Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phần tử cs-mitc3+
PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGM)
CHỊU TẢI TRỌNG CƠ NHIỆT BẰNG PHẦN TỬ CS-MITC3+
ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS (FGM)
PLATES UNDER MECHANICAL TEMPERATURE LOADINGS
USING CS-MITC3+ ELEMENTS
La Tuấn Minh.
Học viên cao học trường ĐHSPKT TPHCM.
TÓM TẮT
Trong luận văn thạc sĩ này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên miền phần tử (CS-
FEM) được phát triển cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích ứng xử của kết cấu tấm vật
liệu phân lớp chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Kết cấu được mô phỏng
bằng các phần tử tam giác ba nút với bảy bậc tự do cho mỗi nút. Trong phần tử đề xuất
CS-MITC3+, biến dạng màng và uốn của ma trận độ cứng được tính toán bởi kỹ thuật trơn
hóa trên miền trơn dựa trên miền con của phần tử được định nghĩa bằng cách nối 2 nút
đỉnh với nút nổi (buble node) của phần tử. Để giải quyết hiện tượng khóa cắt “shear
locking” khi tấm có chiều dày mỏng dần, kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ (mixed
interpolation tensorial components) MITC3+ được sử dụng để xấp xỉ lại biến dạng cắt
ngoài mặt phẳng.
Từ khóa: FGM; phần tử CS-MITC3+; lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.
ABSTRACT
In this thesis, the cell-based smoothed finite element method (CS-FEM) has been
developed for the MITC3+ elements to analyze static behaviors of functionally graded
materials (FGM) plates based on the high order shear deformation theory (HSDT). The
plates are modeled by 3-node triangular elements with seven degrees of freedom for each
node. In the proposed element CS-MITC3+, the membrane and bending strains of the
element stiffness matrix are smoothed on smoothing domains which are the subtriangular
domains defined by connecting the element nodes with the bubble node. To remove the
shear-locking phenomenon which occurs when the plate thickness becomes thin, the mixed
interpolation tensorial components (MITC3+) technique is employed to independently
interpolate the transverse shear strains.
Keywords: FGM; element CS-MITC3+; the high order shear deformation theory.
nhiên liệu hay ít ảnh hưởng đến móng
công trình đòi hỏi phải có tìm ra những
loại vật liệu mới thay thế các vật liệu
truyền thống. Những loại vật liệu mới
này cần có các đặc tính cơ học bền hơn,
dẻo dai hơn và nhẹ hơn. Trong đó, vật
liệu composite nhiều lớp là một trong
những loại vật liệu đáp ứng tốt các yêu
1. GIỚI THIỆU.
Phát triển bền vững, ít ảnh hướng
đến môi trường và các nguồn nguyên liệu
hóa thạch đang là thách thức trong nhiều
ngành công nghiệp chế tạo nói chung và
lĩnh vực xây dựng nói riêng. Các kết cấu
có khả năng chịu lực tốt, bền nhẹ và đáp
ứng nhu cầu sử dụng nhưng ít tiêu hao
1
cầu trên. Tuy nhiên, do được cấu tạo từ
những lớp vật liệu composite có hướng
sợi khác nhau, tức là các đặc trưng vật
liệu trong từng lớp khác nhau, vật liệu
composite nhiều lớp thường bị phá hoại
do sự tập trung ứng suất tại mặt tiếp xúc
giữa các lớp, dẫn tới giảm tuổi thọ hay
phá hoại do bong tách giữa các lớp. Để
khắc phục những nhược điểm này, khái
niệm vật liệu phân lớp chức năng
(Functionally Graded Materials - FGM)
[1] lần đầu tiên được các nhà khoa học
Nhật Bản đề xuất năm 1984 trong một dự
án nghiên cứu tàu không gian. Vật liệu
FGM là một vật liệu kết hợp giữa hai vật
liệu khác nhau là gốm ở mặt trên, kim
loại ở mặt dưới và có các đặc tính vật liệu
biến thiên liên tục theo phương chiều
dày. Nhờ sự thay đổi liên tục các đặc tính
vật liệu theo một phương nên vật liệu
FGM tránh được sự tập trung ứng suất.
Vật liệu FGM kết hợp ưu điểm cách
nhiệt, chống hao mòn tốt của gốm với
tính bền, dẻo, chống mỏi của kim loại.
Chính vì sự kết hợp những đặc tính ưu
việt này, vật liệu FGM ngày càng được
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Việc tính toán các kết cấu tấm hay
định ứng suất cắt ngoài mặt phẳng bất
biến nên cần những hệ số điều chỉnh để
thỏa mãn các điều kiện biên tự do tại bề
mặt trên và dưới của tấm. Do đó, việc cải
thiện lý thuyết FSDT là cần thiết. Từ đó,
lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao
(HSDT) được hình thành và phát triển.
Theo các lý thuyết này, yếu tố điều chỉnh
biến dạng cắt ngoài mặt phẳng có thể bỏ
qua nhưng vẫn cho ra kết quả tính toán
ứng suất cắt ngoài mặt phẳng ổn định và
chính xác hơn. Đến nay, lý thuyết HSDT
vẫn được điều chỉnh và phát triển không
ngừng trong các nghiên cứu [5]–[7].
Trong những thập kỷ qua, các
phương pháp giải tích và các phương
pháp số khác nhau đã được đề xuất nhằm
giải quyết bài toán tấm FGM. Trong đó,
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)
được sử dụng nhiều nhất và ưu thế nhất
do có thể giải quyết bài toán tấm FGM có
hình dáng, điều kiện biên và tải trọng bất
kỳ. Phương pháp PTHH được bắt nguồn
từ những yêu cầu giải các bài toán phức
trong xây dựng và kỹ thuật hàng không.
Những năm 1940, Hrennikoff, McHenry
và Courant là những người khởi đầu sự
phát triển của phương pháp PTHH. Sự
phát triển chính thức của phương pháp
PTHH được bắt đầu vào nửa sau những
năm 1950 trong việc phân tích kết cấu
khung máy bay và công trình xây dựng
[8]. Mặc dù có những ưu điểm nhưng
hiệu quả tính toán bằng phương pháp
PTHH phụ thuộc vào nhiều yếu tố như
mô hình toán học, lưới phần tử, … Do
đó, việc tìm ra các công thức PTHH mới
có khả năng tính toán kết cấu với độ
chính xác cao và chi phí tính toán thấp
luôn là yêu cầu cần thiết và tập trung
nhiều sự quan tâm nghiên cứu.
vỏ bằng vật liệu FGM tương tối phức tạp,
đòi hỏi phải phát triển các lý thuyết phân
tích cũng như phương pháp giải thích hợp
nhằm đưa ra những kết quả có khả năng
dự đoán chính xác các ứng xử của kết cấu
làm từ vật liệu này có hình dáng, điều
kiện biên và chịu tác dụng của các tải
trọng khác nhau.
