Bài giảng Phương pháp tính - Chương III: Nội suy - Ngô Thu Lương
Ä
Chương III : NOÄI SUY
Ä
ä
ù
ù
1) Noäi suy ña thöùc
ä
ä
ä
ä
2) Noäi suy Spline baäc 3
ä
ù
á å
á å
3) Phöông phaùp bình phöông toái thieåu
ù
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
1
ä
ù
1.1) Noäi suy ña thöùc theo Lagrange
ä
ù
ä
a) Noäi dung
ä
: Bieát caùc giaù trò yi = f (xi ) cuûa haøm
y = f (x)
x
taïi caùc ñieåm theo baûng
f (x)
Tìm haøm laïi haøm
â á ø
Voâ soá haøm
Lôøi giaûi : â á ø
ù ä
ña thöùc baäc n
chæ laø ù ä
f (x) = P(x)
Tìm
thoûa P(x ) = y
á
duy nhaát
Lôøi giaûi laø
á
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
2
Caùc böôùc tìm ña thöùc P(x)
ù
û
û
ña thöùc cô sôû Lagrange
Böôùc 1 : Thieát laäp
ù
ù
n
(x − x )
k
L (x) =
∏
i
(x − x )
i k
k =0, k ≠i
Ví duï : L (x) =
0
(x− x )...(x− x )(x− x )..(x− x )
1
i−1
i
n
=
(x − x )...(x − x )(x − x )..(x − x )
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
3
â
ù
ù
Coâng thöùc tính P(x)
Böôùc 2 : â
ù
n
P(x) = y L (x)
=
∑
i i
y L (x) + y L (x) + ... + y L (x)
0 0
1 1
n n
á
b) Sai soá
á :
f (x) − P(x)
(n+1)
M
≤
(x − x )(x − x )....( x − x )
0
1
n
(n + 1)!
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
4
ä ù
c) Nhaän xeùt
ä ù :
*) Soá moác noäi suy caøng lôùn thì sai soá caøng nhoû , tuy
nhieân baäc cuûa ña thöùc seõ lôùn, tính toaùn seõ daøi .
(n+1)
*)Sai soá phuï thuoäc vaøo
vì haøm f (x) chöa bieát
, thöïc teá khoâng bieát
*)Ña thöùc noäi suy P(x) laø duy nhaát
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
5
Ví du
ï :
Tìm ña thöùc noäi suy P(x) töø baûng soá lieäu
x =−1 , x = 0 , x = 1
1
y = , y = 1 , y = 3
0
1
2
Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bảng taïi x = 0.7
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
6
û
Giaûi
û : Ta tìm caùc ña thöùc Lagrange
2
(x −0)(x −1) x − x
L (x) =
=
0
(−1−0)(−1−1) 2
2
[x −(−1)](x −1) x −1
L (x) =
=
1
[0 −(−1)](0 −1) −1
2
[x − (−1)](x − 0) x + x
L (x) =
=
2
[1− (−1)](1− 0) 2
1
2x2 +4x+3
P(x) = L0(x)+1L (x)+3L2(x) =
1
2
2.(0.7) + 4.(0.7) + 3
P(0.7) =
= 2.26
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
7
û
â
â
d) Tyû sai phaân
û
f
x
Tyû sai phaân baäc 0 cuûa taïi :
f [x ] = f (x )
0
0
f
x , x
Tyû sai phaân baäc 1 cuûa taïi
:
1
f [x ]− f [x ]
1
0
f [x , x ] =
0 1
1 0
Tyû sai phaân baäc 2 cuûa
f
taïi x , x , x
0 1 2
f [x , x ]− f [x , x ]
1 2
0 1
f [x , x , x ] =
0 1 2
x − x
2 0
Töông töï cho tyû sai phaân baäc cao hôn
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
8
û û
â
e) Baûng tyû sai phaân
û û
â
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
9
ä
á
û û
f) Noäi suy Newton tieán theo baûng tyû sai phaân
û û
â
ä
á
â
Ña thöùc P(x) coù theå tìm döôùi daïng
P(x) = a+ a(x − x) + a(x − x)(x − x) +..
