Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.1: Hàm biến phức

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Part 3:

Hàm biến phức

 I. Hàm biến phức

II. Chuỗi phức

III. Tích phân đường

IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Hàm biến phức

1. Định nghĩa

2. Giới hạn, liên tục và khả vi

3. Phương trình Cauchy-Riemann

4. Hàm liên hợp và hàm điều hòa

5. Một số hàm biến phức cơ bản

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Định nghĩa

Hàm biến phức là hàm có biến là số phức.

w = f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) with z = x + jy

Ví dụ 1.01:

w  z² (x² y²) j.2xy

y

1

z

x

w  

 j.

x² y²x² y²

w  e^az e^axcosay  j.sin ay





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Giới hạn, liên tục và khả vi

Nếu f(z) là một hàm biến phức, f(z) có giới hạn là L

khi z tiến tới z₀nếu với mọi ε > 0, luôn tồn tại một  > 0

sao cho:

|f(z) – L| < ε

với mọi z trong miền S:0 < |z – z₀| < 

Cần lưu ý rằng, trong

mặt phẳng phức, z có thể

tiến đến z₀theo nhiều quỹ

đạo khác nhau, do đó giới

hạn L là không duy nhất

trong nhiều trường hợp.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Giới hạn, liên tục và khả vi

Nếu

lim f(z)  f(z₀)

zz₀

ta nói rằng f(z) liên tục tại z₀.

Điều kiện ở đây là f(z₀) phải được xác định và f(z)

tiến đến f(z₀) khi z tiến đến z₀theo quỹ đạo bất kỳ.

f(z) khả vi tại z₀nếu tồn tại giá trị L:

f(z₀ z) f(z₀)

lim

 L  f '(z₀)

z0

z

Với ∆z là số phức và tiến về 0 theo quỹ đạo bất kỳ.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Giới hạn, liên tục và khả vi

Không phải hàm phức nào cũng khả vi!

Ví dụ 1.02:

f(z)  z

Xét hàm phức sau

Giả sử f(z) khả vi tại z₀, khi đó:

f(z₀ z) f(z₀)

z

z₀ z  z₀

z

f '(z₀)  lim

 lim

z0

z

 1 if z  0 along the real axis





1 if z  0along the imaginary axis



Vậy hàm phức này không khả vi tại bất kỳ giá trị nào.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Phương trình Cauchy-Riemann

Cho w = f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) khả vi tại z = x + jy, khi đó

tại giá trị (x,y):

u v

x y

v u

x y

 and   (*)

và

u v v u

x x y y

f '(z)   j   j

(*) được gọi là phương trình Cauchy-Riemann

 Nếu f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) thõa mãn phương trình

Cauchy-Riemann tại z₀và tại mọi điểm thuộc lân

cận của z₀, ta nói rằng f(z) giải tích tại z₀.

 Nếu f(z) giải tích tại mọi giá trị của z, f(z) là một

hàm giải tích.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Phương trình Cauchy-Riemann

Ví dụ 1.03:

Dùng phương trình Cauchy-Riemann để kiểm tra tính

khả vi của các hàm số sau:

a. f(z)  z

c. f(z)  z²

b. f(z)  z.Re{z}

d. f(z)  e^az

Đáp án:

a. Không khả vi tại bất kỳ điểm nào

b. Chỉ khả vi tại z = 0, f’(0) = 0.

c. Khả vi tại mọi điểm (hàm giải tích)

f’(z) = 2z.

d. Hàm giải tích; f’(z) = ae^az.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Hàm giải tích và hàm điều hòa

Hai hàm thực u(x,y) và v(x,y) thõa mãn phương

trình Cauchy-Riemann với mọi giá trị x, y  R được

gọi là một cặp hàm liên hợp.

Một hàm thõa mãn phương trình Laplace được

gọi là hàm điều hòa.

u(x,y) là một hàm điều hòa nếu:

²u ²u

  0 Laplace equation

x²y²

Nếu f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) là hàm giải tích, khi đó

cả u(x,y) và v(x,y) đều là hàm điều hoài, khi đó chúng

được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Hàm giải tích và hàm điều hòa

Ví dụ 1.04: Cho u(x,y) = x²– y²+ 2x, tìm hàm liên hợp

v(x,y) sao cho f(z) = u + j.v là hàm giải tích theo biến z.

Đáp án:

u v

x y

  2x  2  v  2xy  2y  F(x)

với F(x) là hàm theo một biến x.

v u

   2y   2y   0  F  C

x y dx dx

dF

trong đó C là hằng số. Vì đề bài không cho thêm điều

kiện nào để xác định C, nên ta có thể chọn C bằng 0.

F(z) = x²– y²+ 2x + j(2xy + 2y) = z²+ 2z

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Hàm giải tích và hàm điều hòa

Ví dụ 1.05: Given u(x,y) = e^x(xcosy – ysiny)

a. Chứng minh u(x,y) là hàm điều hòa

b. Tìm hàm liên hợp v(x,y) sao cho w = u + j.v là hàm

giải tích.

c. Chỉ ra rằng v(x,y) cũng là một hàm điều hòa.

