Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 8: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương
Lý thuyết trường điện từ
Các phương trình Poisson & Laplace
Nội dung
1. Giới thiệu
2. Giải tích véctơ
3. Luật Coulomb & cường độ điện trường
4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
5. Năng lượng & điện thế
6. Dòng điện & vật dẫn
7. Điện môi & điện dung
8. Các phương trình Poisson & Laplace
9. Từ trường dừng
10. Lực từ & điện cảm
11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
12. Sóng phẳng
13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
14. Dẫn sóng & bức xạ
Các phương trình Poisson & Laplace
2
Các phương trình Laplace & Poisson
• Phương trình Poisson
• Phương trình Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất
• Giải phương trình Laplace
• Giải phương trình Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
• Phương pháp lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
3
Phương trình Poisson (1)
Luật Gauss:
Gradient thế:
∇.D = ρv
D = ε0E
→ ∇.D = ∇.(εE) = −∇.(ε∇V ) = ρv
ρv
E = −∇V
→ ∇.∇V = −
ε
(Phương trình Poisson)
∂V ∂V
∇V = ax + ay + az
∂x ∂y ∂z
∂V
∂Ay
∂Ax
∂Az
∇.A = + +
∂x ∂y ∂z
∂V
⎛ ⎞
∂
y
∂V
⎛ ⎞
x
∂
∂ ∂V ∂2V ∂2V ∂2V
⎛ ⎞
z
→ ∇.∇V =
+
+
= + +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y2 ∂z2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Các phương trình Poisson & Laplace
4
Phương trình Poisson (2)
ρv
ε
∇.∇V = −
∂2V ∂2V ∂2V
∂2V ∂2V ∂2V
ρv
ε
∇2V = + + = −
∂x2 ∂y2 ∂z2
∇.∇V = + +
∂x2 ∂y2 ∂z2
∇.∇ = ∇2
(Hệ Descartes)
Đặt
2
2
⎛
⎞
ρv
ε
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
ρ
+
+ = −
(Hệ trụ)
⎜
⎟
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2
⎝
⎠
1 ∂2V
ρv
ε
1 ∂ ∂V
1 ∂
∂V
⎛
⎞
⎠
⎛
⎞
⎟
r2
+
sinθ
+
= −
⎜
⎟
⎜
⎝
r2 ∂r ∂r r2 sinθ ∂θ
∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
⎝
⎠
(Hệ cầu)
Các phương trình Poisson & Laplace
5
Các phương trình Laplace & Poisson
• Phương trình Poisson
• Phương trình Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất
• Giải phương trình Laplace
• Giải phương trình Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
• Phương pháp lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
6
Phương trình Laplace
∂2V ∂2V ∂2V
ρv
∇2V = + + = −
Phương trình Poisson:
∂x2 ∂y2 ∂z2
ε
ρv = 0
∂2V ∂2V ∂2V
∇2V = + + = 0
(Phương trình Laplace, hệ Descartes)
∂x2 ∂y2 ∂z2
2
2
⎛
⎞
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
ρ
+
+ = 0
(Hệ trụ)
⎜
⎟
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2
⎝
⎠
1 ∂ ∂V
1 ∂
∂V
1 ∂2V
⎛
⎞
⎠
⎛
⎞
⎟
r2
+
sinθ
+
= 0
⎜
⎟
⎜
⎝
r2 ∂r ∂r r2 sinθ ∂θ
∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
⎝
⎠
(Hệ cầu)
Các phương trình Poisson & Laplace
7
Các phương trình Laplace & Poisson
• Phương trình Poisson
• Phương trình Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất
