Bài giảng Trường điện từ - Chương: Sóng phẳng và hệ phương trình Maxwell
plane waves
Tꢀng kꢁt: Hꢂ
phương trình Maxwell dưꢃi dꢄng ñiꢅu
hòa theo th i gian
ꢆ
• Giꢀ thiꢁt trưꢂng biꢁn ñꢃi theo thꢂi gian dưꢄi dꢅng các hàm ñiꢆu hòa,
và áp dꢇng ñꢈnh luꢉt Ohm J = E, ta có hꢊ phương trình
σ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
t
t
E x, y, z,t = E x, y, z ejω
H x, y, z,t = H x, y, z ejω
s
s
ꢀ
ꢀ
ꢀ ꢀ
ꢀ
ꢀ
× E r = − jωµH r
s
iD = ρv
s
ꢀ
ꢀ
ꢀ ꢀ
ꢀ
ꢀ
× H r =
σ
+ jωε E r
iB = 0
s
s
• Cùng vꢄi các tính chꢋt vꢉt liꢊu không phꢇ thuꢌc thꢂi gian
ꢀ
ꢀ
ꢁ H
ꢀ
ꢀ
ꢀ ꢀ
J =
B =
µ
ε
D = ꢁ E
σ
E
µr µo
εrεo
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
1
plane waves
Thành phꢇn không gian cꢈa nghi
ꢂm phương trình
Maxwell
• Giꢀ thiꢁt rꢍng thành phꢎn phꢇ thuꢌc vào thꢂi gian ñưꢏc biꢐu diꢑn
dưꢄi dꢅng phasor (tꢒc là, sꢓ phꢇ thuꢌc thꢂi gian ñưꢏc biꢐu diꢑn ꢔ
dꢅng exp(jωt))
• Thꢁ còn thành phꢎn chꢕ phꢇ thuꢌc vào không gian Es và Hs sꢖ có
dꢅng thꢁ nào?
• Như thưꢂng lꢊ, ta thꢓc hiꢊn ñoán dꢅng
• Trưꢂng hꢏp ñꢗc biꢊt: ta giꢀ thiꢁt rꢍng không có thành phꢎn nào cꢘa
trưꢂng theo hưꢄng z (nhưng E và H vꢙn phꢇ thuꢌc vào tꢚa ñꢌ z).
ðiꢆu này có nghĩa là
– Trưꢂng là “ngang” (“transverse”) ñꢛi vꢄi phương z
– Trưꢂng nꢍm trong mꢗt phꢜng xOy
– Chꢕ tꢝn tꢅi các thành phꢎn trưꢂng theo hưꢄng : và
y
x ˆ
E x, y, z , E x, y, z ,H x, y,z ,H x, y, z
x
y
x
y
• Hay theo hưꢄng ρ^ và/hoꢗc φ^ nꢁu xét trong hꢊ tꢚa ñꢌ trꢇ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
2
plane waves
Thành phꢇn không gian cꢈa nghi
ꢂm phương trình
Maxwell
• Dưꢄi các ñiꢆu kiꢊn như vꢉy, hꢊ phương trình Maxwell thay ñꢃi như
thꢁ nào?
– Trưꢄc hꢁt ta xét ñꢁn curl cꢘa mꢌt trưꢂng vector ngang ñꢛi vꢄi z
0
0
ꢂ
ꢂ
ꢀ
ꢀ
∂Fy
∂F
∂ F
∂F ∂ F
∂Fx
y
z
x
z
ˆ
ˆ
y +
ˆ
z
curl F
≡ × F
=
−
x +
−
−
ngangꢀz
ngangꢀz
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂Fy
∂z
∂F
∂F
∂Fx
y
x
ˆ
x +
ˆ
y +
ˆ
z
= −
−
∂z
∂x ∂y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
3
plane waves
Phương trình Maxwell ñꢉi vꢃi các trưꢆng ngang
• Tꢞ phương trình Maxwell thꢒ nhꢋt:
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
× E r = − jωµH r
s
s
• Khi các trưꢂng là ngang ñꢛi vꢄi z, phương trình này trꢔ thành
ꢀ
∂Ey
∂z
∂E
∂E
∂Ex
y
x
ˆ
x +
ˆ
y +
ˆ ˆ
ˆ ˆ
z = − jωµ Hx x + Hy y + 0 z
