Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 4: Trọng tâm của vật rắn

-46-

Ch−¬ng 4

Träng t©m cña vËt r¾n

4.1. T©m cña hÖ lùc song song

r

2

r

HÖ lùc song song (F₁, F , ... F_n) lu«n cã hîp lùc R song song víi c¸c lùc

r

®· cho. Theo lý thuyÕt vÒ hÖ lùc, hîp lùc R ®−îc x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc:

n

r

2

r

n

r

F

i

R = F +F +... F =

(4-1)

∑

1

i=1

Khi ta thay ®æi ph−¬ng cña hÖ lùc ph−¬ng cña hîp lùc còng thay ®æi theo.

Ch¼ng h¹n lóc ®Çu hÖ lùc cã hîp lùc lµ R song song víi c¸c lùc ®· cho , sau khi

xoay hÖ lùc cho song song víi trôc oz ta sÏ ®−îc hîp lùc R' cã ®é lín b»ng R

nh−ng cã ph−¬ng song song víi

trôc oz. MÆc dï hîp lùc thay ®æi

ph−¬ng khi ph−¬ng cña hÖ lùc

thay ®æi nh−ng ®−êng t¸c dông

cña chóng ®Òu ®i qua ®iÓm C

®iÓm nµy gäi lµ t©m cña hÖ lùc

song song ®· cho.

A₂

z

A₁

r

r '₂

r ₂

r

r '₁

r ₁

C

A₄

A₃

r

z_C

r '₄

r ₄

y

O

r

§Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña t©m C

r '₃

y_C

r ₃

x_C

ta vËn dông ®Þnh lý Va-ri-nh«ng.

x

r

R '

r

R

r

Cho hîp lùc R ' nh− h×nh vÏ ta cã:

n

M (R') = m (Fⁿ);

∑

y

i

H×nh 4.1

i=1

n

R.X = F x ;

∑

c

i

i=1

n

Fx

∑

i

i=1

hay X_c=

;

R

-47-

Trong ®ã X_clµ to¹ ®é cña ®iÓm C trªn trôc ox, x_ilµ to¹ ®é cña ®iÓm A_i

trªn trôc ox.

B»ng c¸ch xoay ph−¬ng cña hÖ lùc cho song song víi trôc ox vµ oy ta sÏ

nhËn ®−îc c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù víi to¹ ®é cña C trªn hai trôc oy vµ oz. Ta x¸c

®Þnh hÖ to¹ ®é cña t©m C theo c¸c biÓu thøc sau:

n

Fx

∑

i

i=1

X_c=

Y_c=

Z_c=

;

R

n

Fy

∑

i

i=1

(4-2)

R

n

Fz

∑

i

i=1

.

R

Nh− vËy cã thÓ x¸c ®Þnh hîp lùc cña hÖ lùc song song nhê c¸c biÓu thøc

(4-1) vµ (4-2)

4.2. Träng t©m cña vËt r¾n

r

Coi vËt r¾n lµ tËp hîp cña n phÇn tö cã träng l−îng P ₁, P ₂...P _n. C¸c

träng lùc P_it¹o thµnh mét hÖ lùc song song. T©m cña hÖ c¸c träng l−îng phÇn tö

nµy gäi lµ träng t©m cña vËt.

Nh− vËy gäi C lµ träng t©m cña vËt th× to¹ ®é cña ®iÓm C ®−îc x¸c ®Þnh

b»ng c¸c biÓu thøc sau:

n

Px

∑

i

i=1

X_c=

Y_c=

;

P

n

P y

∑

i

i=1

(4-3)

P

-48-

n

Pz

∑

i

i=1

Z_c=

.

P

r

Trong ®ã P _ivµ P lµ träng l−îng cña phÇn tö thø i trong vËt, vµ träng l−îng

cña c¶ vËt, cßn x_i, y_i, z_ilµ to¹ ®é cña phÇn tö thø i.

Nh− vËy träng t©m cña vËt lµ mét ®iÓm C trªn vËt mµ tæng hîp träng

l−îng cña c¶ vËt ®i qua khi ta xoay vËt ®ã ë bÊt kú chiÒu nµo trong kh«ng gian.

