a phai
. .
Gia su
’
’
`
thoa ma˜n c´ac d¯iˆeu kiˆen:
.
0 ≤
≤
˜
0 ≤
≤
≥
(*)
’
Biˆeu diˆen v`a lˆen hˆe truc toa d¯oˆ vuˆong
g´oc. C´ac d¯iˆem c´o toa d¯oˆ thoa ma˜n (*) thuoˆc
.
.
.
.
’
’
.
.
.
’
´
´
´
˘
tam gi´ac
chan).
(c´o thˆe xem nhu biˆen cˆo chac
’
´
˘
x
’
`
Mat kh´ac, theo yˆeu cˆau b`ai to´an ta phai c´o −
˜
2 (**). Nhung d¯iˆem
’
’
˘
.
hay
´
´
`
`
`
’
c´o toa d¯ˆo thoa ma˜n (*) v`a (**) thuoˆc miˆen c´o gach. Miˆen thuaˆn loi cho biˆen cˆo cˆan t`ım
’
.
.
.
.
.
.
´
`
. Vˆay x´ac suˆat cˆan t´ınh
.
l`a tam gi´ac
diˆen t´ıch
1
2
.
=
=
diˆen t´ıch
.
`
˘
• V´ı du 22 (B`ai to´an hai nguoi gap nhau)
’’
.
.
’
´
’
’
`
’
`
´
`
’
`
’
’
`
’
´
˘
.
Hai nguoi hen gap nhau o mˆot d¯ia d¯ıˆem x´ac d¯inh v`ao khoang tu 19 gio d¯ˆen 20 gio.
’ ’
Mˆoi nguoi d¯ˆen (chac chan se˜ d¯ˆen) d¯iˆem hen trong khoang thoi gian trˆen mˆot c´ach d¯ˆoc
.
.
.
.
’
´
˘
´
˘
´
˜
`
’ ’
’
.
.
.
´
´
’
´
´
`
’
`
’ ’
’
lˆap voi nhau, cho trong 20 phu´t, nˆeu khˆong thˆay nguoi kia d¯ˆen se˜ bo d¯i. T`ım x´ac suˆat
.
’
`
’ ’
˘
.
d¯ˆe hai nguoi gap nhau.
11
’
Giai
’
´
˜
`
´
˜
`
’
Goi x, y l`a thoi gian d¯ˆen d¯iˆem hen cua mˆoi nguoi
’ ’
’
.
.
´
`
’ ’
˘
.
v`a A l`a biˆen cˆo hai nguoi gap nhau. Ro˜ r`ang x, y
l`a mˆot d¯iˆem ngˆau nhiˆen trong khoang [19 20], ta
’
’
.
y
c´o 19 ≤ ≤ 20;
19 ≤ ≤ 20.
20
D
’
`
˘
.
Dˆe hai nguoi gap nhau th`ı
’ ’
¯
A
19
1
3
`
| − | ≤ 20 phu´t = gio.
’
Do d¯´o
Ω = {(
) : 19 ≤ 20 19 ≤ ≤ 20}
o
20
x
19
1
) : | − | ≤ }
3
= {(
`
`
’
˘
Diˆen t´ıch cua miˆen Ω bang 1.
.
1
2
2
3
2
3
5
9
`
`
’
˘
Diˆen t´ıch cua miˆen A bang 1 − 2
=
.
diˆen t´ıch A
5 9
.
Vˆay ( ) =
=
= 0 555.
.
diˆen t´ıch Ω
.
1
´
˜
`
3.4 Dinh nghia x´ac suˆat theo tiˆen d¯ˆe
¯
.
´
´
˘
’
´
´
`
’
’
’
˘
Gia su Ω l`a biˆen cˆo chac chan. Goi A l`a ho c´ac tˆap con cua Ω thoa c´ac d¯iˆeu kiˆen
’
.
.
.
.
sau:
´
i) A chua Ω.
’
´
ii) Nˆeu
∈ A th`ı
+
thuˆoc A.
