Bài tập Cơ học đại cương (Cơ học đại cương – dao động và sóng cơ)

§¹i häc ®µ n½ng

Tr−êng ®¹i häc B¸ch KHOA

khoa s− ph¹m kü thuËt

-------¶

·-------

bµi tËp c¬ häc ®¹i c−¬ng (MÐcanique gÐnÐrale)

c¬ häc ®¹i c−¬ng – dao ®éng vµ sãng c¬

dïng cho sinh viªn ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s− chÊt l−îng cao

(L¦U HµNH NéI Bé)

Biªn so¹n :

L£ CUNG – khoa s− ph¹m kü thuËt

®µ n¨ng 2006

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

PHÁN I :

BAI TÁP CÅ HOC VÁT RÀN

2

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

BAI TÁP CHÆÅNG ÄN TÁP :

@ Ap dung 1 (Trang 11) : Chuyãn âäng cua ngæåi chåi xa treo:

Mät xa treo ABCD thæc hiãn cacc dao âäng hçnh sin

θ = θ₀.sinωt . Ngæåi chåi xa treo tæång tæ nhæ mät

ꢀ

e_θ

⊗

O

ꢀ

D

A

z

thanh TMP, quay xung quanh BC våi ván täc goc

e_z

ꢀ

tæång âäi ω khäng âäi so våi xa treo. Vao thåi âiãm

ban âáu, ngæåi chåi xa treo å tæ thã thàng âæng, âáu T

hæång lãn trãn.

e_r

θ

T

M

ω

t

θ

Xac âënh gia täc trong hã quy chiãu R₂gàn liãn våi xa

C

B

T

treo, gia täc Coriolis, gia täc theo va gia täc trong hã

M

P

π

ω

quy chiãu trai âát R₁tai thåi âiãm t =

cua âiãm P

ϖ

(chán cua ngæåi choi xa treo).

Cho biãt: OM = AB = DC = b; MP = d.

Bai giai :

Gia täc âiãm P trong hã quy chiãu R₂:

ꢀ ꢀ ꢀ

Hã quy chiãu R₂(O,e_r,e_θ,e_z) gàn liãn våi âu chuyãn âäng quay quanh truc cä âënh trong hã

quy chiãu trai âát R₁.

Trong R₂, âiãm P quay âãu xung quanh M våi ván täc goc ω bàng hàng sä :

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

v(P)_{/ R2}= ωe_z×MP

ꢀ ꢀ ꢀ

Biãu diãn trong cå cå (e_r,e_θ,e_z) cua R₂, ta co :

−ωd sinωt

0

d cosωt

⎧

⎪

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

v(P)_{/ R2}= ωd cosωt

Våi : e = 0

va : MP = d sinωt

⇒

⎨

z

⎪

0

⎩

⎪

1

⎩

⎪

0

⎩

ꢀ

2

⎧

⎪

−ω d cosωt

e_θ

ꢀ

⎛ d v(P)

⎞

⎟

⎠

⊗

e_z

(

)

ꢀ

/ R2

= −ω²d sinωt

⎪

0

⎩

ꢀ

a(P)_{/ R2}

=

⇒

⎨

⎜

dt

⎝

/ R2

ꢀ

e_r

(Ghi chu :

ꢀ ꢀ ꢀ

ꢀ

θ

+ Cac vectå noi trãn âæåc biãu diãn trong cå så (e_r,e_θ,e_z)

v(P)_/R2

ωt

ꢀ

+ Cac khac âã xac âënh v(P)_{/ R2}: Trong R₂, ngæåi chåi xa treo quay

âãu quanh quanh âiãm M nãn v(P)_{/ R2}co gia trë : ω.MP , cung chiãu

ꢀ

T

M

P

våi chuyãn âäng , nàm trong màt phàng chuyãn âäng va

−ωd sinωt

⎧

ꢀ

⎪

v(P)_{/ R2}⊥ MP . Do âo co thã viãt ngay : v(P)_{/ R2}= ωd cosωt

⎨

⎪

0

⎩

3

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

ꢀ

+ Cach khac âã xac âënh a(P)_{/ R2}: Do trong R₂, ngæåi chåi xa treo quay âãu quanh âiãm M

våi ván täc goc ω nãn gia täc trong R₂chè co thanh phán hæång tám hæång tæ P vã M, gia trë

2

⎧

−ω d cosωt

ꢁꢁꢁꢀ

⎪

ꢀ

bàng ω²MP , suy ra : a(P)_{/ R2}= −ω²MP = −ω²d sinωt )

⎨

⎪

0

⎩

Gia täc Coriälêt cua âiãm P :

ꢀ

ꢂ

a_C(P) = 2Ω_{R2/ R1}×v(P)_{/ R2}våi : Ω_{R2/ R2}=θe_z

ꢀ ꢀ ꢀ

ꢀ

ꢂ

Biãu diãn trong cå så (e_r,e_θ,e_z) : a_C(P) = 2θe_z× v(P)_{/ R2}

2

⎧

⎪

−2θ₀ω d cos ωt)

2θ ω cosωt(−ωd cosωt)

⎧

⎪

0

ꢀ

a (P) = −2θ ω²d cosωt sinωt)

a (P) = 2θ ω cosωt(−ωd sinωt) ⇒

⎨

C

0

C

0

⎪

⎩

⎪

0

⎩

Gia täc theo cua âiãm P :

2

⎧

⎡

⎤

θ₀ω d sin ωt −θ₀(b + d cosωt)cos ωt

⎣

⎦

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⎪

2

ꢂꢂ

ꢂ

⎡

⎤

a (P) = θ ω −(b + d cosωt)sinωt −θ d sinωt cos ωt

a_e(P) =θe_z×OP −θ OP ⇒

⎨

e

0

⎣

⎦

⎪

0

⎪

⎩

ꢀ

a(P)_{/ R2}= ω²de_r

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ꢀ

r

π

ω

a (P) = 2θ ω²de

Tai t =

thç : ωt = π (chán P å trãn cao) ⇒

C

0

ꢀ

a_e(P) = −θ₀²ω²(b − d)e_r

Gia täc theo cua âiãm P trong hã quy chiãu trai âát R₁:

a(P)_{/ R1}= a_e(P) + a_C(P) + a(P)_{/ R2}

ꢀ

a(P)_{/ R1}= ω²[d + 2θ₀d −θ₀²(b − d)]e_r

⇒

ꢀ

@Ap dung 2 (Trang 16): Momen âäng læång cua mät thanh:

Hai chát âiãm A va B, giäng nhau, khäi læång m, âæåc liãn kãt våi nhau bàng mät thanh chiãu

dai b, khäi læång khäng âang kã.

A chuyãn âäng trãn mät vong tron tám O, ban kênh b, va thanh AB co thã dao âäng xung

quanh mät truc âi qua A va vuäng goc våi màt phàng chuyãn

âäng.

O

Tênh âäng læång va momen âäng læång cua hã AB âäi våi âiãm

y

O theo cac goc α , β va cac âao ham cua chung.