Ứng xử của tấm FGM có thể áp
dụng lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff hoặc
lý thuyết tấm biến dạng cắt [2]. Lý thuyết
tấm cổ điển Kirchhoff bỏ qua biến dạng
cắt ngoài mặt phẳng nên chỉ phù hợp cho
các loại tấm mỏng. Lý thuyết tấm biến
dạng cắt kể đến biến dạng cắt ngoài mặt
phẳng nên phù hợp cho ứng xử của các
tấm dày. Reissner [3] và Mindlin [4] đã đề
xuất lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT). Tuy nhiên, lý thuyết FSDT lại giả
Năm 1970, Ahmad, Irons và
Zienkiewicz [9] đã giới thiệu một phần tử
tứ giác đẳng tham số có xấp xỉ trường
chuyển vị và góc xoay độc lập. Phần tử
này có thể giải quyết tốt bài toán tấm vỏ
2
dày theo lý thuyết FSDT. Tuy nhiên, khi
phân tích các kết cấu tấm vỏ mỏng,
chuyển vị và góc xoay cần hàm xấp xỉ
bậc cao. Điều này dẫn đến số nút của
phần tử lớn. Nói cách khác, nếu sử dụng
hàm xấp xỉ dạng C0 thì trường xấp xỉ của
chuyển vị và góc xoay không thể biểu
diễn được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng
bằng 0 như trong ứng xử thực tế của kết
cấu tấm vỏ mỏng. Điều này dẫn đến năng
lượng biến dạng cắt của phần tử này vượt
trội năng lượng biến dạng cắt thực tế và
biến dạng uốn khi chiều dày tấm mỏng
dần. Đây chính là hiện tượng khóa cắt
xảy ra khi các phần tử hữu hạn dùng hàm
xấp xỉ dạng C0 để phân tích tấm vỏ
mỏng.
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
2.1 Tấm phân lớp chức năng (FGM)
Trong luận văn này, tấm vật liệu
phân lớp chức năng (FGM) được cấu tạo
từ 2 loại vật liệu kim loại và gốm sao cho
đặc tính vật liệu thay đổi liên tục theo
chiều dày tấm từ mặt dưới bằng kim loại
đến mặt trên bằng gốm như Hình 2.1.
Hình 2.1: Tấm vật liệu FGM
(Functionally Graded Materials)
Để khắc phục hiện tượng khóa
Sự thay đổi liên tục của các đặc
trưng vật liệu theo chiều dày tấm được
thể hiện qua hàm đặc trưng vật liệu P(z)
theo qui luật hàm mũ như sau [32]
cắt, nhiều phương pháp đã được đề xuất
cho các phần tử tấm, vỏ tam giác 3 nút
hoặc tứ giác 4 nút như phương pháp tích
phân giảm (RI) [10], tích phân chọn lựa
(SI) [11], phương pháp giả sử biến dạng
tự nhiên (ANS) [12], giả sử biến dạng
nâng cao (EAS) [13], phương pháp giả sử
biến dạng phần tử tấm Mindlin 3 nút
(MIN3) [14], phương pháp khác biệt biến
dạng cắt rời rạc (DSG3) [15] hoặc
phương pháp nội suy các thành phần ten-
xơ hỗn hợp (MITC3, MITC3+, MITC4,
MITC4+, …) [16]–[21].
(2.1)
P(z) P P V P
m
c
c
m
Trong đó, Pc, Pm lần lượt đại diện
cho đặc trưng vật liệu của gốm và kim
loại; và giả sử hàm phân phối vật liệu
n
1
z
(2.2)
Vc
2 h
Ở đây, z theo phương chiều dày
tấm thay đổi từ -h/2 đến h/2 với h là
chiều dày tấm; n 0 là số mũ phân phối
vật liệu.
Giả sử mặt trên và mặt dưới của
tấm chịu nhiệt độ không đổi. Do đó, nhiệt
độ T(z) chỉ thay đổi theo chiều dày của
tấm thỏa phương trình dẫn nhiệt ở trạng
thái ổn định một chiều [32]
Công thức PTHH trơn cho phần
tử tấm tam giác 3 nút sử dụng các kỹ
thuật khử khóa cắt MIN3, DSG3, MITC3
để phân tích tấm FGM đã phát triển và
công bố trong các nghiên cứu [29], [32],
[36], [37], [38], [42], [46].
Nghiên cứu này sẽ xây dựng
d
dT
dz
công thức PTHH trơn trên miền phần tử
cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích
tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt. So
sánh đánh giá độ chính xác của phần tử
đề xuất với các phần tử cùng loại trong
việc phân tích tấm FGM chịu tải trọng
cơ và nhiệt.
(2.3)
k z
0
dz
Trong đó, T(z = -h/2) = Tm và T(z
= h/2) = Tc lần lượt là nhiệt độ mặt dưới
và mặt trên của tấm; k(z) là hệ số dẫn
nhiệt có qui luật thay đổi theo chiều dày
cho bởi (2.1)
Lời giải (2.3) cho bởi [32] ở dạng đa thức
như sau
3
xoay quanh trục y và
trục x; x, y, x, y là
các hàm số được xác
định dựa vào điều kiện
không có biến dạng cắt
ngoài mặt phẳng tại
n
k
z
t
kc k
m
0,5
nk 1
km
k0
z
T z T T T
m
0,5
m
c
k
h
kc k
m
nk 1
km
k0
mặt trên và mặt dưới
(2.4)
của tấm.
Ở đây, km, kc lần lượt là hệ số dẫn
nhiệt của kim loại và gốm.
Đồ thị thể hiện sự thay đổi của
Tại mặt trên và mặt dưới của tấm, ta có
điều kiện
nhiệt độ theo chiều dày tấm ứng với các
giá trị khác nhau của hệ số mũ phân phối
n được minh họa trong Hình 2.2.
Hình 2.2: Đồ thị thể hiện hàm phân phối nhiệt độ dọc theo
chiều dày tấm
2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
cho tấm FGM
2.2.1 Trường chuyển vị
(2.6)
(2.7)
xz
0; yz
0
zh/2
zh/2
u w
xz
0
0
Trường chuyển vị theo lý thuyết
zh/2
z x
zh/2
biến dạng cắt bậc cao được Reddy [47]
xây dựng dựa trên hàm xấp xỉ đa thức
bậc 3 như sau
u u0 zx z2x (x, y) z3 x (x, y)
v w
yz
z h/2
z y
zh/2
v v0 zy z2y (x, y) z3 y (x, y)
(2.5)
w w0 (x, y)
Trong đó, u, v, w là các chuyển vị
theo phương x, y, z; u0, v0, w0 là các
chuyển vị theo phương x, y, z tại mặt trung
bình của tấm; x, y lần lượt là các góc
4
Thế trường chuyển vị cho bởi
(2.5) vào (2.7), điều kiện (2.6) được viết
lại
chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt
bậc 3 của Reddy có dạng
4z3
u u0 zx
x
x
x
3h2
4z3
3h2
2
h
h
w0
x
xz
x 2
x 3
x
0
(2.17)
v v0 zy
w w0
zh/2
y
2
2
(2.8)
Trường chuyển vị (2.17) chứa 7
hàm số độc lập u0, v0, w0, x, y, x, y
cần xác định. Các hàm số này chỉ phụ
thuộc tọa độ x, y, không phụ thuộc tọa độ
z. Trong đó, u0, v0 là các chuyển vị màng;
w0 là độ võng; x, y là các góc xoay
quanh trục y và trục x; x, y là các hàm
vênh (warping).
