Bài giảng Toán rời rạc 2 - Chương 1: Định nghĩa và biểu diễn
CHꢀꢁNG 1. ĐꢂNH NGHƾA VĨ BIꢃU DIꢄN
1.1 Đꢅnh nghƿa đồ thꢅ
Khái niệm đồ thꢅ
- Đ̀ tḥ l̀ ṃt ću tŕc r̀i ṛc g̀m ćc đ̉nh v̀ ćc c̣nh ńi ćc đ̉nh đ́, ḱ hịu G = (V, E),
trong đ́ V l̀ ṭp ḥp ćc đ̉nh (Vertex), E l̀ ṭp ḥp ćc c̣nh (Edge).
- Các đ̉nh đực biểu diễn bởi các điểm và đ́nh ś từ 1 đến n.
- Các c̣nh đực biểu diễn bởi các đọn thẳng hoặc cung ńi các đ̉nh và đ́nh ś từ 1 đến m.
- Nếu các c̣nh không kể hướng đ̀ tḥ vô hướng.
- Nếu các c̣nh có hướng đ̀ tḥ có hướng.
Mô hình đồ thꢅ trong thực tế
Ṃng lưới giao thông đừng ḅ, ṃng thông tin,
Sơ đ̀ tổ chức của cơ quan, ….
1
1) Đồ thꢅ vô hꢆớng
- Đơn đ̀ tḥ vô hướng G = (V, E) g̀m V ćc đ̉nh v̀ ṃt ṭp E ćc c̣nh l̀ những cặp
không thứ ṭ của ćc đ̉nh phân bịt.
- Đa đ̀ tḥ vô hướng G = (V, E) g̀m ṭp đ̉nh V , ṭp c̣nh E v̀ h̀m f từ E tới ṭp
{(u,v) | u, v V, u v}. Hai c̣nh e1 v̀ e2 g̣i l̀ song song hay c̣nh ḅi nếu f(e1) = f(e2).
- Gỉ đ̀ tḥ vô hướng G = (V, E) g̀m ṭp đ̉nh V , ṭp c̣nh E v̀ h̀m f từ E tới ṭp
{(u, v) | u, v V}. Ṃt c̣nh g̣i l̀ ṃt khuyên nếu f(e) = (u, u).
Hình 1. Đơn đ̀ tḥ vô hướng
Hình 2. Đa đ̀ tḥ vô hướng
Hình 3. Gỉ đ̀ tḥ vô hướng
2
2) Đồ thꢅ có hꢆớng
- Đơn đ̀ tḥ có hướng G = (V, E) g̀m V ćc đ̉nh v̀ ṃt ṭp E ćc cung (c̣nh) l̀ ćc
cặp có thứ ṭ của ćc đ̉nh phân bịt.
- Đa đ̀ tḥ có hướng G = (V, E) g̀m ṭp đ̉nh V , ṭp cung (c̣nh) E v̀ h̀m f từ E
tới {(u, v) | u, v V, u v}. e1 v̀ e2 g̣i l̀ song song hay c̣nh ḅi nếu f(e1) = f(e2).
Hình 4. Đơn đ̀ tḥ ć hướng
Hình 5. Đa đ̀ tḥ ć hướng
3
1.2 Nh̃ng thụt ng̃ cꢇ bản
- Hai đ̉nh u v̀ v đ̀ tḥ vô hướng G g̣i l̀ lìn k̀ (ĺng gìng) nếu (u, v) l̀ ṃt c̣nh của
G. Nếu e = (u, v) e g̣i l̀ c̣nh liên thục với u v̀ v; hay c̣nh ńi u v̀ v. Ćc đ̉nh u
v̀ v g̣i l̀ ćc đỉm đ̀u ḿt của c̣nh (u, v).
- Ḅc của đ̀ tḥ G vô hướng l̀ deg(v) = ś ćc c̣nh liên thục với v, riêng khuyên ṭi ṃt
đ̉nh đực t́nh hai l̀n:
Nếu G ć m c̣nh 2m = deg(v). Trong G ś ćc đ̉nh ḅc l̉ l̀ ṃt ś ch̃n.
vV
Đ̉nh cô ḷp l̀ đ̉nh không ńi với b́t k̀ đ̉nh ǹo.
Đ̉nh treo l̀ đ̉nh ć ḅc b̀ng 1.
4
- G l̀ đ̀ tḥ ć hướng, (u,v) l̀ c̣nh G u g̣i l̀ ńi tới v, v g̣i l̀ đực ńi từ u. Đ̉nh u
g̣i l̀ đ̉nh đ̀u, v l̀ đ̉nh cúi của c̣nh (u,v). Đ̉nh đ̀u v̀ cúi của khuyên l̀ tr̀ng nhau.
- Ḅc- v̀o của v G có hướng l̀ deg-(v) = ś c̣nh ć đ̉nh cúi l̀ v. Ḅc- ra l̀ deg+(v) l̀ ś
ćc c̣nh ć đ̉nh đ̀u l̀ v:
G = (V, E) l̀ ṃt đ̀ tḥ ć hướng m c̣nh deg-(v) = deg-(v) = m.
