Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 12: Sóng phẳng

Lý thuyết trường điện từ

Sóng phẳng

Nội dung

1. Giới thiệu

2. Giải tích véctơ

3. Luật Coulomb & cường độ điện trường

4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

5. Năng lượng & điện thế

6. Dòng điện & vật dẫn

7. Điện môi & điện dung

8. Các phương trình Poisson & Laplace

9. Từ trường dừng

10. Lực từ & điện cảm

11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell

12. Sóng phẳng

13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng

14. Dẫn sóng & bức xạ

Sóng phẳng

2

Sóng phẳng

• Lan truyền sóng trong môi trường tự do

• Lan truyền sóng trong điện môi

• Định lý Poynting & năng lượng sóng

• Lan truyền trong vật dẫn: hiệu ứng bề mặt

• Phân cực sóng

Sóng phẳng

3

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (1)

∂E

∂t

∇×H = ε₀

∂H

∂t

∇×E = −μ₀

∇.E = 0

∇.H = 0

Sóng phẳng

4

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (2)

E = E_xa_x

E_x= E(x, y, z)cos(ωt +ϕ)

e ^jωt= cosωt + jsinωt

j(ωt+ϕ)

jϕ jωt

⎡

⎤

⎡

= Re E(x, y, z)e e

⎤

→ E_x= Re E(x, y, z)e

⎣

⎦

⎣

⎦

E_xs= E(x, y, z)e ^jϕ

E_s= E_xsa_x

jωt

⎡

⎤

E_x= Re E_xse

⎣

⎦

Sóng phẳng

5

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (3)

Ví dụ

Tìm biểu thức theo thời gian của trường véctơ

E_s=100 30^oa_x+ 20 −50^oa_y+ 40 210^oa_zV/ m

Giả sử f = 1 MHz

o

E_s=100e ^j30a_x+ 20e^{− j50}a_y+ 40e ^j210a_zV/ m

o

6

→ E (t) = 100e ^j30a + 20e^{− j50}a + 40e ^j210a e ^{j2π10 t}

)

s

(

x

y

z

6

o

6

o

6

o

=100e ^{j(2π10 t+30 )}a_x+ 20e ^{j(2π10 t−50 )}a_y+ 40e ^{j(2π10 t+210 )}a_z

→ E(t) =100cos(2π10⁶t + 30^o)a_x+

+ 20(2π10⁶t −50^o)a_y+ 40(2π10⁶t + 210^o)a_z

Sóng phẳng

6

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (3)

E_x= E(x, y, z)cos(ωt +ϕ)

∂E_x

∂t ∂t

∂

→

= E(x, y, z)cos(ωt +ϕ) = −ωE(x, y, z)sin(ωt +ϕ)

[

]

jωt

jϕ

⎡

⎤

⎡

⎤

Re jωE e = Re jω E(x, y, z)e e

{

}

xs

⎣

⎦

⎣

⎦

j(ωt+ϕ)

⎡

⎤

= Re jωE(x, y, z)e

⎣

⎦

= Re ωE(x, y, z) j cos(ωt +ϕ) + jsin(ωt +ϕ)

[

]

}

{

}

= Re ωE(x, y, z) j cos(ωt +ϕ) −sin(ωt +ϕ)

[

]

{

= −ωE(x, y, z)sin(ωt +ϕ)

∂E_x

∂t

jωt

⎡

⎤

→

= Re jωE_xse

⎣

⎦

Sóng phẳng

7

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (4)

E_x= E(x, y, z)cos(ωt +ϕ)

∂E_x

∂t

jωt

⎡

⎤

= Re jωE_xse

↔ jωE_xs

⎣

⎦

∂E

∂t

∇×H_s= jωε₀E_s

∇×E_s= − jωμ₀H_s

∇.E_s= 0

∇×H = ε₀

∂H

∂t

∇×E = −μ₀

∇.E = 0

∇.H = 0

∇.H_s= 0

Sóng phẳng

8

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (5)