× Engang = −
−
∂z
∂x ∂y
doꢁgi¶ꢁthiÕt
Hꢁlꢂꢁngang
• ðꢝng nhꢋt 2 vꢁ ta ñưꢏc
ꢀ
ꢀ
∂Ey
∂z
∂E
x
∂z
× Engang
=
= − jωµHy
× Engang = −
= − jωµHx
y
x
ꢀ
∂E
∂Ex
y
=
× Engang
−
= 0
z
∂x ∂y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
4
plane waves
Phương trình Maxwell ñꢉi vꢃi các trưꢆng ngang
• Tꢞ phương trình Mꢀaxwell thꢒ 2
ꢀ
ꢀ
ꢀ
× H r =
s
σ
+ jωε E r
s
• Khi các trưꢂng là ngang ñꢛi vꢄi z, phương trình này trꢔ thành
ꢀ
∂H
∂z
∂H
y
∂H
x
∂z
∂Hx
y
ˆ
x+
ˆ
y+
x ˆ ˆ
E x+E y+ ꢁ0 z
ˆ
z = σ + jωε
ˆ
×H = −
−
(
)
ngang
y
∂x ∂y
doꢁgi¶ꢁthiÕt
Hꢁlꢂꢁngang
• ðꢝng nhꢋt 2 vꢁ, ta ñưꢏc
ꢀ
∂Hy
∂z
× Hngang = −
=
σ
+ jωε
E
(
)
x
x
ꢀ
ꢀ
∂H
∂H
∂Hx
y
x
=
× Hngang
=
σ
+ jωε
E
× Hngang
=
−
= 0
(
)
y
y
z
∂z
∂x ∂y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
5
plane waves
Phương trình Maxwell
u hòa theo th i gian, ngang ñꢉi vꢃi z
Nghi
ꢂm
ñiꢅ
ꢆ
• Dꢓa vào các giꢀ thiꢁt và ñiꢆu kiꢊn sau:
– Nghiꢊm ñiꢆu hòa theo thꢂi gian
– ðꢈnh luꢉt Ohm
– E và H không có thành phꢎn theo phương z
• Hꢊ phương trình Maxwell trꢔ thành
∂Ey
∂z
∂Hy
∂z
= jωµHx
= −
σ + jωε E
(
)
x
∂Hx
∂z
∂Ex
∂z
=
(
σ
+ jωε
∂Hx
E
= − jωµHy
∂Ex
)
y
∂Hy
∂Ey
−
= 0
−
= 0
∂x ∂y
∂x ∂y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
6
plane waves
Phương trình Maxwell
u hòa theo th i gian, ngang ñꢉi vꢃi z
Nghi
ꢂm
ñiꢅ
ꢆ
• Nhꢟng ñiꢐm cꢎn lưu ý:
– Ey ñưꢏc liên hꢊ vꢄi Hx thông qua d/dz và ω
– Ex ñưꢏc liên hꢊ vꢄi Hy thông qua d/dz và w
– Hy ñưꢏc liên hꢊ vꢄi Ex thông qua d/dz và w
– Hx ñưꢏc liên hꢊ vꢄi Ey thông qua d/dz và w
– Ey và Ex ñưꢏc liên hꢊ vꢄi nhau qua d/dx và d/dy
– Hy và Hx ñưꢏc liên hꢊ vꢄi nhau qua d/dx và d/dy
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
7
plane waves
Phương trình Maxwell
u hòa theo th i gian, ngang ñꢉi vꢃi z
Nghi
ꢂm
ñiꢅ
ꢆ
• Xây dꢓng các phương trình vi phân ñꢛi vꢄi E
• ðꢅo hàm hai vꢁ
∂E
∂ ∂E
∂
∂
∂
x
y
=
− jωµHy
∂Hy
(
)
=
jωµHx
(
)
∂z ∂z
∂z
∂z ∂z
∂z
• Ta ñưꢏc
∂2Ex
∂z2
∂2Ey
∂z2
∂Hx
∂z
= − jωµ
= jωµ
∂z
∂Hy
∂z
∂Hx
• Thꢁ
=
σ + jωε E
(
)
= −
σ
+ jωε
E
(
)
y
x
∂z
• Suy ra
∂2Ex
∂z2
∂2Ey
∂z2
= − jωµ
−
σ
+ jωε
E
(
)
(
)
= jωµ σ + jωε
E
x
(
)
(
)
y
∂2Ey
∂z2
∂2Ex
∂z2
− jωµ σ + jωε E = 0
(
)
− jωµ σ + jωε E = 0
y
(
)
x
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
8
plane waves
Phương trình Maxwell