4.3. Träng t©m cña mét sè vËt ®ång chÊt

4.3.1. VËt r¾n lµ mét khèi ®ång chÊt

Gäi träng l−îng riªng cña vËt lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ thÓ tÝch)

th× P_i= γ.v_ivµ P = γ.v. Trong ®ã v_ivµ v lµ thÓ tÝch cña phÇn tö thø i cña vËt vµ thÓ

tÝch c¶ vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt lóc nµy cã thÓ x¸c ®Þnh bëi c¸c biÓu thøc:

n

v x

v y

v z

∑

i

i=1

x_c=

;

y_c=

;

z_c=

.

v

4.3.2. VËt r¾n lµ mét tÊm máng ®ång chÊt

Gäi träng l−îng riªng cña vËt r¾n lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ diÖn

tÝch) ta sÏ cã P_i= γ.S_ivµ P = γ.S ë ®©y S_ivµ S lµ diÖn tÝch cña phÇn tö thø i cña

vËt vµ diÖn tÝch toµn vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt trong hÖ to¹ ®é oxy chøa vËt

x¸c ®Þnh theo biÓu thøc sau:

n

S x

S y

∑

i

i=1

x_c=

;

y_c=

;

S

4.3.3. VËt r¾n lµ mét d©y hay thanh m¶nh ®ång chÊt

Gäi träng l−îng riªng cña vËt lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ chiÒu dµi

vËt) ta cã P_i= γ.L_ivµ P = γ.L. Trong ®ã L_ivµ L lµ chiÒu dµi cña phÇn tö thø i vµ

chiÒu dµi cña c¶ vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt lóc nµy cã thÓ x¸c ®Þnh bëi c¸c

biÓu thøc:

-49-

n

L x

L y

L z

∑

i

i=1

x_c=

;

y_c=

;

z_c=

.

L

4.3.4. VËt r¾n ®ång chÊt cã mét t©m, mét trôc hay mét mÆt ph¼ng ®èi xøng

Ta cã nhËn xÐt r»ng trªn vËt bao giê còng t×m ®−îc hai phÇn tö ®èi xøng

cã träng l−îng P₁, P₂nh− nhau song song cïng chiÒu qua t©m ®èi xøng, trôc ®èi

xøng hay mÆt ph¼ng ®èi xøng cña vËt vµ nh− vËy hîp lùc cña nã sÏ ®i qua ®iÓm

®èi xøng n»m trªn trôc ®èi xøng hay mÆt ph¼ng ®èi xøng. DÔ dµng nhËn thÊy

r

r»ng hîp lùc cña c¸c P _i( i = 1...n), nghÜa lµ träng l−îng cña vËt bao giê còng ®i

qua t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng hay n»m trong mÆt ph¼ng ®èi xøng nÕu nh−

xoay vËt sao cho mÆt ph¼ng ®èi xøng ®ã ë vÞ trÝ th¼ng ®øng. Nãi c¸ch kh¸c träng

t©m cña vËt trong tr−êng hîp cã mét t©m ®èi xøng, cã mét trôc ®èi xøng hay cã

mét mÆt ph¼ng ®èi xøng bao giê còng n»m trªn t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng hay

mÆt ph¼ng ®èi xøng ®ã.

4.3.5. Träng t©m cña vËt cã thÓ ph©n chia thµnh nh÷ng vËt nhá ®¬n gi¶n

Trong tr−êng hîp nµy ta chia vËt thµnh

y

C₃

c¸c phÇn cã h×nh d¹ng ®¬n gi¶n dÔ x¸c ®Þnh

träng t©m, sau ®ã coi mçi vËt ®ã nh− mét phÇn

tö nhá cña c¶ vËt, mçi phÇn tö nµy cã träng

l−îng ®Æt t¹i träng t©m. X¸c ®Þnh ®−îc träng

l−îng vµ träng t©m c¸c phÇn nhá cña vËt ta sÏ

x¸c ®Þnh ®−îc träng t©m cña c¶ vËt nhê c¸c

biÓu thøc x¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m ë trªn.

C₂

C₁

x

O

Sau ®©y ta vËn dông nh÷ng kÕt qu¶ trªn

®Ó t×m träng t©m cña mét sè vËt.

H×nh 4.2

ThÝ dô 4.1: X¸c ®Þnh träng t©m cña tÊm

t«n ph¼ng cã h×nh d¹ng nh− h×nh vÏ (4-2).

B¶ng 4.1

C₁

-1

1

C₂

1

5

C₃

5

9

x_i

y_i

S_i

BiÕt r»ng tÊm t«n lµ ®ång chÊt vµ kÝch

4

20

12

th−íc cña c¸c c¹nh tÝnh b»ng cm ®· cho trªn

-50-

h×nh.