- G l̀ đ̀ tḥ ć hướng. Nếu b̉ qua hướng nḥn đực đ̀ tḥ vô hướng ǹn. Đ̀ tḥ ć hướng
v̀ đ̀ tḥ vô hướng ǹn của ń ć c̀ng ś c̣nh.
- Đ̀ tḥ vô hướng G = (V, E) l̀ đ̀ tḥ đ̀y đ̉, nếu m̃i cặp đ̉nh đ̀u ć c̣nh ńi giữa ch́ng.
- Đ̀ tḥ ć hướng G = (V, E) g̣i l̀ đ̀ tḥ đ̀y đ̉, nếu m̃i cặp đ̉nh đ̀u ć cung ńi giữa
ch́ng (chìu của cung ć thể t̀y ́).
Hình 7. Đ̀ tḥ ć hướng đ̀y đủ
Hình 6. Đ̀ tḥ vô hướng đ̀y đủ
5
- Đ̀ tḥ G là đ̀ tḥ có tṛng ś m̃i c̣nh đực ǵn ṃt con ś (nguyên hoặc tḥc) g̣i l̀
tṛng ś ứng với c̣nh đ́.
- G l̀ đ̀ tḥ phân đôi (hai phía) ṭp ćc đ̉nh V l̀ ḥp hai ṭp con r̃ng, r̀i nhau V1 v̀
V2 sao cho m̃i c̣nh của đ̀ tḥ ńi ṃt đ̉nh V1 với ṃt đ̉nh V2.
- Km,n g̣i l̀ đ̀ tḥ phân đôi đ̀y đ̉ ṭp đ̉nh V ć thể phân l̀m hai ṭp con không r̃ng,
r̀i nhau V1 ć m đ̉nh v̀ V2 ć n đ̉nh sao cho ć ṃt c̣nh giữa 2 đ̉nh nếu v̀ ch̉ nếu
ṃt đ̉nh thục V1 v̀ đ̉nh thứ hai thục V2.
- Đừng đi đ̣ d̀i n từ u tới v G là d̃y ćc đ̉nh x0, x1, ... , xn , x0 = u, xn = v và (xi-1, xi)
E
- Đừng đi g̣i l̀ chu tr̀nh nếu b́t đ̀u v̀ kết th́c ṭi c̀ng ṃt đ̉nh, tức l̀ u = v.
- Đừng đi hoặc chu tr̀nh g̣i l̀ đơn nếu không chứa ṃt c̣nh qú ṃt l̀n.
- Đừng đi g̣i l̀ đừng đi sơ ćp nếu đi qua ćc đ̉nh không qú ṃt l̀n, trừ đ̉nh đ̀u v̀
đ̉nh cúi.
- Đừng đi sơ ćp ć đ̉nh đ̀u v̀ đ̉nh cúi tr̀ng nhau đực g̣i l̀ chu tr̀nh sơ ćp.
6
1.3 Phơn loại đồ thꢅ
1) Đồ thꢅ chu trình (v̀ng):
- Ćc ṃng LAN hay viễn thông ć ću tŕc vòng Ring (tròn)
C3
C4
C5
2) Đồ thꢅ hình b́nh xe:
- Ṃng LAN ć ḍng h̀nh b́nh xe
W5
W4
W3
W6
7
3) Đồ thꢅ khối n chiꢈu:
- Đ̀ tḥ kh́i 1 chìu, 2 chìu kết ńi các ḅ vi xử lý
Ṃng kiểu lưới
Ṃng kiểu đừng thẳng
8
4) Đồ thꢅ con
- Đ̀ tḥ H = (W, F) g̣i l̀ đ̀ tḥ con của đ̀ tḥ G = (V, E) W V v̀ F E.
- Nếu b̉ bớt ṃt ś c̣nh hoặc ṃt ś đ̉nh v̀ ćc c̣nh liên thục với ch́ng nḥn đực đ̀ tḥ
con H của G.
- Ḥp của hai đ̀ tḥ G1 =(V1,E1) v̀ G2 = (V2,E2) l̀ ṃt đ̀ tḥ đơn ć ṭp ćc đ̉nh l̀
V1V2 v̀ ṭp ćc c̣nh l̀ E1E2. Ḱ hịu ḥp của ćc đ̀ tḥ l̀ G1G2.
9
5) Đồ thꢅ đầy đủ
G = (V, E) đ̀y đủ Hai đ̉nh b́t k̀ của G đ̀u ć c̣nh ńi.
6) Đồ thꢅ hai phía
G = (V, E) l̀ đ̀ tḥ hai phía V = V1 V2, V1 , V2 và V1 ∩ V2 = ; còn E ch̉ ć các
c̣nh ńi giữa ćc đ̉nh x V1 và y V2.