u hòa theo th i gian, ngang ñꢉi vꢃi z
Nghi
ꢂm
ñiꢅ
ꢆ
• Xây dꢓng các phương trình ñꢛi vꢄi H
• ðꢅo hàm hai vꢁ
∂H
∂
∂
∂ ∂H
∂
y
x
=
−
σ
+ jωε
+ jωε
E
=
σ + jωε E
(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
∂z ∂z
∂z
∂z ∂z
∂z
• Ta ñưꢏc
∂2Hy
∂z2
∂2Hx
∂z2
∂Ex
∂z
∂Ey
∂z
= −
σ
(
)
=
σ + jωε
(
)
∂Ey
∂z
∂Ex
• Thꢁ
= − jωµHy
= jωµHx
∂z
• Suy ra
∂2Hy
∂z2
∂2Hx
∂z2
= −
σ + jωε − jωµHy
(
)
(
)
=
σ
+ jωε
jωµHx
(
)(
)
∂2Hx
∂z2
∂2Hy
∂z2
− jωµ σ + jωε H = 0
(
)
x
− jωµ σ + jωε H = 0
(
)
y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
9
plane waves
D
ꢄ
ng phương trình sóng c
ꢈ
ꢅ
a h
ꢂ
phương trình
i gian
Maxwell ngang ñꢉi v i z và
ꢃ
ñi
u hòa theo thꢆ
• Như vꢉy vꢄi viꢊc giꢀ thiꢁt nghiꢊm ñiꢆu hòa theo thꢂi gian và không
có thành phꢎn nào cꢘa E và H theo hưꢄng z, cùng vꢄi viꢊc sꢠ dꢇng
ñꢈnh luꢉt Ohm
– Hꢊ phương trình Maxwell trꢔ thành
∂2Ey
∂z2
∂2Ex
∂z2
− jωµ σ + jωε E = 0
− jωµ σ + jωε E = 0
(
)
(
)
y
x
∂Ey
∂Ex
−
= 0
∂x ∂y
∂2Hy
∂z2
∂2Hx
∂z2
− jωµ σ + jωε H = 0
− jωµ σ + jωε H = 0
(
)
(
)
x
y
∂Hy
∂Hx
−
= 0
∂x
∂y
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
10
plane waves
D
ꢄ
ng phương trình sóng c
ꢈ
ꢅ
a h
ꢂ
phương trình
i gian
Maxwell ngang ñꢉi v i z và
ꢃ
ñi
u hòa theo thꢆ
• ðꢐ giꢀi các phương trình này mꢌt cách dꢑ dàng hơn, ta sꢠ dꢇng mꢌt
giꢀ thiꢁt khác nꢟa. ðó là
– E chꢕ có thành phꢎn theo hưꢄng x
• Lúc này, ñꢛi vꢄi E, ta còn lꢅi phương trình (gꢚi là phương trình sóng)
∂2Ex
∂z2
− jωµ σ + jωε E = 0
(
)
x
• ðây là mꢌt phương trình vi phân bꢉc 2 có dꢅng
∂2F
∂z2
−
γ 2F = 0
• Do ñó, nghiꢊm cꢘa nó có dꢅng
γ
z
z
F = C1 e− + C2 eγ
– Vꢄi C là mꢌt hꢍng sꢛ bꢋt kỳ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
11
plane waves
Sóng phꢊng ngang
• Sóng phꢜng (“plane waves”)
– Là sóng có tꢋt cꢀ các trưꢂng nꢍm trong mꢌt mꢗt phꢜng vuông góc vꢄi
mꢌt hưꢄng cho trưꢄc
• ꢡ ñây, hưꢄng cho trưꢄc mà chúng ta xét ñꢁn là hưꢄng z^
• Bây giꢂ, ta thꢓc hiꢊn ñoán nghiꢊm rꢝi xét xem chúng có thꢢa mãn
các phương trình mà ta mꢄi xây dꢓng hay không
– ðꢆ xuꢋt: nghiꢊm có dꢅng sóng phꢜng ñꢝng nhꢋt (uniform plane wave)
cho bꢔi biꢐu thꢒc:
ꢀ
+ −
xo
γ
z
−
xo
γ z
ˆ
ˆ
E = E x = E e + E e x
(
)
ngang
x
• Nhꢉn xét:
– E chꢕ có thành phꢎn theo hưꢄng x^
Ex+o , Ex−o
–
là các hꢍng sꢛ, ñꢌc lꢉp ñꢛi vꢄi thꢂi gian, vꢈ trí, tꢎn sꢛ!
