Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 5: Chuyển động của điểm
-54-
PhÇn 2
§éng häc
§éng häc nghiªn cøu c¸c qui luËt chuyÓn ®éng cña vËt thÓ ®¬n thuÇn vÒ
h×nh häc, kh«ng ®Ò cËp ®Õn khèi l−îng vµ lùc. Nh÷ng kÕt qu¶ kh¶o s¸t trong
®éng häc sÏ lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu toµn diÖn c¸c qui luËt chuyÓn ®éng
cña vËt thÓ trong phÇn ®éng lùc häc.
Trong ®éng häc vËt thÓ ®−îc ®−a ra d−íi hai m« h×nh: ®éng ®iÓm vµ vËt
r¾n. §éng ®iÓm lµ ®iÓm h×nh häc chuyÓn ®éng trong kh«ng gian, cßn vËt r¾n lµ
tËp hîp nhiÒu ®éng ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú trong nã lu«n
lu«n kh«ng ®æi. Khi kh¶o s¸t c¸c vËt thùc cã kÝch th−íc kh«ng ®¸ng kÓ, cã thÓ
coi nh− m« h×nh ®éng ®iÓm.
ChuyÓn ®éng lµ sù thay ®æi vÞ trÝ cña vËt trong kh«ng gian theo thêi gian.
§¬n vÞ ®o ®é dµi lµ mÐt vµ ký hiÖu m, ®¬n vÞ ®o thêi gian lµ gi©y viÕt t¾t lµ s.
TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng phô thuéc vµo vËt chän lµm mèc ®Ó so s¸nh ta
gäi lµ hÖ qui chiÕu. Trong ®éng häc hÖ qui chiÕu ®−îc lùa chän tuú ý sao cho
viÖc kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt ®−îc thuËn tiÖn . §Ó cã thÓ tÝnh to¸n ng−êi ta
cßn ph¶i chän hÖ to¹ ®é g¾n víi hÖ qui chiÕu. Th«ng th−êng muèn h×nh vÏ ®−îc
®¬n gi¶n ta dïng ngay hÖ to¹ ®é lµm hÖ quy chiÕu.
TÝnh thêi gian th«ng th−êng ph¶i so s¸nh víi mèc thßi ®iÓm t0 chän tr−íc.
VÒ néi dung, ®éng häc ph¶i t×m c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt vµ m« t¶
chuyÓn ®éng cña vËt theo thêi gian so víi hÖ quy chiÕu ®· chän.
Th«ng sè x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt so víi hÖ quy chiÕu ®· chän lµ th«ng sè
®Þnh vÞ. Th«ng sè ®Þnh vÞ cã thÓ lµ vÐc t¬, lµ to¹ ®é, lµ gãc...
Qui luËt chuyÓn ®éng ®−îc biÓu diÔn qua c¸c biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ víi thêi gian vµ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. Trong
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng th× thêi gian ®−îc coi lµ ®èi sè ®éc lËp. Khi khö ®èi
sè thêi gian trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ vµ gäi lµ ph−¬ng tr×nh qòi ®¹o.
-55-
§Ó biÓu thÞ tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng ta ®−a ra c¸c ®¹i l−îng vËn tèc vµ
gia tèc. VËn tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ h−íng vµ tèc ®é chuyÓn ®éng cña ®iÓm hay
vËt.Gia tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ sù thay ®æi cña vËn tèc theo thêi gian. Gia tèc
cho biÕt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng ®Òu hay biÕn ®æi. VËn tèc vµ gia tèc lµ c¸c ®¹i
l−îng phô thuéc vµo thêi gian.
C¨n cø néi dung ng−êi ta chia ®éng häc thµnh hai phÇn: ®éng häc ®iÓm vµ
®éng häc vËt r¾n. Khi kh¶o s¸t ®éng häc cña vËt r¾n bao giê còng gåm hai phÇn:
§éng häc cña c¶ vËt vµ ®éng häc cña mét ®iÓm thuéc vËt.
Ch−¬ng 5
ChuyÓn ®éng cña ®iÓm
5.1. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng vÐc t¬
5.1.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng trong
z
hÖ qui chiÕu oxyz (h×nh 5-1).