Đáp án:

²u ²u

a. Kiểm tra phương trình Laplace

  0

x²y²

b. Dùng phương trình Cauchy-Riemann để tìm v(x,y):

v(x, y)  e^x(xsin y  ycos y)

 w  f(z)  e^x(xcos y  ysin y)  j.e^x(xsin y  ycos y)  ze^z

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Hàm giải tích và hàm điều hòa

Ví dụ 1.06: Tìm hàm giải tích f(z) = u + j.v, với 2u + v =

e^x(cosy – siny) và f(1) = 1.

Đáp án:

f(z) là hàm giải tích  u’_x= v’_yand u’_y= -v’_x:

2u v  e^x(cos y  sin y)

x





2u'  v'  e (cos y sin y)

x





2u'_y v'_y e^x(sin y  cos y)  u'_x 2v'_x





e^x



u  (cos y  3sin y)  F (y)



1

5





e^x

v  (3cos y  sin y)  F (y)

2





5

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Hàm giải tích và hàm điều hòa

Ví dụ 1.06 (tt):

Kiểm tra u’_x= v’_yvà u’_y= -v’_x F₁(y) = c₁, F₂(y) = c₂(c₁,

c₂: hằng số)

x



 



₂



e

 f(z)  (cos y  3sin y)  c  j. (3cos y  sin y)  c





₁ 

5

 

e

5

3e

5

 c  1 and c  

Kiểm tra với f(1) = 1

1

2

x



 



e

5

e

3e

5

 f(z)  (cos y  3sin y) 1  j. (3cos y  sin y) 





 

 





5

1 3j

 f(z) 

(e^z e) 1

5

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

5.1. Hàm mũ phức

e^z= e^xcosy + je^xsiny

Tính chất của e^z:

. e⁰= 1

. e^{z + w}= e^ze^w

. e^z 0, z

. e^-z= 1/e^z

. e^z= 1  z = 2nπj , n  Z

. Nếu e^{z + p}= e^z, z  p = 2nπj

. e^zlà hàm tuần hoàn với chu kỳ 2nπj.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

Ví dụ 1.07: giải phương trình e^z= 1 + 2j

e^z e^xcos y  je^xsin y  1 2j

Đáp án:

x

2x







e cos y  1 e  5







e^xsin y  2 tan y  2









1

 z  ln5  j tan^12

2

Ví dụ 1.08: Chứng minh các hàm sau đây là các hàm

giải tích:

1

2

a. f(z)  e^z

b. f(z)  e^z

c. f(z)  ze^z

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

5.2. Hàm cosin và sin phức

e^jz e^{ jz}

e^jz e^{ jz}

2j

cos z 

; sin z 

2

Viết dưới dạng u + jv:

cosz = cosx.coshy – jsinx.sinhy

sinz = sinx.coshy + jcosx.sinhy

e^y e^y

e^y e^y

trong đó

cosh y 

; sinh z 

2

Tính chất của sinz và cosz:

. sinz = 0  z = nπ; n  Z

. cosz = 0  z=(2n + 1)π/2; n  Z

. sinz và cosz là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2nπ; n  Z*

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

Ví dụ 1.09: Tính:

a. sin(1 – 4j)

b. cos(3 + 2j)

Ví dụ 1.10: Chứng minh rằng:

a. sin(z + w) = sinz.cosw + cosz.sinw

b. cos(z + w) = cosz.cosw – sinz.sinw

Ví dụ 1.11: Chứng min f(z)=cos²z là hàm giải tích.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

5.3. Logarithm phức

w  ln z  z  e^w

Calculate the complex logarithm: let z = re^iand w = u + jv

r  e^u

e^j e^jv



u  lnr





z  e^w re^j e^ue^jv





v   2n





 w  ln z  lnr  j(  2n)

 is any argument of z and n can be any integer, so

each nonzero z has infinitely many different complex

logarithms.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

Example 1.12: Calculate lnz with

a. z = 1 + j

b. z = -3

Solution:



4

j

 



a. z  1 j  2e  ln(1 j)  ln 2  j  2n







4



b. z  3  3e^j ln(3)  ln3  j(2n1)

In complex plane, we can take the logarithm of a

negative number!

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

5. Một số hàm biến phức cơ bản

5.4. nth Roots of a complex number

1

w  zⁿ wⁿ z; n : integer

Calculate the nth roots: let z = re^j= re^{j( + 2kπ)}

j( 2k )

1

n

zⁿ rⁿe

with k  0,1,...,n1

  2k    2k 

1





 rⁿcos

 jsin















n











nth roots of z has n distinct value!

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.1: Hàm biến phức - Nguyễn Phước Bảo Duy