Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên
Chu’o’ng 4
´
´
’
’
ˆ
’
’
’
’
’
UOC LUONG THAM SO CUA DAI LUONG
.
¯
.
.
˜
ˆ
NGAU NHIEN
ˆ
’
´
´
’´
´
˜
’
˜
Gia su d¯ai luong ngˆau nhiˆen X c´o tham sˆo chua biˆet. Uoc luong tham sˆo l`a dua
’
’ ’
.
’
’
’ ’
.
’
.
.
ˆ
ˆ
´
˜
v`ao mˆau ngˆau nhiˆen
= (
) ta d¯ua ra thˆong kˆe = (
)
’
1
2
1
2
’
´
d¯ˆe uoc luong (du d¯oa´n) .
’ ’ ’ ’
’
.
.
´
C´o 2 phuong ph´ap uoc luong:
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
’
’
´
’´
’
i) Uoc luong d¯iˆem: chi ra
=
n`ao d¯o´ d¯ˆe uoc luong .
’
’ ’
’ ’ ’ ’
0
.
.
’´
´
’
’
’
’
ii) Uoc luong khoang: chi ra mˆot khoang (
) chua sao cho
(
1
2) =
’
’ ’
.
’
1
2
.
´
´
1 − cho truoc (1 − goi l`a d¯ˆo tin cˆay cua uoc luong).
’ ’
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
’
´
’ ’
’
’ ’
´
’
´
ˆ
1. CAC PHUONG PHAP UOC LUONG DIEM
.
¯
´
1.1 Phuong ph´ap h`am uoc luong
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
’
• Mˆo ta phuong ph´ap
’ ’
’
´
´
˜
˜
˜
`
`
’
’
’
Gia su cˆan uoc luong tham sˆo cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X. Tu X ta lˆap mˆau ngˆau
’
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
.
.
nhiˆen
= (
).
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
´
´
’
Chon thˆong kˆe = (
.
). Ta goi l`a h`am uoc luong cua
’ ’ ’ ’
.
1
2
.
.
’
’
´
˜
Thuc hiˆen ph´ep thu ta d¯uoc mˆau cu thˆe
= (
). Khi d¯´o uoc luong
’
.
’
’ ’
.
’ ’ ’ ’
1
2
.
.
.
’
ˆ
’
d¯iˆem cua l`a gi´a tri = (
).
0
1
2
.
’´
a) Uoc luong khˆong chˆech
’
’ ’
.
.
ˆ
ˆ
´
´
˜
Dinh nghia 1 Thˆong kˆe = (
) d¯uoc goi l`a uoc luong khˆong chˆech
’ ’
’ ’ ’ ’
1
2
.
.
¯ .
.
.
ˆ
´
´
’
cua tham sˆo nˆeu ( ) = .
´
˜
ꢀ Y nghia
ˆ
’
’
´
´
’
’
Gia su l`a uoc luong khˆong chˆech cua tham sˆo . Ta c´o
’ ’ ’ ’
.
.
ˆ
ˆ
( − ) = ( ) − ( ) = − = 0
69
70
Chu’o’ng 4.
`
´
´
´
˘
Vˆau uoc luong khˆong chˆech l`a uoc luong c´o sai sˆo trung b`ınh bang 0.
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
.
.
⊕ Nhˆan x´et
.
´
˜
˜
’
’
’
i) Trung b`ınh cua mˆau ngˆau nhiˆen
’
l`a uoc luong khˆong chˆech cua trung b`ınh cua
’ ’ ’ ’
.
.
’
tˆong thˆe
=
( ) =
v`ı ( ) =
.
02
´
˜
2) =
˜
`
’
2
’
’
ii) Phuong sai d¯iˆeu chinh cua mˆau ngˆau nhiˆen
’ ’
l`a uoc luong khˆong chˆech cua
’ ’ ’ ’
.
.
0
2
’
’
’
phuong sai cua tˆong thˆe
’ ’
v`ı
(
.
`
’
’
’
• V´ı du 1 Chiˆeu cao cua 50 cˆay lim d¯uoc cho boi
’ ’
.
.
0
2
´
`
’
Khoang chiˆeu cao (m´et) sˆo cˆay lim
[6 25 − 6 75)
[6 75 − 7 25)
[7 25 − 7 75)
[7 75 − 8 25)
[8 25 − 8 75)
[8 75 − 9 25)
[9 25 − 9 75)
[9 75 − 10 2)
1
2
5
11
18
9
3
1
50
6,5 -4
7,0 -3
7,5 -2
-4
-6
-10
-11
0
9
6
3
-13
16
18
20
11
0
9
12
9
8
8,5
9
-1
0
1
9,5
10
2
3
95
`
’
Goi X l`a chiˆeu cao cua cˆay lim
.
’
´
`
’
’
`
a) Ha˜y chi ra uoc luong d¯iˆem cho chiˆeu cao trung b`ınh cua c´ac cˆay lim.
’ ’ ’ ’
.
’
´
´
’
`
’
’
’
b) Ha˜y chi ra uoc luong d¯iˆem cho d¯oˆ tan m´at cua c´ac chiˆeu cao cˆay lim so voi chiˆeu
’ ’ ’ ’
.
.
cao trung b`ınh.
’
´
’
c) Goi = (7 75 ≤ ≤ 8 75). Ha˜y chi ra uoc luong d¯iˆem cho p.
’ ’ ’ ’
.
.
’
Giai
2
’
Ta lˆap bang t´ınh cho v`a
.
.
0
− 8 5
0 5
’
´
Thuc hiˆen ph´ep d¯ˆoi biˆen
=
(
= 8 5; = 0 5)
0
’
.
.
13
50
Ta c´o = − = −0 26. Suy ra
= 8 5 + 0 5 (−0 26) = 8 37
95
2
= (0 5)2
− (−0 26)2 = 0 4581 ∼ (0 68)2.
50
´
`
a) Chiˆeu cao trung b`ınh d¯uoc uoc luong l`a 8,37 m´et.
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
50
´
’
˘
b) Dˆo tan m´at d¯uoc uoc luong l`a = 0 68 m´et hoac ˆ = 50−1 0 4581 ∼ 0 684
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
¯
.
.