M
(C)
VÞ trÝ ®éng ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nÕu
r
r
r
r
biÕt vÐc t¬ r = OM . VÐc t¬ r lµ th«ng sè ®Þnh
vÞ cña ®éng ®iÓm.
y
r
O
Khi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng vÐc t¬ r
biÕn thiªn liªn tôc theo thêi gian t do ®ã ta
viÕt ®−îc:
r
r
x
r = r (t)
(5-1)
NÕu biÕt ®−îc qui luËt biÕn thiªn (5-1)
ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña ®éng
®iÓm ë bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5-1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®éng ®iÓm M viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬.
-56-
Trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng, ®éng ®iÓm v¹ch ra mét ®−êng gäi lµ quÜ ®¹o
chuyÓn ®éng cña ®éng ®iÓm. Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng quÜ ®¹o còng chÝnh lµ
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (5-1) nh−ng viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
NÕu ®−êng quÜ ®¹o lµ th¼ng ta nãi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng th¼ng, nÕu
®−êng quÜ ®¹o lµ cong ta nãi chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng cong.
5.1.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t vÞ trÝ cña ®éng ®iÓm x¸c ®Þnh bëi vÐc t¬ ®Þnh vÞ r .
r
T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®éng ®iÓm ®Õn vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh bëi r 1, ta cã MM1 =
r
∆r
∆t
r
r
r
r 1 - r = ∆r (xem h×nh 5-2). Gäi tû sè
lµ vËn tèc trung b×nh cña ®éng ®iÓm
trong kho¶ng thêi gian ∆t vµ ký hiÖu lµ vtb . Khi ∆t cµng nhá nghÜa lµ M1 cµng
r
gÇn M th× vtb cµng gÇn ®Õn mét giíi h¹n,
giíi h¹n ®ã gäi lµ vËn tèc tøc thêi t¹i thêi
®iÓm t.
vcp
z
M1
v
NÕu ký hiÖu vËn tèc tøc thêi cña
∆r
r
r1
M
®éng ®iÓm lµ v th×:
r
r
r
∆v dr
v = lim
=
(5.3)
y
∆t→0
∆t dt
O
VËn tèc tøc thêi cña ®éng ®iÓm b»ng
®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vÐc t¬
®Þnh vÞ t¹i thêi ®iÓm ®ã.
x
r
H×nh 5.2
VÒ mÆt h×nh häc ta thÊy vÐc t¬ ∆ r
n»m trªn c¸t tuyÕn MM1 vµ h−íng tõ M ®Õn M1 v× vËy khi tiÕn tíi giíi h¹n vÐc t¬
r
vËn tèc v sÏ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o ë t¹i vÞ trÝ M ®ang xÐt vµ h−íng theo chiÒu
chuyÓn ®éng cña ®iÓm.
§¬n vÞ ®Ó tÝnh vËn tèc lµ mÐt/gi©y viÕt t¾t lµ m/s
-57-
5.1.3. Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t ®iÓm cã vËn tèc v vµ t¹i thêi ®iÓm t1 ®iÓm cã vËn
r
r
r
r
v1 − v
∆t
∆v
r
tèc lµ v1. Tû sè
=
gäi lµ gia tèc trung b×nh cña ®iÓm trong thêi gian
∆t
r
∆t. Giíi h¹n tû sè ®ã khi ∆t tiÕn tíi kh«ng gäi lµ gia tèc tøc thêi w cña ®iÓm. Ta
cã:
M
∆v
r
r
r
z
∆v dv d2 r
v
r
w = lim
∆t→0
=
=
(5-3)
dt2
∆t dt
r
ω
M1
r
Nh− vËy gia tèc tøc thêi cña ®iÓm lµ
vÐc t¬ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cu¶
vÐc t¬ vËn tèc hay ®¹o hµm bËc hai theo
thêi gian cña vÐc t¬ ®Þnh vÞ. VÒ mÆt h×nh
v1
ωcp
y
O
r
x
häc vÐc t¬ ∆v bµo giê còng h−íng vÒ phÝa
lâm cña ®−êng cong (xem h×nh 5-3), do
H×nh 5.3
r
®ã vÐc t¬ gia tèc w bao giê còng h−íng vÒ
phÝa lâm cña ®−êng cong. §¬n vÞ ®Ó ®o gia tèc lµ mÐt/gi©y2 viÕt t¾t lµ m/s2
5.1.4. TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng
§Ó xem xÐt chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ th¼ng hay cong ta c¨n cø vµo tÝch
r
r r
v xw = c
r
r
r
r
NÕu c = 0 th× v vµ w cïng ph−¬ng, nghÜa lµ vËn tèc v cã ph−¬ng kh«ng
®æi. ChuyÓn ®éng lóc ®ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng.
