Bài giảng Matlab - Phần II: Matlab symbolic
ꢀ
phÇn II
Matlab symbolic
Ch−¬ng 1 Khëi t¹o ®èi t−îng symbolic.
ꢀ
1.1 Më ®Çu.
1.2 Khëi t¹o c¸c ®èi t−îng symbolic.
1.3
Ch−¬ng 2 §¹i sè vµ gi¶i tÝch.
2.1 Gi¶i (hÖ) ph−¬ng tr×nh ®¹i sè.
2.2 Gi¶i tÝch to¸n häc.
2.3 Gi¶i (hÖ) ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
2.4 Chuçi sè vµ tÝnh tæng.
2.5 §¹i sè tuyÕn tÝnh.
2.6 PhÐp biÕn ®æi Laplace, Fourier, Z.
2.7 Sö dông c¸c hµm Maple.
V« h−íng kÝ hiÖu (symbolic scalar)
Vector kÝ hiÖu (symbolic vector)
Ma trËn kÝ hiÖu (symbolic m trix)
Ch−¬ng 1
Khëi t¹o ®èi t−îng symbolic.
1.1
Më ®Çu.
ꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢆꢉꢀꢊꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢊꢏꢇꢐꢊꢀꢑꢐꢀꢈꢏꢅꢀꢒꢓꢔꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢏꢘꢈꢀꢋꢙꢀꢆꢚꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢅꢗꢓꢀ
ꢄꢇꢝꢞꢀ ꢊꢏꢒꢈꢀ ꢑꢟꢀ ꢏꢇꢠꢞꢀ ꢡꢢꢂꢃꢄꢅꢆꢀ ꢣꢋꢛꢤꢣꢢꢢꢇꢅꢓꢢꢥꢀ ꢊꢤꢅꢓꢔꢀ ꢃꢦꢇꢀ ꢊꢤꢍꢧꢓꢔꢀ ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢪꢀ ꢫꢏꢍꢬꢓꢔꢀ ꢊꢇꢠꢓꢀ ꢊꢟꢓꢏꢀ
ꢀ
©
ꢊꢅꢗꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢕꢮꢩꢀꢊꢤꢯꢓꢀꢏꢰꢊꢀꢓꢏꢱꢓꢀꢡꢑꢣꢤꢓꢣꢆꢥꢀꢨꢩꢛꢆꢣ ꢲꢀꢛꢏꢗꢊꢀꢊꢤꢇꢝꢓꢀꢌꢳꢞꢀꢊꢇꢯꢓꢀꢊꢰꢇꢀꢊꢤꢍꢧꢓꢔꢀꢌꢰꢇꢀ
ꢏꢘꢈꢀꢴꢩꢊꢣꢤꢆꢅꢅꢲꢀꢵꢩꢓꢩꢕꢩꢀꢲꢀꢶꢉꢀꢔꢳꢓꢀꢌꢱꢂꢀꢀEidgenössiche Technische Hochschule,
Zürich, Switzerland.ꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢊꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢃꢰꢇꢀꢶꢉꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢄꢸꢇꢀꢈꢦꢓꢔꢀꢊꢂꢀꢴꢩꢊꢣꢤꢆꢅꢅꢀ
ꢨꢩꢛꢆꢣꢲꢀꢹꢓꢈꢪꢀ
ꢀ
ꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢈꢺꢀꢻꢀꢊꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢪꢀꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢈꢬꢀꢄꢽꢓꢲꢀꢄꢩꢅꢀꢔꢾꢃꢀꢏꢬꢓꢀꢿꣀꣀꢀꢏꢉꢃꢀ
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢕꢮꢩꢀꢊꢤꢯꢓꢀꢆꣁꢇꢀꢨꢩꢛꢆꢣꣂꢀ
ꣃꢵꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢶꢇꢀꢛꢏꢱꢓꢲꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢲꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢲꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢏꢞꢇꢀꢶꢉꢀꢈꢏꢞꢇꢀꢼꢩꢂꢆꢅꢤꢪꢀ
ꣃꢰꢇꢀꢢꢀꢊꢞꢂꢐꢓꢀꢊꢟꢓꢏꣂꢀꢰꢓꢔꢀꢌꢽꢅꢲꢀꢌꢓꢏꢀꢊꢏꢒꢈꢲꢀꢊꢤꢀꢤꢇꢯꢓꢔꢲꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢔꢇꢗꢀꢊꢤꢀꢢꢞꢂꢀꢄꢇꢐꢓꢀ
ꢢꢇꢓꢔꢞꢆꢩꢤꢀꢶꢩꢆꢞꢣꢀꢕꢣꢈꢅꢃꢛꢅꢢꢇꢊꢇꢅꢓꢥꢀꢶꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢕꢰꢓꢔꢀꢈꢏꢞꢓꢀꢊꢈꢀꢈꢭꢩꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀ
ꢡ
ꣃꢵꢗꢈꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢛꢏꢗꢛꢀꢌꢬꢓꢀꢔꢇꢽꢓꢀꢏꢅꢗꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢌꢰꢇꢀꢢꢪꢀ
ꣃ꣎ꢇꢽꢇꢀꢏꢠꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢪꢀ
ꣃ꣐ꢀꢈꢏꢟꢓꢏꢀꢋꢗꢈꢀꢢꢀꢏꢘꢈꢀꢂꢯꢞꢀꢈꢳꢞꢀꢡ꣑ꢫ꣒ꣂ꣑ꢩꢤꢇꢩꢄꢆꢣꣃꢫꢤꢣꢈꢇꢢꢇꢅꢓꢀ꣒ꢤꢇꢊꢏꢃꢣꢊꢇꢈꢥꢪꢀ
ꣃ꣓꣄ꢈꢀꢆꢍꢎꢓꢔꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢛꢏꢗꢛꢀꢢꢀꢈꢏꢅꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢏꢘꢈꢀꢶ꣄ꢇꢀꢌ꣐ꢀꢈꢏꢟꢓꢏꢀꢋꢗꢈꢀꢊꢞ꣔ꢀꢚꢪꢀ
ꣃꢵꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀ꣕ꢅꢞꢤꢇꢣꢤꢲꢀ꣖ꢩꢛꢆꢩꢈꢣꢲꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀ꣗ꢀꢶꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢓꢔꢍꢎꢈꢪꢀ
Page 1 of 42
ꢀ
ꣃꢵꢗꢈꢀꢏꢉꢃꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢏꢘꢈꢀꢌ꣘ꢈꢀꢄꢇꢠꢊꢪꢀ
ꣃꢵꢗꢈꢀꢏꢉꢃꢀꢌ꣘ꢈꢀꢄꢇꢠꢊꢀꢈꢏꢅꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢒꢓꢔꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꣅꢀꢌꢇꢝꢓꢪꢀ
ꢊꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢈꢬꢀꢄꢽꢓꢀꢈ꣙ꢓꢔꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢏꢉꢃꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢊꣅꢀꢏꢎꢛꢀꢡꢛꢩꢈꢑꢩꢔꢣꢥꢀꢌꢰꢇꢀꢢꢀꢊꢞꢂꢐꢓꢀ
ꢊꢟꢓꢏꢀ ꢊꢤꢅꢓꢔꢀ ꢨꢩꢛꢆꢣꢪꢀ ꢼꢏꢒꢀ ꢏꢩꢇꢀ ꢆꢉꢀ ꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀ ꢃꢸꢀ ꢤ꣐ꢓꢔꢀ ꢈꢏꢅꢀ ꢛꢏꢜꢛꢀ ꢢꢙꢀ ꢕꢖꢓꢔꢀ ꢈꢗꢈꢀ ꢊꣅꢀ ꢏꢎꢛꢀ
ꢡꢛꢩꢈꢑꢩꢔꢣꢢꢥꢀ ꢑꢏꢦꢓꢔꢀ ꢢꢙꢀ ꢕꢖꢓꢔꢀ ꢌꢾꢀ ꢏꢅꢰꢲꢀ ꢈꢗꢈꢀ ꢌ꣘ꢈꢀ ꢊꢟꢓꢏꢀ ꢆꢛꢀ ꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀ ꢶꢉꢀ ꢈꢗꢈꢀ ꢊꢏꢭꢀ ꢊꢖꢈꢀ ꢡꢞꢣꢤꣃ
ꢛꢤꢅꢈꢣꢕꢞꢤꢣꢢꢥꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢪꢀꢵꢽꢀꢏꢩꢇꢀꢊꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢌꢞꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢶꢇꢐꢊꢀꢈꢗꢈꢀꢃꣃꢇꢆꢣꢢꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀ
ꢏꢉꢃꢀꢶꢉꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢔꢇꢩꢓꢀꢆꢉꢃꢀꢶꢇꢠꢈꢀꢡꢅꢤꢑꢢꢛꢩꢈꢣꢥꢀꢈꢭꢩꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢪꢀ
1.2 Khëi t¹o c¸c ®èi t−îng symbolic
ꢀ
ꢇꢀꢊꢍꢎꢓꢔꢀꢢꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢆꢉꢀꢑꢇꢝꢞꢀꢕꢀꢆꢇꢠꢞꢀ ꢛꢏꢖꢈꢀ ꢶꢖꢀꢈꢏꢅꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀ
ꢏꢇꢠꢞꢪꢀꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢓꢔꢏꢩꢀꢑꢇꢝꢞꢀꢕꢀꢆꢇꢠꢞꢀꢓꢉꢂꢀꢆꢉꢀꢑꢇꢝꢞꢀsymꢲꢀꢆꢉꢀꢑꢇꢝꢞꢀꢈꢷꢞꢀꢊꢤꢈꢀꢕꢀ
ꢆꢇꢠꢞꢀꢑꢇꢝꢞꢀꢋꢱꢞꢀꢑꢟꢀꢊꢮꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢕꢇ꣠ꢓꢀꢈꢗꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢌꢇꢀꢊꢍꢎꢓꢔꢀsymꢀ
ꢌꢝꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢕꢇ꣠ꢓꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢲꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢶꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢪꢀ
ꢀ
1.2.1 T¹o c¸c biÕn Symbolic vµ biÓu thøc.
ꢵꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀsym, symsꢀꢕ꣡ꢓꢔꢀꢌꢝꢀꢊꢰꢅꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢢꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢶꢉꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢪꢀ
Có ph¸p cña sym
:
s=sym(str); x©y dùng ®èi t−îng s, líp sym, tõ ®èi sè str. NÕu ®èi sè vµo lµ x©u kÝ tù, tr¶ l¹i sè hoÆc
biÕn kÝ hiÖu. NÕu ®èi sè vµo lµ ma trËn sè hoÆc v« h−íng, tr¶ l¹i biÓu diÔn kÝ hiÖu cña c¸c gi¸ trÞ sè.
x=sym('x'); t¹o biÕn kÝ hiÖu cã tªn 'x' ®−îc l−u trong x.
x=sym('x','real'); t¹o biÕn kÝ hiÖu cã tªn 'x', víi x lµ thùc, víi biÕn nµy conj(x) b»ng x.
k=sym('x','poisitive'); t¹o biÕn k (thùc) d−¬ng.
x=sym('x','unreal'); t¹o biÕn x lµ biÕn h×nh thøc thuÇn tuý, cã thÓ d−¬ng, ©m...
pi=sym('pi') vµ dt=sym('1/10'); t¹o c¸c sè kÝ hiÖu ®Ó tr¸nh sai sè vèn cã cña c¸c sè dÊu phÈy ®éng cña
c¸c gi¸ trÞ pi vµ 1/10. BiÕn pi t¹o theo c¸ch nµy sÏ thay thÕ t¹m thêi hµm built-in pi.
x=sym(A,flag); chuyÓn c¸c ma trËn sè hoÆc v« h−íng vÒ d¹ng sè kÝ hiÖu. ChuyÓn sè ph¶y ®éng
theo lùa chän ë ®èi sè flag, c¸c gi¸ trÞ cña flag cã thÎ lµ: 'f', 'r', 'e' hay 'd', mÆc ®Þnh lµ 'r'.