`
’
c) Trong 50 quan s´at d¯a˜ cho c´o 11+18 = 29 quan s´at cho chiˆeu cao lim thuˆoc khoang
.
[7 5 − 8 5)
29
50
∗
’
´
Vˆay uoc luong d¯iˆem cho p l`a
’ ’ ’ ’
=
= 0 58.
.
.
71
´
’´
b) Uoc luong hiˆeu qua
’
’
’ ’
.
.
’
˘
ˆ
’
´
´
´
’
’
⊕ Nhˆan x´et Gia su l`a uoc luong khˆong chˆech cua tham sˆo . Theo bˆat d¯ang thuc
’
’ ’ ’ ’
’
.
.
.
Tchebychev ta c´o
ˆ
( )
2
ˆ
ˆ
(| − ( )|
)
1 −
ˆ
( )
2
ˆ
ˆ
V`ı ( ) = nˆen (| − |
)
1 −
.
ˆ
ˆ
ˆ
´
´
´
´
`
’
Ta thˆay nˆeu
( ) c`ang nho th`ı (| − |
) c`ang gˆan 1. Do d¯o´ ta se˜ chon voi
’
.
ˆ
’
( ) nho nhˆat.
ˆ
’´
´
˜
ˆ
’ ’
Dinh nghia 2 Uoc luong khˆong chˆech d¯uoc goi l`a uoc luong c´o hiˆeu qua cua tham
’
’ ’
.
’ ’
.
’ ’ ’ ’
.
.
.
¯ .
.
´
´
´ ´
’
’
( ) nho nhˆat trong c´ac uoc luong cua .
’ ’ ’ ’
.
sˆo nˆeu
ˆ
`
˘
´
´
´
`
’ ’
ꢀ Chu´ y´ Nguoi ta chung minh d¯uoc rang nˆeu l`a uoc luong hiˆeu qua cua th`ı phuong
’ ’
’
’ ’
’ ’ ’ ’
’ ’
.
.
.
’
sai cua n´o l`a
1
ˆ
( ) =
(4.1)
(
)
2
(
)
´
´
´
´
’
˜
’
trong d¯´o ( ) l`a h`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen gˆoc. Moi uoc
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
ˆ
´
luong khˆong chˆech luˆon c´o phuong sai lon hon
( ) trong (4.1). Ta goi (4.1) l`a gioi
’ ’ ’ ’
’
’
.
.
.
han Crame-Rao.
.
2
´
´
˜
˜
⊕ Nhˆan x´et Nˆeu d¯ai luong ngˆau nhiˆen gˆoc
∈
(
) th`ı trung b`ınh mˆau
l`a
’ ’
.
.
.
´
’ ’
uoc luong hiˆeu qua cua ky` vong ( ) = .
’ ’ ’ ’
.
.
.
2
1
´
Thˆat vˆay, ta biˆet
=
∈
(
)
.
.
=1
’
´
´
’
) l`a h`am mˆat d¯ˆo cua
˘
Mat kh´ac do
c´o phˆan phˆoi chuˆan nˆen nˆeu (
th`ı
.
.
.
1
2
−( − )2
2
√
(
) =
2
−
Ta c´o
(
) =
.
2
2
2
(
)
−
2
`
˘
Suy ra
=
=
2 . Do d¯´o
( ) ch´ınh bang nghich
.
2
’
d¯ao
.
´
’ ’
Vˆay
.
l`a uoc luong hiˆeu qua cua .
’ ’ ’ ’
.
.
’´
˜
c) Uoc luong vung
’
’ ’
’
.
ˆ
ˆ
´
´
˜
˜
’
Dinh nghia 3 Thˆong kˆe = (
) d¯uoc goi l`a uoc luong vung cua tham
’ ’
.
’ ’ ’ ’
’
1
2
.
¯ .
.
´
´
sˆo nˆeu ∀
0 ta c´o
ˆ
l→im∞ (| − |
) = 1
72
Chu’o’ng 4.
´
`
˜
’
’
ꢀ Diˆeu kiˆen d¯u cua uoc luong vung
’ ’ ’ ’
’
¯
.
.
ˆ
ˆ
ˆ
´
´
´
˜
’
Nˆeu l`a uoc luong khˆong chˆech cua v`a l→im∞
’ ’ ’ ’
( ) = 0 th`ı l`a uoc luong vung
’ ’ ’ ’
’
.
.
.
’
cua .
´
´
1.2 Phuong ph´ap uoc luong hop ly´ tˆoi d¯a
’ ’ ’ ’ ’ ’
’
.
.
’
˜
˜
˜
`
’
Gia su
= (
) l`a mˆau ngˆau nhiˆen d¯uoc tao nˆen tu d¯ai luong ngˆau
’ ’ ’ ’
’
’
1
2
.
.
.
.
’
ˆ
ˆ
˜
nhiˆen
c´o mˆau cu thˆe
= (
) v`a = (
´ ´
).
1
2
1
2
.
’
X´et h`am h`am hop ly´ (
) cua d¯ˆoi sˆo x´ac d¯inh nhu sau:
’
.
’
1
.
´
`
roi rac:
’
.
• Nˆeu
(
) =
=
(
=
=
)
(4.2)
(4.3)
1
1
1
(
=
)
=1
’
’
´
˜
(
) l`a x´ac suˆat d¯ˆe ta nhˆan d¯uoc mˆau cu thˆe
= (
)
)
’ ’
.
1
1
.
.
´
´
• Nˆeu
liˆen tuc c´o h`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat (
)
.
.
.
(
) = (
) (
2
)
(
1
1
’
´
’
(
) l`a mˆat d¯ˆo cua x´ac suˆat tai d¯iˆem
(
)
1
2
1
2
.
.
.
ˆ
´ ´ ´ ´
) d¯uoc goi l`a uoc luong hop ly´ tˆoi d¯a nˆeu ung voi gi´a
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
’
.
. . .
´
Gi´a tri
= (
’
0
1
2
.
’
tri n`ay cua h`am hop ly´ d¯at cuc d¯ai.
’
’
.
.
.
.
.
ꢀ Phuong ph´ap t`ım
’ ’
V`ı h`am L v`a lnL d¯at cuc d¯ai tai cu`ng mˆot gi´a tri nˆen ta x´et lnL thay v`ı x´et L.
