Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 11: Các Định luật của Niu-tơn và phương trình vi phân chuyển động

-135-

PhÇn 3

§éng lùc häc

Ch−¬ng 11

C¸c ®Þnh luËt cña niu-t¬n vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n

chuyÓn ®éng

11.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n

§éng lùc lµ phÇn tæng qu¸t cña c¬ häc. §éng lùc häc nghiªn cøu chuyÓn

®éng cña vËt thÓ d−íi t¸c dông cña lùc. §éng lùc häc thiÕt lËp c¸c ®Þnh luËt liªn

hÖ gi÷a lùc t¸c dông víi nh÷ng ®Æc tr−ng ®éng häc vµ ¸p dông c¸c ®Þnh luËt ®ã

cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n kü thuËt.

VËt thÓ trong ®éng lùc häc ®−îc xÐt d−íi d¹ng m« h×nh : chÊt ®iÓm, c¬ hÖ,

vËt r¾n.

ChÊt ®iÓm lµ mét ®iÓm h×nh häc cã mang khèi l−îng. ChÊt ®iÓm lµ m«

h×nh ®¬n gi¶n nhÊt vµ c¬ b¶n nhÊt cña vËt thÓ trong ®éng lùc häc.

C¬ hÖ lµ tËp hîp nhiÒu chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng phô thuéc lÉn nhau.

VËt r¾n lµ c¬ hÖ ®Æc biÖt khi kho¶ng c¸ch gi÷a hai chÊt ®iÓm bÊt kú trong

®ã lu«n lu«n kh«ng ®æi.

Kh¸c víi tÜnh häc, lùc trong ®éng lùc häc cã thÓ lµ kh«ng ®æi, cã thÓ biÕn

®æi c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.

Lùc phô thuéc vµo thêi gian nh− lùc kÐo ®Çu m¸y, phô thuéc vµo vÞ trÝ cña

vËt nh− lùc hÊp dÉn, lùc ®µn håi cña lß xo, phô thuéc vµo vËn tèc nh− lùc c¶n cña

kh«ng khÝ. Mét c¸ch tæng qu¸t trong ®éng lùc häc lùc lµ mét hµm cña thêi gian,

r r

F = F

r

(

t, r,v

.

)

vÞ trÝ vµ vËn tèc. Ta cã :

Trong ®éng lùc häc c¸c lùc ®−îc ph©n chia thµnh néi lùc, ngoµi lùc hay

r

ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. Néi lùc ký hiÖu lµ F . F lµ lùc t¸c ®éng t−¬ng hç

i

-136-

gi÷a c¸c chÊt ®iÓm trong mét c¬ hÖ.

r

Ngo¹i lùc ký hiÖu F lµ c¸c lùc do chÊt ®iÓm hay vËt thÓ ngoµi hÖ t¸c dông

e

r

vµo hÖ. Ph¶n lùc liªn kÕt ký hiÖu N lµ lùc t¸c dông do c¸c vËt g©y liªn kÕt lªn c¬

hÖ kh¶o s¸t. Ho¹t lùc lµ c¸c lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ kh«ng kÓ ph¶n lùc liªn kÕt,

r

th−êng ký hiÖu lµ F

a

§Ó kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt bao giê còng chän tr−íc mét hÖ quy

chiÕu. HÖ quy chiÕu kh«ng phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu qu¸n

tÝnh, ng−îc l¹i hÖ quy chiÕu phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu kh«ng

qu¸n tÝnh .

11.2. C¸c ®Þnh luËt cña Niu -T¬n

C¬ së lý luËn cña ®éng lùc häc chñ yÕu lµ c¸c ®Þnh luËt cña NIU - TON.

I-s¸c Niu T¬n (1643-1727) lµ nhµ b¸c häc lçi l¹c ®· ®Æt nÒn mãng cho c¬

häc cæ ®iÓn vµ ®· x©y dùng lý thuyÕt c¬ häc hoµn thiÖn c©n ®èi. V× thÕ c¬ häc cæ

®iÓn cßn gäi lµ c¬ häc Niu - T¬n.

Sau ®©y giíi thiÖu c¸c ®Þnh luËt cña Niu - T¬n vµ xem nh− lµ hÖ tiÒn ®Ò

cña c¬ häc.