Bai giai :

A

α

B

Phæång phap 1 : (Dung âënh nghéa) :

β

ꢀ

Ta co : P = m .v ⇒ P = mv(A) + mv(B)

∑

i

x

i

ꢁꢁꢁꢀ

ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

i

L_O= OA×mv(A) +OB×mv(B)

L = OM ×m v ⇒

∑

O

i

ꢂ

bcosα

−bα sinα

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⎪

ꢂ

Våi : OA = bsinα

v(A) = bα cosα

⎨

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

4

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

ꢂ

⎧

⎪

ꢂ

−b(α sinα + sin β)

β

b(cosα + cos β)

⎧

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⎪

ꢂ

OB = b(sinα + sin β)

v(B) = b(α cosα + β cos β)

⎨

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

ꢂ

⎧

⎪

ꢂ

−mb(2α sinα + sin β)

β

ꢀ

ꢂ

²⎡ ꢂ

ꢂ

⎤

ꢂ

P = mb(2α cosα + β cos β) L = mb 2α + + (α + )cos(α − ) e

Suy ra :

β

⎨

⎪

⎩

O

z

⎣

⎦

0

Phæång phap 2 : Dung âënh ly Koenig :

ꢀ

Ta co : P =

m v(G) = 2mv(G)

(

)

∑

i

1

2

1

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢂ

b(cosα + cos β)

−b(α sinα +

sin β)

β

2

1

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⎪

ꢂ

Våi : OG = b(sinα + sin β) ⇒ v(G) = b(α cosα + β cos β)

⎨

⎪

⎨

⎪

2

0

⎪

⎩

⎪

⎩

ꢂ

⎧

⎪

ꢂ

−mb(2α sinα + sin β)

β

ꢀ

ꢂ

P = mb(2α cosα + β cos β)

Suy ra :

⎨

⎪

0

⎩

ꢁꢁꢁꢀ

L_O= OG×mv(G) + L_G

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

Trong âo : L_G= GA×mv(A)*+GB×mv(B)*. Ma : GA = −GB . Màc khac, trong hã quy chiãu

ꢀ

*

Âënh ly Koenig vã momen âäng læång :

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

*

ꢀ

khäi tám R*, thanh AB quay quanh G nãn ván täc v(A)* = −v(B)*, v(B)* ⊥ GB

ꢁꢁꢁꢀ

L_G= 2GB×mv(B)*

ꢀ

*

Suy ra :

1

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢂ

bcos β

bsin β

− b sin β

β

2

1

2

0

2

⎪

⎨

⎪

⎨

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

1

ꢂ

GB =

v(B)* =

bβ cos β

2

0

⎪

⎩

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

O

ꢀ

²⎡ ꢂ

ꢂ

⎤

ꢂ

L = mb 2α + + (α + )cos(α − ) e

Suy ra : L_O= OG×mv(G) + 2GB×mv(B)*⇒

ꢁꢁꢁꢀ

(Læu y cán tênh OG va v(G) )

β

z

⎣

⎦

ꢀ

@ Ap dung 3 (Trang 20):Thanh treo trãn hai såi dáy

Thanh AB âäng chát, tám G, khäi læång m, âæåc treo trãn hai såi

dáy AA’ va BB’ giäng nhau, chiãu dai b. Thanh dao âäng trong

màt phàng thàng âæng, cac dáy AA’ va BB’ luän luän song song

våi nhau.

B’

A’

α

G

ꢂ

Tênh âäng nàng cua thanh theo âao ham α cua goc nghiãng α

A

B

cua cac såi dáy tai thåi âiãm t cho træåc.

Bai giai :

1

Ap dung âënh ly Koenig vã âäng nàng : E_K= mv²(G) + E_K^*

2

5

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Thanh AB chuyãn âäng tënh tiãn (båi vç AB luän luän co phæång nàm ngang) ⇒ Trong hã

quy chiãu khäi tám R*, thanh AB cä âënh ⇒ E_K^*= 0

ꢀ

ꢂ

Cung do thanh AB chuyãn âäng tënh tiãn : v(G) = v(A) ⇒ v(G) = v(A) = bα

1

2

ꢂ

E_K= mv (G) = mb α

Tom lai :

2

BAI TÁP AP DUNG TRÆC TIÃP BAI GIANG:

@ Bai 1 (Trang 23): Vanh tron chuyãn âäng quay

Mät vanh tron âäng chát tám O, khäi læång m, ban kênh a, quay våi

ván täc goc ω khäng âäi xung quanh truc cä âënh cua mçnh.

Tênh momen âäng læång âäi våi âiãm O, momen âäng læc âäi våi

âiãm O va âäng nàng cua vanh tron.

ꢀ

e_z

O

ϖ

Bai giai :

Momen âäng læång cua vanh tron âäi våi âiãm O :

y

ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

i

L = OM ×m v

∑

O

i

ꢀ

i

e_θ

e_r

Xet phán tä chiãu dai vanh tron nàm tai M, vë trê xac âënh båi

M

dθ

goc θ, chàn goc dθ, co khäi læång la dm :

θ

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

x

O

L_O=

OM ×dm.v(M)

∫

vanhtron

ꢀ ꢀ ꢀ

a

Trong hã toa âä O(e_r,e_θ,e_z) ta co :

a

0

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

dm.a²ω.e_z

OM = a

v(M) = aω ⇒ L_O=

⎨

∫

vanhtron

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

ꢀ

L_O= ma²ωe_z

⇒ L_O= a²ωe_z

dm ⇒

∫

vanhtron

ꢀ

dL_O

ꢀ

Momen âäng læc cua vanh tron âäi våi âiãm O cä âënh nãn : D_O=

. Do L_O= ma²ωe_z

dt

ꢀ

D_O= 0

khäng âäi ⇒

Âäng nàng cua vanh tron :

(aω)²

1

E_K= ma²ω²

E =

m_iv_i²=

.dm.v²(M ) =

.dm.(aω)²=

dm ⇒

∑

K

∫

2

_vanhtron2

2

i

vanhtron

@ Bai 2 (Trang 23): Âai læång âäng hoc cua con làc:

Xet mät con làc, âæåc treo tai mät âiãm cä âënh O gäm mät thanh OA khäi læång khäng âang

kã, chiãu dai R, trãn ngæåi ta han vao thanh mät såi dáy âäng chát, khäi

C

læång m, hçnh ban nguyãt ban kênh R ma OA la mät ban kênh. Vë trê cua

con làc âæåc xac âënh bàng goc α giæa thanh OA våi âæång thàng âæng

hæång xuäng.

Xac âënh âäng læång, momen âäng læång âäi våi âiãm O, momen âäng

læc âäng âäi våi âiãm O va âäng nàng cua con làc theo goc α va âao

ham cua no.

O

B

R

α

A

6

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Bai giai :

C

ꢀ

Âäng læång : P = dm.v(M)

∫

B

C

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Momen âäng læång âäi våi âiãm O : L_O= OM ×dm.v(M)

∫

B

1 ^C

Âäng nàng : E_K=

dm.v²(M )

∫

2 _B

Xet mät phán tä chiãu dai vanh tron, chàn goc dθ, khäi læång la dm, vë trê xac âënh båi

goc θ.

