Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức
Ma trận con bù
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n.
bỏ dòng i
A −−−−−→
Mij
bỏ cột j
↓
ma trận con bù của aij
Ví dụ: Xét ma trận
2
1
−3
−1
4
2
3
A =
−5
−2
ꢀ
ꢀ
ꢁ
1
−5
ma trận con bù của a12: M12
=
−3 −2
ꢁ
−1
3
−5
ma trận con bù của a31: M31
=
4
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
2 / 8
Khái niệm định thức
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực,
ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau
n = 2:
ꢀ
ꢁ
a11 a12
a21 a22
A =
⇒ det(A) = a11a22 − a12a21
ꢀ
ꢁ
1
3
2
4
Ví dụ: A =
⇒ det(A) = −2
n ≥ 3:
det(A) = (−1)k+1ak1det(Mk1) + · · · + (−1)k+nakndet(Mkn)
(với k bất kỳ trong tập {1, 2, ..., n})
−1
3
−2
2
1
3
2
4
1
Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
3 / 8
Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3)
Qui tắc Sarrus
Ví dụ:
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
4 / 8
Lưu ý
Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ
Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau
3
−1
1
1
2
0
0
0
2
3
1
0
A =
−2
2
−1 −2
Khai triển theo cột thứ 3
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
3
1
2
−2
2
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
det(A) = (−1)4+3(−2) −1
3 = 28
1
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
5 / 8
Phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj )
λ=0
Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→ λdi )
Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác
λ∈R
di −−→ di + λdj
Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
6 / 8
Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu
Nhân một dòng của ma trận A với số λ = 0 thì định thức của ma
trận thu được gấp λ lần định thức của A
Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức
Ví dụ: Tính định thức của ma trận
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
A =
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
7 / 8
Một số tính chất khác
Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận
đó bằng 0
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính
det(λA) = λndet(A)
det(AT ) = det(A)
det(AB) = det(A)det(B)
a1k
a2k
.
.
.
Nếu A = [a ...a ...a ] và a = a0 + a00, trong đó a =
thì
1
j
n
j
k
j
j
ank
det(A) = det([a1...aj0...an]) + det([a1...aj00...an])
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
8 / 8
8 trang
15/01/2024
6980
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_2_dinh_thuc.pdf
