›
›

Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 6: Phép biến đổi Laplace (Phần 1)

Download
CHƯƠNG 6: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE  
§1. PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP TÍNH TOÁN TỬ  
Cho hai tập hợp A và B. Một ánh xạ T cho ứng một phần tử của A với một  
phần tử xác định của B, kí hiệu là Tx, được gọi là một toán tử. Phần tử Tx được gọi là  
ảnh của x còn x được gọi là gốc của hay nghịch ảnh của Tx.  
Ví dụ: Nếu A = B = R thì toán tử T là một hàm số thực của biến số thực.  
Nếu A là tập hợp các số thực dương và B = R. Ánh xạ cho mỗi số a A thành một  
số thực thuộc B là Ta = lna được gọi là toán tử logarit. Nhờ có toán tử loga mà phép  
nhân các gốc được chuyển thành phép cộng các ảnh:  
T(a1.a2) = Ta1 + Ta2  
(1)  
Do đó muốn tính tích a1.a2, ta tìm ảnh của nó theo (1) sau đó dùng bảng logarit tra  
ngược lại  
Cho A là tập hợp các hàm dao động hình sin có cùng tần số góc , B là tập hợp các  
hàm biến số thực t nhưng lấy giá trị phức. Cho ứng mỗi hàm v(t) = Vsin(t +) A  
với một hàm Tv B theo công thức:  
Tv = V.ej(t + )  
cũng là một toán tử. Nhờ toán tử này mà các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được  
chuyển thành các phép tính đại số đối với ảnh.  
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu toán tử Laplace. Bài toán đặt ra là biết gốc,  
tìm ảnh toán tử Laplace của nó và ngược lại biết ảnh của một hàm, tìm lại gốc của nó.  
§2. ĐỊNH NGHĨA HÀM GỐC  
Ta gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:  
Hàm f(t) liên tục từng khúc khi t 0, nghĩa là nếu lấy một khoảng [a, b] bất kì trên  
nửa trục t 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn các khoảng nhỏ sao  
cho trong mỗi khoảng nhỏ f(t) liên tục và tại mút của mỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn  
một phía  
Khi t +, hàm f(t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghĩa là tồn tại một số  
M>0, so 0 sao cho:  
s t  
o
f(t) Me t 0  
(2)  
trong đó so được gọi là chỉ số tăng của f(t)  
f(t) = 0 khi t < 0. Điều kiện này được đặt ra vì trong các ứng dụng thực tế t thường  
là thời gian.  
Ví dụ 1: Hàm:  
0 khit 0  
(t)   
1 khit 0  
là hàm gốc.  
Thật vậy vì | (t) | 1 nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 1, s0 = 0; dễ dàng  
kiểm tra được điều kiện 1.  
Ví dụ 2: Hàm:  
98  
0
khit 0  
f(t)  (t).sin t   
là hàm gốc.  
sin t khit 0  
Thật vậy vì | (t).sint | 1 nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 1, s0 = 0; dễ  
dàng kiểm tra được điều kiện 1.  
Ví dụ 3: Hàm:  
0
khi t 0  
khi t 0  
f(t)  (t).t2   
t2  
là hàm gốc.  
Thật vậy vì | (t).t2 | 2et nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 2, s0 = 1; dễ  
dàng kiểm tra được điều kiện 1.  
Quy ước: Ta viết (t) thay cho (t).(t)  
giới hạn phải của f(t), tức là khi t + 0 được viết là f(0)  
§3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN  
Nếu f(t) là hàm gốc có chỉ số tăng là s0 thì tích phân:  
  
F(p) ept f(t)dt  
(3)  
0
trong đó p = s + jlà một tham số phức sẽ hội tụ trong miền Rep = s > so (nửa mặt  
phẳng phức bên phải đường thẳng s = so)  
Tích phân (3) là một hàm của biến số phức p. Hàm biến phức F(p) giải tích trong  
miền Rep > so và dần tới 0 khi p   sao cho Rep = s  .  
Chứng minh: Lấy p bất kì thuộc miền Rep > so, ta sẽ chứng minh tích phân (3) hội tụ.  
Muốn vậy ta chứng minh nó thừa nhận một tích phân trội hội tụ tuyệt đối. Thật vậy vì  
f(t) Mes t nên  
s)t . Do đó:  
s t st  
(s  
o
f(t)ept Me e Me  
o
o
  
s)t  
Me(s  
  
  
o
f(t).ept dt M e(s s)tdt   
o
so s  
0
0
0
Vì s0 - s < 0 nên lim e(s  
0 . Do đó:  
s)t  
o
t  
  