• ðây chính là yꢁu tꢛ quyꢁt ñꢈnh mꢌt sóng phꢜng ñꢝng nhꢋt
– γ cũng là mꢌt hꢍng sꢛ, ñꢌc lꢉp vꢄi thꢂi gian và vꢈ trí, nhưng ta chưa biꢁt
có quan hꢊ thꢁ nào vꢄi ω
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
12
plane waves
Sóng phꢊng ngang
• Bây giꢂ ta thꢁ nghiꢊm trên vào phương trình Maxwell:
∂Ex
= − jωµHy
∂z
• Ta có thꢐ viꢁt
γ
z
z
∂ E+ e− + E− eγ
=
xo
xo
γ
−E+ e− + E− eγ = − jωµHy
γ
z
z
(
)
xo
xo
∂z
γ
z
z
γ
−E+ e− + E− eγ
γ
xo
xo
γ
z
z
Hy =
=
E+ e− − E− eγ
(
)
xo
xo
− jωµ
j
ωµ
Hy
• Như vꢉy ta ñã xác ñꢈnh ñưꢏc thành phꢎn
cꢘa H
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
13
plane waves
Sóng phꢊng ngang
∂Ey
∂z
• Thành phꢎn x cꢘa H ñưꢏc xác ñꢈnh bꢔi biꢐu thꢒc:
• Tuy nhiên, do giꢀ thiꢁt Ey = 0, dꢙn tꢄi Hx = 0!
= jωµHx
gi¶ꢁthiÕt
ꢀ
+ −
xo
γ
z
−
xo
γ z
ˆ
• Tꢄi thꢂi ñiꢐm này, ta ñã giꢀ thiꢁt:
Engang = E e + E e x
(
)
– Giꢀ thiꢁt này cùng vꢄi phương trình Maxwell dꢙn tꢄi
ꢀ
γ
+ −
xo
γ
z
−
xo
γ z
ˆ
E e − E e y
Hngang =
(
ωµ
)
j
– ðiꢆu này chꢒng tꢢ rꢍng, sꢓ tꢝn tꢅi cꢘa mꢌt ñiꢊn trưꢂng biꢁn thiên theo
thꢂi gian ñòi hꢢi phꢀi có sꢓ tꢝn tꢅi cꢘa mꢌt tꢞ trưꢂng biꢁn thiên theo
thꢂi gian!
• Tꢄi ñây, vꢙn còn hai phương trình chúng ta chưa xét ñꢁn.
– Ta hy vꢚng rꢍng, ta có thꢐ xác ñꢈnh ñưꢏc hꢍng sꢛ γ là gì?
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
14
plane waves
Sóng phꢊng ngang :
γ là gì?
• Tꢞ phương trình Maxwell:
∂Hy
= −
σ
+ jωε
E
(
)
x
∂z
• Ta có thꢐ viꢁt
∂Hy
∂
γ
γ
z
z
γ
z
z
=
E+ e− − E− eγ
= −
σ
+ jωε E+ e− + E− eγ
(
)
(
)
(
)
xo
xo
xo
xo
∂z ∂z jωµ
• Tꢞ ñó suy ra:
γ 2
γ
z
z
γ
z
z
−
E+ e− + E− eγ = −
σ
+ jωε E+ e− + E− eγ
(
)
(
ωµ
)
(
)
xo
xo
xo
xo
j
• Hay
γ 2 = jωµ σ + jωε
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
15
plane waves
Nghi
ꢂ
m sóng ph
ꢊ
ng ñꢋng nh
ꢌ
t cho h
ꢂ
phương trình
Maxwell
• Như vꢉy, bây giꢂ ta ñã thu ñưꢏc toàn bꢌ thành phꢎn theo không
gian cꢘa nghiꢊm phương trình Maxwell như sau:
ꢀ
γ
gi¶ꢁthiÕt
ꢀ
+ −
xo
γ
z
−
xo
γ z
+ −
xo
γ
z
−
xo
γ z
ˆ
E e − E e y
Hngang =
(
ωµ
)
ˆ
Engang = E e + E e x
(
)
j
γ 2 = jωµ σ + jωε
• Và nghiꢊm ñꢎy ñꢘ, ñiꢆu hòa theo thꢂi gian ñưꢏc cho bꢔi :
gi¶ꢁthiÕt
Esãngꢁ = E+ e(
ph¼ng
ꢀ
jω
t−γ
z
jωt+γ z
)
) + Ex−oe(
ˆ
x
(
)
xo
ꢀ
γ
jω
t−γ
z
jωt+γ z
)
E+ e(
) − Ex−oe(
ˆ
y
Hsãngꢁ =
ph¼ng
xo
j
ωµ
– γ ñưꢏc gꢚi là hꢍng sꢛ truyꢆn lan phꢒc (“complex propagation constant”)
– Chú ý rꢍng E and H là vuông góc vꢄi nhau
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
