Bài giảng Trường điện từ - Chương: Định luật Gauss - Div
Gauss’s law
Vector ðiꢀn cꢁm
• ðꢀ tránh phꢁ thuꢂc vào môi trưꢃng hay ε, ta sꢄ dꢁng mꢂt ñꢅi
lưꢆng vector mꢇi là vector ñiꢈn cꢉm:
(1)
D = εE
Trong ñó:
ε = ε'ε0
ε'
: hꢊng sꢋ ñiꢈn môi tương ñꢋi cꢌa môi trưꢃng
thꢍ nguyên: E là V/m, ε là F/m, vꢎy D là V·F/m2 = C/m2
• Vector ñiꢈn cꢉm sinh ra bꢏi mꢂt ñiꢈn tích ñiꢀm bꢊng
ꢀ
q
2
ꢀ
D =
r
(2)
u
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
1
Gauss’s law
Vector ðiꢀn cꢁm
• Nhꢂn xét:
ε
–
–
không phꢁ thuꢂc vào
ñưꢆc xác ñꢐnh chꢑ bꢏi giá trꢐ cꢌa ñiꢈn tích tꢅo ra trưꢃng và vꢐ trí
ñiꢀm quan sát.
• Trong môi trưꢃng ñꢒng nhꢓt:
và
trùng phương nhau.
• Vꢇi ña sꢋ môi trưꢃng: là hꢊng sꢋ không phꢁ thuꢂc .
ε
• Trong trưꢃng hꢆp này môi trưꢃng ñưꢆc gꢔi là môi trưꢃng tuyꢕn
tính, và tꢖ lꢈ vꢇi nhau vꢗ ñꢂ lꢇn.
• Thông lưꢃng cꢄa vector ñiꢀn cꢁm
qua mꢅt mꢆt kín S
n
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
1
ꢀ
Ψ = D • dS = D • dS +⋯ D • dS = q
(3)
∑
∫
∫
∫
n
k
k=1
S
S
S
• Biꢀu thꢍc này là dꢅng toán hꢔc cꢌa ñꢐnh luꢎt Gauss cho thông
lưꢆng cꢌa vector qua mꢂt mꢘt kín S
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
2
Gauss’s law
Vector ðiꢀn cꢁm
• Phát biꢇu ñꢈnh luꢂt:
– Thông lưꢆng cꢌa vector ñiꢈn cꢉm
qua mꢂt mꢘt kín bꢓt kỳ
bꢊng tꢙng ñꢅi sꢋ các ñiꢈn tích nꢊm trong thꢀ tích giꢇi hꢅn bꢏi mꢘt
kín ñó, không phꢁ thuꢂc vào sꢚ xꢛp xꢕp chúng.
• Dưꢇi ñây ta sꢜ áp dꢁng ñꢐnh luꢎt này ñꢀ giꢉi mꢂt sꢋ bài toán vꢗ
trưꢃng tĩnh ñiꢈn.
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
3
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt ñiꢀn tích dây dài vô hꢊn
z
• Tính trưꢃng bꢊng cách sꢄ dꢁng mꢂt mꢘt
kín Gauss
ˆ
z
• Nhꢎn xét:
ˆ
φ
– Do tính ñꢋi xꢍng, trưꢃng có phương bán
kính và hưꢇng tꢝ sꢆi dây ra ngoài
ˆ
ρ
– Do sꢆi dây nꢊm theo trꢁc z, trưꢃng có tính
ñꢋi xꢍng trꢁ
ꢀ
y
ρ
ˆ
E = Eρ ρ
• ðꢀ ñơn giꢉn trong tính toán, ta nên tìm
tính ñꢋi xꢍng và chꢔn mꢂt mꢘt kín thích
hꢆp.