0

⎧

ꢀ ꢀ ꢀ

ꢀ

θ

⎪

ꢂ

Trong hã toa âä O(e ,e ,e ) : v(M ) = Rα = Rαe

⎨

r

θ

z

⎪

0

⎩

π

2

ꢀ

ꢂ

dθ

π

ꢀ

mRα

π

ꢀ

ꢂ

⇒ P =

m

Rαe_θ=

(e_θdθ)

∫

π

2

π

2

−

ꢀ ꢀ ꢀ

ꢀ

Trong hã toa âä O(e ,e₂,e_z) , ta co : e_θ= −e sinθ + e₂cosθ

1

π

2

ꢀ

ꢂ

2mRα ꢀ

mRα

π

ꢀ

P =

e₂

⇒ P =

(−e sinθ + e₂cosθ)dθ ⇒

1

∫

π

2

−

ꢀ ꢀ

(Læu y ràng : e ,e₂khäng phu thuäc vao θ)

1

C

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ta co : L_O= OM ×dm.v(M)

∫

B

R

⎧

⎪

C

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢀ ꢀ ꢀ

ꢀ

z

2

ꢂ

L_O= mR αe_z

Trong hã toa âä O(e ,e ,e ) : OM = 0 ⇒ L = dm.R αe = R αe dm ⇒

⎨

r

θ

z

O

z

∫

B

⎪

0

⎩

ꢀ

dL_O

2

ꢂꢂ

D_O= mR αe_z

⇒

Momen âäng læc âäivåi âiãm O cä âënh : D_O=

dt

ꢀ

(e_zkhäng phu thuäc vao t).

1 ^C

1

2

dm.v²(M ) =

dm(Rα) ⇒

2

ꢂ

E_K= mR α

Âäng nàng : E_K=

∫

2

2 _B

ꢀ

C

e₂

R

O

ꢀ

R

e_θ

B

ꢀ

e

1

ꢀ

θ

e_r

M

α

(dm)

A

7

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

BAI TÁP VÁN DUNG CAC KIÃN THÆC ÂA HOC:

@ Bai 3 (Trang 23): Âai læång âäng hoc cua chiãc âu

Banh xe hçnh tron cua mät hã thäng âu quay co ban kênh R, quay xung quanh truc nàm ngang

cua mçnh våi ván täc goc ω khäng âäi.

Nghiãn cæu chiãc âu (liãn kãt våi banh xe tai âiãm A bàng mät khåp quay ly tæång) va khach

trãn chiãc âu (xem nhæ hoan toan cä âënh trãn chiãc âu): Táp håp gäm chiãc âu va khach co

khäi læång la m, co khäi tám la G nàm trong màt phàng thàng âæng qua A, va cach A mät

khoang la b.

Xac âënh momen âäng læång âäi våi âiãm O, momen âäng læc âäi våi âiãm O va âäng nàng

cua hã gäm chiãc âu + khach.

Bai giai :

Ap dung âënh ly Koenig vã momen âäng læång :

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

1

*

L_O= OG×mv(G) + L_G

E_K= mv²(G) + E_K^*

2

z

A

⊕

b

A

G

O

b

ꢀ

e_r

G

θ

O

x

ꢀ

e_θ

Xet hã quy chiãu R(O, x, y, z) cä âënh âäi våi màt âát. Khi banh xe quay quanh tám O, hã AG

luän luän thàng âæng ⇒ Trong hã quy chiãu khäi tám R* tæång æng våi hã R, hã AG cä âënh

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

1

*

⇒ L_G= 0 va E^*= 0 ⇒ L = OG×mv(G) va E_K= mv²(G)

^Kꢁꢁꢁꢀ

ꢁ^Oꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢁꢁꢁꢀ

2

ꢁꢁꢁꢀ

. Ma : AG = const ⇒ v(G) =

ꢀ

dOG d(OA+ AG)

ꢀ

dOA

ꢀ ꢀ

= v(A) = Rωe_θ

Ta co : v(G) =

=

dt

R −bcosθ

0

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢀ ꢀ ꢀ

Trong cå så (e ,e ,e ) : OG = bsinθ

va e = 1

⎨

r

θ

y

θ

⎪

0

⎩

0

⎩

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_O= mRω(R −bcosθ)e_y

⇒ L_O= OG×mv(G) = OG×mRωe_θ⇒

(Khac sach)

1

E_K= mR²ω²

E_K= mv²(G) ⇒

2

Momen âäng læc âäivåi âiãm O cä âënh :

ꢀ

dL_O

ꢀ

D_O= mRbω²sinθe_y

ꢂ

D_O=

⇒ D_O= mRbωθ sinθe_y⇒

(Khac sach)

dt

(Læu y ràng : θ = ωt )

8

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

@ Bai 4: (Trang 23) Âai læång âäng hoc cua hã thanh näi nhau bàng khåp quay :

Bän thanh OD, OE, AC va BC, khäi læång khäng âang kã, âæåc näi nhau bàng cac khåp quay

tai O, A, B va C. Âiãm O cä âënh. Con træåt C âæåc coi nhæ la mät chát âiãm co khäi læång

m, co thã træåt trãn truc thàng âæng (Oz).

x

O

Cac âáu D va E cua thanh OD va OE âæåc gàn cac

chát âiãm giäng nhau co khäi læång m. Vë trê cua hã

âæåc xac âënh bàng goc ϕ thay âäi theo thåi gian.

Xac âënh âäng læång, momen âäng læång âäi våi

B

A

ϕ

E

D

ꢂ

âiãm O va âäng nàng cua hã theo âao ham ϕ cua

⊕

goc ϕ. Cho: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b.

C

z

Bai giai :

Âäng læång cua hã âäi våi âiãm O :

ꢀ

Ta co : P = m .v ⇒ P = mv(C) + mv(D) + mv(E) hay P = 3mv(G) (G la khäi tám cua hã

∑

i

chát âiãm)

ꢁꢁꢁꢀ

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

1

Ta co : 3mOG = mOC + mOD + mOE ⇒ OG = (OC + OD + OE) = (OC + 2OC) ⇒

3

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢂ

P = −6mbϕ sinϕe_z

v(G) = −2bϕ sinϕe_z⇒

OG = OC = 2bcosϕe_z⇒

Momen âäng læång cua hã âäi våi âiãm O :

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_O= OC×mv(C) +OD×mv(D) +OE×mv(E)

ꢁꢁꢁꢀ

Do OC va v(C) cung phæång nãn : OC × mv(C) = 0

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_O= 0

OD× mv(D) va OE ×mv(E) cung gia trë va ngæåc chiãu nhau nãn täng bàng 0 ⇒

(khac sach).