2
h
h
w0
x
(2.9)
xz
x 2 x 3
x
0
zh/2
2
2
2
h
h
w0
y
yz
y 2
y 3
y
0
zh/2
2
2
(2.10)
2.2.2 Trường biến dạng
2
h
h
w0
y
(2.11)
Từ trường chuyển vị (2.17), các
biến dạng được xác định như sau:
+ Biến dạng trong mặt phẳng
yz
y 2 y 3
y
0
zh/2
2
2
Lấy (2.8) trừ (2.9), ta được
x 0 (2.12)
Thế (2.12) vào (2.8), suy ra
u x
v y
x
ε
ε zκ z3κ
y
p
0
1
2
4
w
x
0
(2.13)
x
suy ra
y
x
xy
u y v x
3h2
(2.18)
Tương tự, lấy (2.10) trừ (2.11),
Trong đó,
y 0
(2.14)
u0
x
v0
Và thế (2.14) vào (2.10), ta được
4
3h2
w
0
(2.15)
y
(2.19)
(2.20)
y
ε
0
y
Thay các hàm x, x, y, y vừa
u0 v
tìm được ở (2.12), (2.13), (2.14), (2.15)
vào (2.5), xấp xỉ chuyển vị theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc 3 được viết lại
0
y x
x
x
y
4z3
3h2
4z3
3h2
w
x
u u0 zx
x
0
κ
1
w
0
(2.16)
y
v v0 zy
w w0 (x, y)
y
y
x
y
y
x
Để có thể xấp xỉ chuyển vị bằng
xấp xỉ PTHH dạng C0, lần lượt thay
w0/x và w0/y bằng các hàm số độc
lập x và y [48]. Do đó, hàm xấp xỉ
5
Trong đó,
x x
x
x
1
(z)
0
y y
E(z)
E
(z)
1
0
1 (z)
2
κ c
2
1 (z)2
y
y
y
0
0
y
x
y
x
y
x
x
(2.29)
(2.30)
(2.21)
1 0
E(z)
2 1(z)
4
3h2
G
Với
c
0 1
+ Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng
(biến dạng trượt)
Với E(z) là mô đun đàn hồi và
(z) là hệ số Poisson thay đổi theo qui
luật hàm phân phối (2.1).
2.2.4 Nội lực trong tấm
Các thành phần nội lực trong tấm
được xác định bằng cách lấy tích phân
các ứng suất theo chiều dày tấm như sau:
+ Trong mặt phẳng
xz u z w x
γ
ε z2κ
s
s
yz
v z w y
(2.22)
Trong đó,
w
0
x
x
w0
y
(2.23)
ε
s
N
x h 2 x
y
(2.31)
(2.32)
(2.33)
N N
dz
y
y
h 2
x
x
Nxy
xy
(2.24)
κ 3c
s
y y
+ Biến dạng trong điều kiện nhiệt
M
x
x
h 2
độ
M M
z dz
y
y
th
x
1
h 2
Mxy
xy
ε th T(z) 1
(2.25)
th
y
z
th
xy
0
P
x
x
h 2
Trong đó, T(z) là chênh lệch
P P
z3 dz
y
y
nhiệt độ từ bề mặt đến điểm cần tính; z
là hệ số dãn nở nhiệt được tính theo qui
luật phân phối hàm mũ cho bởi (2.1).
2.2.3 Trường ứng suất
h 2
P
xy
xy
+ Ngoài mặt phẳng
h 2
+ Ứng suất trong mặt phẳng
Q
x
xz
(2.34)
(2.35)
Q
R
dz
T
σ x x xy E ε ε
Qy
yz
th
p
h 2
(2.26)
E ε zκ z3κ ε
th
0
1
2
h 2
R
x
xz
z2
dz
+ Ứng suất cắt ngoài mặt phẳng
τ xz yz G ε z2κ
Ry
yz
h 2
T
(2.27)
s
s
+ Ứng suất do nhiệt độ
th T
th
th
(2.28)
σth x y xy Eεth
6
Thế các quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng cho bởi (2.26) và (2.27) vào
các phương trình nội lực trên và lấy tích
phân theo chiều dày tấm, ta có
tử và tại nút nổi có tọa độ tại trọng tâm
phần tử như sau [20]
4
4
3
u N u ; v N v ; w N w
0
i
0i
0
i
0i
0
i
0i
i1
i1
i1
N Aε0 Bκ1 Eκ2 Nth
4
4
(3.1)
N ; N
M Bε0 Dκ1 Fκ2 Mth
P Eε0 Fκ1 Hκ2 Pth
Q Asεs Bsκs
x
i
xi
y
i
yi
(2.36)
i1
i1
4
4
N ; N
x
i
xi
y
i
yi
i1
i1
(2.37)
Trong đó, u0i, v0i, w0i, xi, yi, xi,
R Bsεs Dsκs
yi là các bậc tự do tại nút i. Chú ý, tại nút
4 (nút nổi) không có giá trị độ võng, tức
là w04 = 0. Ni là các hàm dạng liên tục
được định nghĩa trong hệ tọa độ tự nhiên
, với
1
N1 1 N4
3
Trong đó,
h 2
A ,B ,D ,E ,F ,H
1, z, z2, z3, z4, z6 Edz
ij
ij
ij
ij
ij
ij
h 2
(2.38)
h 2
As ,Bs ,Ds
1, z2, z4 Gdz
(2.39)
(2.40)
ij
ij
ij
h 2
1
N2 N4
(3.2)
1
3
h 2
Nth
1
N3 N4
3
T z E 1 dz
z
h 2
0
N 27 1
1
4
h 2
Mth
(2.41)
(2.42)
T z Ez 1 dz
z
Thế xấp xỉ PTHH (3.1) vào các
biến dạng trong mặt phẳng (2.19), (2.20),
(2.21) và các biến dạng ngoài mặt phẳng
(2.23), (2.24), ta có quan hệ giữa biến
dạng và chuyển vị nút phần tử như sau
h 2
0
1
h 2
Pth T z Ez3 1 dz
z
h 2
0
4
4
4
ε Bmd ; κ Bb1d ; κ Bb2d
Công thức (2.36) và (2.37) được
0
i
i
1
i
i
2
i
i
i1
i1
i1
viết lại ở dạng ma trận như sau
th
(3.3)
(3.4)
N
A B E
ε
N
Mth
0
4
ε Bs0d
(2.43)
(2.44)
M B D F
κ
1
s
i
i
i1
th
P
E F H κ2
P
4
κ Bs1d
(3.5)
s
s
s
i
i
ε
Q
A
B
s
i1
Bs Ds
κs
R
Trong đó, di = [u0i v0i w0i xi yi xi
yi]T, i = 1,2,3,4 và w04 = 0, là chuyển vị
3. CÔNG
THỨC
PTHH
CS-
nút phần tử và
MITC3+CHO TẤM FGM THEO
HSDT
3.1 Công thức PTHH tam giác
MITC3+ cho tấm FGM
Rời rạc tấm FGM bằng các phần
tử tam giác 3 nút. Trường chuyển vị được
xấp xỉ thông qua chuyển vị tại nút phần
7
Hiện tượng khi tấm càng mỏng, biến
dạng cắt hay năng lượng cắt càng lớn do
sử dụng hàm xấp xỉ chuyển vị bậc thấp
được gọi là hiện tượng khóa cắt.