’
.
.
.
.
.
.
´
Buoc 1: T`ım
’ ’
´
’
Buoc 2: Giai phuong tr`ınh
’ ’ ’ ’
(Phuong tr`ınh hop ly´)
’ ’
’
.
ˆ
’
’
Gia su phuong tr`ınh c´o nghiˆem l`a = (
’ ’
)
’
0
1
2
.
2
´
´
Buoc 3: T`ım d¯ao h`am cˆap hai
’ ’
.
2
ˆ
´
´
Nˆeu tai m`a
0 th`ı lnL d¯at cuc d¯ai. Khi d¯o´ = (
) l`a uoc
’ ’
’
.
0
0
1
2
.
.
.
’
´
’
luong d¯iˆem hop ly´ tˆoi d¯a cua .
’ ’
’
.
.
73
’
’
’
´
ˆ
2. PHUONG PHAP KHOANG TIN CAY
.
’
2.1 Mˆo ta phuong ph´ap
’ ’
’
’
’
´
´
´
´
’
’
Gia su tˆong thˆe c´o tham sˆo chua biˆet. Ta t`ım khoang (
) chua sao cho
’
2
’
’
1
(
2) = 1 − cho truoc.
’ ’
1
´
˜
˜
˜
`
’
Tu d¯ai luong ngˆau nhiˆen gˆoc
’ ’
lˆap mˆau ngˆau nhiˆen
= (
). Chon
1
2
.
.
.
.
ˆ
ˆ
´
´ ´ ´
) c´o phˆan phˆoi x´ac suˆat x´ac d¯inh du` chua biˆet .
’
.
thˆong kˆe = (
1
2
ˆ
ˆ
´
´
’
Voi
’
kh´a b´e (
) ta t`ım d¯uoc phˆan vi
’ ’
cua (tuc l`a
(
1 ) = 1).
’
1
2
1
.
.
1
´
Voi
’
(tuc l`a
’
´
`
’ ’
’
cua
m`a
ˆ
+
=
kh´a b´e (thuong lˆay ≤ 0 05) ta t`ım d¯uoc phˆan vi
’ ’
.
1
2
1−
.
2
ˆ
´
(
2 ) = 1 − 2).
1−
Khi d¯´o
ˆ
ˆ
ˆ
(
≤ ≤
2 ) = (
2 ) − (
1 ) = 1 −
−
= 1 −
(∗)
1−
1−
2
1
1
ˆ
ˆ
`
`
’
Tu (*) ta giai ra d¯uoc . Khi d¯´o (*) d¯uoc d¯ua vˆe dang
(
2) = 1 − .
’
’ ’
.
’ ’
.
’
1
.
ˆ
ˆ
2
`
˘
´
´
´
`
`
’
) hˆau nhu xay ra. Thuc hiˆen
’ ’
.
V`ı x´ac suˆat 1 − gˆan bang 1, nˆen biˆen cˆo (
1
.
’
’
’
´ ´
˜
˜
˜
mˆot ph´ep thu d¯ˆoi voi mˆau ngˆau nhiˆen
ta thu d¯uoc mˆau cu thˆe
’ ’
= (
).
’
1
2
.
’
.
.
’
ˆ
ˆ
˜
`
Tu mˆau cu thˆe n`ay ta t´ınh d¯uoc gi´a tri
=
(
),
=
(
1
).
’ ’
.
1
1
1
2
2
2
2
.
.
’
´
´
´
˜
’
Vˆay voi 1 − cho truoc, qua mˆau cu thˆe
ta t`ım d¯uoc khoang (
’ ’
) chua sao
’
2
’
’ ’
1
.
(
.
.
cho
2) = 1 − .
1
’
’
• Khoang (
) d¯uoc goi l`a khoang tin cˆay.
’ ’
2
1
.
.
.
´
’
• 1 − d¯uoc goi l`a d¯ˆo tin cˆay cua uoc luong.
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
.
.
.
’
• |
−
| d¯uoc goi l`a d¯ˆo d`ai khoang tin cˆay.
’ ’
2
1
.
.
.
.
’ ´
2.2 Uoc luong trung b`ınh
’
’ ’
.
’
’
’
´
´
’
’
’
´
Gia su trung b`ınh cua tˆong thˆe ( ) = chua biˆet. Ta t`ım khoang (
) chua
’
’
’
1
2
´
sao cho
(
) = 1 − , voi 1 − l`a d¯oˆ tin cˆay cho truoc.
’ ’
’
1
2
.
.
`
i) Truong hop 1
’ ’
’
.
2
´
Biˆet
( ) =
˘
’
´
≥ 30 hoac (
30 nhung X c´o phˆan phˆoi chuˆan)
’
.
´
Chon thˆong kˆe
.
√
(
−
)
=
(4.4)
´
Ta thˆay
∈
(0 1).
74
Chu’o’ng 4.
˘
Chon cap
v`a
sao cho
+
=
2
v`a t`ım c´ac phˆan vi
.
1
2
1
.
.
(
1 ) =
´
(
2 ) = 1 −
1
2
’
Do phˆan vi chuˆan c´o t´ınh chˆat
.
= −
nˆen
1−
1
1
(−
2 ) = 1 −
(4.5)
1−
1−
1
´
’
Dua v`ao (4.4) v`a giai hˆe bˆat phuong tr`ınh trong (4.5) ta d¯uoc
’
.
’ ’
’ ’
.
.
√
√
−
+
1−
1−
2
1
’
´
´
’
˘
Dˆe d¯uoc khoang tin cˆay d¯ˆoi xung ta chon
=
=
v`a d¯at = 1 − th`ı
’ ’
.
’
1
2
.
.
.
¯
2
2
√
√
−
+
’
T´om lai, ta t`ım d¯uoc khoang tin cˆay ( −
’ ’
+ ), trong d¯o´
.
.
.
˜
˜
’
*
l`a trung b`ınh cua mˆau ngˆau nhiˆen.
’
´
´
√
*
=
(d¯oˆ ch´ınh x´ac) voi
l`a phˆan vi chuˆan muc = 1 −
’
’
.
.
2
’
’
´
´
´
˜
’
• V´ı du 2 Khˆoi luong san phˆam l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen X c´o phˆan phˆoi chuaˆn voi d¯ˆo
’ ’
.
