Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biến đổi Z

dce

2011

Chương 3

Biến đổi Z

BK

TP.HCM

^dceNội dung

2011

• Biến đổi Z

– BĐ thuận

– BĐ ngược

• Cá c tí nh chất của BĐ Z

• BĐ Z hữu tỉ

– Điểm khô ng (Zero) – Điểm cực (Pole)

– Pole và t/h nhâ n quả trong miền thời gian

– Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống

• Biến đổi Z ngược

– Phương phá p tí ch phâ n

– Phương phá p khai triển thành chuỗi lũy thừa

– Phương phá p phâ n rã thành cá c hữu tỉ

• Biến đổi Z một phí a (Z⁺)

– Tí nh chất

– Giải PTSP bằng BĐ Z⁺

• Phâ n tí ch hệ LTI

– Đáp ứng của hệ

– Đáp ứng tức thời, quá độ

– Tí nh ổn định và nhâ n quả

2

DSP – Biến đổi Z

^dceBiến đổi Z

2011

• Tổng quá t

– Một cá ch biểu diễn t/h khá c về mặt toá n học

– Biến đổi t/h từ miền thời gian sang miền Z

– Dễ khảo sá t t/h và h/t trong nhiều trường hợp (dựa vào cá c t/c của BĐZ)

+∞

• Định nghĩa

X(z) = x(n)z⁻ⁿ

– Cô ng thức

∑

n=−∞

z

– Quan hệ

x(n)← → X(z)

– Ký hiệu X(z) ≡ Z{x(n)}

– Biến z

Điểm thuộc mặt phẳng z

z = a + jb hay z = re^jδ

– Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞}

Chỉ quan tâ m X(z) tại những điểm z thuộc ROC

3

DSP – Biến đổi Z

^dceVí dụ về BĐZ

2011

– x₁(n) = δ(n)



X₁(z) = 1

ROC = mặt phẳng z (mpz)

– x₂(n) = {8 10 1^ 9 7 2}

X₂(z) = 8z²+ 10z + 1 + 9z^–1+ 7z^–2+ 2z^–3

ROC = mpz \ (∞, 0)



– x₃(n) = δ(n – k)



X₃(z) = z^–k

ROC = mpz \ {0 nếu k>0, ∞ nếu k<0)

n +1 A = 1





• Nhắc lại

1− Aⁿ⁺¹

1+ A+ A²+ A³+Aⁿ=



A ≠ 1



 1− A

1

1+ A+ A²+ A³+ =

A < 1

1− A

4

DSP – Biến đổi Z

dce

2011

BĐZ của t/h nhâ n quả và khô ng nhâ n quả

• T/h nhâ n quả

x(n) = aⁿu(n)

+∞

X (z) =

x(n)z⁻ⁿ= (az⁻¹)ⁿ

∑

n=−∞

n=0

1

Khi az⁻¹< 1(i.e. z > a ),

X (z) =

1− az⁻¹

⇒ ROC : z > a

• T/h phản nhâ n quả x(n) = –aⁿu(–n–1)

+∞

−1

∞

X (z) =

x(n)z⁻ⁿ=

(−aⁿ)z⁻ⁿ= − (a⁻¹z)^l

∑

n=−∞

l=1

a⁻¹z

1

Khi a⁻¹z <1(i.e. z < a ),

X (z) = −

=

1− a⁻¹z 1− az⁻¹

⇒ ROC : z < a

• Ý nghĩa

– T/h RRTG x(n) được xá c định duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của

nó

– ROC của t/h nhâ n quả là phần ngoài của vò ng trò n bá n kí nh r₂, trong khi

ROC của t/h phản nhâ n quả là phần trong của vò ng trò n bá n kí nh r₁

5

DSP – Biến đổi Z

^dceMiền hội tụ của cá c t/h

2011

T/h hữu hạn

T/h vô hạn

T/h

ROC

T/h

ROC

Nhân quả (t/h

bên phải)

[x(n)=0 n<0]

Nhân quả

[x(n)=0 n<0]

│z│> r₂

Mpz \ {0}

Phản nhân quả

(t/h bên trái)

[x(n)=0 n>0]

Phản nhân quả

[x(n)=0 n>0]

│z│< r₁

Mpz \ {∞}

Vành khuyên

r₁>│z│> r₂

2 bên

Mpz \ {0, ∞}

2 bên

Img

Re

6

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ một phí a

2011

+∞

X(z) = x(n)z⁻ⁿ

∑

n=−∞

+∞

X ⁺(z) = x(n)z⁻ⁿ

∑

n=0

7

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ ngược

2011

• Tí ch phâ n Cauchy

1 k = n





0 k ≠ n



1

z^n−1−kdz =

∫

2πj _C

• Biến đổi Z ngược _+∞

X (z) = x(k)z ^−k

– Từ

∑

k=−∞

– Nhâ n 2 vế với z^n–1

– Tí ch phâ n 2 vế theo đường cong kí n C bao gốc O thuộc ROC của X(z)