r
r
r
r
NÕu c ≠ 0 th× v vµ w hîp víi nhau mét gãc ®iÒu ®ã chøng tá vÐc t¬ v
thay ®æi ph−¬ng vµ chuyÓn ®éng sÏ lµ chuyÓn ®éng cong. §Ó xÐt chuyÓn ®éng
r r
cña ®iÓm lµ ®Òu hay biÕn ®æi ta c¨n cø vµo tÝch v« h−íng v . w = B.
r
d(v)2 d(v2 )
r
r
r
V× v2 = (v )2 nªn
=
= 2v . w
dt
dt
r
Cho nªn nÕu B = 0 th× chøng tá v lµ h»ng sè nghÜa lµ ®éng ®iÓm chuyÓn
®éng ®Òu.
-58-
r
NÕu B ≠ 0 th× v lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi, chuyÓn ®éng lµ biÒn ®æi. NÕu B > 0
chuyÓn ®éng nhanh dÇn vµ B < 0 chuyÓn ®éng chËm dÇn.
5.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é §Ò c¸c
5.2.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo
®−êng cong trong hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c oxyz
(h×nh 5-4).
z
M
r
k
ë ®©y c¸c to¹ ®é x,y,z lµ c¸c th«ng sè
z
y
J
®Þnh vÞ cña ®iÓm M.
O
x
i
Khi M chuyÓn ®éng c¸c to¹ ®é nµy thay
®æi liªn tôc theo thêi gian do ®ã ta cã:
y
x
x = x(t);
H×nh 5.4
y = y(t);
z = z(t).
(5-4)
C¸c ph−¬ng tr×nh (5-4) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm vµ còng lµ
ph−¬ng tr×nh quÜ ®¹o cña ®iÓm viÕt d−íi d¹ng th«ng sè trong to¹ ®é §Ò c¸c.
5.2.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r r r
NÕu gäi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn ba trôc to¹ ®é lµ i, j , k th× vÐc t¬ ®Þnh vÞ vµ
vÐc t¬ vËn tèc cã thÓ viÕt:
r
r
r
r
r = x i + y j + z k . Suy ra
r
r
j +
r
r
r
r
i +
r
k
dr
dt
r
d
dx
dt
dy
dt
dz
dt
v =
=
(x i + y j + zk ) =
dt
(5.5)
BiÓu thøc trªn chøng tá:
dx
dt
dy
dt
dz
dt
&
&
&
vx =
= x ;
vy =
= y;
vx =
= z .
(5.6)
-59-
H×nh chiÕu vÐc t¬ vËn tèc lªn c¸c trôc to¹ ®é b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo
thêi gian c¸c to¹ ®é t−¬ng øng.
Dùa vµo c¸c biÓu thøc (5.6) dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc vÐc t¬ vËn tèc c¶ vÒ ®é
lín vµ ph−¬ng chiÒu.
2
2
2
dx
dt
dy
dt
dz
dt
⎛
⎜
⎞
⎟
⎛
⎜
⎞
⎟
⎛
⎜
⎞
⎟
v = v2 + v2 + v2
=
+
+
x
y
z
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
vy
v
vx
v
vz
v
cos(ox,v) =
;
cos(oy,v) =
;
cos(oz,v) =
.
5.2.3. Gia tèc cña ®iÓm
T−¬ng tù nh− ®èi víi vËn tèc, dùa vµo biÓu thøc (5.3) ta cã thÓ t×m thÊy:
d2x
dvx
&&
= x ;
wx =
wy =
wx =
=
=
=
dt2
dt
d2 y
dt2
dvy
dt
&&
= y ;
(5.7)
d2z
dt2
dvz
dt
&&
= z .
Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm sÏ ®−îc x¸c ®Þnh vÒ ®é lín vµ ph−¬ng
chiÒu theo c¸c biÓu thøc sau:
&&2 &&2 &&2
w = w2 + w2 + w2 = x + y + z
x
y
z
wy
w
wx
w
wz
w
cos(ox,w) =
;
cos(oy,w) =
;
cos(oz,w) =
.
r
r
Khi biÕt v vµ w ta cã thÓ xem xÐt ®−îc tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.
5.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é tù nhiªn
5.3.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo mét ®−êng cong AB trong hÖ
to¹ ®é oxyz. (xem h×nh vÏ 5.5). Trªn quÜ ®¹o AB lÊy ®iÓm O lµm gèc vµ chän
-60-
chiÒu d−¬ng cho ®−êng cong. Th«ng th−êng ta chän chiÒu d−¬ng cña ®−êng
cong lµ chiÒu mµ ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng. Râ rµng nÕu biÕt cung OM = s ta cã
thÓ biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn quÜ ®¹o. Nãi kh¸c ®i cung OM = s lµ th«ng sè
®Þnh vÞ cña ®éng ®iÓm, cßn gäi lµ to¹ ®é cong. Khi ®iÓm M chuyÓn ®éng s sÏ
biÕn ®æi liªn tôc theo thêi gian nghÜa lµ:
s = s(t)
(5.8)
BiÕt ®−îc quy luËt biÕn thiªn (5.8) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ë
bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5.8) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®iÓm. Theo ph−¬ng ph¸p nµy ®Ó x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña ®iÓm ph¶i biÕt:
- QuÜ ®¹o chuyÓn ®éng AB
- ChiÒu chuyÓn ®éng trªn quÜ ®¹o
- Quy luËt chuyÓn ®éng (5.8).
5.3.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng cong AB. T¹i thêi ®iÓm t
®éng ®iÓm ë vÞ trÝ M x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s. T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®iÓm
ë vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s1 = s + ∆s.
-0+
A
∆s
∆t
s1 − s
∆t
Tû sè
=
= vtb gäi lµ tèc ®é trung
s
M
z1
b×nh.
B
Giíi h¹n cña tû sè nµy khi ∆t tiÕn tíi
O1
kh«ng gäi lµ tèc ®é tøc thêi cña ®iÓm t¹i thêi
®iÓm t vµ ký hiÖu lµ v.
y1
x1
H×nh 5.5
∆s ds
∆t dt
&
= s
v= lim
=
∆t→0
-0+
M1
s
v
∆s
(5.8)
s1
VËn tèc cã gi¸ trÞ b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
theo thêi gian cña qu·ng ®−êng s, cã ph−¬ng tiÕp
H×nh 5.6
-61-
tuyÕn víi quÜ ®¹o, h−íng theo chiÒu cña chuyÓn ®éng. ( xem h×nh 5.6).
5.3.3. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña ®iÓm.
5.3.3.1. HÖ to¹ ®é tù nhiªn
Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng theo
n
v1
b
v1n
B
®−êng cong AB nh− h×nh (5.7).
M1
a
∆ϕ
v
τ
1
Trªn ®−êng cong lÊy hai ®iÓm M1M1'
l©n cËn hai bªn ®iÓm M. VÏ mÆt ph¼ng ®i
qua ba ®iÓm ®ã. Khi hai ®iÓm M1M1' tiÕn
gÇn ®Õn M th× mÆt ph¼ng trªn tiÕn gÇn ®Õn
giíi h¹n cña nã lµ mÆt ph¼ng (π) gäi lµ mÆt
ph¼ng mËt tiÕp. Trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp
vÏ ®−êng Mτ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o (trïng
A
τ
M1
M
v
b
H×nh 5.7
r
víi vÐc t¬ vËn tèc (v). Mét trôc kh¸c vÉn
n»m trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp vµ vu«ng gãc víi Mτ t¹i M ký hiÖu lµ Mn gäi lµ
ph¸p tuyÕn chÝnh. Trôc Mb vu«ng gãc víi hai trôc kia gäi lµ trïng ph¸p tuyÕn.
Ta chän chiÒu cña ba trôc Mτnb t¹o thµnh mét tam diÖn thuËn vµ gäi lµ hÖ to¹
®é tù nhiªn.