10
1.4 Biꢉu diꢊn đồ thꢅ
1. Biꢉu diꢊn đồ thꢅ bằng ma tṛn kꢈ:
- Đ́nh ś các đ̉nh của đ̀ tḥ từ 1 đến n
- Ma tṛn k̀ A l̀ ma tṛn vuông ćp n với:
A[i, j] = 1 nếu ć c̣nh ńi i với j,
A[i, j] = 0 nếu không ć c̣nh ńi i với j.
Hình 8. Ma tṛn k̀ của đ̀ tḥ vô hướng
Hình 9. Ma tṛn k̀ của đ̀ tḥ ć hướng
11
Ghi chú: Ma tṛn k̀ của đ̀ tḥ vô hướng là ma tṛn đ́i xứng.
Ṭp dữ lịu vào đ́i với ma trân tṛng ś thừng có khuôn ḍng:
Dòng đ̀u chứa ś n
n dòng tiếp theo, m̃i dòng chứa n ś là các tṛng ś.
12
2. Biꢉu diꢊn đồ thꢅ bằng ma tṛn trọng số
Đ́nh ś các đ̉nh của đ̀ tḥ từ 1 đến n
- Ma tṛn tṛng ś A là ma tṛn vuông ćp n với:
A[i, j] = cij nếu ć c̣nh ńi i với j,
A[i, j] = c đặc bịt nếu không ć c̣nh ńi i với j.
Hình 10. Ma tṛn tṛng ś của đ̀ tḥ ć hướng với c = 0
13
Ghi chú: Ṭp dữ lịu vào đ́i với ma trân tṛng ś thừng có khuôn ḍng:
Dòng đ̀u chứa ś n
n dòng tiếp theo, m̃i dòng chứa n ś là các tṛng ś.
14
Ghi chú: Ma tṛn tṛng ś của đ̀ tḥ vô hướng là ma tṛn đ́i xứng.
Ṭp dữ lịu vào đ́i với ma trân tṛng ś thừng có khuôn ḍng:
Dòng đ̀u chứa ś n
n dòng tiếp theo, m̃i dòng chứa n ś là các tṛng ś.
15
3. Biꢉu diꢊn đồ thꢅ bằng danh śch cạnh
Đ́nh ś các đ̉nh của đ̀ tḥ từ 1 đến n, các c̣nh từ 1 đến m.
Lịt kê m c̣nh, m̃i c̣nh lịt kê đ̉nh đ̀u i và đ̉nh cúi j, 1 i, j n.
Đ̀ tḥ có tṛng ś, m̃i c̣nh lịt kê đ̉nh đ̀u i và đ̉nh cúi j, 1 i, j n và tṛng ś cij
Danh śch cạnh của đồ thꢅ hình 9:
Danh śch cạnh của đồ thꢅ hình 11:
4 5
1 2
1 3
2 4
3 2
4 4
4 4
1 2 40
1 3 96
1 4 115
3 4 45
16
Ghi chú: Ṭp dữ lịu vào đ́i với danh sách c̣nh thừng có khuôn ḍng:
Dòng đ̀u chứa hai ś n, m
m dòng tiếp theo, m̃i dòng chứa 2 hoặc 3 ś là đ̉nh đ̀u đ̉nh cúi và tṛng ś.
17
4. Biꢉu diꢊn đồ thꢅ bằng danh śch kꢈ
Đ́nh ś các đ̉nh của đ̀ tḥ từ 1 đến n.
Lịt kê các đ̉nh k̀ với m̃i đ̉nh i, 1 i n.
Danh śch kꢈ của đồ thꢅ hình 8:
Danh śch kꢈ của đồ thꢅ hình 9:
4
4
2 3
1 3 4
1 2
2
2 3
4
2
4
Ghi chú: Ṭp dữ lịu vào đ́i với danh sách k̀ thừng có khuôn ḍng:
Dòng đ̀u chứa ś n
n dòng tiếp theo, m̃i dòng chứa các đ̉nh k̀ với đ̉nh i, 1 i n
18
5. Ma tṛn liên thục
- G = (V, E) V = {v1, v2, ..., vn} E = {e1, e2, ..., em}.
- Ćc ma tṛn liên thục c̃ng ć thể đực d̀ng để biễu diễn ćc c̣nh ḅi v̀ khuyên. Ćc c̣nh
ḅi đực biểu diễn trong ma tṛn liên thục b̀ng ćch d̀ng ćc c̣t ć ćc ph̀n tử gíng ḥt
nhau v̀ ćc c̣nh ǹy đực ńi với c̀ng ṃt cặp ćc đ̉nh.
- Đ́nh ś ćc đ̉nh từ 1 đến n, đ́nh ś ćc c̣nh từ 1 đến m.
- Ma tṛn liên thục ćp mxn của đ̀ tḥ G l̀ M = [mij], trong đ́ mij =1 nếu c̣nh ej liên
thục với đ̉nh vi v̀ = 0 nếu c̣nh ej không liên thục với đ̉nh vi .
19
19 trang
27700
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán rời rạc 2 - Chương 1: Định nghĩa và biểu diễn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_roi_rac_2_chuong_1_dinh_nghia_va_bieu_dien.pdf
