Đề ôn tập Olympic toán sinh viên - Chủ đề: Dãy số và hàm số
Trường ĐHBK TpHCM
Bộ môn Toán ứng dụng
Đề ôn tập Olympic toán sinh viên
Chủ đề: Dãy số và hàm số
1. Chứng minh định lý Teplisa: Cho
a) Pnk > 0;
n
P
b)
Pnk = 1;
k=1
c) lim Pnk = 0, với mọi giá trị k cố định;
n→+∞
d) lim xn = a.
n→+∞
n
P
Khi đó dãy tn =
Pnkxk hội tụ và lim tn = a.
n→+∞
k=1
2. Áp dụng định lý Teplisa, chứng minh các khẳng định sau:
x1 + x2 + . . . + xn
a) Nếu dãy {xn} hội tụ, thì dãy trung bình cộng của nó ξn =
cũng hội tụ và lim ξn = lim xn.
n
n→+∞
n→+∞
b) Nếu dãy {yn} hội tụ và yn > 0, ∀n ∈ N, thì dãy trung bình điều hòa của nó
n
γn =
cũng hội tụ và lim γn = lim yn.
1
y1
1
y2
1
yn
n→+∞
n→+∞
+
+ . . . +
c) Nếu lim yn = +∞ thì lim γn = +∞ và lim ξn = +∞, trong đó {γn}
n→+∞
n→+∞
n→+∞
là dãy trung bình điều hòa, còn {ξn} là dãy trung bình cộng của các số
y1, y2, . . . , yn.
√
n
d) Nếu dãy {xn} hội tụ và xn > 0, ∀n ∈ N, thì lim
x1x2 . . . xn = lim xn.
n→+∞
xn
n→+∞
√
n
e) Nếu xn > 0, ∀n ∈ N, thì lim
xn = lim
n→+∞
n→+∞
x
n−1
n
√
f) Tính lim
n n!
n→+∞
3. Chứng minh định lý O.Stolz: Nếu
a) yn+1 > yn, ∀n > n0;
b) lim yn = +∞;
n→+∞
xn − xn−1
c) tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng) lim
n→+∞
yn − yn−1
xn
xn − xn−1
yn − yn−1
thì khi đó lim
n→+∞ yn
= lim
n→+∞
4. Áp dụng định lý O.Stolz, tính các giới hạn sau:
1p + 2p + . . . + np
a) lim
, p ∈ N.
np+1
n→+∞
ꢀ
ꢁ
1p + 2p + . . . + np
n
b) lim
−
, p ∈ N.
np+1
p + 1
n→+∞
1p + 3p + . . . + (2n + 1)p
c) lim
, p ∈ N.
np+1
n→+∞
1
1
1
5. Cho dãy xn = 1 + + + . . . + − ln n.
2
3
n
a) Chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ.
ꢀ
ꢁ
1
1
1
b) Tính lim
+
+ . . . +
n→+∞
n + 1 n + 2
2n
6. Cho x0 cố định, với mọi x ∈ (x0, x0 + 1), luôn thỏa những điều kiện sau:
a) Pnk(x) > 0, k = 1, n;
n
P
b)
Pnk(x) ≡ 1, k = 1, n;
k=1
c) lim Pnk(x) = 0, với k cố định;
n→+∞
d) lim un(x) = A.
n→+∞
n
P
Chứng minh rằng, lim
Pnk(x)uk(x) = A.
n→+∞
k=1
7. Áp dụng định lý 6, chứng minh định lý Cauchy: nếu hàm số f : (a, +∞) → R bị
chặn trên mỗi khoảng hữu hạn (a, b), thì
ꢂ
ꢃ
f(x)
a) lim
= lim f(x + 1) − f(x)
x→+∞
x→+∞
x
1
ꢂ
ꢃ
f(x + 1)
x
b) lim f(x) = lim
, f(x) > c > 0, với giả thiết rằng giới hạn
x→+∞
x→+∞
bên vế phải tồn tại.
f(x)
ꢂ
ꢃ
c) Nếu lim f(x + 1) − f(x) = +∞ và f bị chặn dưới trên mỗi khoảng hữu
x→+∞
f(x)
hạn (a, b) thì lim
= +∞.
x→+∞
x
1
x
ꢀ ꢁ
1
x
ꢂ
ꢃ
1
d) Tính lim ln x và lim
x→+∞
x→+∞
x
e) Chứng minh rằng nếu 1) hàm số f xác định trên miền x > a; 2)bị chặn trên
f(x + 1) − f(x)
mỗi khoảng a < x < b; 3) tồn tại giới hạn lim
= A (hữu
xm
x→+∞
f(x)
A
hạn hoặc vô cùng) thì lim
x→+∞ xm+1
=
m + 1
2
2 trang
23860
Free
Bạn đang xem tài liệu "Đề ôn tập Olympic toán sinh viên - Chủ đề: Dãy số và hàm số", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_on_tap_olympic_toan_sinh_vien_chu_de_day_so_va_ham_so.pdf