5.3.2. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ ph¸p tuyÕn cña ®iÓm
Nh− trªn ®· biÕt:
r
r
r
r
∆v
v1 − v
∆t
lim
∆t Æ 0
lim
w =
=
=
=
∆t Æ 0
∆t
ChiÕu biÓu thøc nµy lªn c¸c trôc to¹ ®é tù nhiªn ta cã:
vt1 − vt
lim
wt =
=
;
∆t Æ 0
∆t
vn1 − vn
∆t
lim
wn =
=
;
∆;t Æ 0
wb = 0;
Trªn h×nh (5.7) gäi cung MM1 = ∆s ; gãc hîp bëi vvµ Mτ lµ ∆ϕ ta cã:
r
-62-
∆ϕ
∆s
1
= k =
lim
∆t→0
ρ
Tû sè k gäi lµ ®é cong cßn ρ lµ b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i M.
r
r
MÆt kh¸c khi chiÕu vÐc t¬ vvµ v1 lªn c¸c trôc ta ®−îc:
vt = v
vn = 0
vt1 = v1cos∆ϕ;
vn = v1sin∆ϕ;
1
Thay thÕ kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña wt vµ wn sÏ ®−îc:
v1 cos∆ϕ − v
wt =
wn =
;
lim
∆t→0
∆t
sin ∆ϕ
∆t
;
)
lim(v
1
∆t→0
Khi ∆t tiÕn tíi 0, ®iÓm M1 dÇn tíi M vµ ∆ϕ tiÕn tíi 0, ∆s tiÕn tíi 0, v1 tiÕn
tíi v; cosϕ tiÕn tíi 1. Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc trªn ta nhËn ®−îc:
dv d2s
v1 − v
wt = lim
=
=
= s;
&&
dt2
∆t
dt
sin ∆ϕ ∆ϕ ∆s
∆t ∆s ∆t
v2
wn = lim(v1
.
.
) =
.
ρ
Trong biÓu thøc (5.9) wt vµ wn lµ gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn
cña ®iÓm t¹i thêi ®iÓm t.
r
Gia tèc tiÕp tuyÕn w t cã trÞ sè b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña
vËn tèc hay b»ng ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña qu·ng ®−êng ®i s, cã
r
r
ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o, cïng chiÒu víi v khi wt > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v
khi wt <0. (h×nh 5.8).
r
Gia tèc ph¸p tuyÕn w n cã gi¸ trÞ b»ng b×nh ph−¬ng cña vËn tèc chia cho
b¸n kÝnh cong, lu«n lu«n h−íng theo ph¸p tuyÕn Mn vÒ phÝa lâm cña ®−êng
cong.
Gia tèc toµn phÇn cña ®iÓm M cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
-63-
2
2
2
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
dv
dt
v
⎛
⎜
⎞
⎟
w = wr2 + wn2
=
+
(5.10)
ρ
⎝
⎠
r
Ph−¬ng cña w lu«n lu«n h−íng vÒ phÝa lâm cña ®−êng cong vµ hîp víi
ph¸p tuyÕn mét gãc µ.
wt
wn
tgµ =
;
(5.11)
n
n
ω
ωn
ωn
ω
µ
µ
τ
M
τ
ωτ
M
ωτ
-0+
b)
Khi wt < 0
-0+
a)
Khi wt > 0
H×nh 5.8
5.3.4. Mét sè tr−êng hîp chuyÓn ®éng ®Æc biÖt
5.3.4.1. ChuyÓn ®éng th¼ng
v2
Trong tr−êng hîp nµy ρ = ∞ vµ wn =
= 0 .
ρ
r
r
r
dv
dt
Khi ®ã chØ cßn: w = w t =
.
Gia tèc b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vËn tèc, cïng chiÒu víi
r
r
r
r
v khi w > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v khi w <0. CÇn chó ý khi chuyÓn ®éng cña
®iÓm lµ th¼ng ta míi cã kÕt qu¶ trªn.
