Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Vectơ và trường - Lecture 2: Giải tích vectơ (Cont)

Chương 1. Vectơ và trưꢀng

Lecture-2: Giꢁi tích vectơ (cont)

[1. Be familiar with the different vector operators used in Maxwell’s equations]

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

3) Các toán tꢂ

ꢀ Toán tꢀ Gradient (grad)

ꢀ Toán tꢀ Divergence (div) & ðꢁnh lý Divergence

ꢀ Toán tꢀ Rotation (rot) & ðꢁnh lý Stokes

ꢀ Toán tꢀ Laplace

ꢀ Các kꢂt hꢃp toán tꢀ bꢄng 0

ꢀ ðꢁnh lý duy nhꢅt nghiꢆm

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

1

ꢀ Toán tꢂ Gradient (grad)

Xét vô hưꢇng Φ = Φ(u₁,u₂,u₃) và hai ñiꢈm lân cꢉn

Q(u + du ,u + du ,u + du )

P(u₁,u₂,u₃) và

. Ta có:

1

2

3

∂Φ

dΦ =

du₁+

ꢀ

du₂+

du₃

∂u₁

∂u₂

∂u₃

ꢀ

a₂+

ꢀ ꢁꢁꢀ





1 ∂Φ

h₂∂u₂

1 ∂Φ

h₃∂u₃

⇒

a₁+

a₃dℓ





h ∂u₁



1



ꢁ Toán tꢀ gradient: (VH ꢂVT)

ꢀ

a₁+

ꢀ

a₂+

ꢀ

a₃

1 ∂Φ

h₂∂u₂

1 ∂Φ

h₃∂u₃

gradΦ ≡ ∇Φ =

h ∂u₁

1

⇒

dΦ = gradΦ.dℓ

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ Toán tꢂ Gradient (grad)

ꢁ Ý nghĩa cꢊa toán tꢀ gradient:

dℓ

1

Φ = Φ₀

Φ = Φ₀+dΦ

dℓ₂

dℓ

dℓ.a_ℓ=

dn = dna_n

a_n

α

dℓ₃

a_n

dℓ₄

Q₂

Φ = Φ₀

ðꢌ lꢇn cꢊa gradΦ tꢋi P bꢄng tꢍc ñꢌ

tăng cꢎc ñꢋi cꢊa Φ tꢋi P

hưꢇng cꢊa gradΦ tꢋi P

ꢀ

a_n

ꢀ

= gradΦ.a_ℓ≡ ∇Φ.a_ℓ

∂Φ

gradΦ ≡ ∇Φ =

∂n

∂ℓ

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

2

ꢀ Toán tꢂ Gradient (grad)

Ví dꢏ: cho mꢐt kín trưꢑng vô hưꢇng Φ=x²+2y²+z². Xác ñꢁnh

vectơ ñơn vꢁ pháp tuyꢂn hưꢇng ra khꢒi mꢐt kín Φ=4 tꢋi

P(1,1,1).

gradΦ = 2xa_x+ 4ya_y+ 2za_z

⇒ gradΦ = 2a_x+ 4a_y+ 2a_z

P

ꢀ

gradΦ

2a_x+ 4a_y+ 2a_z

4 +16 + 4

P

⇒ a_n=

=

ꢀ

a_x+

ꢀ

a_y+

ꢀ

1

2

=

a_z

6

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ Toán tꢂ Divergence (div) & ñꢃnh lý Divergence

ꢁ ðꢁnh nghĩa toán tꢀ Divergence:

AdS

ꢁꢀ

divA ≡ ∇ A = lim

ꢁꢀ

ꢂ∫_∆S

∆V →0

∆V

ꢁ Ý nghĩa cꢊa toán tꢀ Divergence: mꢀt ñꢁ nguꢂn

∆V → 0

Có Mð nguꢓn dương

Không có Mð nguꢓn

Có Mð nguꢓn âm

divA > 0

div A < 0

div A = 0

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

3

ꢀ Toán tꢂ Divergence (div) & ñꢃnh lý Divergence

ꢁ Biꢈu thꢔc tính toán tꢀ Divergence:

ꢁꢀ

divA ≡ ∇ A =

ꢁꢀ













∂ h h A

(

∂u₁

∂ h h A

(

∂u₂

∂ h h A

1 2 3

)

(

)

1

2

3

1

3

2

+

h h₂h₃

∂u₃

1

ꢁ ðꢁnh lý Divergence: trưꢑng liên tꢏc trong thꢈ tích V

AdS = divAdV

ꢂ∫ ∫

S

V

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ Toán tꢂ Divergence (div) & ñꢃnh lý Divergence

Ví dꢏ: tìm thông lưꢃng cꢊa trưꢑng vectơ trong hꢆ toꢋn ñꢌ

cꢕu thoát ra khꢒi mꢐt cꢕu tâm trùng gꢍc tꢖa ñꢌ bán kính

bꢄng 2m.