..+ a (x − x )(x − x )..(x − x )
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
10
1 2
2
2 2 4
3 3
P(x) = + (x +1) + (x +1)(x − 0) = x + x +1
3 3
3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
11
g) Noäi suy Newton luøi
ä
ø
P(x) = a0 + a1(x − xn) + a2(x − xn)(x − xn−1) +..
... + a (x − x )(x − x )..(x − x )
a = f [ x ]
a = f [x , x ]
.
n n−1
a = f [ x , x , x ]
2
n n−1 n−2
a = f [x , x x , x ]
k
n n−1,... n−k+1 n−k
an = f [xn , xn−1,..x3 , x2 , x1, x0 ]
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
12
2
P(x) = 3 + 2(x −1) + (x −1)(x − 0)
2 2 4
= x + x + 1
3 3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
13
ä
ä
2) Noäi suy Spline baäc 3
ä
ä
ä
a) Noäi dung :
ä
Cho baûng soá lieäu
S(x)
Tìm moät haøm
thoûa caùc ñieàu kieän :
ä ø
S(x)
: Đi qua các điểm đã cho trong bảng
S(x)
laø ña thöùc baäc 3 treân moãi ñoaïn nhoû
ù ä â ã ï û
[x ,x ]
j j+1
( caùc ña thöùc naøy coù caùc heä soá khaùc nhau)
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
14
Goïi S (x) laø ña thöùc treân moãi ñoaïn nhoû [x ,x ]
j
j j+1
S (x) thoûa caùc ñieàu kieän :
j
a)
b)
S (x ) = y
j j j
S (x ) = y
j j+1 j+1
/
/
S (x ) = S (x )
//
//
c)
S (x ) = S (x )
j j+1
j+1
j+1
//
//
d)
S (x ) = S (x )
0 0
n−1 n
à ä â ï â
ñieàu kieän bieân töï nhieân
à ä â ï â
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
15
hj = xj+1 − xj
a = y
j j
(c − c )
j+1 j
d =
j
3h
j
(a j+1 − a j ) h j (c j+1 + 2c j )
b j =
−
j
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
16
c
Ñeå tìm ta giaûi töø heä
j
1
0
0
0
0
.
0
0
h 2(h + h )
h
1
.
0
0
1
0
h
2(h + h ) h
.
0
1
1 2
2
A =
0
0
.
.
.
.
0
0
0
0
0
h
2(h + h ) h
n−2 n−1 n−1
n−2
0
0
0
1
c
0
0
3
3
c
(a − a ) −
(a − a )
1
2
1
1
0
h
h
1
0
.
.
x =
.
B =
c
3
3
n−1
(a − a
) −
(a
− a
)
n
n −1
n −1
n − 2
h
h
0
c
n −1
n − 2
n
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
17
Ví duï : Noäi suy Spline baäc 3 cuûa baûng
ï
x0 = 0
y0 = 0
x1 =1 x2 = 2
y1 =1 y2 = 4
x3 = 3
y3 = 0
a = y = 0
a = y = 1
a = y = 4
a = y = 0
Caùc heä soá
c
tính theo heä phöông trình
0
0
c
c
3
1 4 1 0
6
1
1
=
=
c
− 6
c
0 1 4 1
0 0 0 1
−21
2
2
c
0
c
0
3
3
b0 = 0 b = 3 b2 = 0
1
d =1 d = −3 d = 2
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
18
S(x) =
Ta coù haøm :
3
1(x − 0) 0≤ x≤1
2
3
1+ 3(x −1) + 3(x −1) −3(x −1) 1≤ x≤ 2
2
3
4
−6(x − 2) + 2(x − 2) 2≤ x≤3
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
19
Spline với ñieàu kieän bieân raøng buoäc
d) S0/ (x0 ) = f '(x0 ), Sn/ −1(xn ) = f '(xn )
trong ñoù f '(x0), f '(xn) laø caùc ñaïi löôïng cho tröôùc
2h0
h
0
0
0
.
0
0
0
0
h 2(h0 +h1) h
.
0
1
0
h1 2(h1 +h2) h2
.
A=
0
0
0
0
0
.
.
.
.
0
hn−2 2(hn−2 +hn−1) h
n−1
0
0
0
hn−1
2h
n−1
Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính
20
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
20160
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương III: Nội suy - Ngô Thu Lương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_iii_noi_suy_ngo_thu_luong.pdf
