Bài giảng Lý thuyết trường điện từ (Bản đẹp)

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Số tiết: 45

Tài liệu tham khảo

1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006

2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995

3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

1. Vector



a 



a_x,a_y,a_z

b_x,b_y,b_z

c_x,c_y,c_z



 ia_x ja_y ka_z



b 







 ib_x jb_y kb_z



c 





 ic_x jc_y kc_z



• a.b  a b  a b_y a_zb_z

^x^x^y



k

i

j



 j



 k



•

a  b  a_xa_ya_z i



a_yb_z a_zb_y





a_zb_x a_xb_z





a_xb_y a_yb_x



b_xb_yb_z



•

a.b  a b cos



a,b





a  b  c

Phương: c 





a,b



Chiều: theo qui tắc vặn nút chai



Độ lớn: c  a b sin



a,b





 b.



a.b



   

• a 



bc





a.c



 c.





2. Toán tử nabla















 

 

,

x y z

1

3. Gradient



 j



 k

U

x

U

y

U

z

gradU  .U  i

4. Divergence

a_y



 a_x

a_z

z

diva  .a 



x

y

5. Rotary



i



j



k



 i



 j



 k

a_y

z

a











a_z

y

a

z

a_z

x

a_x

y











y

x









rota  a 



x y z

a_xa_ya_z

x













Số phức

Hàm mũ

e^z e^xiy e^x



cos y  isin y



Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i. Thực vậy, ta có

e^2ki cos2k  isin 2k  1

Suy ra

e^z2ki e^z.e^2ki e^z

Công thức Euler

e^iy= cosy +isiny

Khi đó số phức z = r e^i= r(cos +isin)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:





y  a₁y  a₂y  f (x)

(1)

Trong đó:

a₁, a₂và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

2

f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a₁, a₂ const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:





y  a₁y  a₂y  0

(2)

a₁, a₂là các hàm của biến x

Định lí 1. Nếu y₁= y₁(x) và y₂= y₂(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C₁y₁+ C₂y₂

(trong đó C₁, C₂là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.

y₁

y₂



x



Hai hàm y₁(x) và y₂(x) là độc lập tuyến tính khi

 const , ngược lại là phụ



x

thuộc tuyến tính

Định lí 2. Nếu y₁(x) và y₂(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi

phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C₁y₁+ C₂y₂(trong đó C₁, C₂là 2

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.

Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y₁(x) của phương trình vi phân từ

trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y₂(x) của

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y₁(x) bằng cách đặt y₂(x) = y₁(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:





y  a₁y  a₂y  f (x)

(3)

Trong đó:

a₁và a₂là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0

Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm

riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).

Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất

3





y  a₁y  a₂y  f₁(x)  f₂(x)

(4)

(5)

(6)

Nếu y₁(x) là nghiệm riêng của phương trình





y  a₁y  a₂y  f₁(x)

và y₂(x) là nghiệm riêng của phương trình





y  a₁y  a₂y  f₂(x)

thì y(x) = y₁(x) + y₂(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:





y  py  qy  0

(7)

(8)

p, q là các hằng số

Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

y  e^kx

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định

Suy ra

kx

2 kx





y  k e

y  ke

,

(9)

(10)

(11)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

e^kx



k² pk  q

 0



Vì e^kx 0 nên

k² pk  q  0

Nếu k thoả mãn (11) thì y = e^kxlà một nghiệm riêng của phương trình vi

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

phân (7)

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k₁

và k₂như sau

- k₁và k₂là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình

vi phân (7) là

4

y₁ e^{k x}

,

y₂ e^{k x}

1

2

(12)

(13)

(14)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì

y₁

y₂

 e^{k k} const

₂

x

1

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

y  y₁ y₂ C₁e^k¹^x C₂e^k²^x

- k₁và k₂là 2 số thực trùng nhau: k₁= k₂

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y₁ e^{k x}, y₂ xe^{k x}

1

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

y  C₁e^k¹^x C₂xe^k¹^x



C₁ C₂x



e^{k x}

1

(15)

- k₁và k₂là 2 số phức liên hợp: k₁=  + i và k₂=  - i

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

•



x

y₁ e^{i} e^xe^ix

(16)

(17)

(18)

