Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Phần 1)
Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier
2.1 Tích phân Fourier
2.2 Phép biến đổi Fourier
2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier
2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
1
2.1.1 Tích phân Fourier
Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ?
Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn
T → ∞
f(t)
-T
-T/2
T
T/2
f(t)
f(t)
-T/2
T/2
T → ∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
2
2.1.1 Tích phân Fourier
Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞)
f(t)
T → ∞
Ta sẽ bắt đầu từ fΤ(t)
fT(t)
t
-T/2
T/2
f (t) = lim fT (t)
Dễ thấy rằng
T→∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
3
2.1.1 Tích phân Fourier
T
0 − < t < −1
2
Hàm tuần hoàn fT(t)
f (t) = 1 −1< t <1
T
có định nghĩa trong
1 chu kỳ là
0
1< t < T
2
fT(t)
1
t
-T/2
T/2
-1 1
fT(t) có khai triển Fourier là :
+∞
+∞
a0
2
sin(nω )
4
2
T
0
f (t) = + a cos(nω t) = +
cos(nω0t)
∑
∑
T
n
0
n=1 T nω0
n=1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
4
2.1.1 Tích phân Fourier
ωn = nω0
sin(nω )
T nω0
sinω
π ωn
4
2
0
n
Đặt
an =
= ∆ω
∆ω = ω0
Định nghĩa hàm biên độ
2
π
ω = 0
ω > 0
A(ω) =
2 sinω
π ω
sin(ω)
= sinc(ω)=Sa(ω)
ω
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
5
2.1.1 Tích phân Fourier
Chu kỳ T kéo dài → các vạch (đặc trưng cho biên độ )
chạy dồn về trục tung trên đường biên độ A(ω)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
6
2.1.1 Tích phân Fourier
+∞
sin(nω )
sinω
π ωn
2
2
T
4
n
0
f (t) = +
cos(nω0t)
an = ∆ω
∑
T
n=1 T nω0
Viết lại fT(t)
+∞
sin(ω )
∆ω
π
2
n
f (t) = +
{cos(ωnt)}∆ω
∑
T
n=1 π ωn
+∞
1
π
f (t) = + A(ω){cos(ω t)} ∆ω
∑
T
n
n=1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
7
2.1.1 Tích phân Fourier
+∞
sin(ω )
2
∆ω
π
n
f (t) = +
{cos(ωnt)}∆ω
∑
T
n=1 π ωn
+∞
1
π
f (t) = + A(ω){cos(ω t)} ∆ω
∑
T
n
n=1
T → ∞ ; ω → 0
Nếu xét t cố định và biến ω thay đổi ta có:
+∞
f (t) = lim fT (t) = A(ω)cos(ωt)dω
∫
T→∞
0
Tích phân Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
8
2.1.1 Tích phân Fourier
Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ
ta được tích phân Fourier mũ phức
T
+∞
•
2
•
1
T
f (t) = C ejnω t
f (t)e− jnω0tdt
0
Cn =
∫
∑
T
n
T
−
n=−∞
2
T
2
+∞
1
f (t) =
f (t)e− jωntdtejωnt∆ω
∑
T
∫
2π
T
n=−∞
−
2
+∞
f (t) = lim fT (t) = C(ω)ejωtdω
∫
T→∞
−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
9
2.1.1 Tích phân Fourier
Định lý :
Nếu f(t) thỏa điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn
∞ |f(t)|dt
và nếu
hội tụ thì:
∫
−∞
+∞
1
+∞
1
− jωt
jωt
+
−
f(t)e dtωe df(t= ) f(t )+
∫ ∫
2
−∞ 2π −∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
10
Tích phân Fourier mũ phức
+∞
f (t) = C(ω)ejωtdω
∫
−∞
+∞
1
2π
C(ω) =
f (t)e− jωtdt
∫
−∞
F(ω) = 2πC(ω)
F
Miền ω:
F(ω)
Miền t:
f(t)
-1
F
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
11
Tương đồng giữa chuỗi phức và tích phân phức
Chuỗi
Tích phân
Fourier phức
Fourier phức
+∞
+∞
∑
dω
∫
n=−∞
−∞
•
Cn
C(ω)
nω0
ω
T
+∞
2
1
1
2π
dt
dt
∫
∫
T
T
−
−∞
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
12
Ví dụ tích phân Fourier mũ phức
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi
0 t < 0
e−at t > 0
f (t) =
(a > 0)
Tìm tích phân Fourier mũ phức
biểu diễn cho f(t) ?
Giải
+∞
+∞
+∞
1
1
−1
C(ω) =
C(ω) =
f (t)e− jωt dt =
e−a et − jωt dt =
e−(a+ jω)t
∫
∫
0
2π
2π
2π (a + jω)
−∞
0
+∞
1
ejωt
⇒ f (t) =
dω
∫
2π (a + jω)
−∞ 2π (a + jω)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
13
13 trang
20280
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_2_tich_phan_fourier_bien_doi.pdf
