Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng

Toán kỹ thuật

I. Giải tích Fourier

II. Phép biến đổi Laplace

III.Hàm phức và ứng dụng

Hàm phức và ứng dụng

1. Hàm giải tích

2. Tích phân phức

3. Chuỗi hàm phức

4. Lý thuyết thặng dư

5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

6. Phép biến đổi bảo giác

2. Tích phân phức

a. Tích phân đường phức

b. Công thức tích phân Cauchy

c. Công thức tích phân Poisson

2. Tích phân phức

Tích phân phức

Ví dụ:

2 j

1

2

zdz  z² 2  j







2

0

Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được

nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải:

- Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y.

- Dùng các định lý.

2. Tích phân phức

a. Tích phân đường phức

Định nghĩa:

n

f (z)dz  lim f z_kz

 



k



z_k0

k1

C

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

i. f (z)dz  u(x, y)  jv(x, y) (dx  jdy)





 

C

 u(x, y)dx  v(x, y)dy  j v(x, y)dx u(x, y)dy



 





C

Tích phân phức cũng mang các tính chất của tích phân thực

(xem tài liệu)

Ví dụ: Tính tích phân:

z²dz



C

với C là đoạn AD

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

Giải:

2



 



^{I }^{z dz }_^{x  y dx  2xydy  j 2xydx  x  y dy}











 



C

5

I  x²1 dx  j 2xdx  36  j24





AB



1

3

124

3

I  10y dy  j 25 y²dy  40  j







BD



1

196

3

I  I_AB I_BD 4  j

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

ii. Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì:

f (z)dz  ML; L  length(C)



C

iii. Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn

từng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong và

trên biên của D thì:





Q P

x y

Pdx  Qdy 

 dxdy







_



C

D

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

iv. Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọi

điểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từng

đoạn thì:

f (z)dz  0



C

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

v. Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường

cong C₁có thể biến dạng thành C₂mà không vượt qua bất

kỳ điểm nào mà tại đó f(z) không giải tích thì:

f (z)dz  f (z)dz

 

C₁

C₂

 ¹

Ví dụ: Tính tích phân

kỳ:

với C là một đường cong bất

dz

z

C

a. Không chứa gốc tọa độ

b. Chứa gốc tọa độ?

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

Giải:

a. Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có

 ¹

dz  0

z

C

(gốc tọa độ z₀= 0 là một điểm mà f(z) không giải tích).

b. Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu

tuyến, có thể chọn C là đường tròn z = re^iθ(0 ≤ θ ≤ 2π). Khi

dz  jre^jd

đó:

2

1

dz 

jre^jd  j d  2 j

j

  _re



z

C

0

1

dz

Kết quả này có thể mở rộng cho tích phân



z  z₀

C

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

vi. Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D

z₁

f (z)dz

thì tích phân

không phụ thuộc vào đường lấy tích



z₀

phân trong D.

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

iv. Nếu đường cong kín C bao quanh n điểm không giải tích

của f(z) thì:

 ^{f (z)dz } ^{f (z)dz } ^{f (z)dz ...} ^{f (z)dz}

C

₁

₂

_n

Trong đó γ_ilà đường cong bao quanh (duy nhất) điểm không

giải tích z_i.

1. Hàm giải tích

Một số tính chất và định lý liên quan

Ví dụ: Tính tích phân:

z

I 

dz



(z 1)(z  2 j)

C

a. C là đường cong chứa cả hai điểm 1, -2j.

b. C chỉ chứa -2j, không chứa điểm 1.

Giải:

1

dz 1

dz

I  (1 2 j)

 (4  2 j)

 I₁ I₂



3

1

z 1 5

z  2 j

C

1

17 4





a. I  (1 2 j)2 j  (4  2 j)2 j  2 j  j







3

5

15 15



1

4 2







b. I  0  (4  2 j)2 j  2 j  j







5

5 5

1. Hàm giải tích

b. Công thức tích phân Cauchy

Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm thuộc miền D, C là một

đường kín, trơn từng đoạn trong D, z₀∈ D thì:

1 f (z)

f (z₀) 

dz



2 j z  z₀

C

Nếu đạo hàm bậc n của f(z) tồn tại thì:

n!

f (z)

f ⁽ⁿ⁾(z₀) 

_n1dz

_{2 j} _

z  z

₀

C

1. Hàm giải tích

b. Công thức tích phân Cauchy

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

e^z

dz

^{1. I }

1

z²1

C

C là đường tròn bán kính 1 và có tâm là: i. z = j; ii. z = -j.

2z

2. I₂

dz



(z 1)(z  2)(z  j)

C

C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1; -2 và –j.

z⁴

3. I₃

dz

3



(z 1)

C

C là đường cong kín chứa điểm z = 1.

1. Hàm giải tích

b. Công thức tích phân Cauchy

Giải:

1. Tham khảo tài liệu

2z

dz

2z

dz

2.

I₂



^

(z  2)(z  j) z 1 (z 1)(z  j) z  2

C₁

C₂

2z

dz

^ _{(z 1)(z  2) z  j}

C₃

Trong đó C₁, C₂, C₃là 3 đường cong kín lần lượt

chứa (duy nhất một) các điểm 1; - 2 và -j.

Theo công thức tích phân Cauchy:





2

4

2 j

I₂ 2 j











3(1 j) (3)(2  j) ( j 1)( j  2)

1. Hàm giải tích

b. Công thức tích phân Cauchy

Giải:

f₁(z)

3.

I₃

dz; f₁(z)  z⁴

3



(z 1)

C

2





1 d

I₃ 2 j

f (z)   j 12z²12 j

 

1





2! dz²

z1



_z1

1. Hàm giải tích

b. Công thức tích phân Cauchy

Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong miền D và

f (z)dz  0



C

với mọi đường kín C trong D thì f(z) giải tích trong D.

Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích trong miền D, C là

một đường tròn tâm z₀bán kính r nằm trong D thì:

n!M

f ⁽ⁿ⁾(z₀) 

rⁿ

M  max f (z)

zC

1. Hàm giải tích

c. Công thức tích phân Poisson

Công thức tích phân Poisson:

2

1

R² r²

u(r,) 

₂u(R,)d

2



2 R  2Rr cos( )  r

0

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Tích phân phức