Âäng nàng cua hã :

1

E_K= mv²(C) + mv²(D) + mv²(E)

2

ꢂ

E_K= 2mb ϕ (2 + sinϕ )

våi : v (D) = v (E) = (2bϕ) = 4b ϕ va v (C) = (2bϕ sinϕ) ⇒

@ Bai 5 (Trang 23): Âai læång âäng hoc cua 4 chát âiãm:

Mät thanh AB, khäi læång khäng âang kã, chiãu dai 4a, âæåc treo å âiãm giæa O cua thanh.

Tai A va B, thanh AB âæåc näi bàng khåp quay

F

våi cac thanh CD va EF, khäi læång

B

khäng âang kã, chiãu dai 2a (A nàm giæa CD va

B nàm giæa E). Cac âáu C, D, E, F mang 4 chát

diãm giäng nhau co khäi læång m.

Tênh momen âäng læång âäi våi âiãm O va âäng

nàng cua hã theo cac goc ϕ, α , β va cac âao

ham cua chung.

D

2a

O

y

ꢃ

A

a

E

z

β

ϕ

⊕

C

α

x

9

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Bai giai :

Cach 1 : Tênh træc tiãp :

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ta co : L_O= OC×mv(C) +OD×mv(D) +OE×mv(E) + OF ×mv(F)

a(2cosϕ + cosα)

a(2cosϕ − cosα)

a(−2cosϕ + cos β)

⎧

⎪

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

OC = a(2sinϕ + sinα)

OD = a(2sinϕ −sinα)

OE = a(−2sinϕ + sin β)

⎨

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

ꢂ

a(−2cosϕ − cos β)

a(−2ϕ sinϕ −α sinα)

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢂ

OF = a(−2sinϕ −sin β)

⇒

v(C) = a(2ϕ sinϕ +α cosα)

⎨

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

ꢂ

⎧

⎪

ꢂ

a(2ϕ sinϕ + β cos β)

ꢀ

2

ꢂ

L_O= 2ma (8ϕ +α + β)e_z

v(D) = a(−2ϕ cosϕ − β cos β) ⇒

⎨

⎪

0

⎩

1

2

Ta co : E_K= mv²(C) + mv²(D) + mv²(E) + mv²(F) ⇒

ꢂ

E_K= ma (8ϕ +α + β )

2

Cach 2 : Ap dung âënh ly Koenig :

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

*

Ta co : L_O= OA×2mv(A) + L_A(CD) +OB×2mv(B) + L_B(EF)

ꢁꢁꢁꢀ

Våi : OA× 2mv(A) = 2a.2m.2a.ϕe_z= 8a mϕe_z

ꢁꢁꢁꢀ

OB×2mv(B) = 2a.2m.2a.ϕe_z= 8a mϕe_z

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

L_A(CD) = AC ×mv(C)*+AD×mv(D)* = 2AC × mv(C)*

ꢀ

2

ꢂ

ꢀ

2

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

*

ꢀ

*

2

*

2

ꢂ

⇒

L_A(CD) = 2amaαe_z= 2a mαe_z.

Tæång tæ : L_B(EF) = 2a mβe_z

ꢀ

2

ꢂ

L_O= 2ma (8ϕ +α + β)e_z

1

Ta co : E_K= mv²(G) + E_K^*⇒ E_K= (2m)v²(A) + mv²(C)*+ mv²(D)*

2

1

2

1

2

1

+ (2m)v²(B) + mv²(E)*+ mv²(F)*

2

ꢂ

E_K= ma (8ϕ +α + β )

⇒ E_K= 2m(2aϕ) + m(aα) + m(aβ) ⇒

10

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

BAI TÁP CHÆÅNG 1 :

CHUYÃN ÂÄNG CUA VÁT RÀN

BAI TÁP AP DUNG :

@ Ap dung 1 (Trang 29) : Chuyãn âäng cua thanh

Mät thanh AB âäng chát chiãu dai 2b, khäi tám G nàm tai âiãm

giæa cua thanh. Thanh tæa trãn màt âát nàm ngang va gäi trãn

y

⊕

B

bæc tæång thàng âæng. Vë trê cua thanh âæåc xac âënh båi goc

ꢁꢁꢄ ꢁꢁꢁꢄ

α = (Ox,OG) , thay âäi khi thanh træåt tai A va B.

G

ꢄ

1) Xac âënh træc tiãp cac thanh phán cua ván täc v(G) cua âiãm

ꢃ

α

z

G theo α va theo âao ham cua α.

ꢄ

O

x

A

2) Suy ra vectå quay Ω cua thanh.

Bai giai :

Cáu 1 :

ꢂ

ꢁꢁꢁꢀ

−bα sinα

bcosα

⎧

⎪

⎧

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

dOG

AB 2b

⎪

ꢂ

v(G) =

= bα cosα

Tam giac OAB vuäng : OG=

=

= b ⇒ OG = bsinα ⇒

⎨

dt

2

⎪

0

⎩

⎪

0

⎩

(1)

Cáu 2 :

ꢀ

(Cach tçm : Viãt biãu thæc cua ván täc v(G) theo hai cach khac nhau - âao ham træc tiãp va

bàng quan hã ván täc hai âiãm thuäc cung vát ràn cán tim vectå quay - va so sanh)

ꢀ

Thanh AB chuyãn âäng song phàng våi vectå quay Ω = Ωe_z.

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Hai âiãm A va G cung thuäc thanh AB :

v(G) = v(A) + Ω× AG

ꢀ

Trong âo :Ω = Ωe_zla vectå quay cua thanh AB.

ꢀ

ꢂ

−2bα sinαe

⎧

⎪

x

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ta co :

OA = 2bcosαe_z

⇒

v(A) = 0

⎨

⎪

0

⎩

ꢂ

0

−bcosα

−2bα sinα −bΩsinα

⎧

⎪

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ω = 0

AG = bsinα ⇒ v(G) = −bΩcosα

⎨

⎪

Ω

0

⎩

(2)

ꢀ

ꢂ

Ω = −αe_z

So sanh (1) va (2) :

@ Ap dung 2 (Trang 30) : Chuyãn âäng cua banh xe trãn gêa âå hçnh tru

Banh xe tám C, ban kênh b làn khäng træåt trãn gia âå hçnh tru tám O, ban kênh a, cä âënh

trong hã quy chiãu R. Tát ca âãu nàm trong màt phàng thàng âæng.

ꢁꢁꢄ ꢁꢁꢁꢄ

ꢄ

Xac âënh vectå quay Ω cua banh xe theo goc ϕ = (Oy,OC) .

11

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Bai giai :

ꢀ

(Cach giai : Viãt biãu thæc cua ván täc v(C) theo hai

y

cach khac nhau - âao ham træc tiãp va bàng quan hã ván

täc hai âiãm thuäc cung vát ràn cán tim vectå quay - va so

sanh)

⊕

C

I

b

ϕ

ꢀ ꢀ ꢀ

Xet hã toa âä R'(e_r, e_ϕ, e_z) (hã toa âä R’ quay cung våi

a

ꢀ

âoan OC quanh truc Oz cua hã R(O, x, y, z) våi vectå

e_r

x

ꢀ

ꢂ

quay bàng ϕe_z).