•

y₂ e^{i} e^xe^ix



x

Theo công thức Euler ta có

e^ix cosx  isinx

e^ix cosx isinx

Suy ra

•

y₁ e^xe^ix e^x



cosx  isinx



•

y₂ e^xe^ix e^x



cosx isinx



•

Nếu y₁và y₂là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm

•

y₁ y₂

y₁

y₂

 e^xcosx

 e^xsinx

2

(19)

•

y₁ y₂

2i

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì

5

y₁

y₂

 tgx  const

(20)

(21)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

y  C₁e^xcosx  C₂e^xsinx  e^x



C₁cosx  C₂sinx



6

Chương 1

CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1. Vector cường độ điện trường

• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện

trường



(1.1)

(1.2)

F  qE

Hay:



E 

F

q



• Cđđt

E tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó

• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q



0



Qq r

(1.3)

F 

4₀r²

- ₀ 8,854.10^12F/ m - hằng số điện

-  - độ điện thẩm tương đối



-

r

- vector đơn vị chỉ phương

0

• Hệ đt điểm q₁,q₂,...,q_n



n



1



^{q r}

(1.4)

i 0i

E  E 

i

r ²

4₀

i1

i



r

- các vector đơn vị chỉ phương

0i

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:



E_l

1

r

(1.5)

^{ dl}

l

4₀

r²

l

7



1

r

(1.6)

(1.7)

E_S

^{ dS}

S

4₀

r²

S



1

r

E_V

^{ dV}

V

4₀

r²

V

1.1.2. Vector điện cảm

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử



D

dụng vector điện cảm



(1.8)

D  ₀E

1.1.3. Vector từ cảm

• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển

động hay dòng điện theo định luật Lorentz



(1.9)

F  qv B



• Từ trường do phần tử dòng điện Idl tạo ra được xác định bởi định luật thực

nghiệm BVL



₀



(1.10)

(1.11)

dB 



Idl  r



4r²

- ₀ 4.10^71,257.10^6H / m - hằng số từ

-  - độ từ thẩm tương đối

• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l



B 

₀Idl  r



4

r²

l

1.1.4. Vector cường độ từ trường

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử



H

dụng vector cường độ từ trường

8



H 

(1.12)

B

₀

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện

tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dq

dt

(1.13)

I  

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn

điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện



(1.14)

J  n₀ev  v  E

dạng vi phân của định luật Ohm

- n₀- mật độ hạt điện có điện tích e

-  - mật độ điện khối



- v - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện

-  - điện dẫn suất

• Dòng điện qua mặt S được tính theo



^{I }^{dI }^^{JdS  EdS}



(1.15)

S

• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp

U, ta có

L



(lưu ý: áp dụng c/t S = L²và R    )

S L

U

R

(1.16)

^{I }^{EdS  ES  (L)(EL)  LU }

S

dạng thông thường của định luật Ohm



Vì

E và dS cùng chiều, đặt

9

1

(1.17)

 

RL

 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích

• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng

không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng

điện.

• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện

tích giảm đi từ thể tích V đó.

• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có

(1.18)

^{Q }^dV

V

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ

dQ

dt

d

(1.19)

I  

 

dV



dt _V

Mặt khác



^{I }^^JdS

(1.20)

(1.21)

S

Suy ra





t

JdS  

dV



S

V

Theo định lý OG



^^{JdS }^^.J







t

(1.22)

(1.23)



dV  

dV

S

V

Suy ra





.J 

 0

t

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên

tục.

1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường

10

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , , 

• Các phương trình:



(1.24)

(1.25)

D  ₀E



B



H 

₀

gọi là các phương trình vật chất

• , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính

• , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

• , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường

không đẳng hướng. Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng

số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường

không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

• , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính.

Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến

 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,

không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

 < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na⁺, Cl^-có các lớp

electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO₂, H₂O,

thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các

nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ

lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.

• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách

điện hay điện môi

Chất dẫn điện:  > 10⁴1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10^-10<  < 10⁴

11

Chất cách điện:  < 10^-10,  = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0

1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell



D

• Thông lượng của vector điện cảm

qua mặt S là đại lượng vô hướng được

xác định bởi tích phân



(1.26)

^{ }^DdS

E

S



dS



D



r

d

S

q



dS : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài



dS.cos(D,dS) : hình chiếu của S lên phương D



• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của

tạo ra qua mặt kín S, ta có

D do q



(1.27)

q.dS.cos



D,dS



q

d  DdS 



d

4r²

4

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS



D

Thông lượng của

qua toàn mặt kín S là



q

(1.28)

d  q

^{ }^{DdS }



4 _

S

• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'

12

(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông



D

lượng của

qua toàn mặt kín S bằng 0.



