Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.4: Hàm biến phức - Điểm bất thường, zeros và thặng dư - Nguyễn Phước Bảo Duy
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Part 3:
Hàm biến phức
I. Hàm biến phức
II. Chuỗi phức
III. Tích phân đường phức
IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư
V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
s
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Điểm bất thường, zeros và thặng dư
1. Điểm bất thường và zero
2. Thặng dư
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Điểm bất thường và zero
. Một điểm bất thường của hàm phức f(z) là điểm
trong mặt phẳng z mà tại đó f(z) không giải tích.
. Một zero của f(z) là điểm trong mặt phẳng z mà tại đó
f(z) = 0.
Thông thường f(z) tiến đến tại các điểm bất
thường, nhưng có nhiều trường hợp ngoại lệ.
Các điểm bất thường có thể phân loại thành:
• Điểm cực (bậc m)
• Điểm bất thường chủ yếu
• Điểm bất thường khử được.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Điểm bất thường và zero
. Nếu z0 là một điểm bình thường (giải tích) của f(z) thì
sẽ có khai triển chuỗi Taylor của f(z) quanh điểm z0 (nói
cách khác là chuỗi Laurent với phần chính bằng 0).
. Nếu f(z) có khai triển chuỗi Laurent đến mũ -m ở phần
chính:
am
a1
(z z0 )
f(z)
...
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ...
(z z0 )m
Khi đó z0 là một điểm bất thường của f(z), và trong
trường hợp này z0 được gọi là cực bậc m.
Một cách khác để định nghĩa cực bậc m:
m
lim (z z0 ) f(z) am
zz
0
if
z0 is a pole of order m
am 0 and am
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Điểm bất thường và zero
. Nếu phần chính của chuỗi Laurent hàm f(z) quanh
điểm z0 có vô số các số hạng, khi đó z0 được gọi là điểm
bất thường chủ yếu của f(z).
. Nếu f(z) không giải tích tại z = z0, nhưng khai triển
chuỗi Laurent quanh z0 thì không tồn tại phần chính
(chuỗi Taylor), khi đó z0 được gọi là điểm bất thường
khử được.
Ví dụ 4.01:
có cực bậc 1 (cực đơn) tại z =
z 1
-2.
a. f(z)
(z 2)(z 3)3 có cực bậc 3 tại z = 3.
có 1 zero tại z = 1.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Điểm bất thường và zero
Ví dụ 4.01 (cont):
1
b. f(z) ezj
có điểm bất thường chủ
yếu tại z = j.
sin z
c. f(z)
có điểm bất thường khử
được tại z = 0.
z
z2 z4
1 ...
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Điểm bất thường và zero
Ví dụ 4.02: Xác định vị trí và phân loại các điểm bất
thường và zero của các hàm sau:
cos z
sin z
z2 2
z
a.
b.
d.
f.
z
z
c. e1z
z4 1
z j
z 1
e.
z2 1
(z 2)3(z 3)
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Thặng dư
Nếu hàm phức f(z) có điểm bất thường tại z = z0,
khi đó hệ số a-1 của (z – z0)-1 trong khai triển chuỗi
Laurent của f(z) quanh z0 được gọi là thặng dư của f(z)
tại z0.
Ngoài ra, đối với điểm bất thường thuộc dạng cực
(bậc m) ta có công thức tính thặng dư như sau:
residue at a pole of order m
m1
1
d
m
Res f(z),z
0
lim
(z z0 ) f(z)
dzm1
zz0
(m 1)!
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Thặng dư
Ví dụ 4.03: Tính thặng dư của hàm
z2 2z
f(z)
(z 1)2 (z2 4)
tại tất cả các cực.
Ví dụ 4.04: Tính thặng dư của các hàm sau tại các cực
cho trước:
ez
(1 z2 )2
z4
sin z 3
a.
c.
(at z j)
b.
at z 0
z2
(at z 1)
(1 z)3
9 trang
23880
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.4: Hàm biến phức - Điểm bất thường, zeros và thặng dư - Nguyễn Phước Bảo Duy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_phan_3_4_ham_bien_phuc_diem_bat_thuo.pdf