Ta co : OC = (a + b)e_r⇒

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

O

ꢀ

e_ϕ

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

de

r

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

ꢀ

dOC

dt

⎛

⎞

v(C) =

= (a + b)

⎜

⎝

⎟

⎠

dt

/ R

ꢀ

⎡

⎤

ꢀ

de

ꢀ

⎤

ꢀ

⎛

⎝

⎞

r

ꢂ

⎦

ꢂ

⎡

⇒ v(C) = (a + b)

+ϕe_z×e_r= (a + b) 0 +ϕe_ϕ⇒ v(C) = (a + b)ϕe_ϕ

(1)

⎢⎜

⎟

⎠

⎥

⎣

dt

⎣

/ R'

⎦

Goi I_Rla âiãm cua banh xe trung våi âiãm tiãp xuc I. Hai âiãm C va I_Rthuäc banh xe nãn :

ꢁꢁꢀ

ꢀ

v(C) = v(I_R) + Ω× IC

ꢀ

Trong âo :Ω = Ωe_zla vectå quay banh xe.

ꢁꢁꢀ

ꢀ

Banh xe làn khäng træåt trãn màt âát nãn : v(I_R) = 0 ⇒ v(C) = Ω× IC = Ωbe_ϕ

(2)

ꢀ

a + b ꢀ

ꢂ

Ω =

ϕe_z

So sanh (1) va (2) :

b

@ Ap dung 3 (Trang 34) : Tênh toan momen quan tênh :

Tênh momen quan tênh cua cac vát ràn sau âáy, co khäi

læång m phán bä âãu bãn trong vát ràn :

1) Momen quan tênh âäi våi truc âäi xæng ∆ cua mät tám

phàng hçnh vuäng canh b, bã day khäng âang kã.

2) Momen quan tênh âäi våi mät âæång kênh cua mät âéa

tron ban kênh R.

∆

1

∆

A

H₁

G

∆

2

H₂

∆

3) Momen quan tênh âäi våi mät âæång kênh nàm trong màt

phàng giåi han ban cáu cua mät ban cáu ban kênh R.

G

Bai giai :

Cáu 1:

Xet phán tä vát ràn nàm tai toa âä x, y co diãn têch bàng dx.dy :

b/2

b

mb²

m

b²

m

b²

m

b²

r²dm =

dxdy =

²dxdy ⇒ J =

²dx dy ⇒

J_∆=

x

x²

x

^{Ta co : J =}∫∫

∫∫

∫ ∫

∆

12

(S )

−b/ 2

0

Cáu 2:

Xet phán tä vát ràn co vë trê xac âënh båi ban kênh r va goc ϕ, giåi han båi hçnh vanh khàn (r,

r+dr) va chàn goc dϕ. Ta co :

R

2π

m

π R²

m

π R²

m R^{4 2π}1+ cos2ϕ

J_AB

x²dm = (r cosϕ)²

rdϕdr =

r³dr cos²ϕdϕ =

.

dϕ

⁼∫∫

∫∫

∫ ∫

∫

π R²4

2

(S )

(S)

0

12

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

2π

mR²

m R⁴⎡1

1

⎤

⎛

⎞

J_AB

⇒

=

⇒ J_AB

=

.

ϕ + sin 2ϕ

⎜

⎝

⎟

⎠

⎢

⎥

π R²4

2

4

⎣

⎦

0

y

b

A

O

dϕ

dy

ϕ

y

r

dx

x

O

x

dr

-b/2

x

b/2

B

Phán tä dS, khäi læång dm

Cáu 3:

Momen quan tênh cua ban cáu âäi våi mät âæång kênh ∆ bàng 1/2

momen quan tênh cua khäi cáu âáy âu, khäi læång 2m âäi våi mät

âæång kênh ∆ :

(∆)

2

1 2

⎡

⎤

J_∆= mR²

J_∆=

(2m)R²

⇒

G

⎢

⎥

5

2 5

⎣

⎦

(Ghi chu : Momen quan tênh cua khäi cáu âáy âu, khäi læång M âäi

2

våi mät âæång kênh bàng : J_∆= MR²)

5

@ Ap dung 4 (Trang 35) : Træång håp momen âäng læång va vectå

quay song song våi nhau

z

(∆)

Mät vát ràn S quay xung quanh mät truc ∆ song song våi truc Oz va cä

ꢄ

âënh trong hã quy chiãu R (O; x,y,z) âang xet, våi ván täc goc la Ω .

ꢁꢁꢄ

Chæng minh ràng momen âäng læång L_Acua vát ràn S âäi våi âiãm

M

M ’

ꢄ

A cä âënh trãn ∆ song song våi Ω nãu nhæ :

∆ la truc âäi xæng cua S.

2) S la mät vát ràn phàng trong màt phàng qua A va vuäng goc våi ∆

A

O

Bai giai :

Momen âäng læång âäi våi âiãm A gäm hai thanh phán (Xem chæng

minh å phán ly thuyãt) :

ꢀ

L_{A //}= Ω. HM ².dm

song song våi vectå quay Ω.

∫∫∫

(S )

ꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_A⊥= −Ω. ((AM.e_z)HM )dm

vuäng goc våi vectå quay Ω.

∫∫∫

(S )

ꢀ

Cán chæng minh ràng L_A⊥= 0 .

1) ∆ la truc âäi xæng cua vát ràn (S) :

Æng våi mäi âiãm M thuäc (S), co thã tçm tháy mät âiãm M’ âäi xæng våi M qua ∆.

ꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ta co : HM = −HM ' va AM.e_z= −AM '.e_z⇒ HM (AM.e_z) = −HM '(AM '.e_z)

13

PFIEV Âa nàng

^{Bai táp Cå hoc âa}ꢀ^{i cæång (Me canique Generale)}

ꢀ

L_A= L_A//= J_∆Ω = J_∆Ωe_z

⇒ L_A⊥= 0 ⇒

2) (S) la vát ràn phàng trong màt phàng qua A va vuäng goc våi ∆ :

Våi moi âiãm M thuäc vát ràn (S), ta co : AM.e_z= 0 båi vç AM ⊥ e_z⇒

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_A⊥= 0

@ BAI TÁP CO GIAI (Trang 41) : Con làc kep

Mät con làc kep gäm hai thanh OA va AB giäng nhau, âäng

y

chát, khäi læång m, chiãu dai 2b va âæåc näi nhau bàng khåp

quay tai A. Hai thanh cung chuyãn âäng trong màt phàng thàng

âæng (Oxy) va goc nghiãng cua no âæåc xac âënh bàng cac goc α

va β so våi truc (Ox) thàng âæng hæång xuäng.