+∞

X (z)zⁿ⁻¹dz =

x(k)z ^n−1−kdz

∑

∫

C

k=−∞

– Á p dụng tí ch phâ n Cauchy

+∞

X (z)zⁿ⁻¹dz = x(k) z ^n−1−kdz = 2πjx(n)

∑

∫

C

k=−∞

1

x(n) =

X (z)zⁿ⁻¹dz

⇒

∫

2πj _C

8

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (1)

2011

• ROC = ROC₁∩ ROC₂∩ … ∩ ROC_n

Z

x₁(n)←→ X₁(z)

• Tuyến tí nh

Z

x₂(n)←→ X₂(z)

Z

x(n) = ax₁(n) + bx₂(n)←→ X (z) = aX₁(z) + bX₂(z)

⇒

– Ví dụ: x(n) = aⁿu(n) + bⁿu(–n–1)

1

Z

x₁(n) = aⁿu(n)←→ X₁(z) =

ROC : z > a

1− az⁻¹

1

Z

x₂(n) = −bⁿu(−n −1)←→ X₂(z) =

ROC : z < b

1−bz⁻¹

1

Z

Do đó

x(n) = x₁(n) − x₂(n)←→ X (z) = X₁(z) − X₂(z) =

−

1− az⁻¹1−bz⁻¹

ROC : a < z < b

9

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (2)

2011

• Dịch theo thời gian

Z

x(n)←→ X (z)

Z

x(n − k)←→ z^−kX (z)

⇒

0 k > 0





∞ k < 0



ROC = ROC \

x(n)

10

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (3)

2011

• Co giã n trong miền Z

z

x(n)←→ X (z)

ROC : r < z < r₂

1

z

aⁿx(n)←→ X (a⁻¹z)

∀a(thuchay phuc)

⇒

ROC : a r < z < a r

1

2

Im(z)

z

• Ý nghĩa

r

ω

a = r e ^jω

0

Re(z)

Z{x(n)} = X (z)

Z{aⁿx(n)} = X (w)

z = re ^jω⇒

w = a⁻¹z

w=a^–1z

 

1

j(ω−ω₀)

−1

Im(w)

w

 

w = a z = r e

 

r/r₀

r

0

 

ω–ω₀

co r >1

gian r <1

Re(w)









0

Thaybien ⇔

+ quay mpz



0



11

DSP – Biến đổi Z

^dceBài tập BĐZ

2011

Tì m biến đổi Z của:

a. x(n) = aⁿu(n), từ BĐZ của u(n)

b. x(n) = 3.2^n-2.(1/4)ⁿu(n-3)

c. x(n) = aⁿcos(ω₀n)u(n)

d. x(n) = aⁿsin(ω₀n)u(n)

e. x(n) = 3.2ⁿu(n) – 4.3ⁿu(n)

f. x(n) = Acos(ω₀n)u(n)

g. x(n) = Asin(ω₀n)u(n)

h. x(n) = –aⁿu(–n–1), từ BĐZ của u(-n)

i. x(n) = 3.3^-n-2.(1/4)ⁿu(-n-3)

12

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (4)

2011

Z

• Đảo thời gian

x

(

n

)

←→ X (z)

ROC : r < z < r₂

1

Z

x(−n)←→ X(z⁻¹) ROC : < z <

⇒

r₂

r

1

• Ý nghĩa

– ROC_x(n)là nghịch đảo của ROC_x(–n)

– Nếu z₀∈ ROC_x(n), 1/z₀∈ ROC_x(–n)

• Ví dụ

xác định BĐZ của x(n) = u(–n)

1

Z

u(n)←→

ROC : z > 1

ROC : z < 1

1− z⁻¹

1

Z

⇒ u(−n)←→

1− z

13

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (5)

2011

• Vi phâ n trong miền Z

dX (z)

z

nx(n)←→−z

⇒

x(n)←→ X (z)

dz

• Ví dụ

x(n) = naⁿu(n)

– Biểu diễn x(n) = nx₁(n)

với x₁(n) = aⁿu(n)

1

z

x₁(n) = aⁿu(n)←→ X₁(z) =

ROC : z > a

1− az⁻¹

dX₁(z)

az⁻¹

(1− az⁻¹)²

z

x(n) ≡ nx₁(n) = naⁿu(n)←→ X (z) = −z

=

ROC : z > a

dz

– Nếu a = 1, BĐZ của hàm bậc thang đơn vị

z⁻¹

(1− z⁻¹)²

z

x(n) = nu(n)←→ X (z) =

ROC : z >1

14

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (6)