’ ’
’
’
.
.
.
.
’
’
’
´
’
’
lˆech tiˆeu chuˆan = 1. Cˆan thu 25 san phˆam ta thu d¯uoc kˆet qua sau
’ ’
.
.
´
X (khˆoi luong) 18 19 20 21
’ ’
.
´
(sˆo luong
’ ’
3
5
15
2
.
’
´
´
´
’
’
Ha˜y uoc luong trung b`ınh khˆoi luong cua san phˆam voi d¯ˆo tin cˆay 95 %.
’ ’ ’ ’
’ ’
.
’
.
.
.
’
Giai
18
19
3
5
54
95
20 15 300
21 42
25 491
2
491
25
Ta c´o
=
= 19 64
.
Dˆo tin cˆay 1 − = 0 95 =⇒
= 0 025 =⇒
= 1 − = 0 975 Ta t`ım
.
.
¯
2
’
d¯uoc phˆan vi chuˆan
’ ’
=
= 1 96. Do d¯´o
0 975
.
.
1
1
√
=
= 1 96 = 0 39
0 975
5
25
=
=
− = 19 6 − 0 39 = 19 25
+ = 19 6 + 0 39 = 20 03
1
2
’
Vˆay khoang tin cˆay l`a (19 25; 20 03).
.
.
75
`
ii) Truong hop 2
’ ’
’
.
2
´
chua biˆet
’
≥ 30
02
’
´
2
´
’
´
˜
`
’ ’
’
Truong hop n`ay k´ıch thuoc mˆau lon ( ≥ 30) c´o thˆe du`ng uoc luong cua
thay
’
’ ’
’ ’ ’ ’
.
.
0
2
´
’
cho
chua biˆet ( ( 2) = ), ta t`ım d¯uoc khoang tin cˆay ( −
+ ) trong d¯o´
’
’ ’
.
.
’
˜
’
*
*
l`a trung b`ınh cua mˆau cu thˆe.
.
0
0
’
’
´
´
√
=
voi
l`a phˆan vi chuˆan muc = 1 − v`a l`a d¯ˆo lˆech tiˆeu chuˆan
’
’
.
. .
2
’
˜
`
’
’
d¯iˆeu chinh cua mˆau cu thˆe.
.
´
`
´
’
`
’ ’
• V´ı du 3 Nguoi ta tiˆen h`anh nghiˆen cuu o mˆot truong d¯ai hoc xem trong mˆot th´ang
’ ’
’
’
.
.
.
.
.
˜
.
´
´
˜
`
trung b`ınh mˆot sinh viˆen tiˆeu hˆet bao nhiˆeu tiˆen goi d¯iˆen thoai. Laˆy mˆot mˆau ngˆau nhiˆen
.
.
.
.
´
`
’
gˆom 59 sinh viˆen thu d¯uoc kˆet qua sau:
’ ’
.
14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47
95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11
30 147 72 37 25
7
33 29 35 41 48 15
29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32
22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35
´
´
`
’
Ha˜y uoc luong khoang tin cˆay 95% cho sˆo tiˆen goi d¯iˆen thoai trung b`ınh h`ang th´ang
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
.
’
cua moˆt sinh viˆen.
.
’
Giai
´
`
Tu c´ac sˆo liˆeu d¯a˜ cho, ta c´o
’
.
0
= 59;
= 41 05;
= 27 99
’
’
Dˆo tin cˆay 1 − = 0 95 =⇒ 1 − = 0 975. Tra bang phˆan vi chuˆan ta c´o
.
.
.
¯
0 975
2
= 1 96.
27 99
59
√
Do d¯´o = 1 96
= 7 13.
− 7 13 = 33 92;
+ 7 13 = 48 18
´
’
’
Vˆay khoang tin cˆay cua uoc luong l`a (33,92; 48,18).
’ ’ ’ ’
.
.
.
`
iii) Truong hop 3
’ ’
’
.
2
´
chua biˆet
’
’
´
30 v`a X c´o phˆan phˆoi chuˆan
√
(
−
)
´
Chon thˆong kˆe
=
∈
( − 1).
.
0
76
Chu’o’ng 4.
0
’
√
Ta t`ım d¯uoc khoang tin cˆay ( −
+ ) trong d¯o´
´
=
’ ’
.
.
0
´
voi
’
´
l`a phˆan vi Student muc = 1 − voi − 1 bˆac tu do v`a l`a d¯oˆ lˆech tiˆeu
’
’
’
’
.
.
. .
.
2
’
˜
`
’
’
chuˆan d¯iˆeu chinh cua mˆau cu thˆe.
.
´
`
´
• V´ı du 4 Dioxide Sulfur v`a Oxide Nitrogen l`a c´ac h´oa chˆat d¯uoc khai th´ac tu l`ong
’ ’
’
’
.
.
´
´
´
´
’
’
.
˘
.
d¯ˆat. C´ac chˆat n`ay d¯uoc gi´o mang d¯i rˆat xa, kˆet hop th`anh acid v`a roi tro lai mat d¯ˆat tao
tha`nh mua acid. Nguoi ta d¯o d¯oˆ d¯ˆam d¯ac cua Dioxide Sulfur (
’ ’
.
’
.
.
3
`
) trong khu rung
’
`
´
’
˘
.
’
’ ’
.
.
´
´
´
’
’
’
Bavarian cua nuoc Duc. Sˆo liˆeu cho boi bang duoi d¯aˆy:
’ ’
’
’
’ ’
.
¯
52,7
62,2
45,3
52,4
43,9
56,5
63,4
38,6
41,7
33,4
53,9
46,1
71,5
61,8
65,5
44,4
47,6
54,3
66,6
60,7
55,1
50,0
70,0
56,4
´
´
’
˘
Ha˜y uoc luong d¯ˆo d¯ˆam d¯ac trung b`ınh cua Dioxide Sulsfur voi d¯ˆo tin cˆay 95%.
’ ’ ’ ’
’
.
.
.
.
.
.
’
Giai
3
0
3
Ta t´ınh d¯uoc = 53 92
’ ’
= 10 07
.
.
’
Dˆo tin cˆay 1 − = 0 95 =⇒
= 0 025 =⇒ 1 − = 0 975. Tra bang phˆan
.