Tênh momen âäng læång âäi våi âiãm O va âäng nàng cua con

làc kep. Nhàc lai ràng momen quan tênh cua mät thanh co chiãu

dai 2b âäi våi trung âiãm :

O

G₁

A

α

G₂

B

β

x

Bai giai :

Momen âäng læång âäi våi âiãm O :

OA quay quanh truc Oz cä âënh, (S) vát ràn phàng nàm trong màt phàng qua O va vuäng

goc våi truc Oz, ta co :

ꢀ

L_O(OA) = Ω₁J_Oz(OA)e_z

1

4

2

ꢂ

Våi : Ω₁=α va J_Oz(OA) = J_Gz(OA) + mb = mb + mb = mb

3

ꢀ

4

ꢀ

2

ꢂ

L_O(OA) = mb αe_z

⇒

3

(Ghi chu : træång håp vát ràn phàng quay quang truc ( ) vuäng goc våi màt phàng cua vát

ꢀ

ràn : L_O(OA) = L_O⊥(OA) )

2

1

2

ꢂ

E_K(OA) = mb α

Va : E_K(OA) = J_Oz(OA)α ⇒

3

2

Âënh ly Koenig cho ta :

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

1

ꢀ

*

ꢂ

L_O(AB) = OG₂×mv(G₂) + L_G2(AB) = OG₂×mv(G₂) + J_G2z(AB)βe_z

2

1

2

E_K(AB) = mv²(G₂) + E_K^*(AB) = mv²(G₂) + J_G2z(AB)β

ꢂ

2

ꢂ

⎧

⎪

ꢂ

−2bα sinα −bβ sin β

2bcosα + bcos β

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢂ

Våi : OG = 2bsinα +bsin β ⇒ v(G ) = 2bα cosα + bβ cos β

⎨

⎪

⎩

2

⎪

⎩

0

1

J

_G2z(AB) = J = mb²

3

ꢀ

1

ꢀ

ꢂ ꢂ

L_O(AB) = mb (4α + β) + 2(α + β)cos(α − β ) + mb β e_z

⎡

⎣

⎤

⎦

2

ꢂ

⇒

⎢

⎥

3

(Læu y : cos(α − β ) = cosα.cos β.+ sinα.sin β )

Suy ra :

ꢀ

L_O(conlackep) = L_O(OA) + L_O(OB)

14

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

ꢀ

16

3

4

ꢀ

⎡

⎤

⎦

L_O(conlackep) = mb²

α + β + 2(α + β)cos(α − β) e_z

ꢂ

⇒

⎢

⎣

⎥

3

ꢂ

2

ꢂ

Ta co : v (G₂) = 4b α +b β + 4b αβ cos(α − β)

1

2

ꢂ

⎡

ꢂ

⎤

⇒

E_K(AB) = m 4b α + b β + 4b αβ cos(α − β ) + J_G2z(AB)β

⎣

⎦

2

1

2

1

2

²⎡ ꢂ

ꢂ

⎤

ꢂ

⇒

E_K(AB) = mb 4α + β + 4αβ cos(α − β) + mb β

⎣

⎦

2

6

Tom lai :

E_K(conlackep) = E_K(OA) + E_K(AB)

8

2

⎡

⎣

⎤

2

E_K(conlackep) = mb²α + β + 2αβ)cos(α − β)

ꢂ

⇒

⎢

⎥

⎦

3

BAI TÁP CO HÆÅNG DÁN :

@ Bai 1 (Trang 42) : Momen quan tênh cua mät ban cáu

Momen quan tênh cua mät ban cáu âäi våi âæång kênh ∆ cua no

2

bàng : J = m.R². Hay tênh momen quan tênh J ’ cua ban cáu âäi

5

C

G

∆

våi truc ∆‘ âi qua âènh S va song song våi ∆. Khoang cach tæ khäi

∆

3

G

tám G âãn tám C cua qua cáu bàng CG = R .

8

∆’

Bai giai :

S

Âënh ly Huyghens :

13

3

5

mR²

2

⎡

⎤

J ' =

J ' = J_∆G+ m(SG) = J_∆− m(CG) + m(SG) J ' = J − m( R) + m( R) ⇒

⎣

⎦

20

8

@ Bai 2 (Trang 42) :Momen âäng læång cua mät con làc

Mät con làc OABC hçnh chæ T (tiãt diãn khäng âang kã), âäng

chát, mät âáu âæåc treo å âáu O va co thã dao âäng xung quanh

trong màt phàng thàng âæng mät truc ∆ nàm ngang. Xac âënh

∆

θ

O

ꢀ

e_z

ꢂ

momen âäng læång âäi våi âiãm O theo ván täc goc θ cua con làc.

C

Biãt : OA = 2AB = 2AC = b, OA va OB co cung khäi læång. Nhàc

lai ràng momen quan tênh cua mät thanh co chiãu dai b âäi våi

A

1

trung âiãm cua no la : J = m.b²

B

12

Bai giai :

OABC la vát ràn phàng nàm trong màt phàng qua O va vuäng goc våi truc quay A :

ꢀ

ꢂ

L_O= ΩJ_∆e_zvåi : Ω =θe_z⇒ L_O=θ J_∆e_z

2

mb

mb²

mb

mb²

17mb²

⎡

⎢

⎣

⎤ ⎡

⎤

⎥

⎦

J = J (OA) + J (BC) =

+

⇒ J_∆=

⎥ ⎢

∆

2

12

2

12

⎦ ⎣

17mb²

ꢀ

ꢂ

θe_z

ꢀ

L_O=

Tom lai :

12

@ Bai 3 (Trang 42) : Âäng nàng cua mät chiãc âu :

15

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Mät chiãc âu gäm ba thanh AB, BC va CD giäng nhau, co khäi

læång m va chiãu dai 2b, âæåc näi våi nhau bàng cac khåp quay tai

B va C. Chung dëch chuyãn trong màt phàng thàng âæng va vë trê

cua hã âæåc xac âënh båi goc α.

D

A

α

C

Tênh âäng nàng cua hã. Nhàc lai ràng momen quan tênh cua mät

thanh âäng chát co khäi læång m, chiãu dai 2b, âäi våi trung âiãm

B

1

cua no la : J = m.b²

3

Bai giai :

1

Ta co : E_K(AB) = E_K(CD) = mv²(G₁) + E_K^*(AB)

2

1

2

1

1 1

2 3

2

ꢂ

=

mb α + J_∆G1α = mb α +

mb α

2

ꢂ

⇒

E_K(AB) = E_K(CD) = mb α

3

1

Va : E_K(BC) = mv²(G₃) + E_K^*(BC)

2

Thanh BC chuyãn âäng tënh tiãn trong R nãn BC cä âënh trong R* : E_K^*(BC) = 0

1

2

E_K(BC) = mv²(B) = m(2bα ) = 2mb α

ꢂ

⇒

2

10

2

ꢂ

E_K(he) = mb α

Tom lai :

3

@ Bai 5 (Trang 42) : Qua cáu trãn âæång ráy

Mät viãn bi hçnh cáu, âäng chát, khäi læång m, ban kênh

R, momen quan tênh âäi våi mät âæång kênh la :

2α

v₀

C

2

J = m.R², làn khäng træåt trãn mät âæång ráy hçnh nhë

5

diãn, goc nhë diãn la 2α. Hay tênh âäng nàng cua qua cáu

theo ván täc v₀cua tám cáu C.