Ni
x
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Ni
y
Bim
0
(3.6)
(3.7)
Trong luận văn này, để khắc phục
hiện tượng khóa cắt của phần tử tam giác
3 nút có 1 nút nổi, phương pháp khử khóa
cắt MITC3+ được sử dụng [20]. Theo
phương pháp MITC3+, biến dạng cắt
ngoài mặt phẳng được xấp xỉ lại thông
qua giá trị biến dạng tính từ xấp xỉ
chuyển vị (3.1) tại các điểm buộc như sau
Ni Ni
y
0 0 0 0 0
x
Ni
x
0 0 0
0
0 0
0 0
Ni
y
Bbi 1 0 0 0
0
Ni Ni
2
3
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
B B
C C
c(3 1)
0 0 0
0 0
ˆ
ˆ
y
x
2
1
A A
C C
c(3 1)
Ni
x
Ni
x
ˆ
ˆ
0 0 0
0
0
2
(3.11)
Ni
y
N
y
Bbi 2 c 0 0 0
0
0
i
F
D
c F E
Với
ˆ
ˆ
ˆ
là biến dạng cắt
,
Trong đó,
Ni Ni Ni N
i
0 0 0
ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự nhiên
y
x
y
x
và
(3.8)
A ,A ,B ,B ,C ,C ,D ,D ,E ,E ,F ,F
Ni
x
Ni
0 0
0 0
Ni
0
0 0
là các biến dạng cắt ngoài mặt phẳng
trong hệ tọa độ tự nhiên tính tại các điểm
buộc A, B, C, D, E, F có vị trí và tọa độ
như Hình 3.1 và Bảng 3.1.
s0
Bi
(3.9)
0
Ni 0 0
y
0 0 0 N
0
Ni
0
i
Từ quan hệ giữa biến dạng và
chuyển vị tính tại các điểm buộc vào
(3.11) và chuyển giá trị biến dạng từ hệ
tọa độ tự nhiên (,,) sang hệ tọa độ
(x,y,z), ta có thể rút ra quan hệ giữa biến
dạng cắt ngoài mặt phẳng và tọa độ nút
phần tử như sau
Bis1 3c
0 0 0
0
Ni
0
Ni
(3.10)
Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng s
ở (3.4) tính trực tiếp từ xấp xỉ (3.1) sẽ
không tiến đến 0. Do đó, biến dạng cắt
này không thể biểu diễn chính xác ứng xử
cắt khi chiều dày tấm mỏng. Ngược lại,
khi tấm càng mỏng thì xấp xỉ biến dạng
cắt này càng lớn, vượt xa biến dạng uốn,
làm cho lời giải chuyển vị bằng PTHH
nhỏ hơn rất nhiều so với ứng xử thực tế.
4
ˆ
T
s0
i
ˆ
(3.12)
ˆ
ˆ
εs xz yz
B d
i
i1
8
s
A
Bs
Ds
(3.15)
Bs Ds
Và là diện tích mặt
trung bình của tấm.
Thế các quan hệ giữa
biến dạng và chuyển vị vào
phương trình dạng yếu (3.13), ta
được phương trình cân bằng rời
rạc
Kd F
(3.16)
Hình 3.1: Vị trí các điểm buộc của phần tử MITC3+ [20]
Trong đó, K là ma trận
độ cứng kết cấu được lắp ghép
từ các ma trận độ cứng phần tử
Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của
phần tử MITC3+ với d = 1/10000 [20]
T
kij BTi DBjd Bis DsBsjd
(3.17)
e
e
Điểm buộc
Với e là diện tích phần tử và
A
1/6
2/3
T
T
T
T
mT
s
s0T
s1T
Bi Bi Bbi 1 Bbi 2 ; Bi Bi Bi
ˆ
ˆ
B
C
2/3
1/6
1/6
1/6
(3.18)
F là véc-tơ lực do tải trọng của
kết cấu được lắp ghép từ véc-tơ tải
trọng của phần tử
D
E
F
1/3 + d
1/3 – 2d
1/3 + d
1/3 – 2d
1/3 + d
1/3 + d
T
fi 0 0 N 0 0 0 0 pd
i
e
(3.19)
Mth Pth T d
T
T
thT
BTi
N
e
d là véc-tơ nút của toàn bộ kết
Dạng yếu của điều kiện cân bằng
trên mặt trung bình tấm FGM chịu tác
dụng của tải trọng phân bố p và nhiệt độ
được viết [49]
cấu. Nếu nút i là đỉnh tam giác của phần
tử thì di = [u0i v0i w0i xi yi xi yi]T và
nếu nút i là nút nổi ở trọng tâm tam giác
phần tử thì di = [u0i v0i 0 xi yi xi yi]T.
3.2 Công thức phần tử hữu hạn trơn
T
0
T
1
T
T
T
T T
ˆT T s ˆT T
D ε0 κ1 κ2
D εs κs T d
ε κ κ
d ε κ
2
s
s
CS-MITC3+ cho tấm FGM
Trong phần này, biến dạng trong
T
T
T
T
0
T
1
T
thT
N
Mth Pth d
mặt phẳng của phần tử MITC3+ được
2
wpd ε κ κ
làm trơn trên miền làm trơn c. Miền làm
trơn c là các miền con 1, 2, 3 của
phần tử được tạo ra bằng cách nối các nút
đỉnh với nút nổi của phần tử như Hình
3.2.
Theo phương pháp PTHH trơn trên miền
phần tử (CS), các trường biến dạng được
làm trơn như sau [22]
(3.13)
(3.14)
A B E
Trong đó,
D B D F
E F H
9
theo phương x và y của véc-tơ n pháp
tuyến với biên c.
Áp dụng (3.22) vào (3.6), (3.7) và
(3.8), ta được
1
1
ε
κ
ε d; κ κ d;
0
1
A
A
c
c
c
c
(3.20)
1
κ d
2
A
c
c
Ninxd
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Trong đó, Ac là diện tích của miền
l
k
3
làm trơn c.
Bmd
Ninyd
Ninxd
0 B
i
k1
c
lk
Ninyd
0
lk
lk
(3.23)
0
0
0
0
0
0
0
Ninxd
0
0
Ninxd
0
0
0
0
0
0
0
Ninxd
0
0
0
0
0
lk
lk
3
lk
Bb2d c 0
Ninyd
Ninxd
Ninyd B
3
i
c
lk
lk
Bb1d
0
0
0
0
0
Ninyd
Ninxd
0 B
k1
i
k1
c
lk
Ninxd
0
Ninyd
Ninyd
lk
lk
lk
lk
Ninyd
0
lk
lk
(3.24)
Các tích phân trong (3.23),
(3.24) và (3.25) được xác định chính
xác bằng cách dùng tích phân Gauss
2 điểm Gauss.