'f' t−¬ng øng cho sè ph¶y ®éng. TÊt c¶ c¸c gÝa trÞ ®−îc biÓu diÔn theo d¹ng '1.F'*2(e) hoÆc '-
1F'*2(e) víi F lµ x©u kÝ tù 13 ch÷ sè hÖ thËp lôc vµ e lµ sè nguyªn. §iÒu nµy gi÷ cho c¸c gi¸
trÞ dÊu ph¶y ®éng ®−îc chÝnh x¸c, nh−ng kh«ng tiÖn lîi cho c¸c tÝnh to¸n sau nµy. VÝ dô,
sym('1/10') lµ '1.999999999999a'*2^(-4) do 1/10 kh«ng biÓu diÔn chÝnh x¸c theo dÊu
ph¶y ®éng.
'r' t−¬ng øng víi ph©n sè. C¸c sè ph¶y ®éng nhËn tõ tÝnh to¸n biÓu thøc d¹ng p/q, p*pi/q,
sqrt(p), 2^q vµ 10^q ®−îc ®æi theo d¹ng kÝ hiÖu c¸c sè nguyªn cã ®é lín võa ph¶i p vµ q.
KÕt qu¶ nµy ¶nh h−ëng ®Õn phÇn bï lçi lµm trßn khi −íc l−îng gi¸ trÞ gèc, cã thÓ kh«ng
biÓu diÔn gi¸ trÞ dÊu ph¶y ®éng ®−îc chÝnh x¸c. NÕu kh«ng cã d¹ng ph©n sè xÊp xØ ®¬n gi¶n,
biÓu thøc d¹ng p*2^q ®−îc ph¸t sinh biÓu diÔn sè ph¶y ®éng ®−îc chÝnh x¸c. VÝ dô
sym('4/3','r') lµ '4/3', cßn sym('1+sqrt(5)','r') lµ 7286977268806824*2^(-51).
'e' t−¬ng øng cho sai sè −íc l−îng. D¹ng 'r' ®−îc bï b»ng sè h¹ng chøa biÕn 'eps' ®Ó −íc l−îng
sai lÖch gi÷a biÓu thøc ph©n sè lý thuyÕt vµ gi¸ trÞ dÊu phÈy ®éng thùc tÕ. VÝ dô,
sym(3*pi/4) lµ 3*pi/4-103*eps/249
'd' t−¬ng øng víi thËp ph©n. Sè ch÷ sè ®−îc lÊy tõ thiÕt lËp mÆc ®Þnh cña digits vµ ®−îc sö
dông bëi vpa. Sè cã Ýt h¬n 16 ch÷ sè sÏ gi¶m Ýt ®é chÝnh x¸c, cßn c¸c sè cã h¬n 16 ch÷ sè
kh«ng ®−îc ®¶m b¶o. VÝ dô digits(10), sym('4/3','d') lµ 1.333333333, cßn digits(20),
sym(4/3,'d') is 1.3333333333333332593, kh«ng kÕt thóc víi toµn sè 3, nh−ng lµ sè thËp ph©n
chÝnh x¸c biÓu diÔn sè ph¶y ®éng gÇn nhÊt cña 4/3.
Page 2 of 42
ꢀ
VÝ dô:
A = hilb(3)
A =
%Sinh ma trËn hilbert 3x3
1.0000 0.5000 0.3333
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
ChuyÓn A vÒ ®èi t−¬ng sym.
A = sym(A)
%NhËn ®−îc ma trËn chÝnh x¸c Hilbert 3x3
A =
[ 1, 1/2, 1/3]
[ 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/3, 1/4, 1/5]
-hµm x©y dùng c¸c ®èi t−îng sym.
syms
syms arg1 arg2 ... lµ c¸ch viÕt gän thay cho
arg1 = sym('arg1');
arg2 = sym('arg2'); ...
syms arg1 arg2 ... real lµ c¸ch viÕt gän thay cho
arg1 = sym('arg1','real');
arg2 = sym('arg2','real'); ...
syms arg1 arg2 ... positive lµ c¸ch viÕt gän thay cho
arg1 = sym('arg1','positive');
arg2 = sym('arg2','positive'); ...
syms arg1 arg2 ... unreal lµ c¸ch viÕt gän thay cho
arg1 = sym('arg1','unreal');
arg2 = sym('arg2','unreal'); ...
Yªu cÇu tªn c¸c ®èi sè ph¶i b¾t ®Çu b»ng kÝ tù ch÷ kiÓu biÕn.
syms x beta real t−¬ng tù
x = sym('x','real');
beta = sym('beta','real');
syms k positive t−¬ng tù
k = sym('k','positive');
§Ó xo¸ bá thuéc tÝnh 'real' hay 'positive', sö dông lÖnh
syms x beta unreal
C¸c vÝ dô:
XÐt tØ sè vµng:
» rgold = sym('(1 + sqrt(5))/2')
rgold =
(1 + sqrt(5))/2
» f = rgold^2 - rgold - 1
f =
(1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)
» simple(f)
ans =
0
XÐt hµm bËc 2 d¹ng f(x)=ax2+b*x+c, lÖnh:
f=sym('a*x^2+b*x+c');
sÏ g¸n cho f biÓu thøc ax2+bx+c. Tuy nhiªn, Toolbox nµy kh«ng t¹o ra c¸c biÕn t−¬ng øng víi
Page 3 of 42
ꢀ
c¸c sè h¹ng trong biÓu thøc a, b, c vµ x. §Ó tÝnh to¸n trªn f (nh− lÊy tÝch ph©n, ®¹o hµm,
phÐp thÕ....), cÇn ph¶i khëi t¹o c¸c biÕn nµy. T¹o c¸c biÕn ®ã nh− sau:
a = sym('a')
b = sym('b')
c = sym('c')
x = sym('x')
hay
syms a b c x
a. TÝnh to¸n víi sè thËp ph©n cã ®é chÝnh x¸c tuú ý.
ꢀꢀ
digits-§Æt sè l−îng ch÷ sè thËp ph©n chÝnh x¸c cho tÝnh to¸n ph−¬ng ph¸p sè cña Maple.
digits tr¶ vÒ x¸c lËp sè ch÷ sè Digits hiÖn dïng. MÆc ®Þnh b»ng Digits=32.
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢻꢀꢏꢉꢃꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢢꢀꢈꢏꢀꢢꢀꢊꢏꢛꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢐꢓꢀsymꢪꢀꢀ
digits(D) ®Æt Digits=D cho c¸c tÝnh to¸n tiÕp theo. D lµ sè nguyªn, hoÆc x©u kÝ tù
hoÆc biÕn sym biÓu diÔn sè nguyªn.
D=digits tr¶ l¹i x¸c lËp cña sè ch÷ sè hiÖn dïng.
vpa -§é chÝnh x¸c sè häc yªu cÇu, tr¶ vÒ x©u kÝ tù biÓu diÏn sè.
r=vpa(s) −íc l−îng gi¸ trÞ sè cho c¸c phÇn tö cña cña ma trËn s , sö dông sè häc
dÊu phÈy ®éng chÝnh x¸c yªu cÇu víi D ch÷ sè chÝnh x¸c, víi D lµ sè ch÷ sè hiÖn hµnh
x¸c ®Þnh bíi digits, kÕt qu¶ r lµ biÕn sym.
vpa(s,D) sö dông D ch÷ sè thay cho x¸c lËp cña Digits. D lµ s« nguyªn hoÆc biÕn sym
biÓu diÔn sè nguyªn.
double(s)
VÝ dô:
-ChuyÓn kÝ hiÖu d¹ng sè (numeric symbolic) vÌ sè thùc double.
vpa(pi,780)
6 ch÷ sè 9 liªn tiÕp tõ sè thËp ph©n thø 770 cña khai triÓn sè pi.
%cho thÊy
vpa(sqrt(2),50)
ans =
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769
double(sym('8!')%Tr¶ vÒ gi¸ trÞ 8!
ans =
40320
ꢀꢀ
b. BiÕn kÝ hiÖu thùc vµ phøc.
ꢵꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀꢢꢂꢃꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢏꢇꢐꢊꢀꢆꢛꢀꢊꢏꢞ꣐ꢈꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢆꢉꢀꢔꢇꢗꢀꢊꢤꢀꢊꢏꢮꢈꢀꢡꢤꢣꢩꢆꢥꢀ
ꢏꢅ꣘ꢈꢀꢕꢍꢬꢓꢔꢀꢡꢛꢅꢢꢇꢊꢇꢶꢣꢥꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢊꢞ꣔ꢀꢚꢪꢀ
ꢵꢗꢈꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꣂꢀ
x=sym('x','real');
y=sym('y','real');
z=sym('z');
ans =
x
ans =
y
u=sym('u');
z=x+i*y;
ans =
x-i*y
ans =
conj(u)
p=sym('p','positive');
conj(x),conj(y),conj(z),conj(u),abs(z),
abs(u), abs(p)
Page 4 of 42
ꢀ
abs(z)
ans =
abs(u)
ans =
p
(x^2+y^2)^(1/2)
ans =
c. BiÕn hµm kÝ hiÖu tr×u t−îng.