D

A



dS

B

q

• Xét hệ điện tích điểm q₁, q₂, ..., q_nđặt trong mặt kín S, ta có

n



D 



D

(1.29)



i

i1



Thông lượng của

D do hệ q₁, q₂, ..., q_ngây ra qua toàn mặt kín S

n



(1.30)

D dS  q  Q

^{ }^{DdS }





i

i1

S



D

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng

đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q₁, q₂, ..., q_n, do đó  có thể âm

hoặc dương

• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  được

tính theo



(1.31)

^{ }^{DdS  dV  Q}



E

S

V

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-

Gauss đối với điện trường.

Nguyên lý liên tục của từ thông

• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là

dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

13



• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm

B. Thông



lượng của

B

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số



B

đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của

được tính

theo



(1.32)

^{ }^{BdS  0}

M

S

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương

trình cơ bản của trường điện từ

1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này



E

xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường

là chiều của dòng điện cảm ứng đó.

có chiều

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện

nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt

của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì

đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm

cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì

hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng

điện !).

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng

điện thì công phải khác 0, có nghĩa là



^qE^^{dl  0}

(1.33)

l

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.

Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian

cũng tạo ra một điện trường xoáy.

14

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh

trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi

qua diện tích của vòng dây

d

dt

(1.34)

e_c 

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện

cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông 



(1.35)

^{ }^BdS

S



B

là thông lượng của vector từ cảm

qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra



dS



(1.36)









d

dt

d

dB

B









e_c 

 





^{BdS }_

^{dS }_

dt _S

dt

t

S









Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e_ctheo lưu số của vector cường độ



E

điện trường



(1.37)

^{e }^Edl

c

l

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn



B

của



B



dS

S



dl

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta

có

15



dS

^E^^{dl }__

(1.38)





B







t

l

S



Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ.

Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường

cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo

thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



^E^^{dl }^^{ E}

(1.39)



dS

l

S

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)



(1.40)

B

 E  

t

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng

đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.

1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường

xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để

đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell

đưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ

trường.

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không

gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

16

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,

Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:



H

Lưu số của vector cường độ từ trường

dọc theo một đường cong kín bất

kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

n





(1.41)

I  I

^{Hdl }



i

i1

l

I_i



dS



J

S



dl

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.



J

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện thì



^H^^{dl }^^JdS

(1.42)

l

S

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường

điện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện

toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ

giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.

Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức







(1.43)

D

E P

J_d

 ₀



 J_d0 J_dP

t

t t

Trong đó:

17





J_dP

P



- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các

t

điện tích



E

J_d0 ₀

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng

t

điện dịch

Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt

kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ



E

điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên

và dòng điện biến thiên chạy

qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản

tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:



(1.44)

(1.45)

E

t



I_d0 S ₀

Theo định luật Gauss





^{q }^{ EdS   ES}

0

S





^{dS  S vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ}

S

Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1

S

+q

-q

S'



E

~

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

18



(1.46)

(1.47)

dq

d

E



₀EdS  S ₀

I 





dt dt _S

t

Suy ra

I = I_d0

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch

ngoài tụ điện.

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta

có

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương

đương dòng điện dẫn)



^H^^{dl }^JdS _t

(1.48)

(1.49)

D

dS

l

S

Hay



dS



J 

^H^^{dl }__





D

t





l

S



Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



^H^^{dl }^^{ H}

(1.50)

(1.51)



dS

l

S

Suy ra



D



 

 J  J_d

H  J 

t

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ

Nếu môi trường có điện dẫn suất  = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)



thì do J  E  0, ta có:



(1.52)

E

  H  ₀

 J_d0

t

19

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn.

1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra

điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ

trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một

trường thống nhất gọi là trường điện từ.

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các

hạt mang điện.

- Phương trình Maxwell-Faraday

Dạng tích phân



dS

^E^^{dl }__

(1.53)





B

t







l

S



Dạng vi phân



(1.54)

B

t

 E  

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến

thiên và điện trường xoáy.

- Phương trình Maxwell-Ampere

Dạng tích phân



dS



(1.55)

(1.56)

^H^^{dl }__





D

t





J 

l

S



Dạng vi phân



D

t



H  J 

20