.
¯
2
´
vi student muc 0,975 bˆac − 1 = 23 ta d¯uoc
= 2 069.
’
’ ’
.
23;0 975
.
.
Do d¯´o = 2 0691√0 07 = 4 25.
24
− = 53 92 − 4 25 = 49 67
+ = 53 92 + 4 25 = 58 17
’
Vˆay khoang tin cˆay l`a (49,67; 58,17).
.
.
´
´
´
’
`
3
’
˘
Nguoi ta biˆet d¯uoc nˆeu d¯oˆ d¯aˆm d¯ac cua Dioxide Sulfur trong mˆot khu vuc lon hon
’ ’ ’ ’
’
.
’
.
.
.
.
.
’
’
`
’ ’
20
th`ı mˆoi truong trong khu vuc bi ph´a hoai boi mua acid. Qua v´ı du n`ay c´ac
nh`a khoa hoc d¯a˜ t`ım ra d¯uoc nguyˆen nhˆan rung Bavarian bi ph´a hoai trˆam trong nam
’
.
’
.
.
.
`
’
`
˘
’ ’
.
.
.
.
.
1983 l`a do mua acid .
’
´
~
ꢀ Chu´ y´ (X´ac d¯inh k´ıch thuoc m^au)
’’
.
´
´
´
´
’ ’
’
’
`
Nˆeu muˆon d¯oˆ tin cˆay 1 − v`a d¯oˆ ch´ınh x´ac d¯at o muc cho truoc th`ı ta cˆan x´ac
’
.
.
.
.
´
’ ’
˜
’
d¯inh k´ıch thuoc cua mˆau.
.
2
´
`
i) Truong hop biˆet
’ ’
( ) =
:
’
.
2
´
`
√
Tu cˆong thuc
=
ta suy ra
’
’
2
2
2
=
2
´
`
ii) Truong hop chua biˆet
’ ’
:
’
.
’
77
’
’
´
´
´
˜
˜
˜
`
Dua v`a mˆau cu thˆe d¯a˜ cho (nˆeu chua c´o mˆau th`ı ta c´o thˆe tiˆen h`anh lˆay mˆau lˆan
’
.
’
.
02
’
´
´
`
`
’
d¯ˆau voi k´ıch thuoc
’ ’
≥ 30) d¯ˆe t´ınh . Tu d¯´o x´ac d¯inh d¯uoc
’ ’
’
1
.
.
02
2
=
2
´
´
´
´
˜
’
K´ıch thuoc mˆau phai l`a sˆo nguyˆen. Nˆeu khi t´ınh theo c´ac cˆong thuc trˆen d¯uoc
’ ’
’
’ ’
.
´
´
’
`
’
gi´a tri khˆong nguyˆen th`ı ta lˆay phˆan nguyˆen cua n´o cˆong thˆem voi 1.
.
.
2
02
2
2
´
˘
Tuc l`a
=
+ 1 hoac
=
+ 1.
’
.
2
2
’ ´
’
2.3 Uoc luong ty lˆe
’
’ ’
.
.
’
’
’
’
’
´
`
`
’
´
’
Gia su tˆong thˆe d¯uoc chia ra l`am hai loai phˆan tu. Ty lˆe phˆan tu c´o t´ınh chˆat A l`a p
’
’ ’
.
’
’
.
.
’´
´
’
’
’
chua biˆet. Uoc luong ty lˆe l`a chi ra khoang (
) chua sao cho (
2) = 1− .
’
’
’ ’
.
’
1
2
1
.
’
´
’
´
’ ’
´
’
˜
’
’
Dˆe cho viˆec giai b`ai to´an d¯uoc d¯on gian, ta chon mˆau voi k´ıch thuoc kh´a lon.
’ ’
.
’
.
.
¯
’
`
’
´
’
´
´
’
˜
`
`
Goi
.
l`a sˆo phˆan tu c´o t´ınh chˆat A khi lˆay ngˆau nhiˆen mˆot phˆan tu tu tˆong thˆe th`ı
’
’ ’
.
´
´
˜
l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi x´ac suˆat
’ ’
.
.
0
1
1-p
p
´
’
´
´
´
`
`
Goi
.
( = 1 ) l`a sˆo phˆan tu c´o t´ınh chˆat A trong lˆan lˆay thu .
’
’
1
’
´
´
`
’
˘
Ta c´o
=
ch´ınh l`a tˆan suˆat uoc luong d¯iˆem cua = ( ). Mat kh´ac, theo
’ ’ ’ ’
.
.
=1
(1 − )
.
´
´
`
chuong 2,
’ ’
c´o phˆan phˆoi nhi thuc
(
). Tu d¯´o ( ) = v`a
( ) =
’
’
.
√
( − )
´
’
’
˜
`
’ ’
, trong d¯o´ l`a ty lˆe c´ac phˆan tu cua mˆau c´o t´ınh
.
Chon thˆong kˆe
=
.
(1 − )
´
chˆat A.
´
´ ´
’
’
(0 1). Giai quyˆet b`ai to´an tuong tu nhu o uoc luong trung
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
.
Khi kh´a lon th`ı
’
b`ınh, thay
∈
.
2
’
’
boi ,
boi (1 − )... ta d¯uoc
’
’
’ ’
.
(1 − )
(1 − )
2) = ( −
−
+
’
T´om lai, ta x´ac d¯inh d¯uoc khoang tin cˆay (
+ ), trong d¯o´
’ ’
1
.
.
.
.
’
’
´
˜
`
’
’
l`a ty lˆe c´ac phˆan tu cua mˆau c´o t´ınh chˆat A
.
(1 − )
=
(d¯oˆ ch´ınh x´ac)
(4.6)
.
78
Chu’o’ng 4.
’
´
´
voi
l`a phˆan vi chuˆan muc 1 − .
Tu (4.6) ta c´o
’
’
.
2
`
’
√
=
(1 − )
(1 − )
2
1− 2
=
2
’
`
˘
’
’
ꢀ Chu´ y´ Ta c´o thˆe t`ım khoang tin cˆay cua bang c´ach kh´ac nhu sau:
’
.
`
’
’
Tu khoang tin cˆay cua :
’
.
