Phân tích kết cấu tấm/vỏ Composite bằng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút 18 bậc tự do cs-mitc3+
PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM/VỎ COMPOSITE BẰNG PHẦN TỬ VỎ
PHẲNG TAM GIÁC 3 NÚT 18 BẬC TỰ DO CS-MITC3+
TS. Châu Đình Thành1, Ks. Cao Như Tuấn2
1Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
2Học viên cao học, Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật TP. HCM
Tóm Tắt
Trong bài báo này, phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút 18 bậc tự do có kể đến bậc tự do thực
xoay quanh trục vuông góc với mặt phẳng trung bình của phần tử. Hiện tượng khóa cắt khi
chiều dày phần tử giảm được khắc phục bằng kỹ thuật MITC3+. Phương pháp phần tử hữu
hạn trơn trên miềm phần tử CS-FEM (Cell Smoonthed Finite Element Method) được phát
triển cho phần tử MITC3+. Với phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng
cắt bậc nhất bài báo xây dựng phần tử tam giác 3 nút 18 bậc tự do CS-MITC3+.
Phần tử phát triển dùng phân tích tĩnh kết cấu tấm/vỏ composite nhiều lớp theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc nhất. Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để mô phỏng và phân tích
tính toán các ví dụ số. Kết quả tính toàn tấm/vỏ composite bằng phần tử vỏ phẳng tam giác
3 nút 18 bậc tự do CS-MITC3+ được so sánh với các kết quả của những nghiên cứu khác
và kết quả mô phỏng bằng phần mềm thương mại Abaqus để đánh giá độ tin cậy của phần
tử này.
Từ khóa: Tấm vỏ composite nhiều lớp; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất; làm trơn trên
miền phần tử; “khóa cắt”; CS-MITC3+.
1. Giới Thiệu
Các kết cấu tấm/vỏ được ứng dụng như một kết cấu chính trong nhiều lĩnh vực đặc biệt
trong ngành giao thông và xây dựng. Vì vậy việc nghiên cứu về ứng xử của kết cấu tấm vỏ
là cấp bách. Ngay từ năm 1888, tác giả Love bằng cách sử dụng các giả thiết được đề xuất
bởi Kirchhoff đã đưa ra lý thuyết Kirchhoff – Love [1]. Tuy nhiên giả thiết cơ bản của lý
thuyết này là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm vẫn thẳng và vuông
góc với mặt phẳng trung bình sau biến dạng, tức là bỏ qua biến dạng cắt ngang thẳng góc
nên khi tấm mỏng lý thuyết cho kết quả hợp lý nhưng khi tấm dày ảnh hưởng của biến
dạng cắt ngang không thể bỏ qua, vì vậy lý thuyết này không còn phù hợp.
1
Nhiều giả thiết được đưa ra và phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết tấm
cổ điển như Reissner [2] và Mindlin [3] với đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT). Điểm khác biệt lớn trong giả thuyết tính toán cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ
điển là các pháp tuyến sau biến dạng tuy vẫn còn thẳng nhưng không còn vuông góc với
mặt phẳng trung bình nữa. Tuy nhiên lý thuyết FSDT giả định ứng suất cắt ngang bất biến
vì vậy cần hệ số điều chỉnh cắt để thỏa mãn các điều kiện biên tự do tại bề mặt trên và dưới
của tấm. Mặc dù vẫn còn những hạn chế nhưng lý thuyết FSDT vẫn có ưu thế hơn những
lý thuyết trước đó nên việc cải thiện lý thuyết FSDT là cần thiết.
Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất vì chuyển vị và các góc xoay là các thành phần độc
lập nhau, nên chúng ta cần có các hàm dạng để nội suy chúng một cách độc lập. Do đó, với
phần tử tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt ngang này được Ahmad và cộng sự [4] đưa
ra phần tử đẳng tham số C0 nội suy trường chuyển vị và góc xoay độc lập. Phần tử này kể
đến ảnh hưởng của biến dạng cắt và được dùng để phân tích kết cấu tấm/vỏ dày theo lý
thuyết Reissner [2] và Mindlin [3]. Tuy nhiên phương pháp này dẫn đến hiện tượng “khóa
cắt” khi chiều dày của tấm trở nên mỏng và dẫn đến sự chuyển vị của tấm/vỏ giảm khi bề
dày giảm do năng lượng biến dạng cắt không được loại bỏ. Năm 1985, Bathe và cộng sự
[5] đã đưa ra phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ (MITC - Mixed
Interpolation Tensorial Components) và phương pháp MITC đã giải quyết được vấn đề
“khoá cắt”. Phương pháp MITC được nghiên cứu và phát triển để khử hiện tượng khóa cắt
rất hữu hiệu khi nghiên cứu tấm/vỏ mỏng, với các nghiên cứu ban đầu cho phần tử 4 nút
(MITC4) và phần tử 8 nút (MITC8) của Dvorkin và cộng sự [6], [5] để phân tích tấm/vỏ,
sau đó được mở rộng phát triển đến 9 nút (MITC9) và 16 nút (MITC16) theo nghiên cứu
của Bucalem và công sự [7]. Những năm gần đây phần tử 3 nút (MITC3) và (MITC3+)
được xây dựng bởi Lee và cộng sự [8], [9], [10] đã đạt được những kết quả rất tốt.
Một vấn đề quan trọng khác được nhiều tác giả xem xét tới là bậc tự do thực xoay quanh
trục vuông góc với mặt phẳng trung bình. Trong lý thuyết tấm/vỏ mỗi nút ta chỉ có năm
bậc tự do gồm ba bậc tự do chuyển vị theo phương x, y, z và hai góc xoay của pháp tuyến
mặt trung bình quanh hai trục x, y. Tuy nhiên để xây dựng được ma trận chuyển đổi từ hệ
tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể cũng như ghép nối ma trận giữa các phần tử, bậc
tự do thứ sáu cần được kể đến. Khi đó mỗi nút phần tử ta có sáu bậc tự do, ba bậc tự do là
chuyển vị dọc ba trục x, y, z và ba góc xoay quanh ba trục x, y, z. Để khắc phục vấn đề này
một số tác giả đã đề xuất dùng kỹ thuật độ cứng giả tạo như Zienkiewicz và công sự [11].
2
Bên cạnh đó cũng có những ý tưởng đưa bậc tự do xoay quanh trục z vuông góc với mặt
phẳng trung bình trong phần tử màng, nổi bật là phương pháp được tác giả Allman [12].
nêu ra vào 1984. Dựa vào đó nhiều tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của bậc tự do này đến
phần tử như Kim [13].
Nhằm cải thiện độ chính xác của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống nhiều nhà
khoa học đã đề xuất thêm nhiều phương pháp mới, nhiều kỹ thuật mới, điển hình là
phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn (S-FEM). Phương pháp này được đề xuất và phát
triển bởi Liu [14]. S-FEM có các biến thể NS-FEM làm trơn trên nút phần tử, ES-FEM
làm trơn trên cạnh phần tử và CS- FEM làm trơn trên miền phần tử.
Phương pháp CS-FEM với sự ổn định khoảng cách cắt rời rạc (DSG) bằng lưới tam giác
(CS-DSG) gần đây được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp phần tử hữu
hạn trong việc phân tích tấm đẳng hướng Reissner/Mindlin. Có thể kể đến tác giả Nguyen-
Thoi và cộng sự [15] đã đề xuất phần tử CS-DSG3 nhằm phân tích dao động và phân tích
tĩnh cho kết cấu vỏ, bên cạnh đó tác giả H. Pham-Quoc và công sự [16] sử dụng phần tử
CS-DSG3 phân tích tĩnh và giao động cho vỏ composite. Ngoài ra tác giả Pham-Quoc và
công sự [17] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn trên cạnh phần tử ES-FEM
kết hợp với khử khóa cắt MITC3 cho phân tích tĩnh và dao động kết cấu vỏ composite kết
quả khá chính xác và tốt hơn phương pháp phần tử hữu hạn thông thường. Kết quả tính
toán cho thấy phương pháp này hiệu quả hơn, chính xác hơn so với phương pháp phần tử
hữu hạn truyền thống. Trong bài báo này phương pháp CS-FEM kết hợp phương pháp khử
khóa cắt MITC3+ sẻ được áp dụng trên phần tử tam giác ba nút 18 bậc tự do thực, phần tử
được sử dụng phân tích tỉnh kết cấu tấm/vỏ composite so sánh với lời giải giải tích và các
phương pháp khác từ đó đánh giá độ tin cậy và tính chính xác của phần tử
2. Lý Thuyết Biến Dạng Cắt Bậc Nhất Cho Tấm/Vỏ Composite
Trong bài báo này lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất [2], [3] được sử dụng cho tấm/vỏ
composite.