M
f(t).ept dt   
(4)  
so s  
0
M
Điều đó chứng tỏ (3) hội tụ. Khi p = s + j   sao cho s +thì  
0 nên  
so s  
F(p) 0.  
Ta còn phải chứng minh F(p) giải tích trong miền Rep > so. Muốn vậy ta chứng minh  
  
đạo hàm của F(p) tồn tại tại mọi điểm của miền ấy. Xét tích phân t.eptf(t)dt thu  
0
  
được bằng cách lấy đạo hàm một cách hình thức eptf(t)dt dưới dấu tích phân.  
0
99  
Trong nửa mặt phẳng Rep s1 với s1 bất kì lớn hơn so thì tích phân đó thừa nhận một  
tích phân trội hội tụ và không phụ thuộc tham số p:  
  
  
  
M
(s  
f(t).ept dt M t.e s)tdt M t.e(s s )tdt   
(5)  
o
o
1
2
s1 so  
0
0
0
Vậy theo định lý Weierstrass, tích phân hội tụ đều đối với p trong miền đó vµ là đạo  
hàm của F(p). Tóm lại:  
  
pt  
F (p)   te f(t)dt  
(6)  
0
§4. ĐỊNH NGHĨA TOÁN TỬ LAPLACE  
Toán tử Laplace, còn gọi là phép biến đổi Laplace. Nếu f(t) là một hàm gốc thì hàm  
F(p) được xác định bằng tích phân (3) là một hàm giải tích trong nửa mặt phẳng  
Rep>so. Ta gọi nó là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace của f(t) và kí hiệu:  
=
F(p) = L{ f(t) } hay f(t) F(p). Ta có:  
  
L
f(t)  
eptf(t)dt  
(7)  
0
Chú ý: Các điều kiện trong định nghĩa hàm gốc f(t) chỉ là điều kiện đủ để ảnh tồn  
1
tại chứ không phải là điều kiện cần. Chẳng hạn hàm  
không phải là hàm gốc  
f(t)   
t
  
1
1
vì lim . Tuy vậy tích phân  
ept dt vẫn tồn tại  
t0  
t
t
0
Không phải mọi hàm phức F(p) đều có nghịch ảnh là một hàm gốc. Chẳng hạn F(p)  
= p2 không thể là ảnh của một hàm gốc nào cả vì lim F(p)   . Điều này mâu thuẫn  
p  
với kết luận của định lí 1.  
Nếu F(p) giải tích tại thì F(p) 0 khi p   một cách bất kì chứ không phải chỉ  
trong trường hợp p   sao cho Rep  .  
Ví dụ 1: Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace (gọi tắt là ảnh) của hàm (t):  
0 khit 0  
(t)   
1 khit 0  
ept  
p
1 e(sj)t  
1 estejt  
  
L
f(t)  
F(p) ept dt    
   
   
p
p
p
p
0
0
0
0
Nếu Rep = s > 0 thì khi t  , e-st 0; khi t 0, e-st 1. Vậy:  
1
F(p) =  
(8)  
p
Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm f(t) = eat trong đó a = + j= const  
e(ap)t  
  
  
Ta có F(p) eateptdt e(ap)tdt   
a p  
0
0
0
Khi t 0 thì e(a-p)t 1. Nếu Rep>Rea (s>) thì khi t  , e(a-p)t = e(-s)t j()t  
e
0.  
Vậy:  
100  
1
(9)  
F(p)   
p a  
Ví dụ 3: Tìm ảnh của f(t) = t.  
1   
tept  
p
1   
ept  
p2  
  
F(p) teptdt    
tdept   
teptdt   
p
p
0
0
0
0
0
Khi t 0 thì e-pt 1. Khi t  , e-pt 0. Vậy:  
1
F(p)   
p2  
Ví dụ 4: Tìm ảnh của f(t) = tn.  
1   
tnept  
p
1   
  
F(p) tneptdt    
tndept   
tn1eptdt  
p
p
0
0
0
0
Sau n lần tích phân phân đoạn ta có:  
n!  
F(p)   
pn1  
§5. CÁ C TÍ NH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE  
1. Tính chất tuyến tính của toán tử: Giả sử f(t) và g(t) là hai hàm gốc. A và B là hai  
=
=
hằng số thực hay phức. Nếu  
thì:  
f(t) F(p), g(t) G(p)  
=
(10)  
Af(t) + B g(t) F(p) + G(p)  
Thật vậy theo định nghĩa:  
  
