Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 2: Biến đổi Fourier

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.1: Dùng bảng tra và các tính chất

của biến đổi Fourier, tính F(ω) :

(a) f(t) = u(t – 1 ) – u(t – 2)

(b) f(t) = 4δ(t + 2)

e

^−iω−e^{−i 2ω}

(Ans: (a)

jω

(c) f(t) = e^–4tu(t)

(b) 4e^i2ω

(d) f(t) = e^–4tu(t – 2)

(e) f(t) = 2cos²(t)

1

(c)

(4ω+i)

e⁻⁸

(d)

e^−i2ω

(4+ωi)

(e) 2πδ (ω)

+πδ (ω − 2)

+πδ (ω + 2) )

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

1

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.2: Dùng định nghĩa biến đổi Fou rier, xác định F(ω) cho các

tín hiệu :

−A (−τ / 2 < t < 0)





a) f(t) = A (0 < t <τ / 2)





0 (elsewhere)



0 (t < 0)

te^−at(0 < t); a > 0







b) f(t) =

τ 1

2

(Ans: a) −i ^2Aω[1− cos ] b)

)

2

ω

(a+ωi)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.3: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier

và cách biểu diễn tín hiệu không tuần

hoàn thành tổng các hàm xung đơn vị,

xác định F(ω) ?

e(t)

E_m

0

– τ/2

τ/2

t

sin(ωτ/2)

(Anτs: E_m)

(ωτ/2)

P2.4: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier

và cách biểu diễn tín hiệu không tuần

hoàn thành tổng các hàm xung đơn vị,

xác định F(ω) ?

e(t)

10

- 4 - 2

t(s)

2 4

- 10

0

20[cos(2ω)−cos(4ω)]

(Ans:

)

iω

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

3

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.5: Cho tín hiệu f(t) như hình vẽ.

f(t)

1

a) Xác định f’(t) ?

t(s)

b) Tìm biến đổi Fourier của f’(t) ?

c) Suy ra F(ω) = F{f(t)} ?

– 1

0

1

1−cosω

(Ans: (c) F(ω) = 2

)

(

)

ω²

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

4

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.6: Cho 2 tín hiệu như hình vẽ.

f₁(t)

0,5

a) Xác định F{f₁(t)} ?

t(s)

b) Tìm f₂’(t) và biến đổi

Fourier của nó ?

c) Suy ra F₂(ω) = F{f₂(t)} ?

– 2

0

2

f₂(t)

1

sin 2ω

(Ans: (aω) )F ( =

( )

1

– 2

ω

0

2

sin 2ω

(b) − 2cos(2ω) +

( )

-1

ω

i

ω²

(c) F (ω) = 2 ωcos2 ω −sin 2 ω )

(

)

2

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

5

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.7: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) :

f(t)

1

…

a) Biểu diễn f(t) ở dạng chuỗi

…

t(s)

Fourier phức ?

b) Tìm biến đổi Fourier:

c) Suy ra F(ω) = F{f(t)} ?

F{e^inω⁰^t}

–3T–2T

3T

–T 0 T 2T

∞

1

(Ans: a) f(t) = e^{inω t}

0

∑

T

−∞

b) F{e^inω⁰^t} = 2π.δ (ω − nω₀)

∞

c) F(ω) = ω δ (ω − nω ) )

∑

0

−∞

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.8: Cho R₁= 1Ω, R₂= 3Ω, L = 1H, j(t) = 50cos(3t) A, xác định

hàm truyền trong miền tần số H(jω) = I(ω)/J(ω) ? Dùng biến đổi

Fourier tìm dòng điện i(t) ? Kiểm tra lại kết quả nếu dùng

phương pháp vectơ biên độ phức ?

(Ans: 10cos(3t – 36.9^o) A)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

7

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.9: Cho R₁= R₂= 2Ω, L = 1H, e(t) = 10[u(t) – u t – 2)]V, xác

định hàm truyền trong miền tần số H(jω) = V(ω)/E(ω) ? Dùng

biến đổi Fourier tìm điện áp v(t) ? Cho biết giá trị v(t = 1s) ?

(Ans: v(t) = 5e^–tu(t) – 5e^{–(t – 2)}u(t – 2 ) ; v(1s) = 1,839 V)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

8

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.10: Cho i(t) = sign(t) A, xác định hàm truyền trong miền tần

số H(jω) = I₀(ω)/I(ω) ? Dùng biến đổi Fourier tìm dòng điện i₀(t)

? Kiểm tra lại kết quả nếu dùng phương pháp toán tử Laplace ?

(Ans: i₀(t) = 5sign(t) – 10e^–2t.u(t) A)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

9