• Giải phương trình Laplace
• Giải phương trình Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
• Phương pháp lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
8
Định lý nghiệm duy nhất (1)
∂2V ∂2V ∂2V
∇2V = + + = 0
∂x2 ∂y2 ∂z2
Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, :
∇2V = 0
1
→ ∇2 (V −V2 ) = 0
1
∇2V2 = 0
→V =V2b =Vb
Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ Vb
1b
∇.(VD) =V (∇.D) + D.(∇V )
V =V −V2
1
D = ∇(V −V2 )
1
→ ∇.[(V −V2 )∇(V −V2 )] = (V −V2 )[∇.∇(V −V2 )]+
1
1
1
1
+ ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )
1
1
Các phương trình Poisson & Laplace
9
Định lý nghiệm duy nhất (2)
∇.[(V −V2 )∇(V −V2 )] = (V −V2 )[∇.∇(V −V2 )]+ ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )
1
1
1
1
1
1
→ ∇.[(V −V2 )∇(V −V2 )]dv = (V −V2 )[∇.∇(V −V2 )]dv +
1
1
1
1
∫
∫
V
V
+ ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )dv
1
1
∫
V
D.dS = ∇.Ddv
Định lý đive:
v∫S ∫V
→ ∇.[(V −V2 )∇(V −V2 )]dv = [(V −V2b )∇(V −V2b )].dS
1
1
1b
1b
∫
∫S
V
V =V2b =Vb
1b
→ ∇.[(V −V2 )∇(V −V2 )]dv = 0
1
1
∫
V
→ 0 = (V −V2 )[∇.∇(V −V2 )]dv + ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )dv
1
1
1
1
∫
∫
V
V
Các phương trình Poisson & Laplace
10
Định lý nghiệm duy nhất (3)
(V −V2 )[∇.∇(V −V2 )]dv + ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )dv = 0
1
1
1
1
∫
∫
V
V
∇.∇(V −V2 ) = ∇2 (V −V2 ) = 0
1
1
2
= ∇(V −V ) dv
→ ∇(V −V2 ).∇(V −V2 )dv = 0
]
1
2
1
1
∫
∫
V
V
2
∇(V −V ) ≥ 0
]
1
2
2
→ ∇(V −V2 ) = 0
→ ∇(V −V ) = 0
[
]
1
1
2
→V −V2 = const
∂V ∂V
∇V = ax + ay + az
∂x ∂y ∂z
∂V
1
V1 = V2
Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2
→ const = Vb1 – Vb2 = 0
V =V2b =Vb
1b
Các phương trình Poisson & Laplace
11
Các phương trình Laplace & Poisson
• Phương trình Poisson
• Phương trình Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất
• Giải phương trình Laplace
• Giải phương trình Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
• Phương pháp lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
12
Giải phương trình Laplace (1)
Ví dụ 1
Giả sử V = V(x)
d2V
∂2V ∂2V ∂2V
→ = 0 →V = Ax + B
dx2
∇2V = + + = 0
∂x2 ∂y2 ∂z2
V =V
1
x=x1
V =V2
x=x2
V −V2
x1 − x2
⎧
1
A =
B =
⎪
V (x − x2 ) −V2 (x − x1)
⎪
1
→V =
→
⎨
⎪
x1 − x2
V2 x1 −V x
1 2
V0 x
→V =
⎪
⎩
x1 − x2
V = 0
d
x=0
V =V0
x=d
Các phương trình Poisson & Laplace
13
Giải phương trình Laplace (2)
x
Ví dụ 1
V = V(x)
x = d
x = 0
Mặt dẫn
V0 x
V = 0 →V =
x=0
d
V =V0
E = −∇V
x=d
Mặt dẫn
V0
V0
→ E = − ax
→ D = −ε ax
d
d
D = εE
V0
V0
d
V0
→ ρS = DN = −ε
→ DN = −ε
→ DS = D x=0 = −ε ax
d
d
Q
V0S
εS
d
−εV0
=
= −ε
dS
→ Q = ∫S ρS dS = ∫S
→ C =
d
d
V0
Các phương trình Poisson & Laplace
14
Giải phương trình Laplace (3)
Ví dụ 2
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
⎛
⎞
1 ∂ ∂V
2
2
→
ρ
⎜
= 0
⎛
⎞
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