L  
Af (t) Bg(t)  
ept  
Af(t) Bg(t) dt  
0
Do tính chất tuyến tính của tích phân ta có:  
  
  
  
ept  
Af(t) Bg(t)  
dt A ept f(t)dt B ept g(t)dt  
0
0
0
Nhưng theo giả thiết :  
  
eptf(t)dt F(p)  
0
  
ept g(t)dt G(p)  
0
Thay vào trên ta có:  
L
Af (t) Bg(t) AF(p) BG(p)  
Ví dụ 1:Tìm ảnh của f(t) = sinat và cosat  
Theo công thức Euler ta có:  
ejat ejat  
1
1
sinat   
ejat ejat  
2j  
2j  
2j  
Nhưng theo (9):  
101  
1
1
jat  
ejat  
;
e
=
p ja  
p ja  
Sử dụng tính chất tuyến tính ta được:  
1 1  
1   
a
sinat   
(11)  
(12)  
p2 a2  
2j p ja p ja  
1 1  
1   
a
L  
sin at  
2j p ja p ja  
p2 a2  
ejat ejat  
1
1
Tương tự cosat   
ejat ejat  
2
2
2
1 1  
1   
p
cosat   
2 p ja p ja  
p2 a2  
Ví dụ 2: Tìm ảnh của ch(at) và sh(at)  
eat eat  
1
1
chat   
shat   
chat   
eat eat  
2
2
2
eateat  
1
1
eat eat  
2
2
2
1 1  
1   
p
(13)  
(14)  
2 p a p a  
p2 a2  
1 1  
1   
a
shat   
2 p a p a  
p2 a2  
Ví dụ 3: Tìm ảnh của sin(t + ) và cos(t + )  
Ta có sin(t + ) = sintcos+ sincost. Do tính chất tuyến tính:  
p
psin   cos  
sin(t  ) sin   
cos  
p2  2  
p2  2  
p2  2  
pcos  sin   
Tương tự:  
cos(t  ) s   
p2  2  
Ví dụ 4: Tìm ảnh của sin3t  
1
Ta có: sin3 t   
3sin t sin 3t  
4
1 3  
3 3 1  
1   
Vậy: sin3 t   
4 p2 1 p2 9  
4 p2 1 p2 9  
   
2. Tính chất đẳng cấp: Nếu L{ f(t) } = F(p) thì L{ af(t) } = aF(p)  
3. Tính chất đồng dạng: Giả sử là một hằng số dương bất kì. Nếu f(t) F(p) thì  
1
p
   
f(t) F  
(15)  
   
   
102  
Chứng minh: Theo định nghĩa ta có:  
  
f(t) eptf(t)dt  
0
1
Trong tích phân vế phải, đổi biến t = t1, dt dt1 ta được:  
t
  
1   
1
1
eptf(t)dt   
ep f(t1 )dt1 F(p)  
0
0
4. Tính chất chuyển dịch ảnh: Cho a là một số phức bất kì. Nếu L{ f(t) } = F(p) thì  
eatf(t) F(p - a)  
(16)  
Chứng minh: Theo định nghĩa ta có:  
  
  
eatf(t) eateptf(t)dt e(pa)tf(t)dt F(p a)  
0
0
Ví dụ 1: Tìm ảnh của eatsint và eatcost  
p
Ta có  
và  
sin t   
cost   
p2  2  
p2  2  
eat sin t   
eat cost   
Nên:  
(p a)2  2  
p a  
(p a)2  2  
Ví dụ 2: Giả sử f(t) F(p). Tìm ảnh của f(t)sint  
ejt ejt  
Ta có: f(t)sint f(t)  
2j  
Do công thức dịch chuyển ảnh:  
f(t)ejt F(p - j)  
f(t)e-jt F(p + j)  
Theo tính chất tuyến tính ta có:  
1
f(t)sint   
[ F(p - j) + F(p + j) ]  
2j  
5. Tính chất trễ:  
a. Trường hợp là một hằng số dương: Nếu f(t) F(p) thì:  
(t - )f(t - ) e-pF(p)  
(17)  
Trước hết ta thấy rằng nếu (t)f(t) có đồ thị là đường cong C thì đồ thị của (t-)f(t-)  
có được bằng cách dịch chuyển đường cong C sang một đoạn theo trục hoành. Nếu t  
và là các đại lượng chỉ thời gian thì quá trình biếu diễn bởi hàm (t-)f(t - ) xảy ra  
giống quá trình biếu diễn bởi hàm (t)f(t) nhưng chậm hơn một khoảng thời gian   
103  
(t)f(t)  
(t-)f(t-)  
t
O
t
O
Chứng minh: Theo định nghĩa ta có:  
  