.
´
`
’
Ho A thoa c´ac tiˆen d¯ˆe i) v`a ii) th`ı A d¯uoc goi l`a d¯ai sˆo.
’ ’
.
.
.
.
’
´
’
`
’
iii) Nˆeu
v`a
l`a c´ac phˆan tu cua A th`ı tˆong v`a t´ıch vˆo han
+
+
2
’
1
1
2
1
.
+
cu˜ng thuˆoc A.
2
.
´
´
`
’
Nˆeu A thoa c´ac d¯iˆeu kiˆen i), ii), iii) th`ı A d¯uoc goi l`a d¯ai sˆo.
’ ’
.
.
.
.
´
´
˜
Dinh nghia 8 Ta goi x´ac suˆat trˆen (Ω A) l`a mˆot h`am sˆo x´ac d¯inh trˆen A c´o gi´a
.
.
.
¯ .
`
’
tri trong [0,1] v`a thoa ma˜n 3 tiˆen d¯ˆe sau:
.
i) (Ω) = 1.
´
´
˘
ii) ( + ) = ( ) + ( ) (voi A, B xung khac).
’
´
´
iii) Nˆeu da˜y { } c´o t´ınh chˆat
⊃
⊃
⊃
⊃
v`a
= ∅ th`ı
1
2
1
2
l→im∞ ) = 0.
(
12
Chu’o’ng 1.
´
´
’
3.5 C´ac t´ınh chˆat cua x´ac suˆat
´
´
´
i) 0 ≤ ( ) ≤ 1 voi moi biˆen cˆo A
’
.
ii) (Ω) = 1
iii) (∅) = 0
´
iv) Nˆeu
⊂
th`ı ( ) ≤ ( ).
v) ( ) + ( ) = 1.
vi) ( ) = (
) + (
).
´
ˆ
´
ˆ
ˆ
ˆ
´
´
´
’
4. MOT SO CONG THUC TINH XAC SUAT
.
´
´
4.1 Cˆong thuc cˆong x´ac suˆat
’
.
´
ꢀ Cˆong thuc 1
’
´
˘
’
´
´
’
Gia su v`a la` hai biˆen cˆo xung khac (
= ∅). Ta c´o
’
( + ) = ( ) + ( )
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
´
`
’
’
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯o´ c´o
biˆen cˆo
’
’
´
´
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
biˆen cˆo thuaˆn loi cho biˆen cˆo . Khi d¯o´ sˆo biˆen cˆo thuaˆn
’
. .
.
thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a
’
.
.
´
´
loi cho biˆen cˆo
+
l`a
=
+
+
.
’
.
Do d¯´o
( + ) =
=
+
= ( ) + ( )
˜
Dinh nghia 9
¯ .
´
´
´
´
´
`
`
’
’
˘
i) C´ac biˆen cˆo
´
d¯uoc goi l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung
’ ’
1
2
.
.
’
´
˘
´
´
˘
´
´
`
’
’
˘
d¯ˆoi nˆeu chu´ng xung khac tung d¯ˆoi v`a toˆng cua chu´ng l`a biˆen cˆo chac chan. Ta c´o
+
+
2
+
= Ω
= ∅
1
´
´
´
´
´
´
`
’
`
ii) Hai biˆen cˆo A v`a B d¯uoc goi l`a hai biˆen cˆo d¯oˆc lˆap nˆeu su tˆon tai hay khˆong tˆon
’ ’
.
.
.
.
.
.
´
´
´
´
’
’ ’
`
`
’
’
’
tai cua biˆen cˆo n`ay khˆong anh huong d¯ˆen su tˆon tai hay khˆong toˆn tai cua biˆen cˆo kia.
’
.
.
.
.
´
´
´
´
´
˜
`
iii) C´ac biˆen cˆo
’
d¯uoc goi d¯oˆc lˆap to`an phaˆn nˆeu mˆoi biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap
’ ’
1
2
.
.
.
.
.
.