A = ra_r

a)

b)

(ñꢁnh lý Divergence ñúng)

ꢁꢀ

A = a_r

r²

ꢀ

5

(không áp dꢏng ñưꢃc ñꢁnh lý Divergence)

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

4

ꢀ Toán tꢂ Rotation (rot) & ñꢃnh lý Stokes

ꢁ ðꢁnh nghĩa toán tꢀ rotation:

ꢁꢀꢁꢁꢀ







Adℓ

ꢁꢀ

ꢀ

a_n

_{rot A ≡ ∇ × A = lim}ꢂ∫_∆ℓ



∆S→0

∆S







_Max

ꢁ Ý nghĩa cꢊa toán tꢀ rotation: mꢉt ñꢌ nguꢓn cꢊa trưꢑng có

tính chꢅt xoáy

∆S → 0

rot A ≠ 0;IN

rot A ≠ 0;OUT

rot A = 0

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ Toán tꢂ Rotation (rot) & ñꢃnh lý Stokes

ꢁ Biꢈu thꢔc tính toán tꢀ rotation:

ꢀ

h a₁h₂a₂h₃a₃

ꢀ

1

ꢁꢀ

rot A ≡ ∇× A =

ꢁꢀ

1

∂

h h₂h₃∂u₁∂u₂∂u₃

1

h A h₂A₂h₃A₃

1

ꢁ ðꢁnh lý Stokes: trưꢑng phꢗi liên tꢏc trên S

Adℓ = rotAdS

ꢂ∫ ∫

C

S

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

5

ꢀ Toán tꢂ Rotation (rot) & ñꢃnh lý Stokes

Ví dꢏ: tìm lưu sꢍ cꢊa trưꢑng vectơ trong hꢆ tꢖa ñꢌ trꢏ trên

ñưꢑng tròn bán kinh 2m trong mp z=const, tâm trên trꢏc z và

hưꢇng hꢃp vꢇi +z theo quy tꢘc cái ñinh ꢍc thuꢉn.

A = ra_φ

a)

b)

(ñꢁnh lý Stokes ñúng)

ꢁꢀ

A = a_φ

ꢀ

5

(không áp dꢏng ñưꢃc ñꢁnh lý Stokes)

r

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ Toán tꢂ Laplace

ꢁ Tác dꢏng lên vô hưꢇng:

∆Φ ≡ ∇²Φ = div(gradΦ)









































h₂h₃

h h₃

h h₂

∂Φ

1

∂

∂Φ

∂

∂Φ

∂

∆Φ ≡ ∇²Φ =

+

1

h h₂h₃∂u₁h₁∂u₁

∂u₂h₂∂u₂

∂u₃h₃∂u₃

1





ꢁ Tác dꢏng lên vectơ:

∆A≡∇²A= grad(divA)−rot(rotA)

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

6

ꢀ Các kꢄt hꢅp toán tꢂ bꢆng 0

ꢁ Kꢂt hꢃp 1:

dΦ=0

C

∫

^{rot(gradΦ)dS =}ꢂ∫ ^{gradΦdℓ =}ꢂ∫

S

C

rot(gradΦ)=0

rotAdS = 0

^{div(rotA)dS =}ꢂ∫

S

ꢁ Kꢂt hꢃp 2:

∫

V

div(rotA)=0

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

ꢀ ðꢃnh lý duy nhꢇt nghiꢈm

Trong không gian liên tꢃc mꢁt trưꢄng vectơ sꢅ hoàn toàn

xác ñꢆnh (duy nhꢇt) có rot và div là xác ñꢆnh. Nꢈu không

gian không liên tꢃc (biên) thì cꢉn thêm các ràng buꢁc trên

biên cꢊa vectơ trưꢄng trong 2 miꢋn vꢌi nhau (ñiꢋu kiꢍn

biên)

Ví dꢃ: Mô hình toán cꢊa trưꢄng ñiꢍn tꢎ cꢉn

ꢁ 2 phương trình div và rot cꢊa trưꢄng ñiꢍn + 2 phương

trình div và rot cꢊa trưꢄng tꢎ ꢂ Hꢍ pt Maxwell trong

không gian liên tꢃc

ꢁ Các ñiꢋu kiên biên trên mꢏt phân cách giꢐa 2 môi trưꢄng

 Trraꢀnn QQuuaang VViiꢁett––BFMacCuSlty–oKf hEoEaEð–iꢁnHC–MðUHTB-KSeTmpe.HstCeMr 1/13-14

7

Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Vectơ và trường - Lecture 2: Giải tích vectơ (Cont) - Trần Quang Việt