⎟
⎠
∇2V =
ρ
+
+ = 0
ρ ∂ρ ∂ρ
⎝
⎜
⎟
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
d dV
dV
1 d dV
→ ρ = A
dρ
→
ρ
⎜
= 0
→
ρ
⎜
= 0
⎟
⎠
⎟
dρ dρ
ρ dρ dρ
⎝
⎝
⎠
→V = Aln ρ + B
V0
⎧
ln(b/ρ)
ln(b/a)
A =
⎪
⎪
→V =V0
V = Aln a + B =V0
ln a − ln b
V0 ln b
ρ=a
→
⎨
⎪
V = Aln b + B = 0 (b > a)
ρ=b
B = −
⎪
⎩
ln a − ln b
Các phương trình Poisson & Laplace
15
Giải phương trình Laplace (4)
Ví dụ 2
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
ln(b/ρ)
ln(b/a)
2
2
→V =V0
⎛
⎞
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
∇2V =
ρ
+
+ = 0
⎜
⎟
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2
⎝
⎠
V0
→ E = −∇V =
aρ
ρ ln(b/a)
εV0
aln(b/a)
→ DN (ρ=a)
=
= ρS
Q ε 2π L
→ C = =
V0 ln(b/a)
εV0 2πaL
aln(b/a)
→ Q = ρS dS =
∫
S
Các phương trình Poisson & Laplace
16
z
Giải phương trình Laplace (5)
Ví dụ 3
Khe hở
Giả sử V = V(φ) (hệ trụ)
2
2
⎛
⎞
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
∇2V =
ρ
+
+ = 0
⎜
⎟
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2
⎝
⎠
∂2V
1 ∂2V
α
→V = Aϕ + B
B = 0
→
= 0
→
= 0
∂ϕ2
ρ2 ∂ϕ2
ϕ
⎧
→V =V
0 α
V ϕ=0 = B = 0
V ϕ=α = Aα + B =V0
⎪
⎨
→
V0
A =
α
⎪
⎩
V0
→ E = −∇V = − aϕ
αρ
Các phương trình Poisson & Laplace
17
Giải phương trình Laplace (6)
Ví dụ 4
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
1 ∂ ∂V
1 ∂
∂V
1 ∂2V
⎛
⎜
⎞
⎟
⎛
⎞
⎟
∇2V =
r2
+
sinθ
+
= 0
⎜
⎝
r2 ∂r ∂r r2 sinθ ∂θ
∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
⎝
⎠
⎠
1 ∂
∂V
∂θ
⎛
⎞
→
sinθ
= 0
⎜
⎝
⎟
⎠
r2 sinθ ∂θ
∂
∂θ
⎝
∂V
∂θ
dV
⎛
⎞
→ sinθ
= 0
→ sinθ = A
dθ
⎜
⎟
⎠
Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π
dθ
sinθ
θ
dθ
sinθ
⎛ ⎞
→ dV = A
= Aln tg + B
→V = A
+ B
⎜ ⎟
∫
2
⎝ ⎠
Các phương trình Poisson & Laplace
18
Giải phương trình Laplace (7)
Ví dụ 4
θ
⎛ ⎞
→V = Aln tg + B
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
V θ =π / 2 = 0
⎜ ⎟
α
2
⎝ ⎠
V = V0
Khe hở
V θ =α =V0 (α < π / 2)
V = 0
θ
⎛ ⎞
ln tg
⎜ ⎟
V0
1 ∂V
r ∂θ
2
⎝ ⎠
→ E = −∇V = −
aθ = −
aθ
→V =V0
α
α
⎛ ⎞
⎛ ⎞
r sinθ ln tg
ln tg
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
εV0
→ ρS = DN = ε E = −
α
2
⎛ ⎞
r sinα ln tg
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Các phương trình Poisson & Laplace
19
Giải phương trình Laplace (8)
Ví dụ 4
εV0
→ ρ = −
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
S
α
α
2
⎛ ⎞
r sinα ln tg
V = V0
⎜ ⎟
⎝ ⎠
εV0
Khe hở
→ Q = ρS dS = −
dS
v∫S v∫S
α
2
⎛ ⎞
r sinα ln tg
⎜ ⎟
⎝ ⎠
V = 0
dS = r sinαdϕdr
∞ 2π
∞ dr
0
−εV0
r sinαdϕdr
−2πεV0
→ Q =
=
∫
∫ ∫
0 0
α
α
2
⎛ ⎞
r
⎛ ⎞
ln tg
sinα ln tg
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Q
2πεr
1
→ C = ꢀ
V0
α
2
⎛
⎞
ln cotg
⎜
⎟
⎠
Các phương trình Poisson & Laplace
⎝
20
Tải về để xem bản đầy đủ
50 trang
12440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 8: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_ly_thuyet_truong_dien_tu_chuong_8_cac_phuong_trinh.pdf