´
’
´
´
´
’
voi t´ıch cua moˆt tˆo hop bˆat k`y trong c´ac biˆen cˆo c`on lai.
’
.
.
.
’
4 Hˆe qua 1
.
´
´ ´
`
˘
la` biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi th`ı
’
´
i) Nˆeu
1
2
(
+
+
2
+
) = ( 1) + ( 2) +
+ (
)
1
13
´
´
´
´
`
`
’
˘
ii) Nˆeu
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi th`ı
’
1
2
( ) = 1
=1
iii) ( ) = 1 − ( ).
´
ꢀ Cˆong thuc 2
’
( + ) = ( ) + ( ) − (
)
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
´
´
`
´
’
’
´
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra, trong d¯o´ c´o
biˆen cˆo
’
’
´
´
´
´
´
thuˆan loi cho biˆen cˆo
,
biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a biˆen cˆo thuˆan loi cho
’
.
’
’
.
.
.
.
.
´
´
´
´
´
´
´
biˆen cˆo
. Khi d¯´o sˆo biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo
+
l`a
+
− .
’
.
.
Do d¯´o
+
−
( + ) =
=
+
−
= ( ) + ( ) − (
)
’
4 Hˆe qua 2
.
i)
(
+
+
(
+
) =
( ) −
(
) +
(
) +
+
1
2
=1
−1
(−1)
(
)
1
2
´
´
´
`
ii) Nˆeu
l`a c´ac biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap toa`n phˆan th`ı
1
2
.
.
+
+
+
) = 1 − ( 1) (
)
2
(
)
1
2
’
’
´
´
˜
`
’
• V´ı du 23 Mˆot lˆo h`ang gˆom 10 san phˆam, trong d¯´o c´o 2 phˆe phaˆm. Lˆay ngaˆu nhiˆen
.
`
’
.
’
’
’
´
´
’
khˆong ho`an lai tu lˆo h`ang ra 6 san phˆam. T`ım x´ac suaˆt d¯ˆe c´o khˆong qu´a 1 phˆe phˆam
.
’
´
’
trong 6 san phaˆm d¯uoc lˆay ra.
’ ’
.
’
Giai
Goi
.
’
’
´
´
´
´
´
´
´
´
´
’
A l`a biˆen cˆo khˆong c´o phˆe phˆam trong 6 san phˆam lˆay ra.
’
B l`a biˆen cˆo c´o d¯u´ng 1 phˆe phˆam.
C l`a biˆen cˆo c´o khˆong qu´a mˆot phˆe phˆam
’
´
.
´
´
´
˘
th`ı A v`a B l`a hai biˆen cˆo xung khac v`a
=
+ .
Ta c´o
6
28
2
=
8
( ) =
=
6
10
210
15
14
Chu’o’ng 1.
1
2
5
8
112
210
8
( ) =
=
=
6
10
15
Do d¯´o
2
8
2
3
( ) = ( ) + ( ) =
+
=
15 15
´
’
˜
’
’
• V´ı du 24 Mˆot lop c´o 100 sinh viˆen, trong d¯o´ c´o 40 sinh viˆen gioi ngoai ngu, 30 sinh
’
.
.
.
’
´
˜
’
˜
’
’
viˆen gioi tin hoc, 20 sinh viˆen gioi ca ngoai ngu lˆan tin hoc. Sinh viˆen n`ao gioi ´ıt nhˆat
mˆot trong hai mˆon se˜ d¯uoc thˆem d¯iˆem trong kˆet qua hoc tˆap cua hoc k`y. Chon ngˆau
.
.
.
’
´
’
˜
’
’
’ ’
.
.
.
.
.
.
’
´
´
˘
nhiˆen mˆot sinh viˆen trong lop. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe sinh viˆen d¯´o d¯uoc tang d¯iˆem.
’ ’
’
.
.
’
Giai
Goi
.
’
´
´
´
´
´
´
˘
A l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen d¯uoc tang d¯iˆem.