(t  )f(t  ) ept (t  )f(t  )dt  
0
0 khi t    
Vì : (t  )   
1 khi t    
  
nên: (t  )f(t  ) eptf(t  )dt  
0
Trong tích phân bên vế phải, đổi biến t1 = t - ta được:  
  
  
  
pt  
eptf(t  )dt ep(t )f(t1 )dt1 ep  
p  
1
1
e f(t )dt e F(p)  
1
1
0
0
0
1
Ví dụ: ta biết hàm f(t) = e2t có ảnh là  
. Tìm ảnh của hàm f(t - 1) = e2(t - 1)  
F(p)   
p 2  
Theo (17) ta có:  
ep  
f(t 1) e2(t1)  
p 2  
b. Biểu diễn một hàm xung qua hàm (t):Ta gọi một hàm xung là hàm có  
dạng:  
0
khi t a  
f(t)  (t) khi a t b  
0
khi t b  
Ta có thể viết:  
f(t) = (t - a)(t) - (t - b)(t)  
Ví dụ 1: Tìm ảnh của hàm (t -)  
(18)  
(19)  
1
Vì  
nên theo tính chất trễ thì:  
(t)   
p
1
(t  ) ep  
p
Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm xung đơn vị  
0
khi t a  
khi a t b  
khi t b  
f(t) 1  
0
Theo (18) thì: f(t) = (t - a) - (t - b)  
Theo (19) thì:  
104  
1
1 1  
pa  
f(t) epa epb e epb  
(20)  
p
p p  
Ví dụ 3: Tìm ảnh của hàm:  
0
khi t 0  
f(t) sin t khi 0 t    
0
khi t    
Theo (18) ta có thể viết:  
f(t) = (t)sint - (t - )sint  
Vì  
sint = sin(- t) = -sin(t - ) nên:  
f(t) = (t)sint + (t - )sin(- t)  
Theo tính chất trễ ta có:  
(t  )sin(t  ) ep  
1
p2 1  
Kết quả  
f(t)   
1
1
1
p  
ep  
1e  
p2 1 p2 1  
p2 1  
Ví dụ 4: Tìm ảnh của hàm bậc thang sau:  
0
2
khi t 0  
khi 0 t 1  
khi 1 t 2  
khi 2 t 3  
khi t 3  
f(t) 4  
1
0
2
Đặt:  
0
khi t 0  
khi 0 t 1  
khi t 1  
t
O
h (t) 1  
3
1
0
0
khi t 1  
khi 1 t 2  
khi t 2  
h (t) 1  
2
0
0
khi t 2  
khi 2 t 3  
khi t 3  
h (t) 1  
3
0
Như vậy:  
f(t) = 2h1(t) + 4h2(t) + h3(t)  
Vì theo (20):  
1
1
1
p
p  
p  
2p  
2p  
h1 (t) 1e  
h2 (t) e e  
h3 (t)   
e3p  
;
;
e
p
p
1
1
p  
p  
2p  
p  
2p  
f(t) 2 2e 4e 4e e2p e3p  
2 2e 3e e3p  
nên:  
p
p
Ví dụ 5: Tìm ảnh của hàm f(t) như hình vẽ  
105  
Hàm f(t) được coi là tổng của hai hàm xung h1(t) và  
h2(t):  
0
t
khi t 0  
1
h (t)   
khi 0 t h  
khi t h  
1
h
0
t
h
O
0
khi t h  
khi t h  
h2 (t)   
1
Theo (18) ta có:  
t
t
h1 (t)  (t)  (t h)  
h
h
h2 (t)  (t h)  
t
t
t
t h  
h
f(t)  (t).  (t h).  (t h)  (t)  (t h).  
h
h
h
Vậy:  
1
h
(t).t  (t h).(t h)  
Theo tính chất trễ ta có:  
1 1  
1   
1
hp2  
f(t)   
ehp  
1ehp  
2
p2  
h p  
§6. ẢNH CỦA MỘT HÀM TUẦN HOÀN  
Nếu f(t) là một hàm gốc, tuần hoàn với chu kì T, nghĩa là f(t) = f(t + T) t > 0  
thì ảnh của nó được tính theo công thức:  
(p)  
F(p)   
(21)  
1epT  
T
Trong đó: (p) eptf(t)dt là ảnh của hàm:  
0
0
khi t 2  
(t) f(t) khi 0 t T  
0
khi t T  
Chứng minh: Theo định nghĩa ta có:  
  