∇×E = − jωμ H → ∇×∇×E = ∇× − jωμ H = − jωμ ∇×H

(

)

s

0 s

s

0 s

0

s

∇×H_s= jωε₀E_s

→ ∇×∇×E_s= ω²μ₀ε₀E_s

∇×∇×E_s= ∇(∇.E_s) −∇²E_s

→ ∇(∇.E ) = 0

∇.E_s= 0

s

→ ∇²E_s= −k₀²E_s

(hệ số sóng)

k₀= ω μ₀ε₀

∇²E_xs= −k₀²E_xs

∂²E_xs∂²E_xs∂²E_xs

→

+

= −k₀²E_xs

d²E_xs

∂x²

∂y²

∂z²

→

= −k₀²E_xs

dz²

Giả sử E_xskhông biến thiên theo x hoặc y

Sóng phẳng

9

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (6)

d²E_xs

= −k₀²E_xs

dz²

→ E_xs= E_x0e^{− jk z}

0

→ E_x(z,t) = E_x0cos(ωt − k₀z)

E_x^'(z,t) = E_x^'₀cos(ωt + k₀z)

k₀= ω μ₀ε₀

ω

c

→ k₀=

1

= 2,998.10⁸≈ 3.10⁸m/s

μ₀ε₀

E (z,t) = E cos[ω(t − z / c)]

⎧

⎪

x

x0

→

⎨

E^'(z,t) = E^'cos[ω(t + z / c)]

⎪

⎩

x

x0

Sóng phẳng

10

Lan truyền sóng trong môi trường tự do (7)

E (z,t) = E cos[ω(t − z / c)]

⎧

⎪

x

x0

⎨

E^'(z,t) = E^'cos[ω(t + z / c)]

⎪

⎩

x

x0

dE_xs

∇×E_s= − jωμ₀H_s→

= − jωμ₀H_ys

dz

E_xs= E_x0e^{− jk z}

0

ε

(− jk₀)E_x0e^{− jk}⁰^z= E_x0⁰e^{− jk}⁰^z

μ₀

1

→ H_ys= −

jωμ₀

ε₀

μ₀

→ H_y(z,t) = E_x0

cos(ωt − k₀z)

E_x

→ =

H_y

μ₀

ε₀

E_x(z,t) = E_x0cos[ω(t − z / c)]

Sóng phẳng

11

Sóng phẳng

• Lan truyền sóng trong môi trường tự do

• Lan truyền sóng trong điện môi

• Định lý Poynting & năng lượng sóng

• Lan truyền trong vật dẫn: hiệu ứng bề mặt

• Phân cực sóng

Sóng phẳng

12

Lan truyền sóng trong điện môi (1)

∇²E_s= −k²E_s

k = ω με = k₀μ_rε_r

μ₀

ε₀

μ

ε

η = , η₀=

= 377 ≈120π Ω

d²E_xs

= −k²E_xs

dz²

jk = α + jβ

E_xs= E_x0e^{− jkz}= E_x0e^−αze^{− jβ z}

→ E_x= E_x0e^−αzcos(ωt − β z)

Sóng phẳng

13

Lan truyền sóng trong điện môi (2)

ε = ε '− jε '' = ε₀(ε_r^'− jε_r^'')

k = ω με = k₀μ_rε_r

ε ''

ε '

→ k = ω μ(ε '− jε '') = ω με ' 1− j

μ = μ '− jμ '' = μ₀(μ_r^'− jμ_r^'')

1/2

2

⎛

⎞

με '

ε ''

ε '

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜

⎟

α = Re[ jk] = ω

1+

−1

+1

⎜ ⎟

⎜

⎝

⎟

2

⎠

1/2

2

⎛

⎜

⎞

⎟

με '

ε ''

⎛ ⎞

β = Im[ jk] = ω

1+

⎜ ⎟

⎜

⎝

⎟

⎠

2

ε '

⎝ ⎠

Sóng phẳng

14

Lan truyền sóng trong điện môi (3)

ω

β

E_x= E_x0e^−αzcos(ωt − β z) → v_p=

2π

βλ = 2π → λ =

β

E_x

E_x0

μ

= =η → H_ys= e^−αze^{− jβ z}

H_y

ε

η

1/2

2

α = 0

⎛

⎞

⎧

με '

ε ''

⎛ ⎞

⎜

⎟

⎪

α = Re[ jk] = ω

β = Im[ jk] = ω

1+

−1

+1

⎜ ⎟

β = ω με ' = ω με

⎜

⎝

⎟

2

ε '