2011

Z

x₁(n)←→ X₁(z)

• Tổng chập

Z

x₂(n)←→ X₂(z)

Z

x(n) = x₁(n)* x₂(n)←→ X (z) = X₁(z)X₂(z)

⇒

• Tí nh tổng chập của 2 t/h dùng phép BĐZ

Miền thời gian → miền Z

– Xác định BĐ Z của 2 t/h

X₁(z) = Z{x₁(n)}

X₂(z) = Z{x₂(n)}

Xử lý trong miền Z

– Nhân 2 BĐ Z với nhau

X(z) = X₁(z)X₂(z)

– Tì m BĐ Z ngược của X(z)

Miền Z → miền thời gian

x(n) = Z^-1{X(z)}

15

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (7)

2011

Z

• Tương quan

x₁(n)←→ X₁(z)

Z

x₂(n)←→ X₂(z)

∞

Z

r (l) = x (n)x (n −l)←→ R (z) = X (z)X (z⁻¹)

⇒

∑

x₁x₂

1

2

x₁x₂

1

2

n=−∞

• Việc tính tương quan giữa 2 t/h được thực hiện dễ dàng nhờ BĐ Z

• Ví dụ: xác định chuỗi tự tương quan của t/h x(n) = aⁿu(n) (|a| < 1)

1

z

x(n) = aⁿu(n)←→ X (z) =

ROC : z > a

1− az⁻¹

1

X (z⁻¹) =

ROC : z <

1− az

a

1

R_xx(z) = X (z)X (z⁻¹) =

=

1− az⁻¹1− az 1− a(z + z⁻¹) + a²

1

a ^l

−∞ < l < ∞

ROC : a < z <

⇒

r_xx(l) =

1− a²

a

16

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (8)

2011

Z

x₁(n)←→ X₁(z)

• Nhâ n 2 chuỗi

Z

x₂(n)←→ X₂(z)

1

z

Z

x

(

n

)

= x₁

(

n

)

x₂

(

n

)

←→ X

(

z

)

=

X₁

(

v

)

X₂( )v⁻¹dv

∫

C

2πj

v

C

:

baodong quanh gocO

,

thuoc ROC chung cua X₁(v)va X₂(1/ v)

• Cách xác định miền hội tụ

X₁(v) hoitu r < v < r

1l

1u

X₂(z) hoitu r_2l< z < r_2u

z

⇒ X₂(z / v) hoitu r_2l< < r_2u

v

Dodo, X (z) hoitu r r < z < r r

1l 2l

1u 2u

17

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ – Tí nh chất (9)

2011

• Định lý giá trị đầu

– Nếu x(n) nhân quả

[x(n) = 0

∀n<0]

⇒

x(0) = lim X (z)

z→∞

• Phức hợp

Z

x(n)←→ X (z)

x*(n)←→ X *(z*)

– Phần thực

1

z

Re{x(n)}←→ [X (z) + X *(z*)]

2

– Phần ảo

1

z

Im{x(n)}←→ [X (z) − X *(z*)]

2

18

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ hữu tỉ – Điểm zero & pole

2011

• Zero của BĐZ X(z): các giá trị z sao cho X(z) = 0

• Pole của BĐZ X(z): các giá trị của z sao cho X(z) = ∞

• ROC khô ng chứa bất kỳ pole nào

• Ký hiệu trên mpz: zero – vò ng trò n (o) và pole – chữ thập (x)

1− z⁻¹

1

X (z) =

1− z⁻¹− 2z⁻²

1− 0.9z⁻¹

19

DSP – Biến đổi Z

^dceBĐZ hữu tỉ – Biểu diễn

2011

• BĐZ dạng hữu tỉ

– Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG

– Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào đó → chỉ cần quan

tâ m trên vị trí của các điểm zero-pole

M

• Cá c cá ch biểu diễn

b z^−k

∑

k

N(z) b₀+ b z⁻¹++ b_Mz^−M

– Dạng mũ âm

1

k=0

X (z) =

=

M

D(z) a₀+ a₁z⁻¹++ a_Nz^−N

a z^−k

∑

k

k=0

– Dạng mũ dương

z^M+ _b^b¹z^{M −1}++ ^bM

b₀

0

X (z) = z^{N −M}

z^N+ _az^{N −1}++ ^a^N

a₁

a₀

0

M

(z − z )

– Dạng Zero-Pole

∏

k=1

N

k

(z − z₁)(z − z₂)(z − z_M)

(z − p₁)(z − p₂)(z − p_N)

X (z) = Gz^{N −M}

= Gz^{N −M}

(z − p )

b₀

a₀

∏

k

G ≡

k=1

20

DSP – Biến đổi Z

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biến đổi Z - Đinh Đức Anh Vũ