ꢀ
꣢ꢏꢇꢀꢃꢞꢓꢀꢊꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢊꢤ꣏ꢞꢀꢊꢍꢎꢓꢔꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꣂꢀ
f=sym('f(x)')
ꢀꢢ꣣ꢀꢌꢺꢓꢔꢀꢶꢩꢇꢀꢊꢤ꣤ꢀꢓꢏꢍꢀꢏꢉꢃꢀꢡꢋꢥꢲꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢓꢏꢇꢞꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢊꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢓꢉꢂꢪꢀꢝꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢌꢰꢅꢀ
ꢏꢉꢃꢀꢈꢷꢛꢀꢿꢲꢀꢊꢩꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏ꣥ꢀ
df = (subs(f,'x','x+h') - f)/'h'
ꢀ
ꢏꢅ꣘ꢈꢀ
syms x h
df=(subs(f,'x','x+h') - f)/h
ꢊꢤꢽꢀꢆꢰꢇꢀ
df=(f(x+h)-f(x))/h
ꢵꢗꢈꢀꢏꢉꢃꢀꢊꢤ꣏ꢞꢀꢊꢍꢎꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢈꢏꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀ꣕ꢅꢞꢤꢇꢣꢤꢲꢀ꣖ꢩꢛꢆꢩꢈꢣꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢶꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀ꣗ꢪꢀ
d. Sö dông sym ®Ó truy nhËp c¸c hµm Maple.
ꢀ
ꢵꢺꢀꢊꢏꢝꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢔꢇꢩꢇꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢑ꣧ꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢀꢓꢏꢍꢀꢢꢩꢞꣂꢀ
kfac=sym('k!')
ꢀ
ꢌꢝꢀꢊꢟꢓꢏꢀ꣨꣧ꢀꢶꢉꢀꢓ꣧ꢀꢲꢀꢊꢩꢀꢈꢺꢀꢆꢠꢓꢏꣂꢀ
syms k n
subs(kfac,k,7),subs(kfac,k,n)
ans =
5040
ans =
n!
e. T¹o ma trËn kÝ hiÖu.
ꢨꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢶ꣤ꢓꢔꢀꢆꢉꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢈꢺꢀꢏꢉꢓꢔꢀꢊꢇꢐꢛꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢓꢏꢓꢀꢊ꣦ꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢊꢤꢍ꣄ꢈꢀꢄ꣩ꢓꢔꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢕꢈꢏꢀꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢌꢇꢀꢃ꣐ꢊꢀꢄꢍ꣄ꢈꢪꢀ꣑ꢟꢀꢕꢖꢀꢊꢰꢅꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢏꢅꢗꢓꢀꢶꢀ꣒ꢀꢈꢺꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢩꢲꢀꢄꢀꢶꢉꢀꢈꢀꢓꢏꢍꢀꢢꢩꢞꣂꢀ
syms a b c
A=[a b c;b c a;c a b]
A =
[ a, b, c ]
[ b, c, a ]
[ c, a, b ]
ꢨꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢶ꣤ꢓꢔꢀꢈꢺꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢏꢉꢓꢔꢀꢶꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢈ꣐ꢊꢀꢄ꣩ꢓꢔꢀꢓꢏꢩꢞꢪ꣢ꢇꢝꢃꢀꢊꢤꢩꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢈꢏꢷꢊꢀꢓꢉꢂꢀ
ꢀ
ꢈꢏꢅꢀꢏꢉꢓꢔꢀꢶꢉꢀꢈ꣐ꢊꢀꢌꢳꢞꢀꢊꢇꢯꢓꢪꢀ
sum(A(1,:),sum(A(:,1))
ans =
a+b+c
ans =
a+b+c
sum(A(1,:)) == sum(A(:,2)) % KiÓm tra logic.
Page 5 of 42
ꢀ
ꢀ
ans =
1
ꢼꢏꢩꢂꢀꢊꢏꢐꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢩꢲꢀꢄꢀꢈꢭꢩꢀ꣒ꢀꢄ꣩ꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢩꢆꢛꢏꢩꢲꢀꢄꢣꢊꢩꢪꢀ
syms alpha beta;
A(2,3) = beta;
A = subs(A,b,alpha)
A =
[ a, alpha, c]
[ alpha, c, beta]
[ c, a, alpha]
f. t×m kiÕm c¸c biÕn trong biÓu thøc.ꢀ
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢏꢉꢃꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢀꢌꢝꢀꢊ꣏ꢃꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢑꢟꢀ
ꢏꢇꢠꢞꢪꢀ
findsym(s) -Víi biÕn s lÇ c¸c v« h−íng hoÆc ma trËn d¹ng sym, hµm findsym tr¶ vÒ x©u kÝ
tù cña tÊt c¶ c¸c biÕn trong s. C¸c biÕn tr¶ vÒ ®−îc s¾p theo thø tù b¶ng ch÷ c¸i vµ ph©n
c¸ch nhau bëi dÊu ph¶y. NÕu kh«ng cã biÕn sym trong biÓu thøc nã tr¶ vÒ x©u kÝ tù trèng.
findsym(s,n) -Tr¶ vÒ n biÕn gÇn ch÷ c¸i 'x'.
VÝ dô:
findsym(alpha+a+b) tr¶ vÒ a, alpha, b
findsym(cos(alpha)*b*x1 + 14*y,2) tr¶ vÒ x©u x1,y
findsym(y*(4+3*i) + 6*j) tr¶ vÒ y
ꢀꢀꢀꢀ
1.2.2 C¸c phÐp biÓu diÔn biÓu thøc kÝ hiÖu.
ꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢢꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢃ꣐ꢊꢀꢢꢀꢏꢉꢃꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢕꢇ꣠ꢓꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢢꢀꢏꢘꢈꢪꢀ
sö dông pretty ®Ó in ra mµn h×nh biÓu thøc sym.
pretty(S) -in biÓu thøc sym S thµnh khu«n d¹ng kiÓu to¸n häc th«ng th−êng.
pretty(S,n) -sö dông mµn h×nh cã chiÒu réng n thay cho mµn h×nh mÆc ®Þnh lµ 79.
vÝ dô:
pretty(sym('(x^2-4*y^2-x+y)*exp(-x^2-y^2)'))
2
(x~ - 4 y~ - x~ + y~) exp(-x~ - y~ )
2
2
2
C¸c hµm ezplot ,ezplot3 ,ezmesh, ezsurf cho phÐp biÓu diÔn c¸c c¸c hµm 1, 2 biÕn lªn mµn
h×nh ®å ho¹.
syms x y;
bt1=1.23*x^3-2*x^2+x-1.33;
bt2=x*exp(-x^2-y^2);
ezplot(bt1,[-2 2]);
ezmesh(bt2,[-2 2 -3 3]);
ezsurf((x^2-y^2)*cos(x+2*y),[-pi pi -pi/2 pi/2]);
ꢀ
1.2.3 C¸c phÐp biÕn ®æi sè häc ®¬n gi¶n.
a. PhÐp thay thÕ.
subs
-Thay thÕ biÓu thøc kÝ hiÖu b»ng biÓu thøc kÝ hiÖu kh¸c.
Page 6 of 42
ꢀ
subs(s)
- Thay thÕ tÊt c¶ c¸c biÕn trong biÓu thøc s b»ng gi¸ trÞ nhËn tõ c¸c hµm
-Thay thÕ c¸c biÕn tù do trong s b»ng new.
subs(s,old,new) -Thay thÕ biÓu thøc old b»ng biÓu thøc new trong biÓu thøc s. old lµ biÕn kÝ
®−îc gäi vµ trong workspace.
subs(s,new)
hiÖu, x©u kÝ tù biÓu diÔn tªn biÕn, hoÆc biÓu thøc x©u kÝ tù. new lµ biÕn kÝ hiÖu hoÆc biÕn gi¸
trÞ hoÆc biÓu thøc. NÕu old vµ new lµ m¶ng khèi cã cïng kÝch th−íc sÏ thay thÕ t−¬ng øng
c¸c phÇn tö cña new cho old. NÕu s vµ old lµ c¸c v« h−íng vµ new lµ m¶ng hoÆc m¶ng khèi,
c¸c v« h−íng ®−îc khai triÓn ®Ó sinh m¶ng kÕt qu¶. NÕu new lµ m¶ng khèi c¸c ma trËn sè,
c¸c phÐp thÕ ®−îc thùc hiÖn cho tõng phÇn tö (vÝ dô: subs(x*y,{x,y},{A,B}) tr¶ l¹i A.*B khi
A vµ B lµ c¸c ma trËn sè).
Khi subs(s,old,new) kh«ng thay ®æi s, th× subs(s,new,olld) ®−îc dïng. §iÒu nµy ®−a ra tÝnh
t−¬ng thÝch ng−îc víi c¸c phiªn b¶n tr−íc ®©y vµ nã kö trËt tù thø tù c¸c ®èi sè. C©u lÖnh
subs(s,old,new,0) kh«ng chuyÓn c¸c ®èi sè khi s kh«ng bÞ thay ®æi.
VÝ du:
a = 980;
C1 = 3;
C©u lÖnh y = dsolve('Dy = -a*y')
sÏ cho kÕt qu¶ y = exp(-a*t)*C1
khi ®ã c©u lÖnh
subs(y) cho ta ans = 3*exp(-980*t)
PhÐp thÕ ®¬n:
syms a b t;
subs(a+b,a,4) tr¶ l¹i 4+b.
PhÕp thÕ ®a biÕn:
subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2}) tr¶ l¹i cos(alpha)+sin(2)
Khai triÓn v« h−íng ®¬n:
subs(exp(a*t),'a',-magic(2)) tr¶ vÒ
[ exp(-t), exp(-3*t)]
[ exp(-4*t), exp(-2*t)]
Khai triÓn nhiÒu biÕn theo trÞ v« h−íng :
subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 0],[1 -1;-2 1]}) tr¶ l¹i
[ 0, -1]
[ 2, 0]
-ViÕt l¹i theo nhãm sè h¹ng chung cña c¸c biÓu thøc.
subexpr
[y,sigma] = subexpr(X,sigma) hay [Y,sigma] = SUBEXPR(X,'sigma') viÕt l¹i biÓu thøc X theo
c¸c nhãm sè h¹ng chung.
Example:
t = solve('a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0');
[r,s] = subexpr(t,'s');
%t=s*r;
r =
[
1/6/a*s^(1/3)-2/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-1/3*b/a]
-1/12/a*s^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-
[
1/3*b/a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*s^(1/3)+2/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3))]
[ -1/12/a*s^(1/3)+1/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3)-1/3*b/a-
1/2*i*3^(1/2)*(1/6/a*s^(1/3)+2/3*(3*c*a-b^2)/a/s^(1/3))]
Page 7 of 42
ꢀ
s =
36*c*b*a-108*d*a^2-8*b^3+12*3^(1/2)*(4*c^3*a-c^2*b^2-
18*c*b*a*d+27*d^2*a^2+4*d*b^3)^(1/2)*a
ꢀ
b. PhÐp ®¬n gi¶n biÓu thøc.
simple
simple(s)
-T×m d¹ng biÓu thøc d¬n gi¶n nhÊt cho biÓu thøc vµ ma trËn kÝ hiÖu.
-Thö c¸c ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n ho¸ ®¹i sè kh¸c nhau cña s vµ tr¶ vÒ (hiÓn thÞ
c¸c kÕt qu¶ rót gän cacs ph−¬ng ph¸p) d¹ng cã chiÒu dµi ng¾n nhÊt ®èi víi s lµ biÕn sym.