Thế (3.23), (3.24) và (3.25)
vào (3.21), quan hệ giữa biến dạng
trơn và chuyển vị nút phần tử được
viết lại
Hình 3.2: Miền làm trơn là các miền con (Δ1, Δ2, Δ3) của
phần tử được tạo ra bằng cách nối 2 nút đỉnh và nút nổi
tại trọng tâm của phần tử tam giác
Thế các quan hệ giữa biến dạng
và chuyển vị cho bởi (3.3) vào biến dạng
trơn (3.20), ta được
4
1
Β
A
A
A
i1
i1
i1
4
4
c
c
c
1
1
ε
κ
κ
Βmd d
Βimddi
Βbi 1ddi
Βib2ddi
(3.26)
Do đó, dạng yếu của phương trình
cân bằng (3.13) được viết dưới dạng biến
i
i
A
A
i1
i1
c
c
c
c
4
4
1
1
Βb1d d
i
i
dạng trơn như sau
A
A
i1
i1
c
c
c
c
4
4
1
1
Βb2d d
i
i
A
A
i1
i1
c
c
c
c
(3.21)
ˆT T s ˆT T
D
εs κs T d
ε κ
s
s
Theo định lý Green, ta có
Mth Pth T d
T
T
T
0
T
1
T
thT
2
N
wpd ε κ κ
N
y
N
i d Ninxd;
i d Ninyd
x
c
c
c
c
(3.27)
Hoặc phương trình cân bằng rời
rạc PTHH có dạng
K
(3.22)
Trong đó, c là biên của miền làm
trơn c; nx và ny lần lượt là hình chiếu
(3.28)
10
T
Trong đó,
là ma trận độ cứng
K
f 0 0 N 0 0 0 0 pd
i
i
kết cấu xác định từ ma trận độ cứng phần
tử được làm trơn
e
Và
Mth Pth T d, i 1,2,3
T
T
thT
BTi
N
3
e
k
DsBsjd
SC1
e
(3.35)
(3.29)
k
Vậy ma trận độ cứng
của phần
e
Trong đó,
tử CS-MITC3+ cho bởi công thức (3.34)
có kích thước 21x21 chỉ liên quan đến
các bậc tự do tại nút đỉnh tam giác của
phần tử.
(3.30)
B
Ma trận độ cứng phần tử cho bởi
(3.29) liên quan các bậc tự do của nút
đỉnh và nút nổi phần tử, trong đó độ võng
tại nút nổi w04 = 0. Để thuận tiện cho việc
lắp ghép ma trận độ cứng phần tử vào ma
trận độ cứng kết cấu, các chuyển vị của
nút nổi sẽ được tính theo các chuyển vị
của nút đỉnh bằng phương pháp nén tĩnh
4. CÁC VÍ DỤ SỐ
Phần tử đề xuất CS-MITC3+ được sử
dụng để tìm độ võng và ứng suất của một
số bài toán tấm phân lớp chức năng chịu
tải trọng cơ nhiệt. Các đặc tính vật liệu
thành phần của vật liệu FGM được cho
trong Bảng 4.1, với giả thiết là đặc tính
vật liệu không phụ thuộc vào nhiệt độ.
như sau
k
fe
k
k
0
(3.31)
(3.32)
4.1 Tấm vuông Al/ZrO -1 chịu tải
2
k*)
k**)
trọng phân bố đều
Xét tấm vuông Al/ZrO -1 có
2
d k
Từ (**) suy ra
4
chiều dài cạnh L, dày h. Tấm chịu tải
trọng phân bố đều p và có 4 biên tựa đơn
hoặc ngàm. Khảo sát ứng xử của tấm với
giá trị chỉ số phân bố vật liệu n = 0, 0,5 ,
1, 2.
Và thế vào (*), ta có
ke kede fe
(3.33)
(3.34)
ke k
Tấm được rời rạc bằng 2NN
phần tử tam giác CS-MITC3+ với N là số
phần tử trên mỗi cạnh của tấm. Khi tỉ số
L/h = 5, kết quả độ võng không thứ
Trong đó,
k
Với
là các thành phần của ma
trận ke liên quan bậc tự do tại nút đỉnh
tam giác của phần tử
với di = [u0i v0i w0i xi yi xi yi]T, i =
4
w 100w Emh3 /12(1 2 )pL
T
T
T T
de d1 d2 d3
c
c
nguyên
tại tâm tấm ứng với N = 8, 12, 16 và 20
được cho trong Bảng 4.2 và Hình 4.1 ứng
với các chỉ số phân bố vật liệu n khác
nhau.
1,2,3;
liên quan các bậc tự do của nút
k
nổi d4 = [u04 v04 x4 y4 x4 y4]T sau khi
đã loại bỏ hàng và cột ứng với bậc tự do
k
w04;
là các thành phần độ
cứng liên quan tương tác giữa bậc tự do
nút ở đỉnh và nút nổi.
11
(a) Biên tựa
(b) Biên ngàm
đơn
Hình 4.1: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm
Al/ZrO -1 khi L/h = 5 với các cách chia lưới và n
2
khác nhau
Từ Bảng 4.2, ta nhận thấy rằng,
kết quả độ võng tại tâm tấm đối với bài
toán tấm vuông FGM Al/ZrO2-1 chịu tải
trọng phân bố đều khi L/h = 5 của phần
tử CS-MITC3+ cũng tương tự với kết quả
tham khảo cho bởi các phần tử hoặc
phương pháp khác, tuy nhiên không tốt
bằng phần tử ES-MITC3. Từ Hình 4.1
cho thấy độ võng tại tâm tấm thay đổi
khá nhiều khi chỉ số phân bố vật liệu n
thay đổi.
Để đánh giá khả năng khắc phục
hiện tượng khóa cắt của phần tử CS-
MITC3+, chúng ta sẽ giải bài toán với
chiều dày của tấm giảm dần ứng với L/h
= 5, 100, 500 và 1000. Kết quả thu được
trình bày trong Bảng 4.1 và Hình 4.2 với
hệ lưới 2NN = 21616.
Bảng 4.1: Độ võng không thứ nguyên
4
w 100w Emh3 /12(1 2 )pL
tại tâm
c
c
tấm Al/ZrO -1 khi L/h =5, 100, 500 và
2
1000
(a) Biên tựa
(b) Biên ngàm
đơn
Hình 4.2: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm
Al/ZrO -1 khi L/h = 5, 100, 500 và 1000 ứng với các
2
cách chia lưới và n khác nhau
12
Từ Bảng 4.1 và Hình 4.2, ta thấy kết quả
về độ võng tương đối tại tâm tấm không
có sự thay đổi đột biến giảm dần khi
chiều dày của tấm mỏng dần. Điều này
chứng tỏ phần tử CS-MITC3+ đã khắc
phục hiện tượng khóa cắt.