’ ’ ’ ’
.
.
.
’
’
˜
N l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen gioi ngoai ngu.
’ ’
’ ’
.
’
.
.
.
.
T l`a biˆen cˆo goi d¯uoc sinh viˆen gioi tin hoc
.
th`ı
=
+
.
Ta c´o
30
40
20
50
( ) = ( ) + ( ) − (
) =
+
−
=
= 0 5
100 100 100
100
´
´
´
`
4.2 X´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen v`a cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat
’
.
´
`
a) X´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen
.
´
´
´
´
´
´
´
˜
`
’
’
Dinh nghia 10 X´ac suaˆt cua biˆen cˆo A voi d¯iˆeu kiˆen biˆen coˆ B xay ra d¯uoc goi l`a
’ ’
’
.
.
¯ .
x´ac c´o d¯iˆeu kiˆen cua biˆen cˆo A. K´ı hiˆeu
.
´
`
’
(
).
.
.
´
´
`
´
˘
• V´ı du 25 Trong hˆop c´o 5 viˆen bi trang, 3 viˆen bi d¯en. Lˆay lˆan luot ra 2 viˆen bi
’ ’
´
.
.
.
’
´
´
´
´
´
`
`
˘
(khˆong ho`an lai). T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆan thu hai lˆay d¯uoc viˆen bi trang biˆet laˆn thu nhˆat
’
’ ’
.
’
.
´
´
˘
d¯a˜ lˆay d¯uoc viˆen bi trang.
’ ’
.
’
Giai
´
´
´
´
´
´
´
`
`
˘
Goi A l`a biˆen cˆo lˆan thu hai lˆay d¯uoc viˆen bi trang
’
’ ’
.
.
´
´
´ ´
˘
B l`a biˆen cˆo lˆan thu nhˆat lˆay d¯uoc viˆen bi trang.
’
’ ’
.
Ta t`ım
´
(
).
´
´
˘
´ ´
`
’
Ta thˆay lˆan thu nhˆat lˆay d¯uoc viˆen bi trang (B d¯a˜ xay ra) nˆen trong hop c`on 7 viˆen
’
’ ’
.
’
.
´
˘
bi trong d¯ ´o c´o 4 viˆen bi trang. Do d¯´o
1
4
1
7
4
7
(
) =
=
15
´
ꢀ Cˆong thuc
’
(
(
)
)
(
) =
´
Chung minh
’
’
’
’
’
´
´
´
`
´
’
’
´
˘
Gia su ph´ep thu c´o biˆen cˆo d¯ˆong kha nang c´o thˆe xay ra trong d¯o´ c´o
biˆen c´o
’
’
´
´
´
´
´
´
thuˆan loi cho biˆen cˆo
,
biˆen cˆo thuˆan loi cho biˆen cˆo v`a biˆen cˆo thuˆan loi cho
’
.
’
.
’
.
.
.
.
´
´
biˆen cˆo
.
’
’
´
´
˜
Theo d¯inh nghia x´ac suˆat theo lˆoi cˆo d¯iˆen ta c´o
.
(
) =
( ) =
´
´
´
´
`
’
’
’
˘
Ta t`ım
(
). V`ı biˆen cˆo d¯a˜ xay ra nˆen biˆen cˆo d¯ˆong kha nang cua l`a
,
´
´
biˆen cˆo thuˆan loi cho l`a . Do d¯´o
’
.
.
(
)
(
) =
=
=
( )
’
´
˜
• V´ı du 26 Mˆot bˆo b`ai c´o 52 l´a. Ru´t ngˆau nhiˆen 1 l´a b`ai. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe ru´t d¯uoc
’ ’
.
.
.
.
`
˘
´
con ”a´t” biˆet rang la´ b`ai ru´t ra l`a l´a b`ai m`au d¯en.
’
Giai
´
´
´
´
Goi A l`a biˆen cˆo ru´t d¯uoc con ”´at”
’ ’
.
.
