Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 9: Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định

-118-

Ch−¬ng 9

ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

- chuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n

9.1. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

9.1.1 §Þnh nghÜa

ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n cã mét ®iÓm lu«n lu«n cè ®Þnh ®−îc gäi lµ

chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

ThÝ dô: Con quay t¹i chç, b¸nh

∆

xe «t« chuyÓn ®éng khi «t« l¸i trªn

∆

®−êng vßng; c¸nh qu¹t cña m¸y bay

ω

r

khi m¸y bay l−în vßng .v

M« h×nh nghiªn cøu vËt r¾n

ω

O

chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm

cè ®Þnh biÓu diÔn trªn h×nh 9.1.

H×nh 9 - 1

9.1.2 Th«ng sè ®Þnh vÞ.

VËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè

®Þnh cã thÓ biÓu diÔn b»ng tiÕt diÖn( S)

cña vËt quay quanh ®iÓm O ( h×nh 9.2 ).

TiÕt diÖn nµy kh«ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh

O vµ chuyÓn ®éng trong hÖ to¹ ®é cè

®Þnh Oxyz. §Ó x¸c ®Þnh th«ng sè ®Þnh vÞ

cña vËt ta dùng trôc oz, vu«ng gãc víi

tiÕt diÖn (S). Dùng mÆt ph¼ng π chøa hai

trôc oz vµ oz₁. MÆt ph¼ng nµy c¾t mÆt

ph¼ng oxy theo ®−êng OD. VÏ ®−êng

th¼ng ON vu«ng gãc víi mÆt

1

y₁

θ

0

y

Π

N

ψ

ϕ

x

x₁

N

H×nh 9-2

-119-

π

2

ph¼ng π khi ®ã cã gãc DON = . §−êng ON n»m trong mÆt ph¼ng Oxy

vµ gäi lµ ®−êng mót.

§Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt trong hÖ to¹ ®é oxyz tr−íc hÕt ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ

trÝ cña trôc oz₁, nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gãc θ vµ α. TiÕp theo ph¶i x¸c

®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña vËt so víi trôc oz₁nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña nã

so víi mÆt ph¼ng ONz₁, nhê gãc ϕ= NIA. Nh− vËy ta cã thÓ chän ba gãc ϕ, α vµ

θ lµ ba th«ng sè ®Þnh vÞ cña vËt., ë ®©y gãc α cßn cã thÓ thay thÕ b»ng gãc ψ =

π

− α .

2

Ba gãc ϕ, ψ, θ gäi lµ 3 gãc ¥le.

Gãc ϕ gäi lµ gãc quay riªng; gãc ψ gäi lµ gãc tiÕn ®éng vµ gãc θ gäi lµ

gãc ch−¬ng ®éng.

9.1.2.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

Trong qóa tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt c¸c gãc ¬le thay ®æi theo thêi gian v×

thÕ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh cã

d¹ng:

ϕ= ϕ (t).

ψ= ψ(t).

θ= θ( t).

(9.1 )

C¨n cø vµo kÕt qu¶ trªn cã thÓ ph¸t biÓu c¸c hÖ qu¶ vÒ sù tæng hîp vµ

ph©n tÝch chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh nh− sau:

HÖ qu¶ 9. 1: ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1 ®iÓm cè ®Þnh bao giê

còng cã thÓ ph©n tÝch thµnh ba chuyÓn ®éng quay thµnh phÇn quanh ba trôc giao

nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh O. C¸c chuyÓn ®éng ®ã lµ: chuyÓn ®éng quau riªng quanh

trôc Oz₁víi ph−¬ng tr×nh ϕ = ϕ( t); ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng quanh trôc

ON víi ph−¬ng tr×nh θ = θ( t) vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng quanh trôc Oz víi

-120-

ph−¬ng tr×nh ψ = ψ(t).

HÖ qu¶ 9.2: Tæng hîp hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng quay quanh c¸c trôc

giao nhau t¹i mét ®iÓm lµ mét chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh ®ã.

9.1.2.3. VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt.

- VËn tèc gãc.

Gäi vËn tèc gãc cña c¸c chuyÓn ®éng quay riªng, quay tiÕn ®éng vµ quay

ch−¬g ®éng lÇn l−ît lµ ϖ_1,ϖ₂vµ ϖ₃ta cã:

&

ϖ₁= ϕ ; ϖ₂= ψ ; ϖ₃=θ

Theo hÖ qu¶ 9.2 dÔ dµng suy ra vËn tèc gãc tæng hîp ϖ cña vËt

ϖ= ϖ₁+ ϖ₂+ ϖ₃

(9.2).