§Þnh luËt 1(§Þnh luËt qu¸n tÝnh)

ChÊt ®iÓm kh«ng chÞu t¸c dông cña lùc nµo sÏ ®øng yªn hoÆc chuyÓn

®éng th¼ng ®Òu.

Tr¹ng th¸i ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu lµ tr¹ng th¸i chuyÓn

®éng theo qu¸n tÝnh. Khi chuyÓn ®éng theo qu¸n tÝnh chÊt ®iÓm sÏ cã :

r

v = const vµ w = 0.

§Þnh luËt 2 (®Þnh luËt c¬ b¶n cña ®éng lùc häc )

D−íi t¸c dông cña lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia tèc cïng ph−¬ng

chiÒu víi lùc (h×nh 9-1)

v

r

F = m.W

M

F

W

H×nh 11.1

-137-

m lµ hÖ sè tû lÖ, phô thuéc vµo l−îng vËt chÊt cã trong chÊt ®iÓm.

Theo ®Þnh luËt nµy lùc lµ nguyªn nh©n lµm cho chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cã

gia tèc.

r

BiÓu thøc (11-1) cho thÊy : NÕu lùc F kh«ng ®æi m cµng lín W cµng nhá

vµ ng−îc l¹i, ®iÒu ®ã chøng tá kkèi l−îng m lµ sè do qu¸n tÝnh cña vËt (tÝnh ú

cña vËt)

Tõ hÖ thøc (11-1) nÕu lùc lµ träng l−îng cña vËt sÏ cã :P = mg. ë ®©y g

®−îc gäi lµ gia tèc träng tr−êng.

HÖ thøc (11-1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc.

§Þnh luËt 3 (®Þnh luËt vÒ tÝnh ®éc lËp t¸c dông cña lùc)

D−íi t¸c dông ®ång thêi cña mét hÖ lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia

tèc b»ng tæng h×nh häc c¸c gia tèc mµ chÊt ®iÓm thu ®−îc khi nã chÞu t¸c dông

®éc lËp tõng lùc mét .

r

w = w₁+ w₂+ ..... + w_n.

(11-2)

r

w lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi hÖ lùc cïng t¸c dông ®ång thêi ;

r r r

w₁,w₂,w_nlµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi nã chÞu t¸c dông tõng lùc:

r r

1

r

F ,F₂,....F_n®éc lËp .

Tõ hÖ (11-2) nÕu nh©n hai vÕ víi khèi l−îng m sÏ ®−îc :

r

mw = mw₁+ mw₂+ ..... + mw_n

Theo ®Þnh luËt hai th× :

n

r

1

r

F

r

Do ®ã ta cã : mw = F + F + ..... + F =

(11-3)

∑

2

n

i=1

HÖ thøc (11-3) lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc khi chÊt ®iÓm

chÞu mét hÖ lùc t¸c dông.

§Þnh luËt 4 (®Þnh luËt t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông )

-138-

Lùc t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm lµ nh÷ng lùc cïng ph−¬ng, cïng

®é lín vµ ng−îc chiÒu.

§Þnh luËt nµy m« t¶ t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm vµ lµ c¬ së

nghiªn cøu cho ®éng lùc häc cña hÖ.

CÇn chó ý r»ng hai lùc t−¬ng hç kh«ng ph¶i lµ mét cÆp lùc c©n b»ng v×

chóng ®Æt lªn hai chÊt ®iÓm kh¸c nhau.

11-3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm

vµ c¬ hÖ.

XÐt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh oxyz, d−íi t¸c

r r r

r

dông cña c¸c lùc F ,F₂,F ,....F_n. §èi víi chÊt ®iÓm tù do c¸c lùc nµy lµ c¸c ho¹t

1

3

lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm. §èi víi chÊt ®iÓm kh«ng tù do c¸c lùc nµy bao gåm c¶

ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc

ta cã thÓ thµnh lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm d−íi c¸c

d¹ng kh¸c nhau.

11.3.1.D¹ng vÐc t¬

r

Gäi vÐc t¬ ®Þnh vÞ cña chÊt ®iÓm lµ r ta cã :

r

d²r

r

&&

= r

w =

dt²

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm nh− sau :

r

d²r

n

r

1

m

= F

(11-4)

∑

dt²

i=1

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (11-4) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng

cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng vÐc t¬.

