Đề thi toán sinh viên chọn đổi tuyển Olympic vòng trường - Đại học Bách khoa thành phố Hồ Chí Minh
Trường ĐHBK TpHCM
Bộ môn Toán ứng dụng
Đề thi toán sinh viên
Thi chọn đổi tuyển Olympic vòng trường
√
1. Với mỗi n nguyên dương, đặt un = C2nn n4−n. Chứng minh rằng {un} hội
tụ.
an + bn
2. Cho {an} và {bn} xác định bởi công thức 0 < b1 < a1, an+1
2anbn
=
,
2
bn+1
=
, n > 1. Chứng minh rằng hai dãy trên đều đơn điệu và có
an + bn
cùng giới hạn.
3. Cho f : R → R liên tục và f(f(x)) = −x2, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng,
f(x) 6 0, ∀x ∈ R.
4. Cho f : [a, b] → [a, b] thỏa mãn điều kiện |f(x) − f(y)| < |x − y|, ∀x, y ∈
[a, b], x = y. Chứng minh rằng, phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất
trên [a, b].
5. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên [−1, 1] và thỏa mãn f(2x2 − 1) =
2xf(x), ∀x ∈ [−1, 1].
6. Tìm hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) = f(sin x), ∀x ∈ R.
7. Chứng minh rằng tồn tại số thực x ∈ (0, 1) sao cho
Z
1
t2000dt
x2001
=
(1 + t)(1 + t2) . . . (1 + t2001
)
(1 + x)(1 + x2) . . . (1 + x2001
)
x
8. Chứng minh bất đẳng thức
Z
Z
Z
1
1
1
dx
1 + x2e−x
1
1 −
x2e−xdx <
< 1 −
x2e−xdx.
2
0
0
0
9. Cho f(x) là hàm giảm và liên tục trên [0, 1]. Chứng minh rằng, với mọi
Z
Z
α
1
α ∈ (0, 1) ta có
f(x)dx > α f(x)dx.
0
0
Z
x+1
10. Cho ε > 0 cố định, tìm A = lim x1−ε
sin t2dt.
x→+∞
x
1 trang
20560
Free
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi toán sinh viên chọn đổi tuyển Olympic vòng trường - Đại học Bách khoa thành phố Hồ Chí Minh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_thi_toan_sinh_vien_chon_doi_tuyen_olympic_vong_truong_dai.pdf