Khi s lµ ma trËn, kÕt qu¶ lµ d¹ng ng¾n nhÊt cña c¶ ma trËn, kh«ng ph¶i mçi phÇn tö riªng
cã d¹ng ng¾n nhÊt.
[r,how]=simple(s)- Kh«ng hiÓn thÞ c¸c phÐp biÕn ®æi trung gian, vµ tr¶ l¹i d¹ng ®¬n gi¶n ng¾n
nhÊt t×m ®−îc, r lµ biÕn sym, how lµ x©u kÝ tù phÐp biÕn ®æi.
VÝ dô:
s
r
1
how
combine(trig)
simplify
cos(x)^2+sin(x)^2
2*cos(x)^2-sin(x)^2
cos(x)^2-sin(x)^2
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
cos(x)+i*sin(x)
3*cos(x)^2-1
cos(2*x)
cos(x)+i*sin(x)
exp(i*x)
combine(trig)
radsimp
convert(exp)
collect(x)
factor
(x+1)*x*(x-1)
x^3+3*x^2+3*x+1
cos(3*acos(x))
x^3-x
(x+1)^3
4*x^3-3*x
log(x*y)
expand
combine
syms x y positive
log(x) + log(y)
symplify §¬n gi¶n ho¸ biÓu thøc.
symplify(s) §¬n gi¶n ho¸ biÓu thøc s vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt, kh«ng nh− simple ®−a vÒ d¹ng
ng¾n nhÊt.
VÝ dô:
simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) tr¶ l¹i 1 .
simplify(exp(c*log(sqrt(alpha+beta)))) lµ (alpha+beta)^(1/2*c)
syms x y positive
simplify(log(x) + log(y)) tr¶ vÒ log(x)+log(y)
c. C¸c hµm khai triÓn.
ꢀ ꣪ꢉꢃꢀꢑꢏꢩꢇꢀꢊꢤꢇꢝꢓꢀꢈꢗꢈꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢢꢀꢶꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢆꢞ꣫ꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢈꢗꢈꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢢꢀꢈꢏꢞꢓꢔꢪꢀ
expand(s) -Ghi mçi phÇn tö cña biÓu thøc s thµnh tæng cña luü thõa c¸c thõa sè chung.
expand sö dông nhiÒu cho c¸c hµm ®a thøc, ®−îc sö dông khai triÓn hµm l−îng gi¸c, hµm
mò vµ hµm logarit.
VÝ dô:
v = [exp(x + y) log(x^2/y)]
expand((x+1)^3) ttr¶ vÒ x^3+3*x^2+3*x+1
expand(sin(x+y)) tr¶ l¹i sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
expand(v)
tr¶ vÒ [exp(x)*exp(y), 2*log(x)-log(y)]
Page 8 of 42
ꢀ
ꢀ
꣪ꢉꢃꢀꢑꢏꢩꢇꢀꢊꢤꢇꢝꢓꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢶꢀꢕꢰꢓꢔꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢢꢀꢓꢔꢞꢂꢯꢓꢀꢊꢪꢀ
factor(s) -Ph©n tÝch ma trËn s thµnh tÝch c¸c thõa sè cña s. NÕu s chøa toµn sè nguyªn,
c¸c phÇn tö sÏ ®−îc tÝnh lµ tÝch c¸c thõa sè nguyªn tè. §Ó ph©n tÝch sè nguyªn tè lín h¬n
2^52, sö dông factor(sym('n')).
VÝ dô:
factor(x^9-1) lµ tÝch
(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)
factor(sym('12345678901234567890')) lµ tÝch
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
꣪ꢉꢃꢀꢓꢏꢺꢃꢀꢈꢗꢈꢀꢊꢏ꣦ꢩꢀꢢꢀꢈꢏꢞꢓꢔꢪꢀ
ꢀ
collect(s,v) -Nhãm c¸c sè h¹ng theo ®a thøc v cña c¸c phÇn tö ma trËn kÝ hiÖu s vµ biÓu
diÔn s theo c¸c sè h¹ng lµ luü thõa cña v.
collect(s) -sö dông biÕn mÆc ®Þnh x¸c ®Þnh bëi hµm findsym.
VÝ dô:
collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x) tr¶ vÒ (y-1)*x^2+(y-2)*x
f = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)
collect(f,exp(-2*x)) tr¶ vÒ (-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)
ꢀ
d. Mét sè biÕn ®æi ®¬n gi¶n kh¸c.
ꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢏꢉꢃꢀnumdenꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊꢩꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢶꢉꢀꢃ꣬ꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀ
ꢏꢇꢠꢞꢪꢀ꣪ꢉꢃꢀnumden(s)ꢀꢈꢏꢞꢂꢝꢓꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢢꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢢꢀꢊꢏꢉꢓꢏꢀꢕꢰꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢌꢩꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢓꢔꢞꢂꢯꢓꢀꢊꢀꢏꢠꢀꢢꢀ
ꢏ꣩ꢓꢔꢪꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
[n,d]=numden(x/y+y/x)
ꢀ
[n,d]=numden(sym('4/7')
ꢊꢤꢽꢀꢶꢀn=x^2+y^2, d=y*x
ꢊꢤꢽꢀꢶꢀn=4, y=7
ꢀ
ꢀ
ꢝꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢕꢇ꣠ꢓꢀꢌꢩꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢶꢀꢕꢰꢓꢔꢀ꣪ꢅꢤꢓꢣꢤꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃ horner(P)ꢀꢌꢝꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢌꢩꢀꢊꢏꢒꢈꢀ
ꢫꢀꢶꢀꢕꢰꢓꢔꢀꢏꢅꢤꢓꢣꢤꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢆꢾꢓꢔꢀꢓꢏꢩꢞꢪꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
p=horner(x^3-6*x^2+11*x-6) tr¶ vÒ p=x*(x*(x-6)+11)-6
p=horner(x^5-5*x^3)
tr¶ vÒ p=(-5+x^2)*x^3
ChuyÓn ®æi d¹ng biÓu thøc sym sang d¹ng x©u kÝ tù:
syms x y;
bt1=1.23*x^5-2*x^2+x-1.33;
bt2=x*exp(-x^2-y^2);
bt3=char(bt2)
tr¶ l¹i bt3='x*exp(-x^2-y^2)'
ChuyÓn ®æi d¹ng biÓu thøc sym sang x©u kÝ tù ®−îc vector ho¸:
bt4=vectorize(bt2)
tr¶ l¹i bt4='x.*exp(-x.^2-y.^2)'
ChuyÓn ®a thøc d¹ng kÝ hiÖu vÒ vector c¸c hÖ sè cña ®a thøc, vµ ng−îc l¹i.
a=sym2poly(bt1)
tr¶ vÒ a = [ 1.2300
a=[1 -2 0 0 .5];
%ChuyÓn ®a thøc d¹ng kÝ hiÖu vÒ vector hÖ sè cña nã.
0 -2.0000 1.0000 -1.3300]
0
Ps=poly2sym(a) %ChuyÓn c¸c hÖ sè ®a thøc vÒ biÕn kÝ hiÖu
tr¶ vÒ Ps = x^4-2*x^3+1/2
Page 9 of 42
ꢀ
ChuyÓn thøc sè d¹ng kÝ hiÖu vÒ sè double
a=sym('sqrt(3)-1') tr¶ vÒ a = sqrt(3)-1
av=double(a) tr¶ vÒ av= 0.7321
as=sym(av,'d') tr¶ vÒ as =.732105080756887730419890658595250
Page 10 of 42
ꢀ
ch−¬ng II
§¹i sè vµ gi¶i tÝch
2.1
Gi¶i (hÖ) ph−¬ng tr×nh.
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢌꢍꢩꢀꢤꢩꢀꢏꢉꢃꢀsolveꢀꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢊ꣏ꢃꢀꢈꢗꢈꢀꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢀꢈꢭꢩꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢉꢀꢏꢠꢀ
ꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢪꢀ
expr1(var1,var2,...,varN) = 0
expr2(var1,var2,...,varN) = 0
ꢀ
...........
exprN(var1,var2,...,varN) = 0
Có ph¸p :
solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN) or
solve(expr1,expr2,...,exprN)ꢀꢼ꣏ꢃꢀꢈꢗꢈꢀꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢀꢏꢠꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀ
꣑꣄ꢇꢀꢀeprkꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢊꢏꢒꢀꢑꢪꢀvarkꢀꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀ
ꢋꢱꢞꢀꢑꢟꢀꢊꢮꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢓꢀꢢꢪꢀsolveꢀꢊ꣏ꢃꢀꢑꢇꢐꢃꢀꢈꢗꢈꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢌꢇꢝꢃꢀꢈꢭꢩꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢪꢀ꣭ꢐꢞꢀ
ꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢈꢏ꣮ꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢓꢲꢀꢈꢗꢈꢀꢓꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢸꢇꢀꢏꢉꢃꢀfindsymꢲꢀꢀ
꣭ꢐꢞꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢈꢗꢈꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢌꢇꢝꢃꢀꢔꢇꢽꢇꢀꢊꢟꢈꢏꢶꢉꢀꢢꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢄ꣩ꢓꢔꢀꢢꢀꢓꢀ
ꢡꢢꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢥꢲꢀꢆꢧꢇꢀꢔꢇꢽꢇꢀꢢꢀꢡꢓꢞꢃꢣꢤꢇꢈꢀꢢꢅꢆꢞꢊꢇꢅꢓꢥꢀꢢ꣣ꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢊꢏꢙꢪꢀ
ꢵꢺꢀ꣯ꢀꢑꢇꢝꢞꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢩꢀꢑꢏꢗꢈꢀꢓꢏꢩꢞꢀꢈꢞꢽꢀꢏꢉꢃꢀsolveꢪꢀꢇꢀꢶ꣄ꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢈꢺꢀꢿꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢩꢀꢆꢉꢀ
ꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢀꢊ꣏ꢃꢀꢌꢍꢎꢈꢲꢀꢑꢏꢇꢀꢈꢺꢀꢓꢏꢇꢞꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢌꢇꢝꢃꢀꢡ꣰ꢣꢤꢅꢢꢥꢀꢢ꣣ꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢑꢟꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀ꣑꣄ꢇꢀꢏꢠꢀ
ꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢀꢈꢺꢀꢢꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢄ꣩ꢓꢔꢀꢢꢀꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢲꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢩꢀꢡꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢀꢊ꣏ꢃꢀꢌꢍꢎꢈꢥꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢢꢛꢀ
ꢋꢐꢛꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢊꢏꢒꢀꢊꢮꢀꢈꢏꢀꢈꢗꢇꢀꢊꢯꢓꢀꢄꢇꢐꢓꢪꢀꢇꢀꢶ꣄ꢇꢀꢏꢠꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢉꢀꢈꢏ꣮ꢀꢈꢺꢀꢿꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢩꢲꢀꢢꢅꢆꢶꢣꢀꢊꢤꢽꢀ
ꢶꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢈꢷꢞꢀꢊꢤꢈꢀꢈꢏꢒꢩꢀꢈꢗꢈꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢌꢇꢝꢃꢪꢀ
VÝ dô:
ꢵꢗꢈꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢌꢇꢝꢃꢀꢈꢭꢩꢀꢌꢩꢀꢊꢏꢒꢈꣂꢀ
solve('x^2-x-6') cho c¸c nghiÖm
ans =
[ -2]
[ 3]
ꢵꢗꢈꢀꢓꢔꢏꢇꢠꢃꢀꢈꢭꢩꢀꢏꢠꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꣂꢀ
[X,Y] = solve(x+y-1, x-y-2) cho c¸c nghiÖm
X = 3/2
Y = -1/2
꣪ꢠꢀꢈꢺꢀꢊꢏꢩꢃꢀꢢꣂꢀ
syms x y z t;
S = solve(t*x+z*y-1, 2*t*x-3*z*y+2, t, z) tr¶ vÒ c¸c nghiÖm
S.t =
1/5/x
S.z =
4/5/y
꣎ꢇꢽꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢛꢏꢇꢀꢊꢞꢂꢐꢓꣂꢀꢆꢅꢔꢡꢋꢻꣃꢿꢥ꣱ꢩꣲꢀ
syms x a;f=sym('log(x^2-1)=a') ;
solve(f,x) tr¶ vÒ nghiÖm cã d¹ng
ans =
[ (exp(a)+1)^(1/2)]
Page 11 of 42
ꢀ
[ -(exp(a)+1)^(1/2)]
2
au + v = 0
2
꣎ꢇꢽꢇꢀꢏꢠꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꣂ u− v = 1
ꢀ
a2 − 5a+ 6 = 0
[a,u,v]=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6','a,u,v') tr¶ vÒ hÖ nghiÖm kÝ hiÖu sè sau
a =
u =
v =
[ 2]
[ 2]
[ 3]
[ 3]
[ 1/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ 1/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ 1/4-1/4*i*3^(1/2)]
[ -2/3+1/3*i*2^(1/2)]
[ -2/3-1/3*i*2^(1/2)]
[ -3/4+1/4*i*3^(1/2)]
[ -3/4-1/4*i*3^(1/2)]
da=double(a);du=double(u);dv=double(v);da,du,dv %hµm numvar=double(symvar)
chuyÓn biÕn kÝ kiÖu d¹ng sè vÒ sè thùc ®é chÝnh x¸c kÐp.