♣
♠
B l`a biˆen cˆo ru´t d¯uoc l´a b`ai m`au d¯en.
’ ’
.
´
Ta thˆay trong bˆo b`ai c´o
.
♣
♠
26
52
26 l´a b`ai d¯en nˆen ( ) =
2
52
2 con ”´at” d¯en nˆen
(
(
) =
.
♣
♠
)
2 52
1
Do d¯´o
(
) =
=
=
( )
26 52
13
´
´
b) Cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat
’
´
´
`
`
Tu cˆong thuc x´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen ta c´o
’
’
.
i)
(
) = ( ) (
) = ( ) (
).
´
´
´
ii) Nˆeu A, B l`a hai biˆen cˆo d¯ˆoc lˆap th`ı
(
) = ( ) ( ).
.
.
iii)
(
(
) = ( ) (
) = ( 1) (
) (
)
(
)
−1).
1
2
2
1
1
2
´
´
˘
´
´
´
˘
• V´ı du 27 Hˆop thu nhˆat c´o 2 bi trang v`a 10 bi d¯en. Hˆop thu hai c´o 8 bi trang v`a 4
’
’
.
.
.
’
´
´
˜
`
’
bi d¯en. Tu moˆi hˆop lˆay ra 1 viˆen bi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe
.
16
Chu’o’ng 1.
´
`
’
˘
a) Ca 2 viˆen bi d¯ˆeu trang,
´
˘
b) 1 bi trang, 1 bi d¯en.
’
Giai
´
´
´
´
´ ´
´ ´
´ ´
’
˘
Goi T l`a biˆen cˆo lˆay ra d¯uoc ca 2 bi trang
’ ’
.
.
´
´
´
`
˘
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang tu hˆop thu nhˆat
’ ’
.
’
’
1
2
.
´
˘
´
`
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang tu hˆop thu hai
’ ’
.
’
.
´
´
th`ı
l`a 2 biˆen cˆo d¯oˆc lˆap v`a
=
2. Ta c´o
1
1
2
.
.
1
6
2
3
( ) =
( ) =
1
2
1
6
2
3
1
Do d¯´o ( ) = (
2) = ( ) ( ) =
= .
9
1
1
2
´
´
´ ´
´ ´
´
´
´
´
’
˘
b) Goi
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu nhˆat, thu hai
’ ’
.
’
’
’
1
2
.
.
´
´
´
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi d¯en o hˆop thu nhˆat, thu hai
’ ’
’ ’
’ ’
’
’
’
’
1
2
.
.
.
.
´
´
˘
´
´ ´
´ ´
´
´
´
’
’
˘
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu nhˆat v`a bi d¯en o hˆop thu hai
’
’
’
’
1
2
2
.
.
.
´
´
´
´
’
’
’
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang o hˆop thu hai v`a bi d¯e n o hˆop thu nhˆat
’
’
1
.
th`ı
=
+
.
1
1
2
2
Ta c´o
1
6
2
3
( ) =
( ) =
1
2
5
1
(
1) = 1 − ( ) =
(
2) = 1 − ( ) =
1
2
6
3
Suy ra
( ) = (
2) + (
1) = ( ) ( 2) + ( ) ( )
1 2 1
1
2
1 1 2 5
+
11
8
=
=
6 3 3 6
´
´
’
´
`
’
• V´ı du 28 Mˆot hˆe thˆong d¯uoc cˆau th`anh boi th`anh phˆan riˆeng le d¯uoc goi l`a mˆot hˆe
’ ’
’
’ ’
.
.
.
.
.
.
`
.
.
´
´
`
thˆong song song nˆeu n´o hoat d¯ˆong khi ´ıt nhaˆt mˆot th`anh phˆan hoat d¯ˆong. Th`anh phˆan
thu (d¯oˆc lˆap voi c´ac th`anh phˆan kh´ac) hoat d¯oˆng voi x´ac suˆat . T`ım x´ac suˆat d¯ˆe hˆe
thˆong song song hoat d¯ˆong.
