Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Trường từ tĩnh - Lecture 7: Trường từ tĩnh

Chương 3 – Trường từ tĩnh

Lecture-7: Trường từ tĩnh

[7. Use Ampere’s Law to calculate the magnetic field and determine the

inductance of simple structures.]

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

1. Mô hình toán

PTLH

B =

PTVP

ĐKB

rotH = J H_1t− H_2t= J_S

B_1n− B_2n= 0

µ

H

divB = 0

[Trường từ của dòng điện không đổi]

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

1

2. Thế vectơ

2.1. Định nghĩa

2.2. Phương trình Poisson và nghiệm

2.3. Thế vectơ của dòng điện dây – định luật Biot - Savart

2.4. Thế vectơ của trục mang dòng

2.5. Từ thông tính theo thế vectơ

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2.1. Định nghĩa

divB=0

ꢀ

Mô hình toán:

ꢀꢁ

Giải tích vectơ: div rotA =0

(

)

ꢁ

Định nghĩa:

B =rotA

ꢀ

Lưu ý:

A ꢂ B

⇒ A + gradf ꢂ B

Thế vectơ có tính đa trị → chọn ĐK phụ để đơn giản

ꢁ

các phương trình:

divA =0

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2

2.2. Phương trình Poisson và nghiệm

ꢀ

Thiết lập phương trình : thiết lập ptrình tìm thế vectơ khi

biết phân bố của mật độ dòng trong thể tích V, mtr µ=const

Áp dụng phương trình : rotH = J (M HT)

... ⇒ grad(divA )-∆ A =µ J

⇒

µ=const

∆ A =-µ J

ꢁ

J

µ

A =

dV

R

ꢀ

Biểu thức nghiệm:

4π

∫

V

(Nhận xét: A cùng chiều với J)

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2.3. Thế vectơ của dòng điện dây – định luật Biot-Savart

ꢀ

Trường hợp dòng điện dây:

ꢁ

ꢀꢀꢁ

µ

4π

µI

4π

J

dꢃ

A =

dV

A =

R

∫

V

L

ꢀ

Định luật Biot - Savart:

ꢀꢁ

B=

ꢀꢁ

B = rot A = rot

ꢀꢁ

ꢀꢀꢁ

µI dꢃ×a_R

µI

4π

dꢃ

(

)

4π

R²

R

∫

L

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

3

2.4. Thế vectơ của trục mang dòng

ꢀ Phương trình Poisson :

J = J ( x, y)a _z

A = A( x, y)a _z

ꢂ

Trục mang dòng :

Thế vectơ :

∆ A = -µ J

Phương trình Poisson :

⇒

∆A=-µJ

ꢀ Điều kiện biên:

∂A

∂

B_n=

τ

ꢂ

Tính được :

∂A

∂n

B_τ= −

A₁

=

A₂

1 ∂A₁

1 ∂A₂

µ₂∂n

−

+

= J _S

ꢂ

Điều kiện biên :

µ₁∂n

∂A₁∂A₂

−

= 0

∂

τ

∂τ

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2.5. Từ thông tính theo thế vectơ

ꢀ

Từ thông:

Φ_m= BdS

∫

S

B=rotA

Φ _m= (rotA )dS

Định nghĩa thế:

⇒

∫

S

Φ_m= Adꢃ

⇒

ꢁ

Quy tắc cái đinh ốc thuận

ꢄ∫

L

ꢀ

Ví dụ:

A =A(x,y)a _z

Φ _m= [A(b)-A(a)]

ꢃ

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4

3. Một số bài toán tính trường từ tĩnh

Bài toán 1:

Trường từ của dây dẫn thẳng mang dòng

z

P(r,

z)

dB

z

r

Ans:

R

ꢀꢁ

B=

ꢁ

y

µI

(cosθ₁-cosθ₂)a_φ

z'

4πr

a_R

x

ꢀꢁ

ꢁ

a_φ

µI

dl

⇒ B=

ꢃ → ∞

2πr

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

3. Một số bài toán tính trường từ tĩnh

Bài toán 2: Trường từ của vòng dây mang dòng

Ans:

µIa²

2(a²+z²)^{3/ 2}

ꢀꢁ

B=

ꢁ

a_z

dꢃ₁

dꢃ₂

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

5

3. Một số bài toán tính trường từ tĩnh

Bài toán 3:

Lõi trụ bán kính a đồng trục với trục z của hệ trụ mang

dòng với mật độ J=6ra_z(A/m²). Tìm A và B nếu toàn bộ

không gian có µ=µ₀và A=0 tại r=a

Bài toán 4:

Mặt mang dòng (z=0) rộng vô hạn với mật độ J_s=2a_x

(A/m). Tìm A và B nếu toàn bộ không gian có

tại z=0

µ=µ₀và A=0

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4. Năng lượng trường từ tĩnh

4.1. Tính theo thế vectơ và mật độ dòng

4.2. Tính theo mật độ năng lượng trường từ

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

6

4.1. Tính theo thế vectơ và mật độ dòng

ꢀ

ꢂ

Năng lượng trường từ của hệ n dòng điện dây (I_k)

Công do nguồn cung cấp cho dòng thứ k trong tgian dt:

d

φ_k

u i dt =

ξ

+

i dt = ξ_sourcei_kdt + i_kdφ_k

k

(

)

dt

k k

source

Tích lũy NLTT

Nhiệt lượng

ꢂ

Năng lượng trường từ do hệ tích lũy trong tgian dt:

n

dW = i dφ_k

∑

m

k

k=1

Năng lượng trường từ do hệ tích lũy được khi xác lập I_k:

n

∞

1

2

W_m=

dW_m

W =

I Φ

k k

⇒

∑

m

∫

t=0

k=1

ꢀ

Năng lượng trường từ do mật độ dòng phân bố trong V:

J

1

2

W =

AJdV

m

∫

V

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4.2. Tính theo mật độ năng lượng trường từ

1

2

1

2

W =

AJdV =

AJdV

V_∞

m

∫

V_J

r → ∞

ꢀꢁ ꢀꢀꢁ

div A× H = Hrot A − ArotH

ꢀꢀꢁ ꢀꢁ ꢀꢁ ꢀꢀꢁ

(

)

ꢀꢁ ꢀꢀꢁ

ꢀꢀꢁꢀꢁ ꢀꢁꢀꢁ

div A× H = H B − AJ

S_∞

(

)

V_∞

ꢀꢀꢁꢀꢁ

ꢀꢁ ꢀꢀꢁ

1

2

⇒

W =

H BdV − ¹₂div A× H dV

V_∞V_∞

(

)

m

∫

H BdV

∫

w = H B(J / m )

1

3

1

⇒

W =

⇒

(MĐNL)

2

m

∫

V_∞

2

m

1

2

W =

H BdV

Tính năng lượng trường từ trong thể tích V:

m

∫

V

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

7

5. Tính điện cảm

Φ _ij

ꢀ Hỗ cảm: L _ij=

(i≠j)

(H )

ꢀ Qui ước:

Φ_ij

I _j

Φ _ii

I_i

L _i=L _ii=

(H )

ꢀ Điện cảm:

(i=j)

vòng i

dòng j

L_ij=L _ji= M

ꢁ Lꢀu ý:

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

5. Tính điện cảm

ꢀ Năng lượng trường từ tích lũy trong cuộn dây:

n

1

I Φ = IΦ = LI

2

1

2

1

2

W_m=

∑

k

2

k=1

[L đặc trưng cho khả năng tích lũy NLTT của cuộn dây]

ꢀ Điện cảm trong và điện cảm ngoài:

2W_mtr

[trong miền có chứa dòng]

L_tr=

I²

2

W_mng

I²

[ngoài miền có chứa dòng]

L_ng

=

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

8

5. Tính điện cảm

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

 TTrraầnn QQuuaanngg VViieệtt – BFMacCulSty–oKf hEoEaEĐ–iệHnC–MĐUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

9

Bài giảng Trường điện từ - Chương 3: Trường từ tĩnh - Lecture 7: Trường từ tĩnh - Trần Quang Việt