2.1 Trường chuyển vị
Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được viết dưới dạng
3
u(x, y, z) = u0 (x, y) zx (x, y)
v(x, y, z) = v0 (x, y) zy (x, y)
(1)
w(x, y, z) = w x,y
0
Trong đó: u0; v0; w0 lần lượt là các thành phần chuyển vị của mặt trung bình theo phương
x; y; z; βx; βy lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quay quanh trục y và trục
x với chiều dương.
2.2 Trường biến dạng
Trường biến dạng suy ra từ trường chuyển vị theo quan hệ chuyển vị - biến dạng
u u0
x
x
x
y
z
z
x x
y
y
v v0
z
y y
w w0
0
z
z
u v u0 v0
(2)
y
x
x
y
xy 2xy
z
y x y x
u w w0
z x
v w w0
z y
xz 2xz
yz 2yz
x
x
y
y
Trường biến dạng (2) có thể viết lại dưới dạng
T
ε
ε
0
b
m
ε x y xy xz yz z 0 0 γ
(3)
s
0
0
0
2.3 Trường ứng suất
Khi bỏ qua thành phần ứng suất z (z =0) thì các thành phần ứng suất trong lớp thứ k của
tấm composite nhiều lớp như được tính từ trường biến dạng như sau:
16
26
Q11 Q12
Q22
Q
T
x y xy Q
Q
εm zεb Q εm zεb
(4)
(5)
12
Q16 Q26 Q66
Q44 Q45
xz yz
γ Q*γ
T
s
s
Q
Q
55
45
4
Trong đó:
Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương (x1, y1, z1):
Q
ij
Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể (x, y, z):
Qij
2.4 Các thành phần nội lực
Các thành phần nội lực trong lớp thứ k của tấm composite nhiều lớp:
16
26
Q11 Q12
Q
Nx
x
h 2
h 2
N N
dz
Q
Q22
Q
εm zεb dz
Lực màng
:
(6)
(7)
y
y
12
h 2
h 2
Nxy
xy
Q16 Q26 Q66
A
A
A
16
u0 x
v0 y
B
11
B12
B
16
B22 B26
x x
y y
11
12
N A
A22 A26
B
12
12
A
A26 A66 u0 y v0 x
B16 B26 B66 x y y x
16
Trong đó:
n
A (zk1 zk )(Qij )k ;(ij 1,2,6)
ij
k1
(8)
n
1
B
(zk21 zk2 )(Qij )k ;(ij 1,2,6)
2
ij
k1
Q11 Q12
Q
Q
Mx
16
26
x
h 2
h 2
Mô-men uốn: M M
zdz
Q
Q22
εm zεb zdz
(9)
y
y
12
h 2
h 2
Mxy
xy
Q16 Q26 Q66
B
B12
B
u0 x
v0 y
D
D12
D
x x
y y
16
16
11
11
(10)
M B12 B22 B26
D
D22 D26
12
B16 B26 B66 u0 y v0 x
D16 D26 D66 x y y x
Trong đó:
n
1
D
(zk31 zk3 )(Qij )k ;(ij 1,2,6)
(11)
(12)
(13)
3
ij
k1
h 2
h 2
Q
Q44 Q45
x
xz
Q
dz
γ dz
Lực cắt:
s
Qy
yz
Q
Q
h 2
55
h 2
45
w x
A
A
45
0
x
44
Q
w0 y y
A45
A
55
5
Trong đó:
n
A K (zk1 zk )(Qij )k ;(ij 4,5)
(14)
Sij
k1
zk, zk+1 – khoảng cách từ mặt trung bình đến mặt trên và mặt dưới lớp thứ k.