(1 − )
(1 − )
(1 − )
−
+
hay
| − |
´
’
Giai bˆat phuong tr`ınhn`ay ta t`ım d¯uoc
’ ’
’ ’
.
2
2
2
2
+ 0 5
−
0 25
−
(1 − )
+ 0 5
+
0 25
−
(1 − )
=
=
2
1
2
2
+
+
´
’
’
Khi d¯´o (
2) l`a khoang tin cˆay cua voi d¯ˆo tin cˆay 1 − .
’
1
.
.
.
’
’
’
´
´
’
• V´ı du 5 Kiˆem tra 100 san phˆam trong lˆo ha`ng thˆay c´o 20 phˆe phˆam.
.
’
´
´
’
i) Ha˜y uoc luong ty lˆe phˆe phˆam c´o d¯oˆ tin cˆay 99 %.
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
´
´
’
ii) Nˆeu d¯ˆo ch´ınh x´ac = 0 04 th`ı d¯oˆ tin cˆay cua uoc luong l`a bao nhiˆeu?
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
’
´
´
’
iii) Nˆeu muˆon c´o d¯oˆ tin cˆay 99% v`a d¯oˆ ch´ınh x´ac 0,04 th`ı phai kiˆem tra bao nhiˆeu
.
.
.
’
’
san phˆam?
’
Giai
20
100
√
i) = 100
=
= 0 2
( − ) 100
√
X´et
=
∈
(0 1).
Ta c´o
1 − = 0 99 =⇒ = 0 01 =⇒ 1 − = 1 − 0 005 = 0 995
2
√
0 2 0 8
0 4
10
√
=
= 2 58
= 0 1
0 995
100
=
− = 0 2 − 0 1 = 0 1
1
=
+ = 0 2 + 0 1 = 0 3
2
79
’
Vˆay khoang tin cˆay l`a (0 1; 0 3).
.
.
√
0 04 100
√
ii)
=
= 1
1− 2
0 2 0 8
T`ım d¯uoc
’ ’
.
1 − = 0 84 =⇒ 1 − = 0 68
2
Vˆay d¯ˆo tin cˆay l`a 68%.
.
.
.
iii)1− = 0 99 =⇒
= 0 01 =⇒ 1− = 0 995. T`ım d¯uoc
= 2 576.
’ ’
.
0 995
2
Do d¯´o
(2 576)2 0 2 0 8
= 6 635 100 = 663 5
(0 04)2
≈
Vˆay = 664
.
’ ´
2.4 Uoc luong phuong sai
’
’ ’ ’ ’
.
2
’
’
´
´
’
˜
’
Gia su d¯ai luong ngˆau nhiˆen X c´o phˆan phˆoi chuˆan voi phuong sai
’ ’ ’ ’
( ) =
’
.
.
2
2
2
´
’´
’
’
chua biˆet. Cho 0
0 05. Uoc luong phuong sai
( ) l`a chi ra khoang (
)
’
’
’
’ ’
’ ’
.
1
2
2
1
2
22) = 1 − .
´
chua
sao cho
(
˜
˜
`
`
Tu
lˆap mˆau ngˆau nhiˆen
= (
) v`a x´et c´ac truong hop
’ ’
’
’
1
2
.
.
´
a) Biˆet ( ) = .
(
− )2
2
´
Chon thˆong kˆe
.
=
2
=1
2
´
´
´
’
Ta thˆay
c´o phˆan phˆoi ”khi-b`ınh phuong” voi bˆac tu do.
’ ’
’
.
.
2
2
1−
Chon
thoa ma˜n
v`a
kh´a b´e sao cho
+
= . Ta t`ım d¯uoc c´ac phˆan vi
’ ’
2
v`a
1
1
2
1
.
.
.
2
’
2
2
2
1−
(
) = 1 −
(4.7)
1
2
2
’
´
’
’
Thay biˆeu thuc cua
v`ao (4.7) v`a giai ra ta d¯uoc
’
’ ’
.
(
− )2
(
− )2
2
2
1−
2
2
1
Chon
.
=
=
’
th`ı
2
1
2
(
− )2
(
− )2
2
2
(4.8)
2
1− 2
2
Voi mˆau cu thˆe
= (
), t´ınh c´ac tˆong
(
− )2 v`a dua v`ao (4.8) ta
’
´
˜
’
’
.
1
2
1
2
.
t`ım d¯uoc khoang tin cˆay (
22), trong d¯o´
’
’ ’
.
.
80
Chu’o’ng 4.
(
(
− )2
2
1
=
=
2
1− 2
− )2
2
2
2
2
´
voi
’
2
2
´
´
’
l`a phˆan vi ”khi−b`ınh phuong” muc 1 − voi n bˆac tu do.
’ ’
’
’
.
.
.
1− 2
2
´
´
’
l`a phˆan vi ”khi−b`ınh phuong” muc voi bˆac tu do.
’ ’
’
’
.
.
.
2
2
´
b) Chua biˆet ( ).
’
2
( − 1)
2
´
Chon thˆong kˆe
.
=
2
´
´
´
Thˆong kˆe n`ay c´o phˆan phˆoi ”khi−b`ınh phuong voi − 1 bˆac tu do. Tuong tu nhu
’ ’
’
’
.
’ ’
’
.
’
.
2
1
2
´
’
trˆen ta t`ım d¯uoc khoang tin cˆay (
) voi
’
2
’ ’
.
.
2
2
( − 1)
( − 1)
2
1
2
=
;
=
2
2
2
−1 1− 2
−1
2
’
´
˜
’
• V´ı du 6 Muc hao ph´ı nhiˆen liˆeu cho mˆot d¯on vi san phˆam l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen
’ ’
’
’
.
’
.
.
.
.
.
’
’
´
´
’
c´o phˆan phˆoi chuˆan. X´et trˆen 25 san phˆam ta thu d¯uoc kˆet qua sau:
’ ’
.
X
19,5 20 20,5
18
5
2
´
´
’
`
Ha˜y uoc luong phuong sai voi d¯ˆo tin cˆay 90 % trong c´ac truong hop sau:
’ ’ ’ ’
’ ’
’ ’
’
.
.
.
.
´
i) Biˆet k`y vong = 20 .
.
´
ii) Chua biˆet k`y vong.
’
.
