Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 5: Không gian Euclid

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)

www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.

5.2 – Bù vuông góc của không gian con.

5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.

5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.

5.1 Tích vô hướng

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho

mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký

hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:

a.

(u,vV ) (u,v)  (v,u)

(u,v,w V) (u  v,w)  (u,w)  (v,w)

(  R,u,vV ) (u,v) (u,v)

b.

c.

d.

(uV ) (u,u)  0;(u,u)  0  u  0

Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô

hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian cho qui tắc

R₂

x  (x , x ) R ; y  (y , y ) R

1 2

2

1 2

2

(x, y)  ((x₁, x₂),(y₁, y₂))  x₁y₁ 2x₁y₂ 2x₂y₁10x₂y₂

1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.

2. Tính tích vô hướng của hai véctơ

u  (2,1),v  (1,1)

Giải.

2. Tính tích vô hướng của hai véctơ

là

u  (2,1),v  (1,1)

(u,v)  ((2,1),(1,1))

 2.1 2.2.(1)  2.1.110.1.(1)  10

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian

cho qui tắc

P [x]

2

p(x)  a₁x² b x  c₁; q(x)  a₂x² b₂x  c₂ P [x].

1

2

( p,q)  ¹p(x)q(x)dx



0

1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.

p(x)  2x²3x 1,q(x)  x 1

2. Tính tích vô hướng của

2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là

( p,q)  ¹p(x).q(x)dx

 ¹(2x²3x 1)(x 1)dx

1

6







0

5.1. Tích vô hướng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa độ dài véctơ

Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được

định nghĩa như sau

|| u || (u,u)

Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.

Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.

Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.

5.1. Tích vô hướng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz

Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau

| (u,v) ||| u ||.|| v ||

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính.

Bất đẳng thức tam giác.

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.

|| u  v ||  || u ||  || v ||

5.1. Tích vô hướng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách

giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ

u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v||

Định nghĩa góc giữa hai véctơ

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.

Góc giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa



(u,v)

cos 

|| u ||.|| v ||

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian cho qui tắc

R₃

x  (x , x , x ) R ; y  (y , y , y ) R

3

1 2 3

3

1 2 3

(x, y)  ((x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃))

 5x₁y₁ 2x₁y₂ 2x₂y₁ 3x₂y₂ x₃y₃

1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.

2. Tính tích vô hướng của hai véctơ

u  (2,1,0),v  (3,2,4)

2. (u,v)  ((2,1,0),(3,2,4))

 5.2.3 2.2.(2)  2.1.3 3.1.(2)  0.4

(u,v)  22.

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian cho qui tắc

R₃

x  (x , x , x ) R ; y  (y , y , y ) R

3

1 2 3

3

1 2 3

(x, y)  ((x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃))

 5x₁y₁ 2x₁y₂ 2x₂y₁ 3x₂y₂ x₃y₃

3. Tìm độ dài của véctơ

u  (3,2,1)

|| u || (u,u)  ((3,2,1),(3,2,1))

|| u || 5.3.3 2.3.2 2.2.33.2.2 1.1

|| u || 82

Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ

nhưng “dài” hơn!!!

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian cho qui tắc

R₃

x  (x , x , x ) R ; y  (y , y , y ) R

3

1 2 3

3

1 2 3

(x, y)  ((x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃))

 5x₁y₁ 2x₁y₂ 2x₂y₁ 3x₂y₂ x₃y₃

4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ

u  (1,2,1) vaøv  (3,0,2)

d(u,v) || u  v ||

 ((2,2,1),(2,2,1))

 (u  v,u  v)

d(u,v)  5.(2).(2)  2.(2).2  2.2.(2)  3.2.2 1.1

d(u,v)  17

Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông.

Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!!

5.1. Tích vô hướng

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian cho qui tắc

R₃

x  (x , x , x ) R ; y  (y , y , y ) R

3

1 2 3

3

1 2 3

(x, y)  ((x₁, x₂, x₃),(y₁, y₂, y₃))

 5x₁y₁ 2x₁y₂ 2x₂y₁ 3x₂y₂ x₃y₃

5. Tìm góc giữa hai véctơ

u  (1,0,1) vaøv  (2,1,0)

(u,v)

12

cos 



|| u ||.|| v ||

6. 31 186

12

 a  arccos

186

5.1. Tích vô hướng

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P₂[x], đặt

1

( p,q)  p(x)q(x)dx



1

1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.

p(x)  2x² 3x 1;q(x)  x 3

2. Tính (p,q) với

1

 (2x²3x 1)(x 3)dx

( p,q)  p(x).q(x)dx



1

 

12

5.1. Tích vô hướng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P₂[x], đặt

1

( p,q)  p(x)q(x)dx



1

p(x)  2x  3

3. Tìm độ dài của véctơ

1

|| p || (p, p)

 p(x).p(x)dx



1

1

62

3

 (2x  3)²dx 



1

5.1. Tích vô hướng

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P₂[x], đặt

1

( p,q)  p(x)q(x)dx



1

4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với

p(x)  x² x  2;q(x)  x² 2x  3

d(p,q) || p  q ||

 ( p  q, p  q)

1

 (3x 1)²dx

 (3x 1,3x 1)

 2 2



1

5.1. Tích vô hướng

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P₂[x], đặt

1

( p,q)  p(x)q(x)dx



1

p(x)  x² x;q(x)  2x  3

5. Tính góc giữa hai véctơ

(p,q)

cos 

|| p ||.|| q ||

1

p(x)q(x)dx



1



1

[p(x)]²dx [q(x)]²dx



1

5.2. Tích vô hướng

---------------------------------------------------------------------

Định nghĩa sự vuông góc

Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu

u



v

(u,v) = 0, ký hiệu

Định nghĩa

Véctơ x vuông góc với tập hợp M, nếu

(yM ) x  y

5.1. Tích vô hướng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa họ trực giao

Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ

trực giao, nếu

(x, y M ) (x  y) thì x  y.

Định nghĩa họ trực chuẩn

Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ

trực chuẩn, nếu

1. M tröïc giao.

2. (x M ) || x ||1.

5.1. Tích vô hướng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mệnh đề

Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x

vuông góc với tập sinh của F.

Chứng minh.

Hiển nhiên.

f₁, f₂,..., f_m.

Giả sử x vuông góc với tập sinh

 f  ₁f₁₂f₂..._mf_m

f  F

(x, f )

Xét tích vô hướng

 (x,₁f₁₂f₂..._mf_m)

 (x, f )  ₁(x, f₁) ₂(x, f₂) ..._m(x, f_m)

 (x, f )  0

hay x vuông góc f.

Vậy x vuông góc với F.

5.1. Tích vô hướng

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Trong không gian R₃với tích vô hướng chính tắc cho

không gian con

x₁ x₂ x₃ 0







F  (x , x , x )



1 2 3

2x  3x  x  0

1

2

3

cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuông góc với F.

{(4,-3,1)}

Bước 1. Tìm tập sinh của F

Bước 2.

x  F  x vuoâng goùc vôùi taäp sinh cuûaF.

 x  (4,3,1)  ((2,3,m),(4,3,1))  0  4.2  (3).31.m  0

chú ý tích vô hướng!!



m



1.

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid - Đặng Văn Vinh