4.2 Tấm vuông Al/Al O chịu tải
2 3
trọng hình sin
Trong ví dụ này, ta xét tấm vuông
vật liệu FGM loại Al/Al O với luật
2 3
phân bố vật liệu n = 1, 2, 4, 8. Tấm có
kích thước cạnh L, bề dày tấm h với tỉ số
L/h = 10. Tấm tựa đơn 4 cạnh và chịu tải
trọng
hình
sin
với
dạng
với p = 1 tác
psin(x / L)sin( y / L)
dụng ở mặt trên của tấm như Hình 4.3.
Hình 4.3: Tấm vuông Al/Al2O3 tựa đơn 4
cạnh và chịu tải trọng hình sin
psin(x / L)sin( y / L)
Để so sánh kết quả cho bởi phần
tử CS-MITC3+ với các kết quả nghiên
cứu khác, các giá trị về độ võng và ứng
suất không thứ nguyên sau được sử dụng
100wc Emh3
wc
4
12(1 2 )pL
h
L L
h
x z
x
, , z ; xy z
xy 0,0, z ;
pL
2 2
pL
h
L
0, , z
2
xz z
xz
pL
13
(a) x
(b)
xy
(c) xz
Hình 4.4: So sánh sự phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều
dày tấm Al/Al2O3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin khi khi L/h = 10 cho bởi phần tử CS-
MITC3+ và ES-MITC3
14
Sử dụng lưới 2NN với N = 24,
ta được kết quả về độ võng tại tâm tấm và
các thành phần ứng suất không thứ
nguyên cho trong Bảng 4.4, Bảng 4.5 và
Hình 4.4 trình bày kết quả sự phân bố các
thành phần ứng suất không thứ nguyên
x , xy , xz cho bởi phần tử CS-MITC3+
Sử dụng lưới tam giác 3 nút 21212
phần tử, kết quả về độ võng không thứ
4
w 100w Emh3 /12(1 2 )pL
nguyên
tại
c
c
tấm ứng với góc xiên = 15o, 30o, 45o,
60o, 75o và hệ số n = 0,5, 1, 2, 4, 10 được
trình bày trong Error! Reference source
not found. và Error! Reference source
not found.. Hình 4.6 biểu diễn sự phân
bố ứng suất pháp không thứ nguyên
và phần tử ES-MITC3 [46].
Trong ví dụ này, ta thấy kết quả
thu được của phần tử CS-MITC3+ cũng
tiệm cận với các phần tử khác. Mặt khác,
qua biểu đồ ứng suất cho thấy sự liên tục
xuyên suốt chiều dày tấm, điều đó cho
thấy không có hiện tượng tập trung ứng
suất, đây là ưu điểm của tấm FGM so với
vật liệu composite thông thường.
theo
z h pL L 2,L 2, z
x
x
chiều dày tấm cho bởi phần tử CS-
MITC3+ và ES-MITC3 [46].
Trong bài toán tấm xiên Al/ZrO2-
1 liên kết gối tựa đơn chịu tải phân bố
đều, phần tử CS-MITC3+ cho kết quả về
độ võng và ứng suất tuy không tốt bằng
nhưng cũng khá tiệm cận kết quả cho bởi
phần tử ES-MITC3 [46]. Ngoài ra, khi
góc xiên của tấm tăng dần thì các thành
phần độ võng và ứng suất trong tấm giảm
đáng kể.
4.3 Tấm xiên Al/ZrO2-1 liên kết gối
tựa đơn chịu tải phân bố đều
4.4 Tấm vuông Al/ZrO2-1 chịu tải
trọng nhiệt
Xét tấm vuông Al/ZrO2-1 với
kích thước cạnh L = 0,2 m và chiều dày h
= 0,01 m. Tấm tựa đơn 4 cạnh và chịu tác
dụng của tải trọng nhiệt độ có nhiệt độ
mặt dưới Tm = 20ºC (nhiệt độ phòng) và
nhiệt độ mặt trên tấm Tc biến thiên từ 0ºC
÷ 500ºC.
Hình 4.5: Tấm xiên Al/ZrO2-1 tựa đơn 4
cạnh và chịu tải trọng phân bố đều
Xét tấm xiên hình bình hành
Al/ZrO2-1 có cạnh a = b = L, liên kết gối
tựa đơn 4 cạnh và chịu tải trọng phân bố
đều p =1. Tấm có 2 cạnh song song trục
x, 2 cạnh còn lại tạo với trục y một góc
xiên như Hình 4.5. Tấm có chiều dày h
với tỉ số L/h = 10.
15
(a) n = 0,5
(b) n = 2
z h pL L 2,L 2, z
Hình 4.6: Sự phân bố ứng suất không thứ nguyên
theo chiều dày tấm xiên Al/ZrO2-1 với = 30o, 45o, 75o và (a) n = 0,5 và (b) n = 2
x
x
4.5 Tấm vuông Al/ZrO2-1 chịu tải
Với lưới tam giác đều mỗi cạnh
tấm chia 12 phần tử, kết quả về độ võng
tại tâm tấm chịu tác dụng nhiệt độ tại mặt
trên tấm thay đổi Tc = 0o, 100o, 200o,
300o, 400o, 500o với các hệ số n = 0, 0,5,
2 cho bởi phần tử CS-MITC3+ và ES-
MITC3 [46] được trình bày trong Bảng
4.7 và Error! Reference source not
found.. Kết quả tính toán số cũng cho
thấy phần tử CS-MITC3+ và phần tử ES-
MITC3 cho kết quả về độ võng của tấm
FGM chịu tải trọng nhiệt là gần như
nhau. Ngoài ra, ta thấy rõ ràng tấm FGM
có khả năng kháng nhiệt độ rất tốt, độ
võng lên của tấm biến thiên một cách đều
khi nhiệt độ mặt trên của tấm tăng dần.
trọng cơ nhiệt
Xét tấm vuông vật liệu FGM
Al/ZrO2-1 với kích thước cạnh L = 0,2 m
và chiều dày h = 0,01 m. Tấm tựa đơn 4
cạnh và nhiệt độ mặt dưới của tấm Tm =
20ºC (nhiệt độ phòng) và nhiệt độ mặt
trên tấm Tc = 300oC. Ngoài ra, tấm còn
chịu tác dụng của tải trọng phần bố đều
4
4
.
P pL / (Emh )
Với lưới 21212 phần tử, kết
quả về độ võng không thứ nguyên wc/h
tại tâm tấm khi tấm chịu tác dụng của tải
trọng cơ p thay đổi từ -14 đến 0 được thể
hiện trong Bảng 4.8 và Hình 4.9. So sánh
với kết quả cho bởi phần tử ES-MITC3
[46], Bảng 4.8 và Hình 4.9 cho thấy phần
tử CS-MITC3+ cho kết quả không tốt
bằng phần tử ES-MITC3 nhưng nhìn
16
chung cũng khá tiệm cận . Qua kết quả
phân tích chuyển vị của tấm FGM chịu
tải trọng cơ nhiệt, ta thấy tấm FGM là sự
kết hợp tốt về khả năng chịu lực tải trọng
cơ của kim loại cùng khả năng chịu tải
trọng nhiệt độ của ceramic.
các bài toán tấm FGM chịu tải trọng cơ, tải
trọng nhiệt hay tải trọng cơ nhiệt kết hợp.