V× c¸c vect¬ ϖ₁, ϖ₂, ϖ₃thay ®æi theo thêi gian nªn ϖ còng lµ vect¬ thay

®æi theo thêi gian c¶ vÒ ®é lín lÉn ph−¬ng chiÒu.

Nh− vËy vect¬ ϖ lµ

vect¬ vËn tèc gãc tøc thêi

T¹i mét thêi ®iÓm cã thÓ

ω

3

1

xem chuyÓn ®éng cña vËt

r¾n quay quanh mét ®iÓm

cè ®Þnh nh− lµ mét chuyÓn

®éng quay tøc thêi víi vËn

tèc gãc ϖ quanh trôc quay

ω

1

∆

θ

ω

0

y

x

ψ

ω

2

tøc thêi ∆ ®i qua mét ®iÓm

N

cè ®Þnh O.( h×nh 9.3).

H×nh 9-3

- Gia tèc gãc:

Gäi gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε cña vËt ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt

r

theo thêi gian cña vÐc t¬ ω

-121-

N

.

r

d r

ω

ε = ω =

(9.3)

ω

2

ω

dt

ε

1

VÒ ph−¬ng diÖn h×nh häc cã thÓ x¸c ®Þnh

r

vÐc t¬ ε nh− lµ vÐc t¬ vËn tèc cña ®iÓm ®Çu N

vÐc t¬ vËn tèc gãc ω (h×nh 9.4).

0

XÐt tr−êng hîp ®Æc biÖt chuyÓn ®éng quay

ε

tiÕn ®éng ®Òu.

H×nh 9-4

ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1

®iÓm cè ®Þnh cã chuyÓn ®éng quay riªng vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng lµ ®Òu

cßn chuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng kh«ng cã , nghÜa lµ ϖ₁= const ; ϖ₂= const;

ϖ₃= 0

Tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy gäi lµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu.

Trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu vËn tèc gãc ®−îc x¸c

®Þnh:

ϖ = ϖ₁+ϖ₂= ϖ_r+ ϖ_e

Vµ gia tèc gãc:

(9.4)

ε = V_Nvíi N lµ ®iÓm mót cña ϖ.

Nh−ng ë ®©y theo h×nh vÏ 9.4 h×nh b×nh hµnh vËn tèc gãc ®−îc g¾n víi

mÆt ph¼ng π ( Oz vµ Oz₁) vµ quay quanh Oz víi vËn tèc ϖ₂( ϖ_e).

Do ®ã :

V_N= ϖ_ex ON = ϖ_ex ϖ = ϖ_ex ( ϖ_ex ϖ_r) = ϖ_ex ϖ_r

nghÜa lµ trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu th×:

ε = ϖ_ex ϖ_r= ϖ₂x ϖ

(9.5).

-122-

9.1.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trªn vËt

9.1.3.1. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm

Khi vËt chuyÓn ®éng, v× mäi ®iÓm cã kho¶ng c¸ch tíi ®iÓm O cè ®Þnh lµ

kh«ng ®æi v× thÕ quü ®¹o cña chóng lu«n n»m trªn mét mÆt cÇu cã t©m lµ O vµ

b¸n kÝnh b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t tíi ®iÓm cè ®Þnh O. ChÝnh v× thÕ

ng−êi ta cßn gäi chuyÓn ®éng quay cña mét vËt quanh mét ®iÓm cè ®Þnh lµ

chuyÓn ®éng cÇu.

9.1.3.2. VËn tèc cña ®iÓm

XÐt ®iÓm M trªn vËt. T¹i mét thêi ®iÓm vËt cã chuyÓn ®éng quay tøc thêi

r

víi vËn tèc gãc ωquanh trôc quay thøc

∆

thêi ∆ ®i qua O v× thÕ vËn tèc cña ®iÓm M

cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:

ω

r

v_M

V_M= ω × OM (9.6)

h

r

VÐc t¬ V_Mh−íng vu«ng gãc víi

M

α

r

mÆt ph¼ng chøa trôc ∆ vµ ®iÓm M vµ cã

®é lín V_M= ω.h. Trong ®ã h lµ kho¶ng

c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t M ®Õn trôc quay

tøc thêi ∆ (h×nh 9.5).

0

H×nh 9-5

∆

9.1.3.3. Gia tèc cña ®iÓm

Gia tèc cña ®iÓm M trªn vËt

r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

ω

M

h

W_ω

0

H

α

r

W

ε

h₁

r

d

W_M= V_M= .