K – hệ số hiệu chỉnh cắt.
3. Công Thức Phần Tử CS-MITC3+
3.1 Phần tử màng tam giác 3 nút
Phần tử màng trong bài báo củng là phần tử màng như các phần tử CS MITC3+ nghiên
cứu trước đây nhưng tại mổi nút phần tử có thêm bậc tự do xoay Hình 3.1. Bậc tự do này
được tác giả Allman đưa vào phần tử tam giác [12]. Do đó xấp xỉ chuyển vị trong mặt
phẳng được biểu diển.
6
u N u
i
i
i1
(15)
(16)
6
v N v
i
i
i1
Trong đó:
N1 ( 1)(2 2 1)
N2 (2 1)
N3 (2 1)
N4 4( 1)
N5 4
N6 4( 1)
Hình 3.1. Phần tử màng tam giác
6
u u
,
t là chuyển vị theo phương pháp tuyến và tiếp tuyến của cạnh tam giác.
n
Xét cạnh 1-2 của phần tử màng tam giác ta có công thức Allam đề xuất
s
s
s
s
un (s) (1 )un1 un2
(1 )(z 2 z1 )
l12
s
l12
2
l12
(17)
s
ut (s) (1 )ut1 ut2
l12
l12
un1,un2,ut1,ut 2,
l12
Với
là độ dài cạnh 1-2, s là tọa độ điểm dọc cạnh 1-2,
là chuyển vị
pháp tuyến và tiếp tuyến cạnh tại nút 1 và 2,
z 2 là bậc tự do xoay tại các nút 1 và 2.
z1,
u
sin( ) sin( )
u
n
12
12
u
.
(18)
(19)
sin( ) cos( )
v
t
12
12
Với
là góc tạo bởi chiều dương trục x và pháp tuyến ngoài của cạnh 1-2.
12
x
y21
l12
sin(12 ) 21 ;cos(12 )
l12
Xét nút 4 tại trung điểm canh 1-2.
Theo (25)
1
1
1
un4 un.( l12 ) (un1 un2 ) l12 (z2 z1)
2
2
1
8
(20)
1
ut4 ut .( l12 ) (ut1 ut2 )
2
2
Chuyển vị nút 5 và 6 tính tương tự.
Véc tơ các bậc tự do của phần tử màng:
dT u ,v , ,u ,v , ,u ,v ,
z3
(21)
(22)
m
1
1
z1
2
2
z2
3
3
Công thức (23) viết lại dưới dạng:
u , N .d
u
m
v , N .d
v
m
7
NTu
x
x
NTv
(23)
ε
d B .d
m
x
m
m
m
y
xy
T
Nu NTv
y
x
Bm là ma trận quan hệ biến dạng và chuyển vị màng.
3.2 Phần tử tấm giác 3 nút MITC3+.
Phần tử tấm tam giác ba nút chịu uốn và chịu cắt sử dụng nút ở trọng tâm. Tại mỗi nút đỉnh
,
có 3 bậc tự do bao gồm độ võng w theo phương z và
y là chuyển vị xoay quanh trục x,
x
;
y tương ứng. Tại nút trọng tâm chỉ kể đến 2 bậc tự do
.
x
y
Hình 3.2. Phần tử tam giác 4 nút MITC3+
Trường chuyển vị trong phần tử được xấp xỉ thông qua các nút ở đỉnh và nút ở tâm phần tử
như sau:
3
w
f , w
i
(24)
(25)
(26)
i
i1
4
f ,
k
x
yi
k1
4
f ,
k
y
xi
k1
1
1
1
f4 27(1 )
Với:
;
;
;
f1 1 f4 f2 f4 f3 f4
3
3
3
; là tọa độ tư nhiên của phần tử.