x
• Nguyên tꢋc: Ta nên chꢔn mꢂt mꢘt kín
→
→
ꢀ
ꢀ
sao cho
(hay
) là:
D • dS
E • dS
– Mꢂt hꢊng sꢋ
– Bꢊng 0 (
→
hay trꢚc giao vꢇi
)
dS
D = 0
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
4
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt ñiꢀn tích dây dài vô hꢊn
z
• Trꢏ lꢅi bài toán, ta chꢔn mꢘt kín Gauss là
mꢂt hình trꢁ có bán kính , chiꢗu cao h,
ρ
ˆ
z
và ñiꢈn tích dây nꢊm xuyên tâm hình trꢁ
ˆ
φ
– Xét mꢆt bên, ta có thꢀ viꢕt:
→
ˆ
ρ
dS = ρd
φ dzρ
ˆ
( )
→
ꢀ
y
DmÆtꢀbªn = D ρ
ρ ˆ
ρ
ˆ
E = Eρ ρ
– Do ñó, thông lưꢆng bꢊng
x
2
π
h
→
→
ΨmÆtꢀbªn
=
D• dS = D ρ dφ dz
∫
∫ ∫
0 0
ρ
mÆtꢀbªn
= 2πhDρ ρ
– Xét các mꢆt ñꢌnh và mꢆt ñáy, ta có:
→
dS = ρd
φ dρz
ˆ
( )
→
D®Ønh,ꢀ®¸yꢀ = D ρ
ρ ˆ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
5
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt ñiꢀn tích dây dài vô hꢊn
z
– Thông lưꢆng qua các mꢘt ñꢑnh và ñáy
bꢊng
ˆ
z
ˆ
φ
→
→
ˆ
ρ
Ψ®Ønh,®¸y = D®Ønh,®¸y • dS
∫
= ρd
φ dρD z • ρ = 0
ˆ
ˆ
( )
ρ ( )
ꢀ
∫
y
ρ
ˆ
E = Eρ ρ
– Như vꢎy, theo ñꢐnh luꢎt Gauss ta có thꢀ
viꢕt
x
Ψ = ΨmÆtꢀbªn + Ψ®Ønh,ꢀ®¸y = 2πhDρ ρ
tæng
= q = ρ h
∑
i
L
– Tꢝ ñó suy ra:
→
→
ρLh ρL
Dd©y ρL 1
và
Ed©y =
=
ρ
ˆ
Dρ =
=
ε 2πε ρ
2πhρ 2πρ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
6
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt quꢁ cꢍu tích ñiꢀn vꢎi mꢂt ñꢅ
ñiꢀn tích ρv
• Xét mꢂt quꢉ cꢞu ñꢒng nhꢓt tích
ꢀ
z
ˆ
E = E r r
r
ñiꢈn, có tâm tꢅi gꢋc tꢔa ñꢂ và
có bán kính R
• Nhꢎn xét:
– Do tính ñꢋi xꢍng, trưꢃng
sinh ra bꢏi qua cꢞu tích
ñiꢈn phꢉi có tính ñꢋi xꢍng
cꢞu, vꢇi mꢂt thành phꢞn
duy nhꢓt theo hưꢇng bán
kính, và là hàm sꢋ cꢌa ñꢋi
sꢋ duy nhꢓt r
R
y
r
x
• Ta chꢔn mꢘt kín Gauss là mꢂt
mꢘt cꢞu có tâm tꢅi gꢋc tꢔa ñꢂ,
bán kính r
ρ
r ≤ R
vo
ρv
=
0 r > R
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
7
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt quꢁ cꢍu tích ñiꢀn vꢎi mꢂt ñꢅ
ꢀ
ñiꢀn tích ρv
z
ˆ
E = E r r
r
• Xét trưꢉng hꢃp r > R
– Tꢙng ñiꢈn tích nꢊm trong mꢘt kín:
R
y
4
Qtæng =
ρV 0dV = πR3 ρV 0
∫
r
3
CÇuꢀR
x
→
ρ
r ≤ R
vo
– Thông lưꢆng cꢌa bꢊng
ρv
=
0 r > R
→
→
Ψ = D • dS = D r2 sinθdθd
φ
r • r
ˆ ˆ
( )
(
)
∫
∫
r
CÇuꢀr
CÇuꢀr
π
2π