’
Giai
´
i) Biˆet = 20 .
− 20 ( − 20)2
(
− 20)2
19,5
20
5
18
-0,5
0
0,25
0
1,25
0
20,5
2
0,5
0,25
0,5
1,75
n=25
Dˆo tin cˆay 1 − = 0 9 =⇒
= 0 1 =⇒
= 0 05 =⇒ 1 − = 0 95
2 2
.
.
¯
2
´
’
Tra bang phˆan vi
voi = 25 bˆac tu do ta d¯uoc
’
’
.
’ ’
.
.
.
2
25;0 05
2
= 14 6;
= 37 7
25;0 95
81
Do d¯´o
(
− 20)2
1 75
37 7
2
1
=
=
= 0 046
= 0 12
2
25;0 95
(
− 20)2
1 75
14 6
2
2
=
=
2
25;0 05
’
Vˆay khoang tin cˆay l`a (0 046; 0 12).
.
.
02
´
ii) Khi chua biˆet ky` vong ta t`ım
= 0 0692.
’
.
´
’
Tra bang phˆan vi khi b`ınh phuong voi bˆac tu do − 1 = 24.
’ ’
’
’
.
.
.
2
0 05
2
= 13 85;
= 36 4
0 95
v`a t´ınh
02
24
2
24 × 0 0692
2
1
=
=
= 0 046
= 0 12
36 4
0 95
02
24
2
24 × 0 0692
=
2
2
=
13 85
0 05
’
Vˆay khoang tin cˆay l`a (0 046; 0 12).
.
.
`
ˆ
3. BAI TAP
.
´
˜
1. Mˆot mˆau c´ac trong luong tuong ung l`a 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v`a 9,4 . X´ac d¯inh
’ ’ ’ ’
’
.
´
.
.
.
’
uoc luong khˆong chˆech cua
’ ’ ’ ’
.
.
’
’
’
a) trung b`ınh cua tˆong thˆe,
’
’
’
b) phuong sai cua tˆong thˆe.
’ ’
˜
2. Mˆot mˆau d¯oˆ d¯o 5 d¯uong k´ınh cua qua cˆau l`a 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v`a 6,37 . X´ac
`
`
’ ’
’
’
’
.
.
.
´
`
’
’
d¯inh uoc luong khˆong chˆech cua trung b`ınh v`a phuong sai cua d¯uong k´ınh qua
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
`
cˆau.
’
´
´
´
`
’
3. Dˆe x´ac d¯inh d¯oˆ ch´ınh x´ac cua mˆot chiˆec cˆan ta khˆong c´o sai sˆo hˆe thˆong, nguoi ta
’ ’
.
.
.
.
.
¯
´
´
`
’
tiˆen h`anh 5 lˆan cˆan d¯oˆc lˆap (cu`ng mˆot vˆat), kˆet qua nhu sau:
’
.
.
.
.
94 1 94 8 96 0 95 2
´
´
`
’
X´ac d¯inh uoc luong khˆong chˆech cua phuong sai sˆo d¯o trong hai truong hop:
’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
’
.
.
.
.
´
´
a) biˆet khˆoi luong vˆat cˆan l`a 95 ;
’ ’
.
.
´
´
b) khˆong biˆet khˆoi luong vˆat cˆan.
’ ’
.
.
´
˜
˜
’
`
’
`
`
’ ’
’
’
4. Duong k´ınh cua mˆot mˆau ngˆau nhiˆen cua 200 viˆen bi d¯uoc san xuˆat boi mˆot m´ay
’ ’ ’ ’
’
.
.
¯
.
’
’´
’
trong mˆot tuˆan c´o trung b`ınh 20,9
v`a d¯oˆ lˆech tiˆeu chuˆan 1,07
. Uoc luong
’ ’
.
.
. .
´
’
trung b`ınh d¯uong k´ınh cua viˆen bi voi d¯ˆo tin cˆay (a) 95%, (b) 99%.
’
.
.
82
Chu’o’ng 4.
’
´
´
´
`
`
’
’
5. Dˆe khao s´at suc bˆen chiu luc cua mˆot loai ˆong cˆong nghiˆep nguoi ta tiˆen h`anh d¯o
’ ’
’
’
.
.
.
.
.
¯
´
´
9 ˆong v`a thu d¯uoc c´ac sˆo liˆeu sau
’ ’
.
.
4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375
’
`
´
´
´
`
´
’
`
`
`
˘
Tu kinh nghiˆem nghˆe nghiˆep nguoi ta biˆet rang suc bˆen d¯´o c´o phˆan phˆoi chuˆan
’ ’
’
’
.
.
’
´
`
’
voi d¯ˆo lˆech chuˆan = 300. X´ac d¯inh khoang tin cˆay 95% cho suc bˆen trung b`ınh
’
. .
.
.
´
’
cua loai ˆong trˆen.
.
`
`
’ ’
6. Tai mˆot vu`ng rung nguyˆen sinh, nguoi ta d¯eo v`ong cho 1000 con chim. Sau mˆot
’
.
.
.
´
´
’
´
´
`
’
˘
thoi gian, bat lai 200 con th`ı thˆay c´o 40 con c´o d¯eo v`ong. Thu uoc luong sˆo chim
’ ’ ’ ’ ’
.
.
´
`
trong vu`ng rung d¯´o voi d¯ˆo tin cˆay 99%.
’
’
.
.
´
´
´
´
´
`
’
’
’
7. Biˆet ty lˆe nay mˆam cua mˆot loai hat giˆong l`a 0,9. Voi d¯ˆo tin cˆay 0,95, nˆeu ta
’
.
.
.
.
.
.
`
`
’
’
’
’
’
muˆon d¯ˆo d`ai khoang tin cˆay cua ty lˆe nay mˆam khˆong vuot qu´a 0,02 th`ı cˆan phai
’ ’
.
.
.
.
gieo bao nhiˆeu hat?
.
´
`
’
’
’
’
’
8. Kˆet qua quan s´at vˆe h`am luong vitamine C cua mˆot loai tr´ai cˆay cho o bang sau:
’ ’
.
.
.
−
−
−
−
−
−
´
´
’
a) Ha˜y uoc luong h`am luong vitamine C trung b`ınh trong mˆot tr´ai voi d¯ˆo tin cˆay
’ ’ ’ ’
’ ’
.