Bai giai :

1

Âäng nàng cua qua cáu :

E_K= mv²(C) + E_K^*

(1)

2

ꢀ

1

Våi : E_K^*= JΩ²trong âo : Ω la vectå quay cua qua cáu.

2

1 2

2 5

1

⇒

E_K^*=

m.R²Ω²= m.R²Ω²

5

(Cán tênh Ω : Âã tênh Ω cán viãt quan hã ván täc cua hai âiãm trãn vát ràn)

Hai âiãm C va I_{qua cau}thuäc qua cáu nãn :

ꢁꢁꢀ

ꢀ

v(C) = v(I_quacau) + Ω× IC

(1)

ꢀ

Våi : v(I_quacau) = 0 va ván täc âiãm C thuäc qua cáu : v(C) = v₀e_x

ꢀ

(Ghi chu : Do qua cáu làn khäng træåt trãn âæång ráy : v(I_quacau) = v(L_quacau) = 0 . Ma :

ꢁꢁꢀ

ꢀ

ꢁꢁꢀ

ꢀ

v(I_quacau) = v(L_quacau) + Ω× LI nãn : Ω × LI = 0 ⇒ Ω // LI ⇒ Ω // e_y⇒ Ω = Ωe_y)

ꢁꢁꢀ ꢁꢁꢀ

Biãu thæc (1) trå thanh : v₀e_x= Ω× IC = Ωe_y× IC = ΩRsinαe_x

ꢀ

16

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

0

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢀ

ꢀ

(Ghi chu : e = 1

IC = Rcosα )

z

⎨

y

⎪

0

Rsinα

⎩

v₀

Ω =

Suy ra :

Rsinα

x

ꢃ

2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

1

v₀

E_K= mv₀²+ m.R²

y

Tom lai :

2

5

Rsinα

L

I

⎛

⎞

⎟

⎠

1

2

E_K= mv₀²1+

⇒

⎜

2

5sin²α

⎝

@ Bai 6 (Trang 42) : Hçnh tru quay xung quanh mät truc cä âënh :

Trãn mät hçnh tru âäng chát, tám O, khäi læång M, ban kênh R, momen quan tênh âäi våi truc

1

hçnh tru la : J = M.R², ngæåi ta gàn thãm ba khäi âiãm giäng nhau A, B, C, co khäi læång

2

(hçnh ve). (A, B, C nàm trong cung mät màt phàng chæa truc cua hçnh tru).

Hçnh tru quay våi ván täc goc

ω

khäng âäi xung quanh truc cä âënh (∆) trong hã quy chiãu

âang xet.

1) Tênh âäng læång va momen âäng læång cua hã âäi våi O.

2) Cac kãt qua trãn se bàng bao nhiãu nãu ta bo khäi âiãm gàn tai C ?

Bai giai :

Âäng læång cua hã trong (R) :

ꢀ

2R

P = Mv(O) + mv(A) + mv(B) + mv(C)

ꢀ

Trong (R) : v(O) = 0

;

v(A) = −v(B)

A

B

C

∆

ꢀ

⇒

P = mv(C)

2h

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

O

Ma : v(C) = v(O) +ω ×OC

⇒

v(C) = ω ×OC

Xet hã quy chiãu vuäng goc R_S(O, e_xS, e_yS, e_zS) gàn liãn våi vát

ràn va sao cho màt phàng (O, e_xS, e_zS) trung våi màt phàng

ABC.

Trong hã R_S, ta co :

ω

2R

z_S

ꢀ

ω

0

R

⎧

⎪

0

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⎪

ꢀ

ω = 0

OC = 0

⇒

v(C) = Rω

⎨

A

B

C

⎪

0

⎩

ω

−h

⎩

ꢀ

P = mRωe_yS

⇒

v(C) = Rωe_yS

x_S

2h

Momen âäng læång cua hã (S) âäi våi âiãm O trong hã

quy chiãu R :

O

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

L_O= Jω +OA×mv(A) +OB×mv(B) +OC ×mv(C)

y_S

θ

y

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ma : OA×mv(A) = OC ×mv(C)

ꢁꢁꢁꢀ ꢁꢁꢁꢀ

Nãn : L_O= Jω + 2OA×mv(A) +OB×mv(B)

ꢀ

x_S

17

x

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

−R

⎧

⎪

0

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Trong R : OA = 0

v(A) = −Rω

⎨

S

⎨

⎪

⎩

⎪

0

⎩

h

R

⎧

⎪

0

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

OB = 0

v(B) = Rω

⎨

⎪

h

⎩

⎪

0

⎩

Do âo :

ꢀ

L_O= Jωe_zS+ 2R²mωe_zS+ 2Rmωhe_xS+ R²mωe_zS− Rmωhe_xS⇒

ꢀ

L_O= (J +3mR²)ωe_zS+ mRωhe_xS

Khi bo qua khäi âiãm gàn tai C ra thç :

ꢀ

P = 0

ꢀ

L_O= (J + 2mR²)ωe_zS

ꢀ

Ta tháy L_O// e_zS//ω (trong træång nay vát nhán truc quay (∆) lam truc âäi xæng).

@ Bai 7 (Trang 43) Âäng nàng cua ä bi :

ꢀ

Ω

Mät ä bi gäm n viãn bi hçnh cáu âäng chát, khäi læång m. Vong trong,

ban kênh R₁, cä âënh. Vong ngoai, xem nhæ mät hçnh tru räng co khäi

læång M phán bä âãu trãn bã màt ban kênh R₂, quay våi ván täc goc Ω

xung quanh truc cua mçnh. Cac viãn bi làn khäng træåt âäng thåi trãn

vong trong va trãn vong ngoai. Gia sæ ràng cac viãn bi khäng tiãp xuc

R₁

C

O

R₂

våi nhau. Cho biãt :Momen quan tênh cua mät qua cáu âäng chát, khäi

2

læång m, ban kênh r âäi våi mät âæång kênh cua no la : J = m.r²

.

5

Momen quan tênh cua vong ngoai la : I = M.R₂²

Tênh âäng nàng cua hã theo M, m, R₂va ván täc goc

Ω .