= D r2 sinθdθ d = 4πr2Dr
φ
∫
∫
r
0
0
– Áp dꢁng ñꢐnh luꢎt Gauss:
4
πR3 ρV 0 = 4πr2Dr
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
8
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt quꢁ cꢍu tích ñiꢀn vꢎi mꢂt ñꢅ
ñiꢀn tích ρv
– Tꢝ ñó suy ra
ꢀ
R3 ρV 0
2
D ρV 0R3
ꢀ
→
z
ˆ
E = E r r
r
Dr =
E = =
εo 3εor2
r
ˆ
• Xét trưꢉng hꢃp r < R
– Tꢙng ñiꢈn tích nꢊm trong mꢘt kín:
R
y
4
r
Q = ρ dV = πr3 ρ
CÇuꢀr
∫
V 0
V 0
x
tæng
3
→
ρ
r ≤ R
vo
– Thông lưꢆng cꢌa
bꢊng
ρv
=
0 r > R
→
→
Ψ = D • dS = D r2 sinθdθd
φ
r • r
ˆ ˆ
( )
(
)
∫
∫
r
CÇuꢀr
CÇuꢀr
π
2π
= D r2 sinθdθ d
φ
= 4πr2Dr
∫
∫
0
r
0
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
9
Gauss’s law
Trưꢉng do mꢅt quꢁ cꢍu tích ñiꢀn vꢎi mꢂt ñꢅ
ꢀ
ñiꢀn tích ρv
z
ˆ
E = E r r
r
– Áp dꢁng ñꢐnh luꢎt Gauss:
4
πr3 ρV 0 = 4πr2Dr
R
y
r
– Tꢝ ñó suy ra
x
→
D ρV 0
ρV 0
ρ
r ≤ R
vo
E = = rr
ˆ
ρv
=
Dr = r
0 r > R
εo 3εo
3
• Tꢏng hꢃp kꢐt quꢁ ta ñưꢃc:
ρ
V 0 rr
víiꢀr < R
r víiꢀr > R
ˆ
→
3εo
ρV 0R3
E =
ˆ
2
3ε r
o
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
10
Gauss’s law
Mꢅt sꢑ lưu ý vꢒ thông lưꢃng
• Kꢐt luꢂn: thông lưꢆng qua mꢂt mꢘt kín cho ta biꢕt có hay không
có các nguꢒn nꢊm bên trong mꢘt kín ñó
Không có
nguꢓn bên
Tꢁi (“sink”)
bên trong
Nguꢓn
bên trong
trong
Ψ < 0
Ψ = 0
Ψ > 0
• Dưꢇi ñây chúng ta nghiên cꢍu thông lưꢆng qua mꢂt thꢀ tích vô
cùng nhꢟ (tiꢕn vꢗ 0).
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
11
Gauss’s law
Thông lưꢃng qua mꢅt thꢇ tích vi phân
• Xét mꢂt hình hꢂp chꢠ nhꢎt có tâm tꢅi (x, y, z) ñưꢆc ñꢘt trong
→
mꢂt trưꢃng vector
• Sꢄ dꢁng chuꢡi Taylor, ñꢂ lꢇn cꢌa thành phꢞn Fx ꢏ mꢘt trưꢇc và
ꢀ
mꢘt sau hꢂp ñưꢆc tính xꢓp xꢑ như sau:
– ꢢ mꢘt trưꢇc
ˆ
ˆ
ˆ
F = Fx x + Fy y + Fz z
Fz
∂Fx δx
F mÆtꢀtr−íc ≈ F x, y, z +
(
)
(
)
x
x
δx
δz
– ꢢ mꢘt sau
Fy
∂Fx δx
F mÆtꢀsau ≈ F x, y, z −
(
)
(
)
x
x
δy
Fx
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
12
Gauss’s law
Thông lưꢃng qua các mꢆt cꢄa hình hꢅp
• Thông lưꢆng qua mꢘt trưꢇc
ꢀ
ˆ
ˆ
ˆ
F = Fx x + Fy y + Fz z
∂F δx
x
Fz
δ
ΦmÆtꢀtr−íc ≈ F x, y, z +
δyδz
(
)
x
∂x 2
δx
δz
– Thông lưꢆng ꢏ ñây lꢓy dꢓu (+) vì Fx
cùng hưꢇng vꢇi vector pháp tuyꢕn ꢏ
mꢘt trưꢇc.