16
plane waves
Sóng phꢊng ñꢋng nhꢌt trong môi trưꢆng
ñiꢂn môi lý tưꢍng
• ðꢐ hiꢐu rõ hơn vꢆ sóng phꢜng này, ta giꢀ thiꢁt rꢍng không gian mà
ta ñang xét nꢍm trong mꢌt chꢋt ñiꢊn môi lý tưꢔng, tꢒc là: σ = 0
• Khi ñó ta có thꢐ ñơn giꢀn hóa γ như sau:
γ 2 = j2ω2µε
γ
= jω µε = jβ
• Rõ ràng γ là mꢌt ñꢅi lưꢏng thuꢎn ꢀo
• Lúc này nghiꢊm cꢘa phương trình Maxwell trꢔ thành
ꢀ
E = E+ ej
ph¼ng
) + Ex−oej
ω
t−
β
z
ω
t+
β
z
(
(
)
ˆ
x
sãngꢁ
xo
ꢀ
β
ω
t−
β
z
ω
t+β z
E+ ej
) − Ex−oej j
(
(
)
ˆ
y
Hsãngꢁ =
ph¼ng
xo
ωµ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
17
plane waves
Sóng phꢊng ñꢋng nhꢌt trong môi trưꢆng
ñiꢂn môi lý tưꢍng
• β ñưꢏc gꢚi là hꢍng sꢛ truyꢆn lan (propagation constant) hay hꢍng
sꢛ sóng (wavenumber)
– Chú ý: thꢒ nguyên cꢘa β làꢣ1/ñꢌ dài
• Trong miꢆn thꢂi gian, giá trꢈ tꢒc thꢂi cꢘa cưꢂng ñꢌ ñiꢊn trưꢂng ñưꢏc
cho bꢔi biꢐu thꢒc:
j
ω
t−
β
z
ω
t+
β
z
(
(
)
+
xo
t +
E z,t = Re E e
) + Ex−oej
x ( )
= E+ cos
ω
t −
β
z + E− cos
ω
β
z
(
)
(
)
xo
xo
• Xét thành phꢎn thꢒ nhꢋt:
E+ z,t = E+ cos
ωt − β z
x
xo
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
18
plane waves
Sóng chꢄy và vꢎn tꢉc pha trong môi trưꢆng
ñi
ꢂn môi lý tưꢍng
E+ z,t = E+ cos
ω
t − β z
• Xét thành phꢎn thꢒ nhꢋt:
x
xo
Tꢞ hình vꢖ ta có nhꢉn xét:
• Thành phꢎn E+ z,t biꢐu diꢑn mꢌt
x
sóng chꢅy (traveling wave) theo
hưꢄng +z bꢔi vì:
• ðꢐ duy trì mꢌt ñiꢐm cꢛ ñꢈnh nào ñó
trên sóng, tꢒc là ñꢐ giꢟ cho
ω
t − β z = const
khi thꢂi gian tăng lên, ta phꢀi ñi vꢆ
phía +z.
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
19
plane waves
Sóng ch
ꢄ
y và vꢎn t
ꢉc pha trong môi trưꢆng
ñiꢂn môi lý tưꢍng
• Tương tꢓ như vꢉy, thành phꢎn thꢒ hai:
E− z,t = E− cos
ωt + β z
x
xo
biꢐu thꢈ mꢌt sóng chꢅy vꢆ phía –z.
• Ta thꢋy rꢍng mꢌt ñiꢐm cꢛ ñꢈnh nào ñó trên sóng sꢖ chuyꢐn ñꢌng vꢄi
mꢌt vꢉn tꢛc:
dz d
vp = =
dt dt
ω
t −const
ω
= =
β
1
β
µε
• Vꢉn tꢛc này ñưꢏc gꢚi là vꢉn tꢛc pha (phase velocity)
• Trong không gian tꢓ do, vꢉn tꢛc pha chính bꢍng vꢉn tꢛc ánh sáng:
1
vp =
= c = 2,998×108 m / s
µ0ε0
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update October 11, 2007
20
Tải về để xem bản đầy đủ
32 trang
18260
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Trường điện từ - Chương: Sóng phẳng và hệ phương trình Maxwell", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truong_dien_tu_chuong_song_phang_va_he_phuong_trin.pdf