Bai giai :

Âäng nàng ä bi : E_K= E_Kvongngoai+ nE_Kbi

ꢀ

I₂

Ω = Ωe_z

ꢀ

R₂

ω

+ Âäng nàng vong ngoai :

•

C

1

2

1

E_Kvongngoai

=

IΩ²= MR₂²Ω²

2

R₁

I₁

+ Âäng nàng viãn bi :

ꢀ

e₁

e₂

1

E_Kbi

=

mv²(C) + E_K^*_bi

2

1

O

1 2

1

⎛

⎞

⎠

Våi : E_K^*_bi

=

Jω²=

mr²ω²= mr²ω²

⎜

⎟

2

ꢀ

2 5

⎝

5

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Tçm v(C)

:

v(C) = v(I_1bi) + ω × I₁C

ꢀ

Ma viãn bi làn khäng træåt trãn vong trong nãn : v(I_1bi) = v(I_1vongtrong) = 0

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

⇒

v(C) = ω × I₁C

ꢀ ꢀ ꢀ

Trong hã toa âä(e₁,e₂,e₃) gàn liãn âoan OC, ta co :

18

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

0

r

⎧

⎪

⎧

⎪

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

R₂− R

ꢀ

v(C) =

¹ωe₂

va

⇒

ω = 0

I C = 0

⎨

1

2

⎪

ω

0

⎩

Tçm ω :

(Cach tçm : Tçm hai âiãm trãn viãn bi ma ván täc âa biãt, viãt quan hã ván täc giæa hai âiãm

nay)

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

Ta co :

v(I_1bi) = v(I_2bi) + ω × I₂I₁

ꢀ ꢀ

ꢀ

Viãn bi làn khäng træåt trãn vong trong :

Viãn bi làn khäng træåt trãn vong ngoai :

Va :

v(I_1bi) = v(I_1vongtrong) = 0

ꢁꢁꢁꢀ

v(I_2bi) = v(I_2vongngoai) = Ω×OI₂= ΩR₂e₂

ꢀ

ꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

ω × I₂I₁= −ω(R₂− R₁)e₂

Suy ra :

ΩR₂= ω(R₂− R₁)

R₂

ω =

Ω

⇒

R₂− R₁

ꢀ

R₂− R₁

R₂

ꢀ

R₂Ω ꢀ

⇒

v(C) =

.

Ωe₂=

e₂

2

R₂− R₁

2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

1

2

R Ω

2

1

+ m

5

R − R

R₂Ω

R₂− R₁

⎛

⎞

⎛

⎞

2

1

Tæ âo :

E_Kbi

=

mv²(C) + mr²ω²=

m

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

2

5

2

7

mR₂²Ω²

⇒

40

1

2

7

Tom lai :

E_K= E_Kvongngoai+ nE_Kbi

=

MR₂²Ω²+ n. mR₂²Ω²

40

1

7nm

⎛

⎝

⎞

⎠

E_K= R₂²Ω²M +

⇒

⎜

⎟

2

20

@ Bai 8 (Trang 43) : Âäng nàng cua may keo banh xêch

Xac âënh âäng nàng cua mät may keo gäm hai banh hçnh tru va mät dáy xêch, may keo

chuyãn âäng våi ván täc v₀.

Khung may keo co khäi læång M. Mäi banh co ban kênh R, co khäi læång m phán bä âãu, co

1

momen quan tênh âäi våi truc cua no la : J = mR². Dáy xêch (bo qua bã day) la âäng chát,

2

co khäi læång m_x. Khoang cach giæa cac truc cua banh xe bàng b. Gia sæ ràng dáy xêch khäng

træåt trãn màt âát cung nhæ trãn cac banh xe.

Bai giai :

Ta co :

E_K= E_Kkhung+ 2E_Kbanhxe+ E_Kxich

1

2

ꢀ

E_Kkhung

=

Mv₀²

Khung chuyãn âäng tënh tiãn våi ván täc v₀:

1

Âäng nàng cua banh xe co tám O₁:

E_Kbanhxe= mv²(O₁) + Jω²

2

ꢀ

våi ω = ωe_yla ván täc goc cua banh xe.

Tçm

Ta co :

Banh xe khäng træåt trãn dáy xêch, dáy xêch khäng træåt trãn màt âát :

ω

:

ꢁꢁꢁꢁꢀ

ꢀ

v(O₁) = v(A) +ω × AO₁

19

Bai táp Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

v(A) = 0

G

Ván täc tám banh xe : v(O₁) = v₀

G

v₀

R

⎛

⇒ v₀.e_x= ωRe_x

⇒ ω =

2

3

1

1 1

v

0

⎞

E_Kbanhxe= mv₀²

mv₀²+ . mR².

⇒

E_Kbanhxe

=

⎜

⎟

⎠

4

2

2 2

R

⎝

Âäng nàng cua dáy xêch :

Cach 1 :

Âoan xêch AB tiãp xuc våi màt âát la bát âäng ⇒ E_K(AB) = 0

Tát ca cac âiãm trãn âoan xêch ED co cung ván täc :

G

v(E) = v(D) = v(M ∈ ED)

Dáy xêch khäng træåt trãn banh xe :

JJJG

G

JJJG

G

(vç v(A) = 0 )

v(E) = v(E_banhxe) = v(A) + ω × AE = ω × AE

JJJG

G

⇒

v(E) = ω × AE = 2Rωe_x= 2v₀e_x

1

2

E_K(ED) = m_EDv²(E) = µb 2v

= 2µbv₀²

(

)

0

2

m_x

µ : khäi læång mät âån vë chiãu dai dáy xêch : µ =

2b + 2π R

Âoan xêch (BCD) va (AFE) co cung âäng nàng :

1

E_K(AFE) =

dmv²(M )_xichAFE

=

(Rdϕµ)v²(M )_xichAFE

∫

_{( AFE)}2

π 2

1

R.µ.v²(M )_xichAFEdϕ

⇒

våi M la âiãm trãn âoan xêch AFE

E_K(AFE) =

∫

_{−π 2}2

G

Màc khac, do xêch khäng træåt trãn banh xe : v(M )_xichAFE= v(M )_banhxe

JJJJJG

G

⇒

v(M )_xichAFE= v(M )_banhxe= v(O₁) + ω ×O₁M = v₀.e_x+ ωR(sinϕe_x+ cosϕe_z)

G

v(M )_xichAFE= (v₀+ωRsinϕ).e_x+ωR cosϕe_z

v²(M )_xichAFE= v₀²+ (ωR)²sin²ϕ + (ωR)²cos²ϕe_z+ 2v₀ωR sinϕ

G

Våi : v₀= Rω

Nãn : v²(M )_xichAFE= 2v₀²+ 2v₀²sinϕ ⇒ v²(M )_xichAFE= 2v₀²(1+ sinϕ)

π 2

1

R.µ.v²2v₀²(1+ sinϕ)dϕ = πµRv₀²

⇒

E_K(AFE) =

∫

_{−π 2}2

Tom lai : E_Kxich= E_K(ED) + 2E_K(AFE) = 2µbv₀²+ 2πµRv₀²

m_x

⇒

E_Kxich= µ(2b + 2π R)v₀²=

E_Kxich= m_xv₀²

(2b + 2π R)v₀²

2b + 2π R

⇒

Cuäi cung :

E_K= E_Kkhung+ 2E_Kbanhxe+ E_Kxich

M

3

1

3

⎛

⎞

E_K= v₀²

+ m+m_x

⇒

E_K= Mv₀²+ 2 mv₀²+ m_xv₀²

⇒

⎜

⎝

⎟

⎠

2

4

20

Bài tập Cơ học đại cương (Cơ học đại cương – dao động và sóng cơ) - Lê Cung