Fy
• Thông lưꢆng qua mꢘt sau
δy
Fx
∂F δx
x
δ
ΦmÆtꢀsau ≈ − F x, y, z −
δyδz
(
)
x
∂x 2
– Thông lưꢆng ꢏ ñây lꢓy dꢓu (-) vì Fx
ngưꢆc hưꢇng vꢇi vector pháp tuyꢕn ꢏ
mꢘt sau.
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
13
Gauss’s law
Thông lưꢃng qua các mꢆt cꢄa hình hꢅp
• Như vꢎy, tꢙng thông lưꢆng qua cꢉ mꢘt trưꢇc và mꢘt sau cꢌa hình
hꢂp bꢊng:
δΦ = δΦmÆtꢀtr−íc + δΦmÆtꢀtr−íc
∂F δx
∂F δx
x
x
≈ F x, y, z +
δyδz − F x, y, z −
δyδz
(
)
(
)
x
x
∂x 2
∂x 2
∂Fx
≈ δxδyδz
∂x
• Tương tꢚ như vꢎy, ta có thꢀ tính ñưꢆc tꢙng thông lưꢆng ñi qua tꢓt
cꢉ các mꢘt cꢌa hình hꢂp vꢇi thꢀ tích δxδyδz như sau:
∂Fy
+ +
∂x ∂y ∂z
∂Fy
+ +
∂x ∂y ∂z
∂Fx
∂Fz
∂Fx
∂Fz
δΦ ≈
δxδyδz =
δv
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
14
Gauss’s law
Thông lưꢃng qua bꢒ mꢆt cꢄa mꢅt phꢍn tꢔ
thꢇ tích vô cùng nhꢕ
• Khi thꢀ tích hình hꢂp tiꢕn dꢞn vꢗ 0, phép tính xꢓp xꢑ ꢏ trên trꢏ thành
kꢕt quꢉ→chính xác, lúc này ta thu ñưꢆc divergence cꢌa mꢂt trưꢃng
vector
• ðꢈnh nghĩa: Divergence cꢌa mꢂt trưꢃng vector là thông lưꢆng qua
mꢂt thꢀ tích vô cùng nhꢟ bao quanh mꢂt ñiꢀm ñang xét nꢊm trong
trưꢃng vector ñó
→ theoꢀ®ÞnhꢀnghÜa
δΦ
divergence F
= lim
δv→0
δv
• Nhꢎn xét:
– Divergence là mꢂt toán tꢄ vô hưꢇng trên mꢂt trưꢃng vector
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
15
Gauss’s law
Thông lưꢃng qua bꢒ mꢆt cꢄa mꢅt phꢍn tꢔ
thꢇ tích vô cùng nhꢕ
• Trong hꢈ tꢔa ñꢂ vuông góc, ta có
ꢀ
ꢀ ꢀ ꢀ
∂Fy
∂Fx
∂Fz
divergence F = div F = iF =
+
+
( )
( )
∂x ∂y ∂z
Trong ñó
→
∂
∂
∂
=
x + y + y
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
1
1 1
, , ...
®éꢀdꢁi m cm
• Chú ý: thꢍ nguyên cꢌa divergence là
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
16
Gauss’s law
K
ꢐ
t h
ꢃ
p divergence ñꢈnh lu
ꢂt Gauss
→
• Xét trưꢃng hꢆp trưꢃng vector là , vector ñiꢈn cꢉm. Khi ñó theo
ñꢐnh nghĩa ta viꢕt:
→ theoꢀ®ÞnhꢀnghÜa
δΨ
divergence D
= lim
δv→0
δv
• Giꢉ sꢄ thꢀ tích δv chꢍa mꢂt mꢎt ñꢂ ñiꢈn tích khꢋi ρ . Áp dꢁng ñꢐnh
ꢀ v
luꢎt Gauss ta có thꢀ viꢕt:
ˆ
ˆ
ˆ
D = Dx x + Dy y + Dz z
δ
Ψ
δ
Q
v
Dz
δΨ = δQ = ρV δv
lim
= lim
δ v→0
= ρv
δ
v→0
δ
v
δ
δx
• Viꢕt mꢂt cách ngꢛn gꢔn, ta thu ñưꢆc ñꢐnh
luꢎt Gauss dưꢇi dꢅng vi phân như sau:
δz
ꢀ ꢀ
Dy
ρv
δy
iD = ρV
Dx
ꢀ
divergence D = ρv
ꢂꢃꢄꢃꢅ
ꢂꢄꢅ
Kiꢇm tra thꢖ nguyên!