8
Biến dạng uốn trong phần tử được xấp xỉ từ những chuyển vị nút theo công thức:
4
f
x
f
x
x
y
i y
i1
x
4
i x
(27)
(28)
ε z
z
y
y
b
y
i1
xy
4
4
f
f
x
y
x
i
i
x y
y
y
x
i1
i1
Công thức (39) được viết lại như sau:
εb zBbdb
Trong đó: db là vector chuyển vị nút phần tử.
Bb là ma trận quan hệ biến dạng và chuyển vị uốn.
Biến dạng cắt được xấp xỉ từ chuyển vị nút theo công thức:
3
4
fi
w
x
w
w
f
x
i
i
yi
xz
x
i1
i1
(29)
(30)
ε
z
s
3
4
yz
fi
w
f
y i1
xi
i
i
y
y
i1
Công thức (43) được viết lại như sau:
εs Bsds
3.3 Kỹ thuật khử khóa cắt của phần tử MITC3+
Khi chiều dày tấm giảm hiện tượng khóa cắt xảy ra, theo Lee và công sự [1] để khắc phục
hiện tượng này ta cần xấp xỉ lại các biến dạng cắt theo hàm khác thông qua các biến dạng
cắt tại các điểm buộc.
Hình 3.3. Điểm buộc của phần tử tấm MITC3+
9
Điểm buộc
A
B
C
D
E
F
1/6
2/3
1/6
1/3+d
1/3-2d
1/3+d
2/3
1/6
1/6
1/3-2d
1/3+2d
1/3+d
Bảng 1. Tọa độ điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000
Biến dạng cắt được xấp xỉ thông qua các biến dạng cắt tại các điểm buộc theo công thức:
2
3
1
2
1
1
(B)
t
(31)
(32)
t
(
(tB) ) ( (C ) (Ct ) ) (3 1)
t
3
3
2
3
1
1
1
( ( A) (tA) ) ( (C ) (Ct ) ) (1 3)
t
t
t
2
3
3
Trong đó:
( (F ) (tD) ) ( (F ) (E)
)
(33)
(34)
t
t
t
Quan hệ biến dạng cắt và chuyển vị được viết lại dưới dạng.
t
εMs ITC3
BMITC3ds
s
t
Trong đó: BMs ITC3 là ma trận quan hệ biến dạng và chuyển vị cắt.
3.4 Công thức phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3+.
Theo kết quả nghiên cứu của tác giả Liu và công sự [9]. Trong làm trơn biến dạng màng và
uốn phần tử tam giác CS-MITC3+ được chia thành 3 miền tam giác nhỏ bằng cách nối 3
đỉnh tam giác với nút trọng tâm. Các biến dạng được làm trơn trên các miền trơn tam giác
con.
10
Hình 3.4. Miền tam giác con ∆1; ∆2; ∆3
Xét một phần tử Ω biến dạng màng trơn
trên phần tử Xc được xác định như sau:
εm
c
(35)
(36)
ε (X )(X XC )d
ε (X )
C
C
(X X )
Trong đó:
là hàm làm trơn thỏa mãn điều kiện:
C
(X X ) 0
và
(X X )d 1
C
C
C
(X X )
Để đơn giản, hàm
được chọn là hằng số theo miền phần tử tam giác:
C
1
X C
A
(X X )
(37)
C
C
0 X C
Trong đó:
là diện tích miền phần tử tam giác đang xét.
AC d
C
Trong làm trơn biến dạng màng, công thức quan hệ biến dạng màng trơn và chuyển vị
(3.28) được viết lại dưới dạng.