.
.
.
.
95%.
´
’ ’
’´
’
˜
’
b) Qui uoc nhung tr´ai c´o h`am luong vitamine C trˆen 10% l`a tr´ai loai A. Uoc luong
’ ’
’ ’
.
.
.
´
’
ty lˆe tr´ai loai A voi d¯ˆo tin cˆay 90%.
’
.
.
.
.
´
´
c) Muˆon d¯ˆo ch´ınh x´ac khi uoc luong h`am luong vitamine C trung b`ınh l`a 0,1 v`a
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
.
´
´
’
`
’
d¯oˆ ch´ınh x´ac khi uoc luong ty lˆe tr´ai loai A l`a 5% voi cu`ng d¯ˆo tin cˆay 95% th`ı cˆan
’ ’ ’ ’
.
.
˜
’
.
.
.
.
quan s´at thˆem bao nhiˆeu tr´ai nua? A
´
´
´
’
`
’
’
’
9. Do d¯uong k´ınh cua 100 chi tiˆet m´ay do mˆot phˆan xuong san xuˆat, ta d¯uoc kˆet qua
’ ’
’ ’
’ ’
.
.
¯
’
’
cho o bang sau:
’
83
´
´
`
˜
`
˜
Theo qui d¯inh, nhung chi tiˆet c´o d¯uong k´ınh tu 9 9
d¯ˆen 10 1
l`a nhung chi
’
’
’ ’
’
.
’
´
tiˆet d¯at tiˆeu chuˆan ky˜ thuaˆt.
.
.
’´
’
´
´
`
˜
’
’
’
a) Uoc luong ty lˆe v`a uoc luong trung b`ınh d¯uong k´ınh cua nhung chi tiˆet d¯at tiˆeu
’
’ ’
.
’ ’ ’ ’
’ ’
.
.
.
´
’
chuˆan voi cu`ng d¯ˆo tin cˆay 95%?
.
.
’
´
´
`
˜
’
’
b) Dˆe d¯ˆo ch´ınh x´ac khi uoc luong d¯uong k´ınh trung b`ınh cua nhung chi tiˆet d¯at
’ ’ ’ ’ ’ ’
.
.
’
¯
.
’
´
´
’
tiˆeu chuˆan l`a 0 02
´
v`a d¯oˆ ch´ınh x´ac khi uoc luong ty lˆe chi tiˆet d¯at tiˆeu chuˆan
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
´
´
`
˜
’
l`a 5% voi cu`ng d¯ˆo tin cˆay 99% th`ı cˆan d¯o thˆem ´ıt nhˆat bao nhiˆeu chi tiˆet nua?
’
.
.
’
’
’
’
10. Dˆo d`ai cua ban kim loai tuˆan theo luˆat chuˆan. Do 10 ban kim loai d¯´o ta thu d¯uoc
’ ’
.
.
.
.
¯
¯
.
´
sˆo liˆeu sau:
.
4 1 3 9 4 7 4 4 4 0 3 8 4 4 4 2 4 4 5 0
Ha˜y x´ac d¯inh
.
’
’
a) Khoang tin cˆay 90% cho d¯oˆ d`ai trung b`ınh trˆen;
.
.
’
b) Khoang tin cˆajy 95% cho phuong sai cua d¯ˆo d`ai d¯o´.
’ ’
.
’
´
´
˜
`
`
’
’
11. Nguoi ta d¯o chiˆeu sˆau cua biˆen, sai lˆech ngˆau nhiˆen d¯uoc gia thiˆet phˆan phˆoi theo
’ ’ ’ ’
.
.
’
’
’
´
’
`
`
qui luˆat chuˆan voi d¯ˆo lˆech tiˆeu chuˆan l`a 20 . Cˆan d¯o bao nhiˆeu lˆan d¯ˆe x´ac d¯inh
chiˆeu sˆau cua biˆen voi sai lˆech khˆong qu´a 15 v`a d¯oˆ tin cˆay d¯at d¯uoc 95%?
’
.
. .
.
´
`
’
’
’ ’
.
.
.
.
.
´
’
´
’
’
12. Theo do˜i sˆo h`ang b´an d¯uoc trong mˆot ng`ay o mˆot cua h`ang, ta d¯uoc kˆet qua ghi
’ ’ ’ ’
’
’
.
.
.
.
’
’
o bang sau:
’
−
−
−
−
´
´
’
˜
’
Ha˜y uoc luong phuong sai cua luong h`ang b´an d¯uoc mˆoi ng`ay voi d¯oˆ tin cˆay 95%?
’ ’ ’ ’
’ ’
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
´
(cho biˆet
=
2).
1
’
`
’
`
ˆ
•
TRA LOI BAI TAP
.
2
1. a) 9 5 , b) 0 74
2
2
2. = 6 35
,
= 0 00055
´
.
’´
’
’
3. a) Trung b`ınh khˆoi luong = 95 . Uoc luong khˆong chˆech cua phuong sai l`a
’ ’
’ ’
.
’ ’
.
.
5
1
1
5
(
−
)2 =
(
− 95)2 = 0 41
=1
=1
5
1
1
b)
=
=
= 95 5
5
=1
=1
84
Chu’o’ng 4.
’´
’
Uoc luong khˆong chˆech cua phuong sai l`a
’
’ ’ ’ ’
.
.
5
1
1
4
2
=
(
−
)2 =
(
− 95 5)2 = 0 7
− 1
=1
=1
4. (a) 20 9 ± 0 148
5. (5092 89 ; 5484 89).
, (b) 20 9 ± 0 195
.
’
6. 0 1271
0 2729
1000
0 2729 0 1271
1000
’
`
´
`
’
˘
Tˆong sˆo chim trong vu`ng rung nam trong khoang (
)
0 9×0 1
´
’
7. 2 × 1 96
0 02. Giai bˆat phuong tr`ınh ta c´o
’ ’
3457.
8. a) 9 06; 9 54), c) 467 tr´ai.
9. a) (0 792
0 928); (9 982
10 006). b) 221.
10. a) (4 09 ; 4 49), b) (0 064 ; 0 456).
`
11. 7 lˆan.
2
12. (1253 8
3983 8).
16 trang
23540
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