5.3.4.2. ChuyÓn ®éng cong ®Òu
Ta gäi chuyÓn ®éng cong ®Òu lµ chuyÓn ®éng cã trÞ sè vËn tèc kh«ng ®æi
v = const.
v2
dv
Khi ®ã wt =
= 0 vµ w = wn =
dt
ρ
-64-
Gia tèc toµn phÇn b»ng gia tèc ph¸p tuyÕn c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.
Trong chuyÓn ®éng cong ®Òu ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cã thÓ thiÕt lËp nh− sau:
ds
Ta cã:
= v,
ds = vdt.
dt
S
t
TÝch ph©n hai vÕ ta cã: ds = vdt,
∫ ∫
S0
t
Hay s = s0 + v.t
5.3.4.3. ChuyÓn ®éng th¼ng biÕn ®æi ®Òu
Trong tr−êng hîp nµy wt = wn = 0 do ®ã w = 0. Suy ra ph−¬ng tr×nh
chuyÓn ®éng x = xo + v.t
5.3.4.4. ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu
ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu lµ chuyÓn ®éng cã wt = const.
dv
Ta cã:
= wt ; dv= wtdt
dt
v
t
LÊy tÝch ph©n hai vÕ sÏ ®−îc: dv = wt .dt, hay v = v + wt.t
∫
∫
t
o
vo
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt ®−îc:
ds
= v + w t .t suy ra : ds = vodt + wt.t.dt;
o
dt
w t t2
Hay: s = so + vot +
.
2
Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n thÝ dô.
y
ThÝ dô 5.1: X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc
vµ gia tèc cña ®iÓm M n»m gi÷a tay biªn AB
cña c¬ cÊu biªn tay quay OAB, (xem h×nh
5.9) cho biÕt OA = AB = 2a vµ thêi ®iÓm
kh¶o s¸t t−¬ng øng víi gãc ϕ cña c¬ cÊu, víi
A
M
ϕ
O
x
B
ϕ = ωt.
H×nh 5.9
-65-
Bµi gi¶i:
Chän hÖ to¹ ®é oxy n»m trong mÆt ph¼ng c¬ cÊu.
Gäi to¹ ®é cña ®iÓm M lµ x,y ta cã:
x = 2acosϕ + a cosϕ = 3 acosϕ;
y = a sinϕ.
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm trong to¹ ®é §Ò c¸c.
§Ó x¸c ®Þnh quü ®¹o cña ®iÓm, tõ ph−¬ng tr×nh trªn rót ra:
x
y
sinωt = ;
a
cosωt =
;
3a
y2
9a2 a2
x2
suy ra
+
=1.
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh Enlip nhËn c¸c trôc ®èi xøng lµ ox vµ oy ( xem
h×nh vÏ 5.9).
§Ó t×m vËn tèc ta ¸p dông biÓu thøc (5.6) cã:
dx
vx =
vy =
= −3a sin ωt ;
= aωcos ωt .
dt
dy
dt
Cuèi cïng x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc cña ®iÓm M nh− sau:
v = v2 + v2 = 9sin2 ωt + cos2 ωt.a.
x
y
M
r
Ph−¬ng chiÒu cña v M nh− h×nh vÏ. Tõ kÕt qu¶ trªn ta thÊy vmin = aω vµ
vmax = 3aω.
Theo biÓu thøc (5.7) x¸c ®Þnh ®−îc gia tèc cña ®iÓm M:
d2 x
dt2
wx =
= -3aω2cosωt = - ω2x;
wy = -aω2sinωt = - ω2y;
-66-
Gia tèc toµn phÇn w = ω4 (x2 + y2 ) = ω2 r.
Ph−¬ng chiÒu cña w ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c gãc chØ ph−¬ng nh− sau:
w y
w
r
w x
w
y
= − .
r
x
cos(w,ox) =
= − ; cos(w,oy) =
r
Tõ kÕt qu¶ trªn cho thÊy ph−¬ng chiÒu w lu«n lu«n h−íng tõ M vÒ O.
ThÝ dô 5.2. §iÓm M chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh:
x= a sinωt ;
y = a cosωt;
z=ut.
Trong ®ã a, ω vµ u lµ kh«ng ®æi.
X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M.