da =
2
du =
0.3333 + 0.4714i
dv =
-0.6667 + 0.4714i
2
0.3333 - 0.4714i
0.2500 + 0.4330i
0.2500 - 0.4330i
-0.6667 - 0.4714i
-0.7500 + 0.4330i
-0.7500 - 0.4330i
3
3
꣎ꢇꢽꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢩꢋꢻꣳꢄꢋꣳꢈ꣱ꣀꣂ
syms a b c x
ꢀ
S = a*x^2 + b*x + c;
solve(S)
ans =
[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
꣭ꢐꢞꢀꢃꢞꢓꢀꢔꢇꢽꢇꢀꢌꢇꢀꢶ꣄ꢇꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢓꢉꢅꢀꢌꢺꢲꢀꢛꢏꢽꢇꢀꢈꢏ꣮ꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢸꢀꢌꢇꢀꢢꢀꢊꢏꢒꢀꢻꢲꢀꢶꢟꢀꢕꢖꢀꢔꢇꢽꢇꢀ
ꢶ꣄ꢇꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢄꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀꣂ
b = solve(S,b) tr¶ vÒ
ꢀ
b =-(a*x^2+c)/x
2.2 Gi¶i tÝch to¸n häc.
ꢀ
a. Hµm hîp vµ hµm ng−îc.
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢏꢉꢃꢀfinverseꢀꢶꢉꢀcomposeꢀꢌꢝꢀꢊ꣏ꢃꢀꢏꢉꢃꢀꢓꢔꢍꢎꢈꢀꢶꢉꢀꢏꢉꢃꢀꢏꢎꢛꢀꢈꢭꢩꢀꢈꢗꢈꢀ
ꢏꢉꢃꢀꢢꢬꢀꢈꢷꢛꢪꢀ
Có ph¸p:
g = finverse(f)ꢀ
ꢿꢀꢄꢇꢐꢓꢲꢀꢈꢏꣴꢓꢔꢀꢏꢰꢓꢀꣵꢋꣵꢪꢀ꣢ꢏꢇꢀꢌꢺꢀꢔꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢊꢏꣶꢩꢀꢃꣷꢓꢀꢔꢡꢡꢋꢥꢥ꣱ꢋꢪꢀ
g = finverse(f,v)ꢀ ꢼꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀꢓꢔꢍꢎꢈꢀꢈꢭꢩꢀꢏꢉꢃꢀꢲꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢀꢈꢏꢅꢀꢄꢸꢇꢀꢶꢪꢀ
ꢁꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢕꢩꢓꢔꢏꢀꢓꢉꢂꢀꢑꢏꢇꢀꢏꢉꢃꢀꢀꢈꢺꢀꢓꢏꢇꢞꢀꢊꢏꢩꢃꢀꢢꢪꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
finverse(1/tan(x))
ꢀ
ꢼꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀꢓꢔꢍꢎꢈꢀꢈꢭꢩꢀꢏꢉꢃꢀꢪꢀꢀꢆꢉꢀꢏꢉꢃꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢈꢏ꣮ꢀꢈꢺꢀꢌꢓꢔꢀ
ꢀ
tr¶ vÒ atan(1/x).
f = x^2+y;
finverse(f,y)
finverse(f)
tr¶ vÒ -x^2+y.
tr¶ vÒ (-y+x)^(1/2) vµ lêi c¶nh b¸o hµm ng−îc kh«ng duy nhÊt.
Có ph¸p:
Page 12 of 42
ꢀ
compose(f,g)ꢀꢀ ꢊꢤꢽꢀꢆꢰꢇꢀꢏꢉꢃꢀf(g(y))ꢀꢶ꣄ꢇꢀf = f(x)ꢀꢩꢓꢕꢀg = g(y).ꢀ꣑꣄ꢇꢀꢋꢲꢀꢂꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀ
ꢏꢇꢠꢞꢀꢈꢭꢩꢀꢲꢀꢔꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢪꢀ
compose(f,g,z)ꢀꢀ ꢼꢤꢽꢀꢆꢰꢇꢀꢏꢉꢃꢀꢏꢎꢛꢀf(g(z)) ꢶ꣄ꢇꢀf = f(x), g = g(y),ꢀꢶꢉꢀꢋꢲꢂꢀꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀ
ꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢈꢭꢩꢀꢲꢀꢔꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢏꢉꢃꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢪꢀ
compose(f,g,x,z)ꢀꢀ ꢼꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀꢏꢎꢛꢀꢡꢔꢡ꣰ꢥꢥꢀꢶꢉꢀꢈꢅꢇꢀꢋꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢀꢈꢭꢩꢀꢪꢀꢅꢀꢌꢺꢲꢀ
ꢓꢐꢞꢀf = cos(x/t),ꢀꢊꢏ꣏ꢀcompose(f,g,x,z)ꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀcos(g(z)/t)ꢀꢈ꣤ꢓꢀcompose(f,g,t,z)ꢀꢊꢤꢽꢀꢆꢰꢇꢀ
cos(x/g(z)).
compose(f,g,x,y,z)ꢀꢀ
ꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢀꢈꢭꢩꢀꢔꢪꢀ꣑꣄ꢇꢀꢏꢉꢃꢀf = cos(x/t)ꢀꢶꢉꢀg = sin(y/u),
ꢀ
ꢼꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀꢏꢎꢛꢀꢡꢔꢡ꣰ꢥꢥꢀꢶꢉꢀꢈꢅꢇꢀꢋꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢀꢈꢭꢩꢀꢀꢶꢉꢀꢂꢀ
compose(f,g,x,y,z)ꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀ
ꢀ
cos(sin(z/u)/t),ꢀꢈ꣤ꢓꢀcompose(f,g,x,u,z)ꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢏꢉꢃꢀcos(sin(y/z)/t).
ꢀꢀꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
ꢀ
syms x y z t u;
f = 1/(1 + x^2); g = sin(y); h = x^t; p = exp(-y/u);
compose(f,g)
compose(f,g,t)
compose(h,g,x,z)
compose(h,g,t,z)
compose(h,p,x,y,z)
compose(h,p,t,u,z)
ꢀ
tr¶ l¹i 1/(1+sin(y)^2)
tr¶ l¹i 1/(1+sin(t)^2)
tr¶ l¹i sin(z)^t
tr¶ l¹i x^sin(z)
tr¶ l¹i exp(-z/u)^t
tr¶ l¹i x^exp(-y/z)
b. PhÐp tÝnh giíi h¹n.
ꢁꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀlimitꢀꢌꢝꢀꢊ꣏ꢃꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀ
ꢵꢀꢛꢏꢗꢛꣂꢀ
limit(F,x,a)ꢀꢀ
꣖ꢷꢂꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀ꣕ꢀꢑꢏꢇꢀꢋꣃ꣸ꢩꢪꢀ
ꢁꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢡ꣕ꢥꢀꢌꢝꢀꢊ꣏ꢃꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌ꣐ꢈꢀꢆꢛꢀꢶꢉꢀꢊ꣏ꢃꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢪꢀ
ꢀ ꢼ꣏ꢃꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢶ꣄ꢇꢀꢩꢀ꣱ꢀꣀꢪꢀ
limit(F,a)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
limit(F)ꢀꢀ
limit(F,x,a,'right')ꢀꢀꢀ ꢏꢅ꣘ꢈꢀlimit(F,x,a,'left')ꢀ꣹ꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢀꢆꢷꢂꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢪꢀ
BiÓu thøc to¸n häc
lim f(x)
C©u lÖnh matlab
limit(f)
x→0
lim f(x)
limit(f,x,a) hoÆc limit(f,a)
limit(f,x,a,'left')
x→a
lim f(x)
x→a−
lim f(x)
limit(f,x,a,'right')
x→a+
lim f(x)
limit(f,x,-inf,'right')
limit(f,x,inf,'left')
x→−∞
lim f(x)
x→+∞
f(x
+
h)
h
− f(x)
limit((subs(f,x,x+h)-f)/h,h,0)
lim
h→0
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
syms x a t h;
limit(sin(x)/x)
limit((x-2)/(x^2-4),2)
tr¶ vÒ 1
tr¶ vÒ 1/4
limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) tr¶ vÒ exp(6*t)
Page 13 of 42
ꢀ
limit(1/x,x,0,'right')
limit(1/x,x,0,'left')
tr¶ vÒ inf,
tr¶ vÒ -inf
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) tr¶ vÒ cos(x)
v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];
limit(v,x,inf,'left')
tr¶ vÒ [exp(a), 0]
x2 + 5x + 1
2x + 1
x->ꣳ∞
ap =
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀꢼ꣏ꢃꢀꢊꢇꢠꢃꢀꢈꢓꢀꢋꢇꢯꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢏꢉꢃꢀ f(x) =
ꢀꢑꢏꢇꢀꢋꣃ꣸ ∞ꢪꢀ
syms x;
x->ꣃ∞
an =
1/2
f=(x^2+5*x+1)/(2*x+1);
ap=limit(f/x,x,inf,'left')
bp=limit(f-ap*x,x,inf,'left')
an=limit(f/x,x,-inf,'right')
bn=limit(f-an*x,x,-inf,'right')
1/2
bp =
9/4
bn =
9/4
tcx1=ap*x+bp
x
tcx2=an*x+bn
ea − 1
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢼ꣏ꢃꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢢꢩꢞꣂ lim
ꢀ
x→0
sin(bx)
syms a b x
»
lim
lim =
a/b^(1/2
=limit((exp(a*sqrt(x))-1)/(sqrt(sin(b*x))),x,0)
c. PhÐp tÝnh ®¹o hµm.