.
.
.
.
.
’
´
´
´
’
´
’
´
´
`
’
.
.
.
.
.
.
.
A
B
’
Giai
Goi
.
´
´
´
A l`a biˆen cˆo hˆe thˆong hoat d¯ˆong.
.
.
.
17
´
´
´
`
l`a biˆen cˆo th`anh phˆan thu i hoat d¯ˆong.
’
.
.
Ta c´o
P(A) = 1 − ( )
= 1 − (
)
1
2
= 1 −
( )
=1
= 1 − (1 − )
=1
´
´
`
`
• V´ı du 29 (H^e x´ıch) X´et mˆot hˆe thˆong goˆm hai th`anh phˆan. Hˆe thˆong hoat d¯ˆong
.
.
.
.
.
.
’
.
´
`
`
’
khi v`a chi khi ca hai th`anh phaˆn hoat d¯ˆong (c´ac tha`nh phˆan d¯uoc nˆoi theo x´ıch).
’ ’
.
.
.
A
B
´
´
`
`
’
’
Dˆo tin cˆay R(t) cua mˆot th`anh phˆan cua hˆe thˆong l`a x´ac suˆat m`a th`anh phˆan c´o
.
.
.
.
¯
’
´
`
’
’
thˆe hoat d¯oˆng ´ıt nhˆat khoang thoi gian .
.
.
´
´
´
´
`
’
’
`
Nˆeu k´ı hiˆeu biˆen cˆo ”th`anh phˆan hoat d¯oˆng ´ıt nhˆat t d¯on vi thoi gian” boi
th`ı
’
’
.
.
.
.
( ) = (
)
˜
`
’
l`a d¯oˆ tin cˆay cua th`anh phˆan v`a , nghia l`a
. .
Goi
.
v`a
´
`
= ( hoat d¯ˆong ´ıt nhˆat d¯on vi thoi gian),
’
’
.
.
.
´
`
= ( hoat d¯ˆong ´ıt nhˆat d¯on vi thoi gian).
’
’
.
.
.
´
´
`
’
Nˆeu c´ac th`anh phˆan hoat d¯ˆong d¯ˆoc lˆap th`ı d¯ˆo tin cˆay cua hˆe thˆong l`a
=
.
.
.
.
.
.
.
.
• V´ı du 30
.
´
’
’
X´et d¯ˆo tin cˆay cua hˆe thˆong cho boi
’
A
B
.
.
.
´
`
h`ınh bˆen. Th`anh phˆan nˆoi A v`a B trˆen
’
’
`
’
d¯inh c´o thˆe thay boi th`anh phˆan d¯on
’
’
´
`
voi d¯oˆ tin cˆay
. Th`anh phˆan song
’
.
.
’
´
˘
’
song cua ngat C v`a D c´o thˆe thay boi
’
’
C
D
´
´
’
˘
ngat d¯on voi d¯ˆo tin cˆay 1−(1− ) (1−
’
.
.
).
´
’
Dˆo tin cˆay cua hˆe thoˆng song song n`ay l`a
.
.
.
¯
1 − (1 −
)[1 − (1 − (1 − ) (1 − ))]
18
Chu’o’ng 1.
´
´
´
`
’
4.3 Cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u v`a cˆong thuc Bayes
’
’
´
´
`
’
a) Cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u
’
´
ꢀ Cˆong thuc
’
´
’
’
´
´
´
`
`
’
˘
Gia su
´ ´
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi v`a B l`a biˆen
’
’
1
2
’
’
’
’
cˆo bˆat ky` c´o thˆe xay ra trong ph´ep thu. Khi d¯´o ta c´o
( ) =
( ) (
)
=1
´
Chung minh
’
V`ı
+
+
2
+
= Ω nˆen
1
=
(
+
+
+
) =
`
+
+
2
+
1
2
1
´
˘
´
´
´
´
Do c´ac biˆen cˆo
xung khac tung d¯ˆoi nˆen c´ac biˆen cˆo t´ıch
,
’
1
2
1
2
´
`
’
˘
cu˜ng xung khac tung d¯ˆoi.