11.3.2. D¹ng to¹ ®é §Ò c¸c

ChiÕu ph−¬ng tr×nh (9-4) lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz sÏ ®−îc :

-139-

n

&&

mx = X ;

∑

i

i=1

n

&&

my = Y ;

(11-5)

∑

i

i=1

n

&&

mz = Z .

∑

i

i=1

ë ®©y x, y, z lµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm trong hÖ oxyz, cßn X_i, Y_i, Z_ilµ h×nh

r

chiÕu cña lùc F lªn c¸c trôc ox, oy, oz.

i

HÖ ph−¬ng tr×nh (11-5) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng

cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c.

11.3.3. D¹ng to¹ ®é tù nhiªn

Gäi W^τ, W^η, W^βlµ h×nh chiÕu cña gia tèc ®iÓm vµ F_i^τ, F_i^η, F_i^βlµ h×nh

chiÕu cña F_ilªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn. Sau khi chiÕu ph−¬ng tr×nh (11-

4) lªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta ®−îc :

n

τ

mw = ms = F^τ;

&&

∑

i

i=1

v²

n

mw^η= m

=

F^η;

(11-6)

∑

i

ρ

i=1

n

mw^β= 0 = F^β.

∑

i

i=1

§èi víi c¬ hÖ chóng ta cã thÓ t¸ch mét chÊt ®iÓm trong hÖ ra ®Ó xÐt. Gäi

r

hîp c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm thø k ®−îc t¸ch ra lµ F_kevµ hîp c¸c néi

r

lùc t¸c dông lªn nã lµ F_ki.

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :

r

m_kw_k= F_ki+ F_ke

r

Trong ®ã m_kvµ w_klµ khèi l−îng vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm thø k .

-140-

Khi xÐt tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm ta sÏ thu ®−îc N ph−¬ng tr×nh sau :

r

1i

r

1e

r

m₁w₁= F + F ;

r

m₂w₂= F_21i+ F_2e;

(11-7)

...........................

r

m_nw_n= F_ni+ F_ne.

HÖ ph−¬ng tr×nh (11-7) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng

cña hÖ d−íi d¹ng vÐc t¬. NÕu chiÕu hÖ ph−¬ng tr×nh (11.7) lªn c¸c trôc cña hÖ

to¹ ®é §Ò c¸c hoÆc hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn

®éng cña c¬ hÖ d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c vµ hÖ to¹ ®é tù nhiªn.

11-4. Hai bµi to¸n c¬ b¶n cña ®éng lùc häc

Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ta thÊy trong ®éng

lùc häc cã hai bµi to¸n c¬ b¶n sau ®©y :

- Bµi to¸n c¬ b¶n thø nhÊt: Cho biÕt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm x¸c ®Þnh

lùc ®· g©y ra chuyÓn ®éng ®ã. Bµi to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n thuËn.

- Bµi to¸n c¬ b¶n thø hai: Cho biÕt c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm vµ ®iÒu

kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng x¸c ®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm. Bµi

to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n nghÞch.

Sau ®©y giíi thiÖu c¸ch gi¶i hai bµi to¸n c¬ b¶n nãi trªn.

§èi víi bµi to¸n thø nhÊt ta thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn

®éng chÊt ®iÓm. Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ta x¸c ®Þnh ®−îc lùc t¸c dông lªn tõng

chÊt ®iÓm. §iÒu c¬ b¶n cña bµi to¸n lµ x¸c ®Þnh gia tèc cña chÊt ®iÓm ®iÒu nµy

®· ®−îc gi¶i quyÕt trong ®éng häc.

§èi víi bµi to¸n thø hai, ta thay lùc vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n

sau ®ã tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n t×m ®−îc. §Ó t×m d¹ng chuyÓn ®éng cô thÓ

ta x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n c¨n cø vµo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng.