⎝ ⎠

⎠

⎪

ω

β

1

c

v = =

=

→

1/2

⎨

⎪

p

2

με

μ_rε_r

⎛

⎜

⎞

⎟

με '

ε ''

⎛ ⎞

⎜ ⎟

λ₀

2π

1

⎜

⎝

⎟

2

ε '

⎝ ⎠

⎪λ =

=

⎠

ω με f με

μ_rε_r

⎪

⎩

ε '' = 0

Sóng phẳng

15

Lan truyền sóng trong điện môi (4)

E = E cos(ωt − β z)

⎧

⎪

⎨

α = 0

E_x

x

x0

→

E_x0

μ

H_y= cos(ωt − β z)

= =η

H_yε

⎪

η

⎩

Sóng phẳng

16

Lan truyền sóng trong điện môi (5)

Ví dụ

Tính hệ số suy giảm của sóng 2,5 GHz trong môi trường nước, ε’’ = 0,

ε’_r= 78, ε’’_r= 7, μ_r= 1.

1/2

2

⎛

⎜

⎞

⎟

με '

ε ''

ε '

⎝ ⎠

⎛ ⎞

α = ω

1+

−1

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎠

2

⎝

ω με ' = k₀μ_rε_r^'

k₀= ω / c

1/2

2

⎛

⎞

2π.2,5.10⁹78

7

1

⎛ ⎞

⎜

⎟

→ ≈ 4,8 cm

→α =

1+

−1 = 21 Np/ m

⎜ ⎟

3.10⁸

⎜

⎟

⎠

α

2

78

⎝ ⎠

⎝

Sóng phẳng

17

Lan truyền sóng trong điện môi (6)

J = σE

∇×H_s= jωεE_s

ε = ε '− jε ''

→ ∇×H_s= jω(ε '− jε '')E_s= ωε ''E_s+ jωε 'E_s

∇×H_s= J_s+ jωεE_s

→ ∇×H_s= (σ + jωε ')E_s= J_{σ s}+ J_ds

J = σE , J = jωε 'E

⎧

⎪

⎨

σ s

s

ds

s

→

σ

ω

ε '' =

⎪

⎩

Sóng phẳng

18

Lan truyền sóng trong điện môi (7)

J_ds= jωεE_s

J_s= (σ + jωε)E_s

θ

J_{σ s}= σE_s

1/ 2

2

⎛

⎜

⎞

με '

ε ''

ε '

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎟

α = ω

1+

−1

ε '' σ

ε ' ωε '

⎜ ⎟

⎜

⎟

⎠

2

tgθ = =

E_s

⎝

σ ε '' σ

ε '' = → =

ω ε ' ωε '

J_{σ s}

ε '' σ

J_{σ s}= σE_s, J_ds= jωε 'E_s→ = =

J_dsjε ' jωε '

Sóng phẳng

19

Lan truyền sóng trong điện môi (8)

ε ''

ChÊt ®iÖn m«i tèt: ꢀ1

ε '

σ

ω

M«i tr−êng dÉn ®iÖn: ε '' =

ε ''

σ

ωε '

→ jk = jω με ' 1− j = jω με ' 1− j

ε '

n(n −1)

n(n −1)(n − 2)

(1 + x)ⁿ=1 + nx +

x²+

x³+...

2!

3!

2

⎡

⎤

σ

1 σ

⎛

⎝

⎞

→ jk = jω με ' 1− j

+

+... = α + jβ

⎢

⎥

⎜

⎟

⎠

2ωε ' 8 ωε '

⎢

⎥

⎣

⎦

⎧

σ

σ μ

⎛

⎝

⎞

⎟

α = Re[ jk] ≈ jω με ' − j

=

⎪

⎜

2ωε ' 2 ε '

⎠

⎪

⎨

⎪

⎩

→

2

⎡

⎤

⎥

1 σ

8 ωε '

⎛

⎝

⎞

β = Im[ jk] ≈ ω με ' 1+

≈ ω με '

⎢

⎜

⎟

⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

Sóng phẳng

20

Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 12: Sóng phẳng - Nguyễn Công Phương