Bài giảng Cơ học lượng tử (Mới)

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC

(TK)

II. HÀM SÓNG

III. TOÁN TỬ (OPERATOR)

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

V. HẠT TRONG HỐ THẾ

VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

II. HÀM SÓNG (Wave fuction)

1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách

⎯⎯→



r = OM

nguồn O một đoạn :



2.r

T.v

(r, t) = Asin( t − ) = Asin( t − k.r)



Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương

k



2



truyền sóng:

k = n

Hàm sóng ở dạng phức:

vì

Ae^−i= A{cos +isin }





(r,t) = A{cos(t − kr) +isin( t − kr)}





(r,t) = Aexp[−i(t − kr)]

1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

I  A²= A.e^−i.Ae^i= * =  ²

Theo thuyết sóng ánh sáng:

Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m²



p(r,t) =  ²= .* = A.e^−i.Ae^i= A²

trong 1 s gọi là mật độ hạt:

Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động



nhanh có bình phương của biên độ:

(r,t) = *= A²

2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất



kỳ mà hạt cư trú là 1.0.

^{(r,t).*(r,t)dV =1}

V

3. Điều kiện của hàm sóng:

1- Giới nội.

2- Đơn trị.

3- Liên tục.

4- Đạo hàm bậc nhất của

hàm sóng phải liên tục.

4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển

c

động tự do có năng lượng

E = h = h



P = mv

và xung lượng

2c 2 hc E

Tính tần số góc:

 = 2 =

= . = .

 h  



2 2 h P

Còn véctơ sóng:

k = n =

n =

h  



Hàm sóng viết dưới dạng:



(r, t) = Aexp[−i(t − k.r)]



i

= Aexp(− )[Et − Pr]



Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm

Vận tốc Pha:

Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi:

 = Et − Px = E(t + dt) − P(x + dx) = const

suy ra :

hay:

Edt = Pdx

dx E m.c²c²

u = = =

=

dt P m.v v

Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng →

Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng.

Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động

của toàn bộ bó sóng.

Vận tốc nhóm của bó sóng bằng

vận tốc của hạt chuyển động.

E c²P c²mv

u = =

=

= v



mc ²





P E

(r,t) = Aexp[−i(t − kr)]

III. TOÁN TỬ (OPERATOR)

1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó

ˆ

thành một hàm khác:

Af(x, y,z, t) = g(x, y,z,t)

f(x, y,z) = 2x + y²z

2

ˆ

Ví dụ :

A(2x + y z) = 4xt

2. Một số toán tử thông dụng

d

A-Toán tử đạo hàm:

Ví dụ:

d

ˆ

2

A =

ˆ

A(2x + y z) = (2x + y z) = 2

dx





Grad =  = e₁+ e₂+ e₃

B-Toán tử grad:

x y z



  

grad(2x + y²z) = (2x + y²z) = 2e₁+2yze₂+ y²e₃

Ví dụ :

²

C-Toán tử Laplace:

ˆ

A =  =

+

x²y²z²

Ví dụ :

²(2x + y²z) ²(2x + y²z) ²(2x + y²z)

2

ˆ

A(2x + y z) =

+

x²

y²

z²

2

ˆ

A(2x + y z) = 2z

A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ

d

ˆ

1. PHÉP CỘNG:

Ví dụ :

ˆ

A = ; B = x

A+B = C

f(x, y,z) = 2x + y²z

dx

d

2

ˆ

C(2x + y z) = ( + x)f(x, y,z) = 2 + 2x + xy z

dx

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

2. PHÉP TRỪ

A − B = D

B− A = E = −D

2

ˆ

Ví dụ:

D(2x + y z) = 2 − 2x − xy z

ˆ

(A.B)f = A(Bf )

3. PHÉP NHÂN

d

2

ˆ

Ví dụ :

(A.B)f = {x(2x + y z)} = 4x + y z

dx

ˆ

(B.A)f = B(Af)

d

2

ˆ

(B.A)f  (A.B)f

(BA)f = x{ (2x + y z)} = 2x

dx

B. GIAO HOÁN TỬ

d

ˆ

ˆ ˆ

1. Định nghĩa:

Ví dụ :

A = ; B =

A.B = B.A

dx

dy

f(x, y,z) = 2x + y²z

d d

d

2

ˆ

A.B(2x + y z) = { (2x + y z)} = (2yz) = 0

dx dy

d d

dx

d

2

ˆ

B.A(2x + y z) = { (2x + y z)} = (2) = 0

dy dx

dy

2. Các toán tử giao hoán được

²²

xy yx

d²d²d²

; ;

dx²dy²dz²

d d d

ˆ ˆ ˆ

x, y, z

; ;

;

dx dy dz

3. Các toán tử không giao hoán được

²²

; ...

xy yz

d

x;

y; z;

dx dy dz

ˆ

2. Tổ hợp toán tử giao hoán được

(A + B)(C + D)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

Khi mà

AC = CAAD = DA

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

BC = CBBD = DB

Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ?





x



y



z

Grad =  = e₁+ e₂+ e₃

²

ˆ

A =  =

+

x²y²z²

   

ˆ

r = xe + ye₂+ ze₃

¹



ˆ

Grad +  + r

C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR)

1. Định nghĩa: cho các hàm f₁f₂…f_nvà các hằng số c₁

c₂…c_nA là TT tuyến tính

ˆ

A{ c .f }= c[A.f ]

 

i i

i

Các TT tuyến tính

d d d d²d²d²

x; ;y; ;z; ; ; ;

dx dy dz dx²dy²dz²

Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ?





x



y



z

Grad =  = e₁+ e₂+ e₃

²

ˆ

A =  =

+

x²y²z²

   

ˆ

r = xe + ye₂+ ze₃

¹



ˆ

Lagrange

Grad +  + r

D. HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

ˆ

Af(x) = f(x)