´
Theo d¯inh ly´ cˆong x´ac suˆat ta c´o ( ) =
(
).
.
.
=1
´
˘
Mat kh´ac theo cˆong thuc nhˆan x´ac suˆat th`ı
(
) = ( ) (
).
’
.
Do d¯´o ( ) =
( ) (
).
=1
´
´
`
’
’
ꢀ Chu´ y´ Cˆong thuc trˆen c`on d¯u´ng nˆeu ta thay d¯iˆeu kiˆen
+
+
2
+
= Ω boi
’
1
.
⊂
+
+
2
+
.
1
’
’
´
´
´
’
’
’
• V´ı du 31 X´et mˆot lˆo san phaˆm trong d¯´o sˆo san phˆam do nh`a m´ay I san xuˆat chiˆem
.
.
´
´
´
´
´
´
’
’
20%, nh`a m´ay II san xuˆat chiˆem 30%, nh`a m´ay III san xuˆat chiˆem 50%. X´ac suˆat phˆe
phˆam cua nh`a m´ay I l`a 0,001; nh`a m´ay II la` 0,005; nh`a m´ay III l`a 0,006. T`ım x´ac suaˆt
d¯ˆe lˆay ngˆau nhiˆen d¯uoc d¯u´ng 1 phˆe phˆam.
’ ’
’
´
’
’
’
´
´
˜
.
’
Giai
’
’
´
´
´
´
’
Goi B l`a biˆen cˆo san phˆam lˆay ra l`a phˆe phˆam
.
’
´
´ ´
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc san phˆam cua nh`a m´ay I, II, III
3
´
´ ´
`
˘
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi. Ta c´o
’
’
’
’ ’
.
1
2
th`ı
1
2
3
(
1) = 0 2;
(
2) = 0 3;
(
3) = 0 5
( 3) = 0 006
(
1) = 0 001;
(
2) = 0 005;
Do d¯´o
( ) =
(
1) (
1) + ( 2) (
2) + ( 3) (
)
3
= 0 2 0 001 + 0 3 0 005 + 0 5 0 006
= 0 0065
19
´
´
´
`
˘
• V´ı du 32 Mˆot hˆop chua 4 bi trang, 3 bi v`ang v`a 1 bi xanh. Lˆay laˆn luot (khˆong ho`an
’
’ ’
.
.
.
.
’
´
˘
´
´
`
’
lai) tu hˆop ra 2 bi. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe lˆay d¯uoc 1 bi trang v`a 1 bi v`ang.
’ ’
.
.
.
’
Giai
´
´
´ ´
´
´ ´
˘
Goi T l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi trang, V l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc bi v`ang.
’ ’
.
’ ’
.
.
Ta c´o
4
1
3
( ) = = ;
( ) = ;
8
8
2
3
4
) =
7
(
) = ;
(
7
’
´
˘
´
´
X´ac xuˆat d¯ˆe lˆay d¯uoc 1 bi trang v`a 1 bi v`ang l`a
’ ’
.
1 3 3 4
+ =
3
7
(
) = ( ) (
) + ( ) (
) =
2 7 8 7
´
Cˆay x´ac suˆat
´
’
´
´
´
´
`
`
Trong thuc tˆe c´o nhiˆeu ph´ep thu chua mˆot da˜y nhiˆeu biˆen cˆo. Cˆay x´ac suˆat cung
’
.
’
’
.
´
´
cˆap cho ta mˆot cˆong cu thuˆan loi cho viˆec x´ac d¯inh cˆau tru´c c´ac quan hˆe bˆen trong c´ac
ph´ep thu khi t´ınh x´ac suˆat.
’
.
.
.
.
.
.
.
’
’
´
´
´
’
Cˆau tru´c cua cˆay x´ac suˆat d¯uoc x´ac d¯inh nhu sau:
’ ’
’
.
.