(

ω× OM

)

dt

ε

r

d

dω

=ω× OM +

dt

× OM

H×nh 9-6

dt

-123-

r

= ω× V + ε_M× OM

r

§Æt ω× V_M= W_ωMvµ ε × OM = W_εM

Cuèi cïng ta ®−îc :

W_M= W_ωM+ W_εM

(9.7)

Trong ®ã: W_ωMh−íng tõ M vÒ H vµ cã ®é lín W_ω= h.ω²; W_εMh−íng

M

r

vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ ε vµ ®iÓm M cã ®é lín W_ε= h₁. ε. Víi h1

M

lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M tíi vÐct¬ ε .

Chó ý: VÒ h×nh thøc c¸c vÐc t¬ W_ωMvµ W_εMgièng nh− gia tèc ph¸p

tuyÕn W _nMvµ gia tèc tiÕp tuyÕn W_τMcña ®iÓm M khi nã quay quanh trôc ∆ cè

r

®Þnh nh−ng thùc chÊt lµ chóng kh¸c nhau v× ë ®©y hai vÐc t¬ ω vµ ε kh«ng

trïng ph−¬ng nh− trong chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh.

ThÝ dô 9.1: Kh¶o s¸t

chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu

ω

e

cña con quay cã hai bËc tù do

cho trªn h×nh vÏ (h×nh 9 -7). Cho

ω

α

biÕt chuyÓn ®éng quay t−¬ng ®èi

0

cña con quay quanh trôc Oz, cã

ε

ω

r

1

vËn tèc gãc ω_r= 200π. vµ

1

s

chuyÓn ®éng quay kÐo theo cña

trôc Oz₁quanh trôc Oz cã vËn

1

H×nh 9-7

tèc gãc ω_C= 2 π . Hai trôc Oz vµ Oz₁hîp víi nhau mét gãc α = 30⁰. T×m vËn

S

tèc gãc vµ gia tèc gãc cña con quay.

Bµi gi¶i:

ChuyÓn ®éng cña con quay lµ tæng hîp cña 2 chuyÓn ®æng t−¬ng ®èi vµ

kÐo theo . Hai chuyÓn ®éng nµy lµ c¸c chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau

-124-

t¹i mét ®iÓm O cè ®Þnh. Nh− vËy chuyÓn ®éng cña con quay lµ chuyÓn ®éng

quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh. ë ®©y chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc gãc ω_rlµ

r

chuyÓn ®éng quay riªng ω₁= ω_r; cßn chuyÓn ®éng kÐo theo víi vËn tèc ϖ lµ

chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng cßn ω₃=0. Con quay thùc hiÖn chuyÓn ®éng quay

tiÕn ®éng ®Òu .

r

Theo (9.4) ta cã vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω = ω_r= ω_e

r

VÐc t¬ ω ®−îc biÓu diÔn b¼ng ®−êng chÐo h×nh b×nh hµnh mµ hai c¹nh lµ

ω_rvµ ω_e.

V× ω_rhîp víi ω_emét gãc 30 ®é do ®ã dÔ dµng t×m ®−îc:

ω²= ω_r²+ ω_e²+ 2ω_e.ω_r.cos30⁰

hay: ω = ω²_r+ ω_e²+ 2ω_e.ω_r.cos30⁰

1

• Thay sè ta ®−îc ω = 202 π

.

S

Gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.5).

r

ε = V_N= ω_e× ON = ω_e×ω_r

= ω_e× ( ω_e+ ω _r) = ω_e× ω_r

VÐc t¬ ε h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng Ozz₁nh− h×nh vÏ vµ cã gi¸ trÞ:

1

S²

ε = ω_e.ω_rsin30⁰= 200 π².

ThÝ dô 9.2: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng

cña b¸nh xe «t« khi nã chuyÓn ®éng ®Òu

W W

p

ε

trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R =10m.

0

Cho biÕt b¸n kÝnh b¸nh xe r = 0,5m;

vËn tèc t©m b¸nh xe (vËn tèc «t«) lµ V₀=

36 km/h.

I

1

ω

ε

a

∆

P

X¸c ®Þnh vËn tèc gãc, gia tèc gãc

H×nh 9-8

-125-

tuyÖt ®èi cña b¸nh xe vµ vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm P trªn vµnh b¸nh xe (h×nh

9.8).

Bµi gi¶i:

ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe ®−îc hîp thµnh tõ hai chuyÓn ®éng thµnh phÇn:

ChuyÓn ®éng quay cña b¸nh xe quanh trôc Oz cña nã víi vËn tèc gãc ω₁vµ

chuyÓn ®éng cña trôc b¸nh xe Oz₁quay quanh trôc Oz th¼ng ®øng víi vËn tèc

gãc ω₂. Hai trôc z vµ z₁giao nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh I v× thÕ cã thÓ nãi chuyÓn

®«ng tæng hîp cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm I cè ®Þnh.