T
  
F(p) eptf(t)dt eptf(t)dt eptf(t)dt  
0
0
T
Trong tích phân thứ ở vế phải, đổi biến t = u + T ta có:  
  
  
  
eptf(t)dt ep(uT)f(u T)du epT epu f(u T)du  
T
0
0
Do tính chất tuần hoàn f(u + T) = f(u), nên:  
  
  
eptf(t)dt epT epuf(u)du epT .F(p)  
T
0
Thay vào trên ta được:  
106  
F(p) = (p) + e-pTF(p)  
Từ đó rút ra:  
(p)  
F(p)   
1epT  
Ví dụ 1: Có một hệ thống xung như hình vẽ. Tìm ảnh của hàm đó:  
1
t
O
T
Ta có:  
ept  
1
  
(p) ept f(t)dt ept dt   
1e  
p  
p  
p
0
0
0
1 1ept  
Vậy: F(p)   
p 1epT  
Ví dụ 2: Cho một hệ thống các xung hình sin như hình vẽ. Tìm ảnh  
t
O
Ta thấy rằng hàm f(t) = | sint | tuần hoàn với chu kì T = . Trong ví dụ 3 ở §5 ta đã  
biết:  
1
p  
(p)   
1e  
p2 1  
p  
1
1e  
1
p  
2
Vậy: F(p)   
coth  
p  
2
p 1 1e  
p2 1  
§7. ĐẠO HÀM GỐC  
1. Đạo hàm cấp 1: Giả sử f(t) là hàm gốc, có đạo hàm f’(t) cũng là hàm gốc. Nếu  
f(t)F(p) thì:  
f’(t) pF(p) - f(0)  
(22)  
Chứng minh: Theo định nghĩa:  
  
pt  
f (t) e f (t)dt  
0
Trong tích phân bên vế phải, dùng phương pháp tích phân từng phần, đặt u = e-pt ta có  
du = -p.e-pt, dv = f’(t)dt nên v= f(t). Thay vào ta có:  
107  
  
  
  
  
pt  
pt  
p eptf(t)dt f(t)ept pF(p)  
e f (t)dt f(t)e  
o
o
0
0
s t  
(s  
o
nên nếu Rep = s > s thì | f(t)e-pt | M s)t 0 khi t .Vậy:  
o
Do | f(t) | M  
e
e
o
  
f(t)ept  f(0)  
o
Thay vào trên ta có:  
  
pt  
e f (t)dt pF(p) f(0)  
0
2. Đạo hàm cấp cao: Nếu f(t) có đạo hàm tới cấp n và các đạo hàm này đều là hàm  
gốc thì bằng cách áp dụng liên tiếp (22) ta có:  
f(n)(t) = pnF(p) - pn-1f(0) - pn-2f’(0) - - f(n-1)(0)  
(23)  
3. Hệ quả: Nếu f(t) là hàm gốc và pF(p) giải tích tại thì:  
lim pF(p) f(0)  
(24)  
p  
§8. TÍ CH PH N GỐC  
t
Nếu f(t) F(p) thì f(t)dt là một hàm gốc và  
0
t
F(p)  
f(t)dt   
(25)  
p
0
t
Chứng minh: đặt (t) f(t)dt . Rõ ràng (0) = 0.. Hàm (t) có đạo hàm là hàm f(t)  
0
liên tục từng khúc. Bởi vì:  
t
t
t
M
so  
s t  
es t M1es t  
o
o
o
(t) f(t) dt Me dt   
0
0
0
nên (t) là một hàm gốc cùng chỉ số tăng với f(t). Gọi (p) là ảnh của nó. Ta phải tìm  
(p). Vì ’(t) = f(t) nên theo công thức đạo hàm gốc ta có:  
f(t) p(p) - (0)  
Vậy F(p) = p(p) hay  
F(p)  
(p)   
p
§9. ĐẠO HÀM ẢNH  
Nếu f(t) F(p) thì:  
108  
pdf 11 trang myanh 23920 Free
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 6: Phép biến đổi Laplace (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_chuyen_nganh_dien_chuong_6_phep_bien_doi_lapl.pdf