1/®éꢀdꢁi
C/diÖnꢀtÝch
C/thÓꢀtÝch
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
17
Gauss’s law
D
ꢊ
ng vi phân c
ꢄa
ñꢈnh luꢂt Gauss
ꢀ
ꢀ ꢀ
iD = ρv
ˆ
ˆ
ˆ
D = Dx x + Dy y + Dz z
Dz
δx
• Nhꢎn xét:
– Dꢅng vi phân cꢌa ñꢐnh luꢎt Gauss liên hꢈ
δz
Dy
tính chꢓt cꢌa trưꢃng (
chꢓt cꢌa vꢎt liꢈu (ρv)
) vꢇi tính
• D
ρv
δy
Dx
• Ý nghĩa:
– Divergence cꢌa vector ñiꢈn cꢉm có giá trꢐ
khác 0.
– ðiꢈn trưꢃng là mꢂt trưꢃng có nguꢒn.
– Nguꢒn cꢌa ñiꢈn trưꢃng là ñiꢈn tích.
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
18
Gauss’s law
ðꢈnh lý Divergence
• ðꢐnh luꢎt Gauss: Thông lưꢆng cꢌa bꢊng tꢙng ñiꢈn tích bao
bꢏi mꢘt kín S
→
→
ΨTæng =
D• dS = QBaoꢀbëiꢀS
∫
MÆtꢀkÝnꢀS
• Tuy nhiên, Q lꢅi bꢊng tích phân cꢌa mꢎt ñꢂ ñiꢈn tích trên toàn
bꢂ thꢀ tích V bao bꢏi S:
QBaoꢀbëiꢀS
=
ρ
V dv
∫
V
ꢀ ꢀ
ρv = iD
• Bên cꢅnh ñó ta có:
• Kꢕt hꢆp các kꢕt quꢉ trên, ta thu ñưꢆc ñꢐnh lý divergence như
sau:
→
→
ꢀ ꢀ
D• dS = • D dv
(
∫
)
∫
MÆtꢀkÝnꢀS
V
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
19
Gauss’s law
Ví dꢗ: trưꢉng sinh ra bꢘi m
ꢅt
ñi
ꢀn tích dây dài vô hꢊn
z
• ðꢕn thꢃi ñiꢀm này chúng ta chꢑ có biꢀu
ρL
Dρ =
thꢍc tính divergence trong hꢈ tꢔa ñꢂ vuông
góc như sau:
2π ρ
ˆ
z
ˆ
→
φ
ꢀ
ꢀ
∂Dy
∂Dx
∂D
z
div D = • D =
( )
+
+
∂x ∂y ∂z
ˆ
ρ
– ꢢ ñây D = 0, và
ñưꢆc cho bꢏi:
D
z
ꢀ
y
ρ
ˆ
E = Eρ ρ
ꢀ
ˆ
ρ
ˆ
ρ
ˆ
ˆ ˆ
• x x + ρ • y y
ˆ ˆ
D = Dρ
= Dρ
x
ꢀ
ρL
1
– Vꢇi
ˆ
ρ
Edây =
2
πεo ρ
x
y
ˆ
ρ
ˆ
• x = cosφ =
ˆ
ρ
ˆ
• y = sin
φ
=
x2 + y2
x2 + y2
– Ta có thꢀ viꢕt:
ꢀ
ρL
1
x
y
ρL
1
ˆ
x +
ˆ
ˆ ˆ
x x + y y
Ddây =
y =
(
)
2π
2π
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update August 30, 2007
20
Tải về để xem bản đầy đủ
24 trang
21100
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Trường điện từ - Chương: Định luật Gauss - Div", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truong_dien_tu_chuong_dinh_luat_gauss_div.pdf