ꢀ
ꢼꢟꢓꢏꢀꢌꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇ꣺ꢞꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀꢕꢇꢪꢀ
Có ph¸p:
diff(s)ꢀꢀꢀꢀ
ꢏꢉꢃꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢪꢀ
diff(s,'v') ꢏꢩꢂꢀꢀ
diff(s,sym('v'))ꢀꢀ ꣃꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢶꢪꢀ
diff(s,n) ꣃ꣑꣄ꢇꢀꢓꢀꢆꢉꢀꢢꢀꢓꢔꢞꢂꢯꢓꢀꢕꢍꢬꢓꢔꢲꢀꢀꢌꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢢꢀꢓꢀꢆꢳꢓꢪꢀ
ꢶꢉꢀdiff(s,n,'v') ꢌꢞꢀꢌꢍꢎꢈꢀꢈꢏꢷꢛꢀꢓꢏꢓꢪꢀ
ꢀ
ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꢌꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢊꢮꢀꢕꢅꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢸꢇꢀ
ꢀ
ꢀ
diff(s,'v',n)
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢨꢩꢊꢆꢩꢄꢀꢌꢍꢩꢀꢤꢩꢀꢏꢉꢃꢀjacobianꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀjacobian ꢈꢭꢩꢀꢓꢀꢏꢉꢃꢀꢃꢀꢄꢇꢐꢓꢲꢀꢶ꣄ꢇꢀꢈꢗꢈꢀ
ꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢌꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢤꢇꢯꢓꢔꢪꢀ
Có ph¸p:
ꢀ
jacobian(f,v)
ꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀ ꢪꢀ꣑꣄ꢇꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢈꢺꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀ(i,j)
ꢆꢉꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢲꢀꣻꢩꢈꢅꢄꢇꢩꢓꢀꢈꢭꢩꢀ ꢆꢉꢀꢔꢤꢩꢕꢇꢣꢓꢊꢀꢈꢭꢩꢀ ꢪꢀꢼꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢮꢀꢶꢀꢈꢺꢀꢊꢏꢝꢀꢆꢉꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢲꢀꢑꢏꢇꢀꢌꢺꢀꢓꢺꢀ
ꢀ
ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꣻꢩꢈꢅꢄꢇꢩꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢀꢏꢩꢂꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀ
f
ꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢇꢯꢓꢔꢀ
v
ꢀ
ꢆꢉꢀꢌꢰꢅꢀꢏꢉꢃꢀꢤꢇꢯꢓꢔꢀdf(i)/dv(j).
ꢀ
꣖ꢍꢞꢀꢚꢲꢀꢑꢏꢇꢀ
f
f
f
ꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢮꢀdiff(f,v)ꢪꢀꢵꢏꢀꢚꢲꢀꢓꢐꢞꢀꢌꢇꢀꢢꢀꢌꢳꢞꢀꢀꢓꢐꢞꢀꢆꢉꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢀꢈ꣐ꢊꢲꢀꢌꢇꢀꢢꢀꢊꢏꢒꢀꢻꢀꢶꢀꢛꢏꢽꢇꢀꢆꢉꢀ
ꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢏꢉꢓꢔꢲꢪꢀ꣪ꢬꢓꢀꢓꢩꢲꢀꢑꢏꢇꢀꢌꢓꢏꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢈꢭꢩꢀꣻꢩꢈꢅꢄꢇꢩꢓꢀꢈꢺꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢆꢍꢎꢓꢔꢀꢔꢇꢗꢈꢀꢛꢏꢒꢈꢀꢊꢰꢛꢲꢀ
ꢓꢯꢓꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀsimpleꢀꢌꢝꢀꢊꢏꢩꢂꢀꢊꢏꢐꢀꢶꢉꢀꢤꢊꢀꢔꢘꢓꢪ
ꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꢀꣂꢀ
x = sym('x');
t = sym('t');
syms a y z u v;
Page 14 of 42
ꢀ
diff(sin(x^2)) cho ta 2*cos(x^2)*x
diff(t^6,6) cho kÕt qu¶ 720.
A = [cos(a*x),sin(a*x);sin(a*x),cos(a*x)]
sÏ cho ma trËn
A =
[ cos(a*x), sin(a*x)]
[ sin(a*x), cos(a*x)]
dy = diff(A)
tr¶ l¹i
dy =
[ sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
[ cos(a*x)*a, sin(a*x)*a]
jacobian([x*y*z; y; x+z],[x y z]) -> [ y*z, x*z, x*y]
[ 0, 1, 0]
[ 1, 0, 1]
jacobian(u*exp(v),[u;v])
꣹ꢜꢊꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢊ꣦ꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢔꢇꢩꢓꢀ꣼ꢞꢈꢆꢇꢕꢣꢩꢓꢀꢡꢋꢲꢂꢲ꣰ꢥꢀꢢꢩꢓꢔꢀꢊꢅꢰꢀꢌ꣐ꢀꢈꢳꢞꢀꢡꢤꢲλ,ϕꢥꢀꢈꢏꢅꢀꢄꢸꢇꢀ
ꢈꢦꢓꢔꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢋ꣱ꢤꢈꢅꢢλꢈꢅꢢϕꢲꢀꢂꢀ꣱ꢀꢤꢀꢈꢅꢢλꢢꢇꢓ ϕꢲꢀꢶꢉꢀz=rsinλꢪꢀꢵꢏꢚꢀꢚꢲ λ ꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢶ꣄ꢇꢀ
ꢔꢺꢈꢀꢓꢱꢓꢔꢀꢡelevation or latitude ꢥꢀꢶꢉꢀϕ ꢆꢉꢀꢔꢺꢈꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢶꢀꢡazimuth or longitudeꢥꢪ
-> [ exp(v), u*exp(v)]
ꢀ
ꢝꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꣻꢩꢈꢅꢄꢇꢩꢓꢲꢀꣻꢲꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢓꢉꢂꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀjacobian,ꢀꢕꢰꢓꢔꢀꢊꢅꢗꢓꢀ
ꢏꢘꢈꢀꢈꢭꢩꢀꣻꢀꢆꢉꣂꢀ
∂(x,y,z)
J =
ꢀ
∂(r,λ,ϕ)
ꢁꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢆꢀꢈꢏꢅꢀλꢀꢶꢉꢀꢀꢈꢏꢅꢀϕꢲꢀꢊꢩꢀꢈꢺꣂꢀ
syms r l f;
x = r*cos(l)*cos(f); y = r*cos(l)*sin(f); z = r*sin(l);
J = jacobian([x; y; z], [r l f])
ꢼꢤꢽꢀꢶꢀꣽꢩꢈꢅꢄꢇꢩꢓꢀꣻꢀ
J =
[ cos(l)*cos(f), r*sin(l)*cos(f), r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
Hoµng ViÖt
[ sin(l),
ꢶꢉꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀ
r*cos(l),
0
]
detJ = simple(det(J))
ꢊꢤꢽꢀꢆꢰꢇꢀ
detJ =
cos(l)*r^2
ꢼꢩꢀꢈꢺꢀꢄꢽꢓꢔꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢑꢐꢊꢀꢢꢅꢀꢢꢗꢓꢏꢀꢔꢇꢩꢀdiffꢀꢶꢉꢀjacobian.
BiÓu thøc to¸n häc
f(x)=exp(ax+b)
ꢀ
C©u lÖnh Matlab
syms a b x;
f=exp(a*x+b)
diff(f) hoÆc diff(f,x)
df
dx
df
diff(f,a)
da
Page 15 of 42
ꢀ
d2 f
diff(f,b,2)
da2
∂ ∂
diff(diff(f,b),x)
f
∂x ∂b
r=u2+v2
t=arctan(v/0u
syms r t u v;
r=u^2+v^2;
t=atan(v/u);
∂(r, t)
J =
∂(u, v)
J=jacobian([r;t],[u,v])
d. PhÐp tÝnh tÝch ph©n.
ꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢅꢏꢱꢓꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀintꢪꢀ
Có ph¸p:
int(s)
ꢀ
ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢄꢷꢊꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢸꢇꢀ
ꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢪꢀꢢꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢢꢂꢃꢀꢡꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢥꢪꢀ꣭ꢐꢞꢀꢢꢀꢆꢉꢀꢏ꣩ꢓꢔꢀꢢꢲꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀ
ꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢢꢀꣵꢋꣵꢪꢀ
int(s,v)
int(s,a,b)
ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢄꢷꢊꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢶꢲꢀꢶꢀꢆꢉꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢢꢂꢃꢪꢀ
ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢊ꣦ꢀꢩꢀꢌꢐꢓꢀꢄꢪꢀꢩꢀꢶꢉꢀꢄꢀ
ꢀ
ꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢢꢀꢊꢏꢮꢈꢀꢑꢜꢛꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢈꢗꢈꢀꢶꢦꢀꢏꢍ꣄ꢓꢔꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢪꢀ
int(s,v,a,b) ꣃꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢶꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢌꣅꢇꢀꢊ꣦ꢀꢩꢀ
ꢌꢐꢓꢀꢄꢪꢀ
ꢀ
ꢀ
BiÓu thøc to¸n häc
f(x)=e-kx
C©u lÖnh Matlab
syms k x a b;
f=exp(-k*x)
f(x)dx
∫
int(f) hoÆc int(f,x)
int(f,k)
f(k)dk
∫
b
a, b cã thÓ ©m, d−¬ng, -inf, inf, kÝ hiÖu.