NÕu ph−¬ng tr×nh vi ph©n viÕt d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c sau khi lÊy tÝch ph©n hai

-141-

lÇn sÏ xuÊt hiÖn 6 h»ng sè tÝch ph©n, nghÜa lµ c¸c nghiªm x, y, z thu ®−îc lµ c¸c

hµm cña thêi gian vµ 6 h»ng sè tÝch ph©n ®ã :

x=f₁(t,C₁,C₂....C₆)

y= f₂(t,C₁,C₂....C₆)

z= f₃(t,C₁,C₂....C₆)

C¸c h»ng sè tÝch ph©n trªn ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ;

Khi t=0 x=x₀; y=y₀; z=z₀;

&

& & & & &

x = x₀;y = y₀;z = z₀

ThÝ dô 11-1:

ChÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng theo ®−êng enlip x=acoskt vµ

y=bsinkt h·y t×m lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm (h×nh 11-2).

Bµi gi¶i :

y

v

b

M

Bµi to¸n nµy thuéc bµi to¸n c¬ b¶n thø

F

x

r

a

nhÊt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

O

x=acoskt

y=bsinkt

H×nh 11.2

X¸c ®Þnh ®−îc :

2

&&

x = ak coskt = −k x ;

2

&&

y = bk sinkt = −k y ;

Ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng nh− sau :

2

&&

xm = F_x= −mk x

2

&&

ym = F_y= −mk y

Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm sÏ lµ F víi :

F = F_x²+ F_y²= mk²x²+ y²= mk²r

-142-

r

C¸c gãc chØ ph−¬ng cña F lµ :

F_x− x

cos(F,x) =

cos(F,y) =

=

F

r

F_y

F

− y

r

=

MÆt kh¸c ta còng cã :

x

cos(r,x) =

r

y

cos(r,y) =

r

DÔ dµng nhËn thÊy F cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi vÐc t¬ ®Þnh vÞ

r

r cña chÊt ®iÓm.

r

Ta cã : F = −mkr .

ThÝ dô 11-2 : §Ó ph©n lo¹i h¹t ng−êi ta cho h¹t ®i qua mét sµng dao ®éng

ngang cã nhiÒu lç. BiÕt r»ng vËn tèc cña h¹t khi b¾t ®Çu chuyÓn ®éng qua lç

r

v₀(h×nh 11-3). H¹t cã h×nh d¹ng cÇu, b¸n kÝnh R. Bá qua lùc c¶n cña kh«ng khÝ

x¸c ®Þnh ®é dµi bÐ nhÊt b cña lç ®Ó h¹t cã thÓ r¬i qua lç ®−îc.

-143-

Bµi gi¶i:

→

R

v_o

y

§Ó h¹t r¬i qua lç sµng träng

t©m cña h¹t t¹i vÞ trÝ bÊt ®Çu ch¹m

mÐp bªn kia cña lç ph¶i n»m d−íi

mÆt ph¼ng ngang cña sµng. §Ó gi¶i

quyÕt ®−îc ®iÒu kiÖn ®ã ta x¸c

b

x

H×nh

®Þnh qu·ng ®−êng h¹t ®i ®−îc theo ph−¬ng ngang (ph−¬ng ox) khi t©m h¹t r¬i

xuèng ®−îc mét ®o¹n x=R. Lùc t¸c dông lªn h¹t coi nh− ®· biÕt ®ã lµ träng

l−îng b¶n th©n cña nã. Bµi to¸n ë ®©y thuéc lo¹i bµi to¸n c¬ b¶n thø hai.

Chän hÖ to¹ ®é oxy g¾n víi sµng (h×nh 11-3) coi sµng ®øng yªn cßn h¹t

chuyÓn ®éng so víi sµng. Lùc t¸c dông lªn h¹t cã :

F_y= 0 F_x= +mg.

Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña h¹t viÕt ®−îc :

&&

mx = mg ;

&&

x = g ;

hay

&&

my = 0 ;

&&

y = 0 ;

TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :

gt²

&

x = gt + C

x =

+ C₁t + C₂

2

&

y = C₃

y = C₃t + C₄

§Ó x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n ta dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Çu ®· cho cña chuyÓn

®éng.

&

Khi t = 0 x = x₀suy ra C₁=0

x=x₀suy ra C₄=0.