Bµi gi¶i:

Tr−íc hÕt chia vËt thµnh 3 phÇn, mçi phÇn lµ mét h×nh ch÷ nhËt nh− h×nh

vÏ (4-2). C¸c h×nh nµy lµ c¸c tÊm ph¼ng vµ cã t©m ®èi xøng lµ C₁, C₂vµ C₃. To¹

®é träng t©m vµ diÖn tÝch cña nã cã thÓ x¸c ®Þnh nh− b¶ng 4.1.

DiÖn tÝch cña c¶ vËt lµ :

S = S₁+ S₂+ S₃= 36 (cm²)

¸p dông c«ng thøc (4.5) ta cã:

x₁S₁+ x₂S₂+ x₃S₃

− 4 + 20 + 60

1

x_c=

y_c=

=

= 2 cm

S

36

9

y₁S₁+ y₂S₂+ y₃S₃

4 +100 +108

8

= 5 cm

S

36

9

Träng t©m C cña vËt hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh.

ThÝ dô 4.2. T×m to¹ ®é träng t©m cña tÊm ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®−êng

trßn b¸n kÝnh R vµ r ( xem h×nh vÏ 4.3). Cho biÕt kho¶ng c¸ch gi÷a hai t©m lµ

c₁c₂= a.

Bµi gi¶i:

Chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ. Ph©n tÝch

y

thµnh hai phÇn mçi phÇn lµ mét tÊm trßn

nh−ng ë ®©y tÇm trßn cã b¸n kÝnh r ph¶i coi

lµ mét tÊm trßn cã b¸n kÝnh R cã to¹ ®é

= πR². PhÇn 2 lµ tÊm trßn cã b¸n kÝnh r, to¹

S₂= -πr².DiÖn tÝch c¶ vËt lµ :

R

C

a

C₂

C₁

r

S = S₁+ S₂= π(R²- r²)

H×nh 4.3

-51-

x₁S₁+ x₂S₂

a.r²

R²− r²

x_c=

y_c=

= -

;

S

y₁S₁+ y₂S₂

= 0.

S

lµ A¤B = 2 α ( h×nh 4-4)

NÕu chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ ta thÊy trôc ox lµ trôc ®èi xøng do ®ã

x¸c ®Þnh x_c

Ta chia cung AB thµnh N phÇn nhá, mçi phÇn cã chiÒu dµi ∆l_k, cã to¹ ®é

x_k= Rcosϕ_k.

Theo c«ng thøc (4.6) cã:

y

n

B

∆l x

∑

k

n

1

i=1

x_c=

=

∆l Rcosϕ

∑

k

∆l_k

L

i=1

x

ϕ_k

α

Thay ∆l_kcosϕ_k= ∆Y_kta cã:

O

x_k

n

1

X = R ∆Y = R.AB

∑

c

k

L

i=1

A

Thay L = R.2α vµ AB = 2R sinα ta ®−îc:

H×nh 4.4

R.2sin α

R.2α

sin α

α

X_c=

= R.

(4-7)

chÊt (h×nh 4-5).

Bµi gi¶i:

A

Chia tam gi¸c thµnh c¸c d¶i nhá song song

K

G

víi ®¸y BC. Mçi d¶i nhá thø i ®−îc coi nh− mét

C

B

E

H×nh 4.5

-52-

AE.

cña ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ®ã.

Trong h×nh häc ta ®· biÕt ®iÓm ®ã ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:

1

CE = AE

3

vÏ (4-6) .

Bµi gi¶i:

E

Ta chia h×nh thµnh c¸c phÇn nhá nhê c¸c

mÆt ph¼ng song song víi ®¸y ABD. Mçi tÊm

®−îc coi nh− mét tÊm ph¼ng ®ång chÊt h×nh tam

C₂

C

A

B

C₁

K

1

D

C_1k= BK (BK lµ trung tuyÕn cña ®¸y ABD).

3

H×nh 4.6

®iÓm cña EC₁vµ BC₂.

Theo h×nh vÏ ta cã ∆CC₁C₂®ång d¹ng víi ∆ ECB mÆt kh¸c C₁C₂=

1

3

1

BE vµ KC₁= KB tõ ®ã suy ra:

3

CC₁

CE

C₁C₂

BE

1

3

=

-53-

1

Suy ra CC₁= CE = C₁E

3

4