int(f,a,b) hoÆc int(f,x,a,b)
f(x)dx
∫
a
2
2
g(x) = e−k x
syms k real;
g=exp(-(k*x))
+∞
int(g,-inf,inf) hoÆc
int(f,x,-inf,inf)
g(x)dx
−∞
∫
ꢀ
꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
syms x x1 alpha u t;
A = [cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t)];
int(1/(1+x^2))
cho hµm atan(x)
cho hµm -cos(alpha*u)/u
int(sin(alpha*u),alpha)
int(besselj(1,x),x)
int(x1*log(1+x1),0,1)
int(4*x*t,x,2,sin(t))
int([exp(t),exp(alpha*t)])
int(A,t)
cho hµm -besselj(0,x)
cho gi¸ trÞ 1/4
cho kÕt qu¶ 2*sin(t)^2*t-8*t
cho kÕt qu¶ [exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
cho kÕt qu¶ [sin(x*t)/x, -cos(x*t)/x]
Page 16 of 42
ꢀ
[cos(x*t)/x, sin(x*t)/x]
ꢼꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢶ꣄ꢇꢀꢏ꣩ꢓꢔꢀꢢꢀꢊꢏꢮꢈꣃꢀꢼꢤꢅꢓꢔꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢈꢺꢀꢈꢗꢈꢀꢏꢠꢀꢢꢀꢏ꣩ꢓꢔꢀꢊꢏꢩꢂꢀꢌꣅꢇꢲꢀ
2
ꢶꢟꢀꢕꢖꢲꢀꢏꢉꢃꢀꢢꢀ f(x) = e−(kx) ꢲꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢏ꣏ꢓꢏꢀꢈꢏꢞꢦꢓꢔꢀꢢ꣣ꢀꢕꢳꢓꢀꢊ꣄ꢇꢀꣀꢀꢑꢏꢇꢀꢋꢀꢕꢳꢓꢀꢌꢐꢓꢀ ∞ꢀꢌꢇꢀꢶ꣄ꢇꢀꢢꢀ
ꢑꢀꢊꢏꢮꢈꢀꢄꢷꢊꢀꢑ꣏ꢪꢀꢵꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢆꣁꢇꢀꢡꢑꢣꢤꢓꢣꢆꢥꢀꢈꢭꢩꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢲꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢋꢻꢀꢶꢉꢀ
ꢑꢻꢀꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢢꢀꢕꢍꢬꢓꢔꢪꢀꢼꢤꢗꢇꢀꢆꢰꢇꢀꢨꢩꢛꢆꢣꢀꢔꢇꢽꢀꢊꢏꢇꢐꢊꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢋꢀꢶꢉꢀꢑꢀꢆꢉꢀꢄꢷꢊꢀꢌꢓꢏꢲꢀꢓꢔꢏꢩꢀꢆꢉꢀ
ꢈꢏꢓꢔꢀꢆꢉꢀꢈꢗꢈꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢏ꣏ꢓꢏꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢈꢺꢀꢊꢏꢞ꣐ꢈꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢊꢅꢗꢓꢀꢏꢘꢈꢪꢀꢅꢀꢌꢺꢲꢀꢑꢏꢇꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꣂꢀ
» syms k x;
» f=exp(-(k*x)^2);
» int(f,-inf,inf)
Warning: Explicit integral could not be found.
> In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58
ans =
int(exp(-k^2*x^2),x = -inf .. inf)
ꢀ
꣖ꢉꢃꢀꢋꢞꢷꢊꢀꢏꢇꢠꢓꢀꢆꢇꢀꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢇꢝꢞꢀꢊꢏꢒꢈꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢪꢝꢀꢔꢇꢽꢇꢀꣾꢞꢂꢐꢊꢀꢆꢇꢀꢓꢉꢂꢲꢀꢛꢏꢽꢇꢀ
ꢔꢗꢓꢀꢊꢏꢞ꣐ꢈꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢈꢏꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢀꢆꢉꢀꢊꢏꢮꢈꢀꢏꢅ꣘ꢈꢀꢕꢍꢬꢓꢔꣂꢀ
» syms k real
» int(f,-inf,inf)
ans =
» syms k positive
» int(f,-inf,inf)
ans =
signum(k)/k*pi^(1/2)
1/k*pi^(1/2)
ꢀ
ꢝꢀꢈꢏꢅꢀꢑꢐꢊꢀꣾꢞꢽꢀꢊꢊꢀꢓꢯꢓꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢊꢏꢞ꣐ꢈꢀꢊꢟꢓꢏꢀpositive ꢈꢏꢅꢀꢏ꣩ꢓꢔꢀꢢꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢪꢀ
ꢀ
2
2
ꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀI = (2x2 + 3y2 )e−x −y ꢶ꣄ꢇꢀꢀꢆꢉꢀꢃꢇꢓꢀꢈꢏꢀꢓꢏꢊꢀꣃꣿ꤀꣱ꢋ꤀꣱ꣿꢲꣃ꣯꤀꣱ꢂ꤀꣱꣯ꢪꢀ
∫∫
D
syms x y;
a=-5;b=5;
c=-3;d=3;
fxy=(2*x^2+3*y^2)*exp(-x^2-y^2);
I=int(int(fxy,y,c,d),x,a,b);
vpa(I)
%Tr¶ vÒ biÕn sym
tr¶ vÒ 7.8518394917161106179082787453659
tr¶ vÒ Iv=7.8518
Iv=double(I)
f2(x)
b
ꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀI = dx f(x, y)dx ꢶ꣄ꢇꢀꢀꢆꢉꢀꢃꢇꢓꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢄꢸꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢌꢍꢧꢓꢔꢀꢿꢡꢋꢥꢲꢻꢡꢋꢥꢀ
∫ ∫
a
f1(x)
ꢶ꣄ꢇꢀꢋꢀꢌꢇꢀꢊ꣦ꢀꢩꢀꢌꢐꢓꢀꢄꢪꢀ
syms x y;
fxy=....;
f1x=....;
f2x=...;
a=...;
b=...;
I=int(int(fxy,y,f1x,f2x),x,a,b);
f2(x)
g2(x,y)
b
ꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢛꢏꢱꢓꢀI = dx dy f(x,y,z)dz ꢶ꣄ꢇꢀꢀꢆꢉꢀꢃꢇꢓꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢄꢸꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢃ꣘ꢊꢀꢔꢿꢡꢋꢲꢂꢥꢲꢀ
a
∫ ∫ ∫
ꢔꢻꢡꢋꢲꢂꢥꢲꢀꢶ꣄ꢇꢀꢏ꣏ꢓꢏꢀꢈꢏꢇꢐꢞꢀꢈꢗꢈꢀꢃ꣘ꢊꢀꢔꢇ꣄ꢇꢀꢏꢰꢓꢀꢄꢸꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢌꢍꢧꢓꢔꢀꢌꢍꢧꢓꢔꢀꢿꢡꢋꢥꢲꢻꢡꢋꢥꢀꢶ꣄ꢇꢀꢋꢀꢌꢇꢀꢊ꣦ꢀꢩꢀ
ꢌꢐꢓꢀꢄꢪꢀ
f1(x)
g1(x,y)
syms x y;
fxyz=....;
Page 17 of 42
ꢀ
g1xy=...;
g2xy=...;
f1x=....;
f2x=...;
a=...;
b=...;
I=int(int(int(fxyz,z,g1xy,g2xy),y,f1x,f2x),x,a,b);
ꢀ
ꢀ
2.3 Gi¶i (hÖ) ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
ꢼꢅꢅꢆꢄꢅꢋꢀꢁꢂꢃꢄꢅꢆꢇꢈꢀꢈꢞꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀꢏꢉꢃꢀdsolve
ꢊꢏꢍꢧꢓꢔꢀꢡꢅꢤꢕꢇꢓꢩꢤꢂꢀꢕꢇꢣꢤꢣꢓꢊꢇꢩꢆꢀꢣꣾꢞꢩꢊꢇꢅꢓꢢꢥꢪꢀ
Có ph¸p:
ꢀ
ꢈꢏꢅꢀꢛꢏꢜꢛꢀꢔꢇꢽꢇꢀꢡꢏꢠꢥꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢇꢀꢛꢏꢱꢓꢀ
dsolve('eqn1','eqn2', ...) -Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng d¹ng kÝ hiÖu cã c¸c ®iÒu
kiÖn ®Çu. C¸c ph−¬ng tr×nh hoÆc ®iÒu kiÖn ®Çu cã thÓ ®−îc nhãm víi nhau, ph©n c¸ch nhau bëi
dÊu ph¶y "," trong cïng mét ®èi sè vµo.
MÆc ®Þnh, biÕn ®éc lËp lµ 't'. BiÕn ®éc lËp cã thÓ lµ c¸c biÕn kÝ hiÖu kh¸c, ®−îc ®Æt ë sau
cïng cña ®èi sè vµo.
KÝ tù 'D' kÝ hiÖu cho ®¹o hµm theo biÕn ®éc lËp, th−êng kÝ hiÖu. Sau kÝ tù "D" lµ ch÷ sè
cho cÊp ®¹o hµm; vÝ dô D2 lµ d^2/dt^2. BÊt k× c¸c kÝ tù theo sau to¸n tö ®¹o hµm 'D' ®−îc
coi lµ c¸c biÕn phô thuéc (Èn); vÝ dô, D3y kÝ hiÖu cho ®¹o hµm cÊp 3 cña y(t). L−u ý lµ tªn cña
c¸c biÕn kÝ hiÖu phô thuéc ph¶i cã chøa ch÷ c¸i 'D'.
C¸c ®iÒu kiÖn ®Çu ®−îc chØ ®Þnh bëi c¸c ph−¬ng tr×nh d¹ng 'y(a)=b' hoÆc 'Dy(a) = b'
víi y lµ biÕn phô thuéc, a vµ b lµ c¸c biÕn ®éc lËp. NÕu sè ph−¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ®Çu Ýt h¬n sè
biÕn phô thuéc, lêi gi¶i sÏ cã c¸c h»ng tuú ý, C1, C2,...
Cã 3 kiÓu biÕn ra. §èi víi ph−¬ng tr×nh 1 biÕn ®Çu ra lµ 1 biÕn chøa nghiÖm, khi cã nhiÒu nghiÖm cho c¸c
biÕn phô thuéc biÕn ra lµ 1 vector chøa c¸c nghiÖm nµy, Víi hÖ ph−¬ng tr×nh cã sè ph−¬ng tr×nh b»ng sè nghiÖm,
biÕn ra (nghiÖm t×m ®−îc) ®−îc s¾p xÕp theo thø tù b¶ng ch÷ c¸i. §èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh vµ cã 1 biÕn ra, dsolve
tr¶ vÒ cÊu tróc chøa c¸c nghiÖm.
