Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2.1: Phép biến đổi Laplace

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Part 2:

Phép biến đổi Laplace

► I. Phép biến đổi Laplace

II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

s

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Phép biến đổi Laplace:

1. Phép biến đổi Laplace thuận

. Định nghĩa

. Các tính chất

2. Phép biến đổi Laplace ngược

. Định nghĩa

. Cách tìm biến đổi Laplace ngược

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

a. Định nghĩa:

Biến đổi Laplace của hàm f(t) là hàm F(s) xác định bởi:



F(s)  f(t)e^stdt



0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

Ví dụ 1.01: Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:

a. f₁(t) = c (c là một hằng số)

b. f₂(t) = t

Đáp án:



e^st

c

a. F (s)  c.e^stdt  c



1



s s

0



te^st

1

b. F (s)  t.e^stdt  

 e^st

2



s²

s

0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

Một số phép biến đổi Laplace thường dùng

f(t)

F(s)

1

1 or u(t)

s

cos at

s

²

a

²

a

sin at

s

²

a

²

n!

tⁿ

s

^n1

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

b. Các tính chất của phép biến đổi Laplace

i. Tuyến tính

c₁f₁(t) + c₂f₂(t)  c₁F₁(s) + c₂F₂(s)

ii. Dời tần số (dời theo s)

e^-atf(t)  F(s + a)

iii. Dời thời gian (dời theo t)

f(t - a )u(t – a)  e^-asF(s)

iv. Co – giãn theo thời gian

f(at)  (1/a)F(s/a)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

Ví dụ 1.02:

3t⁴– 2sin5t 

4!

5

72 10

3  2

 

s

⁵

s

²

5

²

s

⁵

s

²

25

3!

6

e^-3tt³





(s  3)⁴(s  3)⁴

e^2s

s

u(t – 2)

(t/2)²

2!

1

2



(2s)³2s³

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

b. Cách tính chất của phép biến đổi Laplace (tt)

v. Đạo hàm theo thời gian

f’(t)  sF(s) – f(0 – )

f⁽ⁿ⁾(t)  sⁿF(s) – s^n–1f(0 –) – s^n–2f’(0 –) –… – f^{(n –1)}(0 –)

vi. Tích phân theo thời gian:

t

F(s)

 ^{f(x)dx }

s

0

vii. Nhân với tⁿ

dⁿ

tⁿf(t)  (1)ⁿ

F(s)  (1)ⁿF⁽ⁿ⁾(s)

dsⁿ

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

Ví dụ 1.03:

1

s

t

te^t

 e te  s

 0 



^t

(s 1)²





t

1

te^t

 xe^xdx 



(s 1)²

s(s 1)²

0

1

s 1

d² 1 

2

e^t

 t²e^t (1)²







ds²

(s 1)³

s 1





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

b. Cách tính chất của phép biến đổi Laplace (tt)

viii. Chia cho t



f(t)

t

^^F(x)dx

s

ix. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn với chu kỳ T

T

e^stf(t)dt



0

f(t) 

1



e

^sT

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

Ví dụ 1.04:



1

te^t

t

1

a. te^t





dx  





(s 1)²

_s(x 1)²

x 1 _ss 1

2

e^stf(t)dt



0

b. F(s) 

1



e

^2s

1

2

e^stdt  e^stdt

 

0

1



1



e

^2s

1

2

1

e^st





1 e^s

s

0



1 e^2s

s(1 e^s)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Phép biến đổi Laplace

b. Cách tính chất của phép biến đổi Laplace (tt)

x. Định lý giá trị đầu

lim f(t)  f(0)  lim sF(s)

t0

s

xi. Định lý giá trị cuối

lim f(t)  f()  lim sF(s)

t

s0

xii. Tích phân



 ^{f(t)dt  F(0)}

L

0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

a. Định nghĩa

Nếu F(s) là biến đổi Laplace của f(t), thì f(t) sẽ là

biến đổi Laplace ngược của F(s):



 F(s)  f(t)e^stdt

L

{f(t)}



0

L

^-1{F(s)} = f(t)

Để tìm biến đổi Laplace ngược, ta thường dùng các

các biến đổi Laplace đã biết kết hợp với các tính chất.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Các tính chất của biến đổi Laplace ngược tương tự

như các tính chất của biến đổi Laplace thuận, ví dụ như

tính tuyến tính:

L

[c₁f₁(t) + c₂f₂(t)] = c₁F₁(s) + c₂F₂(s)

L

^-1[c₁F₁(s) + c₂F₂(s)] = c₁f₁(t) + c₂f₂(t)

Ví dụ 1.05:

 1 3s 



 t  3cos2t

_-1







s²s² 4

L

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Tìm biến đổi ngược dùng tính chất dời tần số (dời theo s)

^-1{F(s - a)} = e^atf(t)

Ví dụ 1.06: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

L

1

s  2

1

a.

b.

c.

d.

e.

(s 1)²(s² 4)

1

2

f.

(s  2)²

1

s² 6s 13

s  7

g.

s² 2s  5

(s  3)(s  2)

s 1

s²(s² 9)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Đáp án Ví dụ 1.06

1

5

1

5

1

a. f(t)  e^2t

b. f(t)  te^2t

c. f(t)   e^3t e^2t

1 1 1 1 1 s 1

d.F(s)  .  .  .

9 s 9

1 1 1

 f(t)   t  cos3t  sin 3t

s² 9

9 9 9 27

s²

9

2 1 1 1

1 2s  3

e.F(s)  .

 .

 .

(s 1)²

s² 4

25

25 s 1 5

2

1

5

2

25

3

50

 f(t)  e^t te^t cos2t  sin2t

25

f. f(t)  e^3tsin2t

g. f(t)  e^tcos2t  3e^tsin2t

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Khai triển Heaviside

Xét hàm F(s) có dạng phân thức:

b_ms^m b_m1s^m1... b₁s  b₀

F(s) 

; m  n

a_nsⁿ a_n1s^n1... a₁s  a₀

Khi đó F(s) có thể phân tích thành các phân thức

đơn vị.

Trường hợp 1: F(s) có toàn các cực đơn

b_ms^m b_m1s^m1... b₁s  b₀

F(s) 

(s  ₁)(s  ₂)...(s  _n)

k_n

s  _n

k₁

k₂





...

s  ₁s  ₂

with k_r (s  _r)F(s)

s_r

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Trường hợp 2: F(s) có cực bội:

b_ms^m b_m1s^m1... b₁s  b₀

F(s) 

(s  ₁)^r(s  ₂)...(s  _i)

k_1,r

k_1,r1

k_1,1

(s  ₁) s  ₂

k_i

s  _i

k₂





...



...

(s  ₁)^r(s  ₁)^r1

1 d^j

r





with k_i,rj

(s  _i) F(s)

j





j!

ds

s_i

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Ví dụ 1.07: Xác định biến đổi Laplace ngược của các

hàm sau:

11s² 2s  5

a. F(s) 

(s  2)(2s 1)(s 1)

s² 2s  3

b. F(s) 

(s 1)(s 1)²

2s⁴7s³ 63s² 55s 71

c. F(s) 

(s  3)(s  2)²(s² 2s 17)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Phép biến đổi Laplace ngược

Đáp án Ví dụ 1.07:

t

3

2

a. f(t)  2e^t 5e^2t e²

3

 1 

b. f(t)  e^t e^tt 





2





c. f(t)  e^3t e^2t(t  2)  e^t(cos4t  5sin 4t)

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2.1: Phép biến đổi Laplace - Nguyễn Phước Bảo Duy