Kết quả phân tích một số bài toán
cơ nhiệt cho thấy được tính hiệu quả của
vật liệu FGM khi sử dụng trong các kết
cấu chịu nhiệt độ và tải trọng cao.
Phần tử đề xuất CS-MITC3+ có
thể phát triển để phân tích các bài toán
động lực học của tấm phân lớp chức
năng. Ngoài ra, bên cạnh lý thuyết biến
dạng cắt bậc 3, phần tử CS-MITC3+
cũng có thể phát triển cho các lý thuyết
biến dạng cắt
Bảng 4.2: Độ võng tương đối wc/h tại
tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh
chịu tải nhiệt độ Tm = 20oC, Tc = 300oC
và tải trọng cơ p thay đổi
bậc cao khác
nhằm đánh giá
hiệu quả về độ
chính xác và chi
phí tính toán
khi phân tích
các bài toán tấm
phân lớp chức
năng
khác
nhau.
Hình 4.7: Sự thay đổi của độ võng tương đối wc/h tại tâm tấm vuông
Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng nhiệt và tải trọng cơ p thay đổi
ứng với n = 0, 0,5, 2
5. KẾT LUẬN
Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt
bậc cao kết hợp kỹ thuật khử khóa cắt
của phần tử MITC3+, cùng kỹ thuật làm
trơn trên cạnh ES-FEM luận văn đã xây
dựng phần tử CS-MITC3+ dùng phân
tích tĩnh cho tấm FGM.
Kết quả số cho thấy phần tử đề xuất
có khả năng hội tụ đến lời giải chính xác
khi số phần tử tăng dần. Phần tử đề xuất có
khả năng khử hiện tượng khóa cắt tốt. Do
sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, phần
tử CS-MITC3+ có khả năng biểu diễn sự
liên tục của các thành phần ứng suất theo
chiều dày tấm phù hợp với ứng xử thực tế
của tấm FGM. Kết quả số cũng cho thấy
phần tử đề xuất cho kết quả tương tự với
các phương pháp tham khảo khi phân tích
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Koizumi, ―FGM activities in Japan,‖ Composites Part B: Engineering, vol. 28, no.
1, pp. 1–4, Jan. 1997.
[2] S. P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, Second
Edition. McGraw-Hill, 1959.
[3] E. Reissner, ―The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic
plates,‖ ASME Journal of Applied Mechanics, vol. 12, pp. A68–A77, 1945.
[4] R. D. Mindlin, ―Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic,
elastic plates,‖ ASME Journal of Applied Mechanics, vol. 18, pp. 31–38, 1951.
[5] J. N. Reddy, ―A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates,‖ J.
Appl. Mech, vol. 51, no. 4, pp. 745–752, Dec. 1984.
[6] V.-H. Nguyen, T.-K. Nguyen, H.-T. Thai, and T. P. Vo, ―A new inverse trigonometric
shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich plates,‖
Composites Part B: Engineering, vol. 66, pp. 233–246, Nov. 2014.
[7] T. N. Nguyen, C. H. Thai, and H. Nguyen-Xuan, ―On the general framework of high
order shear deformation theories for laminated composite plate structures: A novel
unified approach,‖ International Journal of Mechanical Sciences, vol. 110, pp. 242–
255, May 2016.
[8] D. L. Logan, A first course in the Finite Element Method, Fourth. Thomson.
[9] S. Ahmad, B. M. Irons, and O. C. Zienkiewicz, ―Analysis of thick and thin shell
structures by curved finite elements,‖ Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 2, no. 3, pp.
419–451, Jul. 1970.
[10]O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and J. M. Too, ―Reduced integration technique in
general analysis of plates and shells,‖ Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 3, no. 2, pp.
275–290, Apr. 1971.
[11]T. J. R. Hughes, M. Cohen, and M. Haroun, ―Reduced and selective integration
techniques in the finite element analysis of plates,‖ Nuclear Engineering and Design,
vol. 46, no. 1, pp. 203–222, Mar. 1978.
[12]T. Belytschko, B. L. Wong, and H. Stolarski, ―Assumed strain stabilization procedure
for the 9-node Lagrange shell element,‖ Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 28, no. 2, pp.
385–414, Feb. 1989.
[13]U. Andelfinger and E. Ramm, ―EAS-elements for two-dimensional, three-dimensional,
plate and shell structures and their equivalence to HR-elements,‖ Int. J. Numer. Meth.
Engng., vol. 36, no. 8, pp. 1311–1337, Apr. 1993.
[14]A. Tessler and T. J. R. Hughes, ―A three-node Mindlin plate element with improved
transverse shear,‖ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 50,
no. 1, pp. 71–101, Jul. 1985.
[15]K.-U. Bletzinger, M. Bischoff, and E. Ramm, ―A unified approach for shear-locking-
free triangular and rectangular shell finite elements,‖ Computers & Structures, vol. 75,
no. 3, pp. 321–334, Apr. 2000.
[16]K.-J. Bathe and E. N. Dvorkin, ―A four-node plate bending element based on
Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation,‖ Int. J. Numer. Meth. Engng.,
vol. 21, no. 2, pp. 367–383, Feb. 1985.
[17]K.-J. Bathe, F. Brezzi, and S. W. Cho, ―The MITC7 and MITC9 Plate bending
elements,‖ Computers & Structures, vol. 32, no. 3, pp. 797–814, Jan. 1989.
[18]M. L. Bucalem and K.-J. Bathe, ―Higher-order MITC general shell elements,‖ Int. J.
Numer. Meth. Engng., vol. 36, no. 21, pp. 3729–3754, Nov. 1993.
18
[19]P.-S. Lee and K.-J. Bathe, ―Development of MITC isotropic triangular shell finite
elements,‖ Computers & Structures, vol. 82, no. 11–12, pp. 945–962, May 2004.
[20]Y. Lee, P.-S. Lee, and K.-J. Bathe, ―The MITC3+ shell element and its performance,‖
Computers & Structures, vol. 138, pp. 12–23, Jul. 2014.
[21]Y. Ko, P.-S. Lee, and K.-J. Bathe, ―A new MITC4+ shell element,‖ Computers &
Structures, vol. 182, pp. 404–418, Apr. 2017.
[22]G. R. Liu and T. Nguyen-Thoi, Smoothed Finite Element Methods. CRC Press, 2010.
[23]G. R. Liu, K. Y. Dai, and T. T. Nguyen, ―A Smoothed Finite Element Method for
Mechanics Problems,‖ Comput Mech, vol. 39, no. 6, pp. 859–877, May 2007.