Khi kh«ng t×m ®−îc nghiÖm hiÓn, lêi gi¶i Èn ®−îc t×m thö. Khi lêi gi¶i Èn tr¶ vÒ, sÏ cã lêi c¶nh b¸o cho ta
biÕt nghiÖm Èn. Khi c¶ nghiÖm hiÓn vµ Èn ®Òu kh«ng t×m ®−îc sÏ cã th«ng b¸o vµ tr¶ vÒ biÕn sym rçng. Trong
mét sè hÖ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn, biÕn ra sÏ lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp thÊp h¬n hoÆc lµ d¹ng tÝch ph©n.
Chó ý: dsolve cho phÐp gi¶i c¶ bµi to¸n C«si vµ bµi to¸n biªn.
꤁ꢽꢓꢔꢀꢃꢦꢀꢊꢽꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢤꢩꣂ
ꢀ
Có ph¸p
y=dsolve('Dy=C*y')
§èi sè ra
Mét ph−¬ng tr×nh, mét biÕn ra
Hai ph−¬ng tr×nh , hai biÕn ra
biÕn ®éc lËp mÆc ®Þnh t
biÕn ®éc lËp x
[u,v]=dsolve('Du=v','Dv=u')
[u,v]=dsolve('Du=v,Dv=u')
[u,v]=dsolve('Du=v,Dv=u','x')
S=dsolve('Df=g','Dg=h','Dh=-f')
S.f, S.g, S.h
3 ph−¬ng tr×nh, biÕn cÊu tróc ra cã 3 thµnh phÇn
C¸c biÕn ®−îc s¾p thø tù ch÷ c¸i a..z.
ꢀ
ꢀ꣑ꢟꢀꢕꢖꣂꢀ
dsolve('Dx = -a*x')
x = dsolve('Dx = -a*x','x(0) = 1','s')
tr¶ vÒ exp(-a*t)*C1
tr¶ vÒ x= exp(-a*s)
y = dsolve('(Dy)^2 + y^2 = 1','y(0) = 0') tr¶ vÒ y =
Page 18 of 42
ꢀ
[ sin(t)]
[ -sin(t)]
S = dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0) = 1','g(0) = 2')
tr¶ l¹i cÊu tróc
S.f = exp(t)*cos(t)+2*exp(t)*sin(t)
S.g = -exp(t)*sin(t)+2*exp(t)*cos(t)
Y = dsolve('Dy = y^2*(1-y)')
Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.
Y =
t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0
dsolve('Df = f + sin(t)', 'f(pi/2) = 0')
dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0')
S = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x', 'x(0)=0', 'y(0)=1')
S = dsolve('Du=v, Dv=w, Dw=-u','u(0)=0, v(0)=0, w(0)=1')
w = dsolve('D3w = -w','w(0)=1, Dw(0)=0, D2w(0)=0')
y = dsolve('D2y = sin(y)'); pretty(y)
VÝ dô 1:
꣎ꢇꢽꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢇꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢂꣵ꣱ꢿꣳꢂꢻꢪꢀ
dsolve('Dy=1+y^2')
ans =
%Víi y lµ biÕn phô thuéc vµ t lµ biÕn ®éc lËp.
tan(t-C1)
꣑꣄ꢇꢀꢌꢇꢞꢀꢑꢇꢠꢓꢀꢌꢳꢞꢀꢂꢡꣀꢥ꣱ꢿꢀ
y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')
y =
tan(t+1/4*pi)
ꢵꢳꢓꢀꢆꢍꢞꢀꢚꢀꢆꢉꢀꢂꢀꢆꢉꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢢꢂꢃꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢅꢤꢑꢢꢛꢩꢈꢣꢲꢀꢈꢺꢀꢈꢏꢒꢩꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢀꢊꢲꢀꢓꢏꢍꢓꢔꢀꢈꢺꢀꢊꢏꢝꢀ
ꢑꢏꢦꢓꢔꢀꢊꢾꢓꢀꢊꢰꢇꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢊꢪꢀꢅꢀꢌꢺꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀdiff(y,t)ꢀꢢ꣣ꢀꢔꢱꢂꢀꢆꢇꢪꢀꢝꢀꢊꢤꢗꢓꢏꢀꢆꢇꢀꢛꢏꢽꢇꢀꢊꢰꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀ
ꢊꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀworkspaceꢲꢀꢊꢏꢯꢃꢀꢈꢱꢞꢀꢆꢠꢓꢏꢀsyms t.
ꢀ
VÝ dô 2:
ꢵꢗꢈꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢛꢏꢇꢀꢊꢞꢂꢐꢓꢀꢈꢺꢀꢊꢏꢝꢀꢈꢺꢀꢓꢏꢇꢞꢀꢆꢧꢇꢀꢔꢇꢽꢇꢲꢀꢊꢏꢃꢀꢈꢏꢟꢀꢓꢔꢩꢂꢀꢈꢽꢀꢑꢏꢇꢀꢈꢺꢀꢌꢇꢞꢀ
ꢑꢇꢠꢓꢀꢌꢳꢞꣂꢀ
x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0')
x =
[-sin(t)]
[ sin(t)]
VÝ dô 3:
꣑꣄ꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢇꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢈꢷꢛꢀꢏꢩꢇꢀꢶ꣄ꢇꢀꢻꢀꢌꢇꢞꢀꢑꢇꢠꢓꢀꢌꢳꢞꣂꢀ
y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x')
%y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0','x')
y =
-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x);
꣑꣄ꢇꢀꢛꢏꢍꢬꢓꢔꢀꢊꢤ꣏ꢓꢏꢀꢶꢇꢀꢛꢏꢱꢓꢀꢊꢏꢍꢧꢓꢔꢀꢈꢷꢛꢀ꣯ꢀꢶ꣄ꢇꢀ꣯ꢀꢌꢇꢞꢀꢑꢇꢠꢓꢀꢌꢳꢞꣂ
ꢀ
d3u
= u, u(0) = 1,u'(0) = −1,u''(0) = π.
dx3
Page 19 of 42
ꢀ
u = dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1','D2u(0) = pi','x')
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n
C©u lÖnh Matlab
df
dx
y=dsolve('x*Df+3*f=exp(-x),f(0)=1','x')
y=-(exp(-x)*x^2+2*exp(-x)*x+2*exp(-x)-2)/x^3
x
x
+ 3f(x) = e−
f(0) = 1
d2 f
dt2
y(0) = 0, y'(π) = 0.
y=dsolve('D2y+4y=exp(-2*x)',
'y(0)=0', 'Dy(pi)=0')
+ 4y(t) = e−2t
,
d2 y
dx2
y=dsolve(' D2y=x*y' ,'y(0)=0',
'y(3)=besselk(1/3,2*sqrt(3)/pi', 'x')
= xy(x),
1
y(0) = 0,y(3) = K 1 (2 3).
π
3
nghiÖm lµ hµm Airy
2.4 Chuçi sè vµ tÝnh tæng.
ꢩꢪ TÝnh tæng, tÝch cña vector vµ ma trËn.ꢀ
ꢼꢟꢓꢏꢀꢊꣅꢓꢔꢲꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢏꢉꢃꢀsum
Có ph¸p:ꢀꢼꢟꢓꢏꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢪꢀ
ꢀꢶꢉꢀprodꢪꢀ
sum(x)
sum(X),sum(X,1)
ꣃꢋꢀꢆꢉꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢲꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢋꢪꢀ
ꣃ꣹ꢀꢆꢉꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢲꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢏꢉꢓꢔꢀꢶ꣄ꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢆꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢀ
ꢀ
ꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢈ꣐ꢊꢀꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀ꣹ꢪꢀ
sum(X,2)
ꢀ
ꣃꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢈ꣐ꢊꢀꢶ꣄ꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢆꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢏꢉꢓꢔꢀ
ꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀ꣹ꢪꢀ
Có ph¸pꣂꢀꢼꢟꢓꢏꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀ
prod(x) ꣃꢋꢀꢆꢉꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢲꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢋꢪꢀ
prod(X),prod(X)ꢀꢀ ꣃ꣹ꢀꢆꢉꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢲꢀꢊꢤꢽꢀꢶꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢏꢉꢓꢔꢀꢶ꣄ꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢆꢉꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀ
ꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢈꢭꢩꢀꢈ꣐ꢊꢀꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢊꢤꢅꢓꢔꢀꢃꢩꢀꢊꢤꢓꢪꢀ
prod(X,2)
ꢀ
ꢊꢍꢬꢓꢔꢀꢒꢓꢔꢀꢈꢭꢩꢀ꣹ꢪꢀ
ꣃꢼꢤꢽꢀꢶꢀꢶꢣꢈꢊꢅꢤꢀꢈ꣐ꢊꢀꢶ꣄ꢇꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢆꢉꢀꢊꢟꢈꢏꢀꢈꢗꢈꢀꢛꢏꢳꢓꢀꢊꢙꢀꢏꢉꢓꢔꢀ
ꢀ
ꢄꢪ ꢀTÝnh tæng cña chuçi sè h÷u h¹n vµ v« h¹n.ꢀ
ꢝꢀꢊꢟꢓꢏꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢏꢞꢀꢏꢰꢓꢀꢶꢉꢀꢈꢏꢞꢇꢀꢢꢀꢈꢭꢩꢀꢕꣷꢂꢀꢢꢀꢑꢟꢀꢏꢇꢠꢞꢲꢀꢢꢙꢀꢕꢖꢓꢔꢀꢏꢉꢃꢀsymsumꢪꢀ
Có ph¸p:
symsum(s)
ꢄꢇꢐꢓꢀvarsymꢀꢈꢏꢰꢂꢀꢊ꣦ꢀꣀꢪꢪꢪꢌꢐꢓꢀvarsymꣃꢿꢀ
symsum(s,v) ꣃ꣖ꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢄꢷꢊꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢶꢀ(0,1,...,v-1).
ꢀ
ꣃ꣖ꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢄꢷꢊꢀꢌꢓꢏꢀꢈꢭꢩꢀꢢꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢄꢇꢐꢓꢀꢋꢗꢈꢀꢌꢓꢏꢀꢄꢸꢇꢀꢇꢓꢕꢢꢂꢃꢲꢀꢶ꣄ꢇꢀ
ꢀ
ꢀ
symsum(s,k,m) vµ symsum(s,v,k,m)ꢀꢆꢉꢀꢊꣅꢓꢔꢀꢊꢏꢣꢅꢀꢈꢏ꣮ꢀꢢꢀꢈꢏꢰꢂꢀꢊ꣦ꢀꢑꢀꢌꢐꢓꢀꢃꢪꢀ
꤁ꢽꢓꢔꢀꢊꢺꢃꢀꢊꢊꣂꢀ
BiÓu thøc to¸n häc
n−1
C©u lÖnh Matlab
symsum(s)
s(n)
∑
0
n−1
symsum(s,n)
s(x,...,n)víi n lµ chØ sè
∑
0
Page 20 of 42
Tải về để xem bản đầy đủ
42 trang
23020
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Matlab - Phần II: Matlab symbolic", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_matlab_phan_ii_matlab_symbolic.pdf
