Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Hạng của ma trận
Định nghĩa
Cho A là một ma trận cấp m × n. Ta nói hạng của A là r∈ N nếu
tồn tại một định thức con cấp r của A khác 0,
mọi định thức con cấp cao hơn r của A đều bằng 0.
(định thức con cấp k của A là định thức của một ma trận
được tạo thành từ các phần tử
nằm trên giao của k dòng và k cột nào đó của A)
−3
4
1
5
4
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =
−2 −1
3
3
Ta có rank(A) = 2 vì det(A) = 0 và định thức con
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
−3
5
−2
= −26 = 0
4
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
2 / 5
Tính chất
rank(A) ≤ min{m, n}
rank(AT ) = rank(A)
Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
A khả nghịch ⇐⇒ det(A) = 0 ⇐⇒ rank(A) = n
Hạng của một ma trận không đổi khi thực hiện các phép biến đổi sơ
cấp trên ma trận đó
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
3 / 5
Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Ma trận bậc thang dòng
Các dòng không (nếu có) luôn nằm dưới các dòng khác không
Phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của dòng phía dưới
luôn nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng phía trên
Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang cột nếu chuyển vị của nó
là ma trận bậc thang dòng
Mọi ma trận đều đưa được về dạng bậc thang bằng một số hữu hạn
phép biến đổi sơ cấp
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
4 / 5
Tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
biến đổi sơ cấp
−−−−−−−−→ B (bậc thang dòng)
A
=⇒ rank(A) = số dòng khác không của B
1
2
−2
3
0
1
2
5
3
0
4
1
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =
−1
3
1
1
1
0
0
0
−2
5
1
3
5
1
0
0
0
−2
5
0
3
5
−6 −7
−6 −7
−26 −32
−13 −16
A
−→
−→
−→
4
5
3
−1 −1
3
0
1
−2
5
0
5
0
0
0
−6 −7
=⇒ rank(A) = 3
−26 −32
0
0
0
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
5 / 5
5 trang
15/01/2024
6440
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Hạng của ma trận", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_4_hang_cua_ma_tran.pdf