Trong tr−êng hîp nµy ω₁lµ vËn tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay riªng, ω₂lµ vËn

tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng. ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng cã

vËn tèc b»ng kh«ng.

r

- X¸c ®Þnh vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω cña b¸nh xe. Theo c«ng thøc (9.2) ta

cã:

r

ω = ω₁+ ω₂

r

V× hai trôc quay Iz vµ Iz₁lu«n lu«n vu«ng gãc do ®ã: ω₁vu«ng gãc ω₂.

MÆt kh¸c v× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng nªn vËn tèc ®iÓm P lµ

V_P=0.

Suy ra ®−êng IP chÝnh lµ trôc quay tøc thêi cña b¸nh xe. C¨n cø vµo h×nh

vÏ x¸c ®Þnh ®−îc ω₁= ω₂.cotgα.

V₀

r

Trong ®ã: ω₂=

vµ tgα =

.

R

Vµ ω = ω₁²+ ω²₂

Thay sè t×m ®−îc: ω₁= 20 (1/s), ω₂= 1 (1/s) vµ ω = 20 (1/s).

ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng tiÕn ®éng ®Òu do ®ã x¸c ®Þnh

gia tèc gãc tuyÖt ®èi.nh− sau:

r

ε= V_N= ω₂× IN = ω₂× ω₁

-126-

u

VÒ trÞ sè:ε = ω₂ω₁sin = 20 1/s²h−íng vµo trong vµ vu«ng gãc víi mÆt

2

ph¼ng h×nh vÏ.

- X¸c ®Þnh vËn tèc ®iÓm P

Do P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn vËn tèc cña nã V_p= 0.

- X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm P

Theo (9.7) W _P= W _ω+ W _ε

P

r

V× P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn W _ω= ω × OP=0

P

r

Cßn ω_εh−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ εvµo ®iÓm P nh−

P

h×nh vÏ víi trÞ sè:

W_ε= IP. ε = 10.20 = 200 m/s².

P

9.2. ChuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n (chuyÓn ®éng tù do

cña vËt r¾n)

9.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

Kh¶o s¸t vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do trong hÖ trôc to¹ ®é cè ®Þnh Oxyz. §Ó

thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt ta chän mét ®iÓm A bÊt kú trªn vËt

Oz. Khi ®ã vÞ trÝ cña vËt sÏ ®−îc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña hÖ Ax₁y₁z₁so víi hÖ

Oxyzvµ vi trÝ cña v¹t so víi hÖ di ®éng o x y z. Tõ ®ã suy ra th«ng sè ®Þnh vÞ cña

vËt so víi hÖ Oxyz sÏ lµ to¹ ®é x_A, y_A, z_Acña ®iÓm A vµ 3 gãc ¥le ϕ, ψ vµ θ cña

vËt. Suy ra ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt sÏ lµ:

x_A= x_A(t) y_A= y_A(t)

ϕ = ϕ(t) ψ = ψ(t)

z_A= z_A(t)

θ = θ(t)

( 9.7 )

®éng:

-127-

9.2.2. VËn tèc vµ gia tèc cña c¶ vËt

v

tèc gãc tøc thêi ω cña vËt quay quanh trôc quay tøc thêi ∆ ®i qua cùc A.

r

w _Avµ gia tèc gãc tøc thêi ε trong chuyÓn ®éng quay tøc thêi quanh trôc quay

tøc thêi ®i qua A.

9.2.3. VËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm trªn vËt

XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do. VËn tèc cña ®iÓm M sÏ

r

®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc: V_M= V_A+ V_MA.

( 9.8 )

v

chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm A. Ta cã:

r

v

V_MA= ω×AM; ω lµ vËn tèc gãc tøc thêi cña vËt trong chuyÓn

®éng quay quanh A.

T−¬ng tù gia tèc cña ®iÓm M còng ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓ thøc:

r

W_M= W_A+ W_MA

( 9.9 )

Trong ®ã: W _MA= W ^ω+ W ^ε

MA

r

ω

Víi: W _MA= ω × V_MA

r

ε

MA

W

= ε × V_MA

Cuèi cïng ta cã:

r

W_M= W_A+ W_M^ω_A+ W_M^ε_A.

( 9. 10 )

Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 9: Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định - Chuyển động tổng quát của vật rắn