’
´
´
´
´
’
’
`
’ ’
i) Ve˜ biˆeu d¯ˆo cˆay x´ac suˆat tuong ung voi c´ac kˆet qua cua da˜y ph´ep thu.
’ ’
’
’
´
´
’
˜
˜
ii) G´an mˆoi x´ac suˆat voi mˆoi nh´anh.
´
Cˆay x´ac suˆat sau minh hoa cho v´ı du 32.
.
.
T
1
2
3
7
V
X
T
V
X
3
8
4
7
T
V
X
T
V
´
b) Cˆong thuc Bayes
’
´
ꢀ Cˆong thuc
’
´
’
’
´
´
´
`
`
’
˘
Gia su
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung khac tung d¯ˆoi v`a B l`a biˆen
’
’
1
2
’
´ ´
’
’
’
cˆo bˆat ky` c´o thˆe xay ra trong ph´ep thu. Khi d¯´o ta c´o
( ) (
( ) (
)
(
) =
= 1 2
)
=1
20
Chu’o’ng 1.
´
Chung minh
’
´
´
`
Theo cˆong thuc x´ac suˆat c´o d¯iˆeu kiˆen ta c´o
’
.
(
)
( ) (
( )
)
(
) =
=
’
( )
´
`
˘
.
Mat kh´ac theo cˆong thuc x´ac suˆat d¯ˆay d¯u th`ı ( ) =
( ) (
).
’
=1
( ) (
( ) (
)
Do d¯´o
(
) =
.
)
=1
’
´
’
• V´ı du 33 Gia su c´o 4 hˆop nhu nhau d¯ung cu`ng mˆot chi tiˆet m´ay, trong d¯o´ c´o mˆot
’
’
’
’
.
.
.
.
.
´
´
´ ´
´
˜
hˆop 3 chi tiˆet xˆau, 5 chi tiˆet toˆt do m´ay I san suˆat; c`on ba hˆop c`on lai mˆoi hˆop d¯ung 4
chi tiˆet xˆau, 6 chi tiˆet tˆot do m´ay II san suaˆt. Lˆay ngaˆu nhiˆen mˆot hˆop rˆoi tu hˆop d¯´o
’
.
.
.
.
.
´
´
´ ´
´
´
˜
` `
’
’
.
.
.
´
´
lˆay ra mˆot chi tiˆet m´ay.
.
’
´
´
´
´
a) T`ım x´ac suˆat d¯ˆe chi tiˆet m´ay laˆy ra l`a tˆot.
’
´
´ ´
´
´
’
`
’
’
b) Voi chi tiˆet tˆot o cˆau a, t`ım x´ac suaˆt d¯ˆe n´o d¯uoc lˆay ra tu hˆop cua m´ay I.
’ ’
’
’
.
.
’
Giai
´
´ ´
´
´
´
Goi B l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc chi tiˆet tˆot
’ ’
.
.
´ ´
l`a biˆen cˆo lˆay d¯uoc hˆop d¯ung chi tiˆet m´ay cua m´ay I, II
2
´
´ ´
`
˘
l`a nh´om c´ac biˆen cˆo xung khac tung d¯ˆoi.
’
´
’
’ ’
.
’
.
1
.
th`ı
a)
1
2
( ) = ( 1) (
1) + ( 2) (
)
2
1
5
1) = ;
8
3
6
(
1) = ;
(
(
2) = ;
4
(
2) =
4
10
Do d¯´o
1 5 3 6
97
=
( ) =
+
4 8 4 10
160
1
4
97
160
5
8
(
1) (
( )
)
26
97
1
b)
(
) =
´
=
’
=
1
’
* Cˆay x´ac suˆat cua cˆau a) cho boi
’
5
8
1
4
5
8
T
1
4
I
X
T
6
10
3
4
6
10
3
4
II
X
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
23380
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và thống kê - Chương 1: Những khái niệm cơ bản về xác suất", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_chuong_1_nhung_khai_niem_co_b.pdf