Bµi gi¶i:
Tõ hai ph−¬ng tr×nh ®Çu suy ra:
sin2ωt + cos2ωt = a2
hay
x2 + y2 = a2
(a)
KÕt hîp ph−¬ng tr×nh (a) víi ph−¬ng tr×nh z = ut ta thÊy ®iÓm chuyÓn
®éng trªn mÆt trô b¸n kÝnh a vµ trôc lµ oz.
Tõ z = ut suy ra t = z/u vµ thay vµo biÓu thøc cña x ta ®−îc:
ω
u
ω
u
x = a sin .z;
y = cos .z;
Quü ®¹o cña ®iÓm M lµ mét ®−êng vÝt, cã trôc oz.
Gäi T1 lµ chu kú cña ®−êng vÝt. T1 x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
2π
ω
ωT = 2 π hay T1 =
Trong thêi gian T1 ®éng ®iÓm quay quanh trôc oz ®−îc mét vßng ®ång
2uπ
thêi còng tiÕn theo däc trôc oz mét ®o¹n h =uT1 =
; h gäi lµ b−íc cña vÝt.
ω
§Ó x¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c.
-67-
vx = aω cosωt;
vy = aω sinωt;
vz = u.
Tõ ®ã x¸c ®Þnh vËn tèc v cña ®iÓm.
v = v2 + v2 + v2 = a2 ω2 (cos2 ωt + sin2 ωt) + u2 ;= a2ω2 + u2
x
y
z
Nh− vËy vËn tèc v cña ®iÓm cã trÞ sè kh«ng ®æi vµ ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi
quü ®¹o (xem h×nh 5.10). T−¬ng tù ta x¸c ®Þnh ®−îc:
wx = -aω2sinωt
wx = -aω2cosωt;
wz = 0.
z
vµ w = w2 + w2 = aω2 .
x
y
a
Gia tèc cña ®iÓm cã ®é lín kh«ng ®æi
cßn ph−¬ng chiÒu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c
cosin chØ ph−¬ng.
C
ω
y
y
O
α
w x
w
x
x
z
a
β
cos(w,x) =
cos(w,y) =
= −sin ωt = ;
a
x
w y
w
y
= −sin ωt = ;
a
H×nh 5.10
w z
cos(w,x)
= 0.
w
MÆt kh¸c ta thÊy:
y
x
a
= cosα; = cosβ.
a
α vµ β biÓu diÔn trªn h×nh vÏ.
r
Nh− vËy gia tèc w lu«n lu«n h−íng theo b¸n kÝnh tõ ®éng ®iÓm vµo trôc oz.
-68-
ThÝ dô 5.3: Mét b¸nh xe b¸n kÝnh R l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng th¼ng.
VËn tèc t©m b¸nh xe v = v(t).
LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n»m trªn vµnh b¸nh xe.
Kh¶o s¸t vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M ®ã.
Kh¶o s¸t tÝnh biÕn ®æi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn quü ®¹o øng víi mét
vßng l¨n cña b¸nh xe khi V=Vo = cosnt.
Bµi gi¶i:
Chän gèc to¹ ®é lµ ®iÓm tiÕp xóc O gi÷a M vµ mÆt ®−êng (xem h×nh
5.11).
§Æt gãc PCM = ϕ. §Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta t×m quan hÖ
gi÷a c¸c to¹ ®é x.y cña ®iÓm víi gãc ϕ.
y
M
v
C
C0
O
C
P
E
R
ϕ
A
x
M0
H
H×nh 5.11
-69-
Trªn h×nh cã x = OH = OP - PH = Rϕ - R sinϕ;
y = HM =R + Rsin(ϕ-900) = R - Rcosϕ = R(1 - cosϕ);
t
V× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît nªn: OP = v dt .
∫
(t)
0
Suy ra ϕ = ϕ(t) =
t v(t) dt
1
∫
o
R
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M cã thÓ viÕt ®−îc:
x= R(ϕ- sinϕ);
y= R(1- cosϕ);
ϕ = ϕ(t).
§©y lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng Xycloit viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn cung OA.
VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm x¸c ®Þnh nh− sau:
&
&
v = x = Rϕ(1− cos ϕ);
r
x
v
&
&
vy = y = Rϕsin ϕ
2
&
&&
&
w = v = Rϕ sin ϕ + Rϕ(1− cosϕ);
r
x
x
w
2
&
&&
&
w y = vy = Rϕ cosϕ + Rϕsin ϕ.