Thay vµo nghiÖm ®· t×m ®−îc ta cã :

gt²

x =

y = v₀t

2

-144-

Ph−¬ng tr×nh quü ®¹o thu ®−îc :

2x

g

y = v₀

2R

g

Khi x=R th× y = b − R = v₀

2R

Suy ra b = R + v₀

g

§Ó h¹t ch¾c ch¾n r¬i qua lç ta ph¶i cã :

2R

b ≥ R + v₀

g

ThÝ dô 11.3 :

Mét chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng ngang d−íi

r

hÖ sè tû lÖ. H·y t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o cña chÊt ®iÓm. Cho

&

biÕt t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t₀= 0 , x₀= 1 , y₀= 0 , x = 0 , y = v₀(h×nh 11-4)

Bµi gi¶i:

®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :

r

mW = −k²mr

d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c nh− sau :

y

M

2

&&

mx = −k mx

y

x

F

l

2

&&

my = −k my

O

x

Khö khèi l−îng m ë hai vÕ

ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :

H×nh 11.4

-145-

2

&&

x = −k x = 0

2

&&

y = −k y = 0

NghiÖm tæng qu¸t cña hai ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

x=c₁coskt + c₂sinkt

y=c₃coskt + c₄sinkt

chuyÓn ®éng.

Ki t =t₀= 0 cã :

&

x = x₀= l = C₁;

y = y₀= 0 = C₃;

x = 0 = kC₂

&

y = v₀= kC₄

Suy ra :

C₁= 1; C₂= 0; C₃= 0; vµ C₄= v₀/k

Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng chÊt ®iÓm ®−îc viÕt :

x=lcoskt; y = (v₀sinkt)/k

Khö t trong ph−¬ng tr×nh trªn sÏ t×m ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o d¹ng

x²y²

l²v₀²/k²

+

=1

ThÝ dô 11-4: Con l¾c to¸n häc gåm chÊt ®iÓm M cã khèi l−îng m treo vµo

vÏ 11-5). Cho biÕt lóc ®Çu con l¾c ë vÞ trÝ M₀vµ

ϕ_o

cã vËn tèc v₀

ϕ

M_o

Bµi gi¶i :

→

v_o

N

h

τ

XÐt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm M. C¸c

M

→

P

H×nh 11.5

-146-

d¹ng täa ®é t− nhiªn nh− s¨u :

&&

ms = −Psinϕ = −mgsinϕ

(a)

V²

m

= −Pcosϕ + N = −mgcosϕ + N (b)

ρ

Thay lϕ = s vµo ph−¬ng tr×nh (a)

g

&&

mlϕ = −mgsinϕ

&&

hay : ϕ + sinϕ = 0

Ta ®−îc :

l

XÐt dao ®éng lµ nhá lÊy sinϕ ≈ ϕ, ta cã

g

l

2

Trong ®ã : k²=

&&

ϕ + k ϕ = 0

(c)

NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ : ϕ = Asin(kt + ∝)

A, ∝ lµ h»ng sè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn ®éng .

§Ó t×m N c¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh (b).

Ta cã :

mv²

N =

+ mgcosϕ

l

d²ϕ dω dω dϕ

dω

dϕ

§Ó tÝnh v²ta chó ý :

=

= ω

dt

dt dϕ dt

Thay kÕt qu¶ trªn vµo ph−¬ng tr×nh ( c) ta cã :

g

&&

ϕ + sinϕ = 0 ta cã :

l

dω

dt

g

ω

= − sinϕ

l

g

ωdω = − cosϕ + c

l

-147-

H»ng c ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gäi gãc ban ®Çu vµ vËn tèc

gãc ban ®Çu kµ ϕ₀vµ ω₀ta sÏ cã :

ω₀²

2

v₀²

2l²

g

c =

− cosϕ₀=

− cosϕ₀

l

Thay c vµo biÓu thøc (c) ta ®−îc :

v₀²

l²

2g

g

ω²= cosϕ +

− cosϕ₀;

l

v²= l²ω²= v₀²+ 2gl(cosϕ − cosϕ₀

Cuèi cïng nhËn ®−îc :

v₀²

N = P( + 3cosϕ − 2cosϕ₀)

gl

Nh− vËy ph¶n lùc N phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ vÞ trÝ cña ®iÓm M.

KÕt qu¶ nµy còng ®óng cho c¶ khi dao ®éng lµ kh«ng nhá.