1. Định nghĩa:

Ví dụ : Ta có

d

tìm hàm riêng trị riêng

ˆ

a = −

dx

df(x)

ˆ

2. Dùng định nghĩa

3. Chuyển vế:

af(x) = −

= f(x)

dx

df (x)

f(x)

= −dx

df (x)

4. Lấy tích phân

5. Biến đổi

= −dx → ln f(x) + c(ln c₁) = −.x

 

f(x)

→ ln c₁f(x) = −.x → c₁f(x) = e^−x

f(x) = c₂e^−x

6. Kết luận: Có nhiều trị riêng  khác nhau→

có nhiều hàm riêng khác nhau

E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE

f₁(x), f₂(x)

1. Định nghĩa:Ta có

là các hàm bất kỳ



1



1

ˆ

^{f (x)Af (x)dx =}^{f (x)[A ].f (x)dx}

Â là TT Hermitte:

2



d

ˆ

A = −i

2. Ví dụ Xét toán tử

dx

Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần:

d

− i f₁^(x) f₂(x)dx = −i[f₁^f₂− ( f₂f₁^dx)]



dx

d

f₂(x)[i ].f₁^(x)dx = i f₂(x) f₁^(x)dx

Vế phải:



dx

So sánh:

f₁(x).f₂(x) = 0

Để Â là Hermitte thì ta có:

Kết luận: các hàm f_i(x) khi nhân lẫn nhau bằng không

Gọi là trực giao

Tính chất TT hermitte

1. Nó có trị riêng là các giá trị thực.

2. Các hàm riêng là trực giao:

1khi L = K

0 khi L  K









f_L(x).f_K(x) = (L − K) =





3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất

kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực

giao

n

U(x) = C f (x)



k k

k=1

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Các tiên đề trong Cơ lượng tử

1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT

Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số

thực bằng chính giá trị của đại lượng a.

Ví dụ là toán tử năng lượng có trị riêng là E

H

2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các

đại lượng cổ điển tương ứng



ˆ

ˆ ˆ ˆ

x, y, z, r

^{Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân} 



TT mômen xung lượng

L = [rx.P]

Hai TT giao hoán thì chúng có cùng hàm riêng và không

tuân theo nguyên lý bất định.

Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử

1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân



ˆ

ˆ ˆ ˆ

x, y, z, r

2. Các toán tử xung lượng



x



y



z

ˆ

P_x= −i

P_y= −i

P_z= −i

3. toán tử xung lượng tòan phần





x



y



z

ˆ

P = −i = −i[e₁. + e₂. + e₃. ]

P²

E = + U(x, y,z)

2m

4. toán tử năng lượng:

2

ˆ

P

²²

²

= − ( +

+ )

x²y²z²

2m 2m

ˆ

U(x, y,z) = U(x, y, x)

toán tử thế năng

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Ý nghĩa

1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng.

ˆ

H(x, y,z,t) = E(x, y,z, t)

Nếu năng lượng là không đổi



iEt

(r, t) = Aexp(− )(r) = Aexp(− )(x, y,z)



2. PT Schodinger không phụ thuộc t



ˆ

H(r) = H(x, y,z) = E(x, y,z)

²

[−  + U(x, y,z)](x, y,z) = E.(x, y,z)

2m

Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng

- Hàm riêng mô tả trạng thái

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

MỤC ĐÍCH KHI GIẢI

1. TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng

và xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa)

2. TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìm

thấy hạt (đám mây điện tử). Xác định hàm mật độ xác suất

CÁC LƯU Ý KHI GIẢI

1. BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó là

một phép nhân. Nếu đơn giản thì U=0

2. CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D. Đơn giản là

một chiều khi đó

²

²d²

−  =

2m 2m dx²

3. Có khi phải tách không gian làm nhiều vùng khác

nhau để tìm hàm sóng cho từng vùng.

V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG

Bên trong hố 0  x  a thì U = 0

U=0

Bên ngòai hố 0 > x và x > a thì U→ vô hạn

Bên ngòai U lớn nên hạt không thể nhảy ra

a

0

→ hạt chỉ tồn tại bên trong → Phương trình S

²²²²

− ( + + )(x, y,z) +0 = E(x, y,z)

2m x²y²z²

→ Xét chuyển động theo 1 phương x nên:

²(x) 2m

2mE

= − E(x) = −k²(x)

k =

x²

²



→ Nghiệm là:

(x) = Asin kx

Asin ka

=

0

=

sin n



Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không

n²²

2E_nm

n

a

k_n= → k²_n=

=

ka = n

Kết quả:

a²

²

²k²_nn²²²

=

E_n=

n =1,2,3...

2m 2ma ²

Kết luận về mức năng lượng:

1- Năng lượng bị lượng tử hóa

2- Năng lượng tỉ lệ với bình

phương các số nguyên

3- E₁là mức thấp nhất (Ground state)

4- Từ E₂lên trên là mức kích thích

(excited state)

5- Khỏang cách các mức không đều

²²

2ma ²

E = E_n+1− E_n= [(n +1)²− n²] =

(2n +1)

2ma ²

(x) = Asin kx → A = ?

Kết quả:

Theo sự chuẩn hóa hàm sóng :

a

1

2

a

A ²sin ²(kx)dx = A ²a =1→ A =



2

0

Kết luận về các hàm sóng bậc n:

2

2 nx

_n(x) = sin( k_nx) = sin( )

a

1- Ta chứng minh các hàm sóng là trực giao.

2 ^a

 ^_m/_n= sin( k_mx)sin( k_nx)dx = 0(m  n)

_a

0

2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức năng lượng thứ n

U(x)

n=2

n=3

n=1

x

a

x

a