[24]N. Nguyen-Thanh, T. Rabczuk, H. Nguyen-Xuan, and S. P. A. Bordas, ―A smoothed
finite element method for shell analysis,‖ Computer Methods in Applied Mechanics
and Engineering, vol. 198, no. 2, pp. 165–177, Dec. 2008.
[25]H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, S. Bordas, and J. F. Debongnie, ―A smoothed finite
element method for plate analysis,‖ Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, vol. 197, no. 13–16, pp. 1184–1203, Feb. 2008.
[26]X. Y. Cui, G. R. Liu, G. Y. Li, G. Y. Zhang, and G. Y. Sun, ―Analysis of elastic–
plastic problems using edge-based smoothed finite element method,‖ International
Journal of Pressure Vessels and Piping, vol. 86, no. 10, pp. 711–718, Oct. 2009.
[27]H. Nguyen-Xuan, G. R. Liu, C. Thai-Hoang, and T. Nguyen-Thoi, ―An edge-based
smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap
technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,‖ Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, vol. 199, no. 9–12, pp. 471–489, Jan. 2010.
[28]H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, N. Nguyen-Thanh, T. Nguyen-Thoi, and S. Bordas, ―A
node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap
technique for analysis of Reissner–Mindlin plates,‖ Comput Mech, vol. 46, no. 5, pp.
679–701, Oct. 2010.
[29]H. Nguyen-Xuan, L. V. Tran, T. Nguyen-Thoi, and H. C. Vu-Do, ―Analysis of
functionally graded plates using an edge-based smoothed finite element method,‖
Composite Structures, vol. 93, no. 11, pp. 3019–3039, Oct. 2011.
[30]C. Thai-Hoang, N. Nguyen-Thanh, H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, and S. Bordas, ―A
cell — based smoothed finite element method for free vibration and buckling analysis
of shells,‖ KSCE J Civ Eng, vol. 15, no. 2, pp. 347–361, Jan. 2011.
[31]T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, H. Nguyen-Xuan, and C. Thai-Hoang, ―A cell-based
smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free
vibration analyses of Reissner–Mindlin plates,‖ Int. J. Numer. Meth. Engng, vol. 91,
no. 7, pp. 705–741, Aug. 2012.
[32]H. Nguyen-Xuan, L. V. Tran, C. H. Thai, and T. Nguyen-Thoi, ―Analysis of
functionally graded plates by an efficient finite element method with node-based strain
smoothing,‖ Thin-Walled Structures, vol. 54, pp. 1–18, May 2012.
[33]C. H. Thai, L. V. Tran, D. T. Tran, T. Nguyen-Thoi, and H. Nguyen-Xuan, ―Analysis
of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and
node-based smoothed discrete shear gap method,‖ Applied Mathematical Modelling,
vol. 36, no. 11, pp. 5657–5677, Nov. 2012.
[34]T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, C. Thai-Hoang, and H. Nguyen-Xuan, ―A cell-based
smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static
and free vibration analyses of shell structures,‖ International Journal of Mechanical
Sciences, vol. 74, pp. 32–45, Sep. 2013.
19
[35]H. Nguyen-Xuan and G. R. Liu, ―An edge-based smoothed finite element method
softened with a bubble function (bES-FEM) for solid mechanics problems,‖
Computers & Structures, vol. 128, pp. 14–30, Nov. 2013.
[36]P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, L. V. Tran, and H. Nguyen-Xuan, ―A cell-based
smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) based on the C0-type higher-order
shear deformation theory for static and free vibration analyses of functionally graded
plates,‖ Computational Materials Science, vol. 79, pp. 857–872, Nov. 2013.
[37]S. Natarajan, A. J. M. Ferreira, S. Bordas, E. Carrera, M. Cinefra, and A. M. Zenkour,
―Analysis of Functionally Graded Material Plates Using Triangular Elements with
Cell-Based Smoothed Discrete Shear Gap Method,‖ Mathematical Problems in
Engineering, vol. 2014, pp. 1–13, Apr. 2014.
[38]P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, H. Luong-Van, and Q. Lieu-Xuan, ―Geometrically
nonlinear analysis of functionally graded plates using a cell-based smoothed three-
node plate element (CS-MIN3) based on the C0-HSDT,‖ Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, vol. 270, pp. 15–36, Mar. 2014.
[39]P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, T. Bui-Xuan, and Q. Lieu-Xuan, ―A cell-based
smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0-type
higher-order shear deformation for geometrically nonlinear analysis of laminated
composite plates,‖ Computational Materials Science, vol. 96, Part B, pp. 549–558, Jan.
2015.
[40]L. V. Tran, T. Nguyen-Thoi, C. H. Thai, and H. Nguyen-Xuan, ―An edge-based
smoothed discrete shear gap method using the C0-type higher-order shear deformation
theory for analysis of laminated composite plates,‖ Mechanics of Advanced Materials
and Structures, vol. 22, no. 4, pp. 248–268, Apr. 2015.
[41]T. Châu Đình and D. Nguyễn Văn, ―Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm composite
nhiều lớp bằng phần tử MITC3 có biến dạng được trung bình trên miền nút phần tử
(NS-MITC3),‖ in Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học toàn quốc “Vật liệu và Kết
cấu Composite: Cơ học, Công nghệ và Ứng dụng,” Nha Trang, Vietnam, 2016, pp.
613–620.
[42]T.-K. Nguyen, V.-H. Nguyen, T. Chau-Dinh, T. P. Vo, and H. Nguyen-Xuan, ―Static
and vibration analysis of isotropic and functionally graded sandwich plates using an
edge-based MITC3 finite elements,‖ Composites Part B: Engineering, vol. 107, pp.
162–173, Dec. 2016.
[43]T. Chau-Dinh, Q. Nguyen-Duy, and H. Nguyen-Xuan, ―Improvement on MITC3 plate
finite element using edge-based strain smoothing enhancement for plate analysis,‖ Acta
Mech, vol. 228, no. 6, pp. 2141–2163, Jun. 2017.
[44]T. Chau-Dinh, T. Vo-Ngoc, and P. Nguyen-Hoang, ―A cell-based smoothed three-node
plate finite element with a bubble node for static analyses of both thin and thick
plates,‖ Vietnam Journal of Mechanics, vol. 39, no. 3, pp. 229–243, Sep. 2017.
[45]T.-K. Nguyen, V.-H. Nguyen, and T. Chau-Dinh, ―Cell- and node-based smoothing
MITC3-finite elements for static and free vibration analysis of laminated composite
and functionally graded plates,‖ Int. J. Comput. Methods, Apr. 2018.
[46]H. Nguyen-Van, ―Phân tích kết cấu tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) theo lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao dùng phần tử MITC3 được làm trơn trên cạnh,‖ Luận văn
Thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, 2017.
[47]J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells - Theory and
Analysis, Second. CRC Press, 2004.
20
Tải về để xem bản đầy đủ
22 trang
12/01/2024
20280
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM) chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phần tử cs-mitc3+", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- phan_tich_ket_cau_tam_phan_lop_chuc_nang_fgm_chiu_tai_trong.pdf