T¹i vÞ trÝ ch¹m ®Êt O vµ A th× ϕ =0 vµ ϕ = 2π. Khi ®ã sinϕ = 0, cosϕ =1.
vµ: vx = 0 ; vy = 0 suy ra v = 0;
wx = 0; wy = Rϕ2 > 0.
r
w lóc nµy kh¸c kh«ng, do ®ã ®iÓm chØ dùng l¹i tøc thêi ë mÆt ®Êt.
Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt v = v0 = h»ng sè th×:
vo t
R
t v(o) dt =
;
1
ϕ =
∫
o
R
-70-
vo t
R
vo
R
&
ϕ=
&&
ϕ = 0.
ϕ =
;
ϕo = 0;
;
Lóc nµy:
vx = vo(1-cosϕ);
vy = vosinϕ;
v2
v2
o
o
wx =
sin ϕ;
wy =
cos ϕ.
R
R
§Ó xÐt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm trªn cung OA ta cã:
v3
v3
r r
o
o
v. w = vx.wx + vy.wy =
[
(
)
]
sin ϕ 1 − cos ϕ + sin ϕcos ϕ ;
=
sin ϕ.
R
R
r r
r r
Nh− vËy v. w > 0 trong kho¶ng 0 < ϕ < π vµ v.w < 0 trong kho¶ng π <
ϕ < 2π.
Trªn nöa cung ®Çu ®iÓm chuyÓn ®éng nhanh dÇn cßn nöa cung sau ®iÓm
chuyÓn ®éng chËm dÇn.
r
VÝ dô 5.4. Mét vËt r¾n b¾n ra theo ph−¬ng ngang víi vËn tèc ban ®Çu vo
1
sau ®ã r¬i xuèng theo quy luËt :
x = vot;
y = gt2
2
T×m quü ®¹o, vËn tèc, gia tèc toµn phÇn, gia tèc tiÕp tuyÕn, gia tèc ph¸p
tuyÕn, b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i mét thêi ®iÓm t bÊt kú.
Bµi gi¶i:
Khö thêi gian t trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc ph−¬ng tr×nh quü
g
v2
®¹o:
y =
x2 .
o
§©y lµ ph−¬ng tr×nh parabol. (xem h×nh
5.12).
x
O
VËn tèc cña vËt x¸c ®Þnh ®−îc
M
dx
ωn
n
vx =
= vo ;
ωτ
dt
τ
ω
y
H×nh 5.12
-71-
dy
dt
vy =
= gt;
v = v2 + g2 t2 .
o
Gia tèc cña ®iÓm ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
d2 y
dt2
d2 x
dt2
wx =
= 0;
wy =
= g.
Suy ra w = g . Gia tèc cña vËt b»ng gia tèc träng tr−êng.
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tiÕp tuyÕn ta cã:
g2 t
vo2 + g2 t2
g2 t
v
dv
dt
wt =
=
=
.
2
Theo kÕt qu¶ ë trªn v2 = vo + g2t2 nªn suy ra:
1
t =
v2 + vo2 .
g
Thay vµo biÓu thøc cña wt ta ®−îc:
v02
v2
wt = g 1 −
.
Tõ kÕt qu¶ nµy ta thÊy t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu v = vo th× wt = 0
Khi v → ∞ th× wt → g.
TiÕp theo ta x¸c ®Þnh gia tèc ph¸p tuyÕn c¨n cø vµo biÓu thøc:
w2 = w2 + w2
τ
n
vo2
v2
vo2
v2
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
2
2
2
2
⎜
Ta cã:
w = w - w = g + g 1−
= g
;
τ
n
⎜
⎝
vo
v
suy ra :
w n = g
.
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo do ®ã wn = g.
-72-
Tõ biÓu thøc t×m ®−îc cña wn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc b¸n kÝnh cong cña
quü ®¹o.
v2
v3
v2
wn =
suy ra ρ =
hay ρ =
.
ρ
wn
v0g
vo2
.
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo ta cã ρ =
Khi v → ∞ th× ρ → ∞.
g
19 trang
20620
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 5: Chuyển động của điểm", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_chuong_5_chuyen_dong_cua_diem.pdf