NTu
x
1
NTv
C
h
εm (XC )
n d(x)d B (X )d
(38)
m
C
m
AC
y
C
T
Nu NTv
y
x
Trong đó:
11
T
d u
v
(39)
(40)
i
m
i
là ma trận quan hệ biến dạng màng trơn và chuyển vị uốn
Bm
T
Nu nx
0
neg
1
k
NTv ny leC
Bm (xc )
0
A
k1
C
T
Nu ny NTv nx
Trong đó nx ,ny là các thành phần vector đơn vị của pháp tuyến đơn vị dương n trên đường
biên (k)
neg ,lekC số cạnh biên và chiều dài canh biên k. nG 2 là số điểm tích phân Gauss
,
của canh biên (k)
Trong làm trơn biến dạng uốn, công thức quan hệ biến dạng uốn trơn và chuyển vị (53)
được viết lại dưới dạng.
4
1
C
εb (XC )
fi (x)nh d(x)d Bb (XC )db
(41)
(42)
AC
C
i1
Trong đó:
T
d w yi
Vector chuyển vị nút phần tử
b
i
xi
là ma trận quan hệ biến dạng uốn trơn và chuyển vị uốn
Bb
nG
0
0
f (x )n
kn x
i
ii
neg
nG
1
k
Bb (xc )
0 f (x )n
0
leC
(43)
i
kn
y
A
k1
ii
C
nG
nG
0 f (x )n
f (x )n
kn y
i
kn
x
i
ii
ii
Trong đó nx ,ny là các thành phần vector đơn vị của pháp tuyến đơn vị dương n trên đường
biên i(k) lekC số cạnh biên và chiều dài canh biên k. nG 2 là số điểm tích phân
,
neg
,
Gauss của canh biên i(k)
3.5 Ma trận độ cứng phần tử CS-MITC3+
Độ cứng Ke của phần tử được xác định bởi:
12
T
m
T
b
T
m
T
b
K B D B d B D B d B D B d B D B d
e
m
m
b
b
mb
b
bm
m
Ae
Ae
Ae
Ae
MITC3 )T DsBMs ITC3d
(B
s
(44)
Ae
T
T
T
T
BmDmBm A Bb DbBb A BmDmbBb A Bb DbmBm A (BMs ITC3 )T DsBsMITC3 A
e
e
e
e
e
Km Kb Kmb Kbm Ks
Trong đó:
Dm TT AT
(45)
(46)
(47)
(48)
Db TT DT
Dmb Dbm TT BT
Ds TT AsT
Với:
cos2
sin2
sin2
cos2
sin cos
T
sin cos
(49)
2
2
2sin cos 2sin cos cos sin
Hình 3.5. Hệ tọa độ toàn cục, cục bộ và hệ tọa độ của sợi
4. Các Ví Dụ Số
Thông số vật liệu: E1 = 25 x 106; E2 = 106; G12 = G13 = 0.5 x 106; G23 = 0.2 x 106;
12 = 0.25. Khảo sát độ võng không thứ nguyên w*=100E2wh3/(qa4)
13
4.1 Tấm vuông composite liên kết tựa đơn 4 cạnh chịu tải phân bố đều.
Xét các tấm vuông composite cạnh a, chiều dày h=0.1a và h=0.01a [27]. Khảo sát độ
võng tại tâm tấm khi số lớp và chiều dày thay đổi. Kết quả khảo sát cho thấy phần tử CS-
MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác hơn MITC3, NS-MITC3 [25], NS-DSG3 [30]và S3R.
1.80
1.75
1.70
1.65
1.60
1.55
1.50
1.45
1.40
2.05
2.00
1.95
1.90
1.85
1.80
1.75
4
6
8
10
4
6
8
10
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
NS-MITC3
MITC3
CS-MITC3+
Exact
NS-DSG3
S3R_Abaqus
Exact
NS-MITC3
CS-MITC3+
NS-DSG3
MITC3
S3R_Abaqus
(h/a=0.1)
(h/a=0.01)
Hình 4.1. Độ võng tại tâm tấm vuông composite [00/900]
0.72
0.70
0.68
0.66
0.64
0.62
0.60
1.20
1.15
1.10
1.05
1.00
0.95
4
6
8
10
4
6
8
10
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
MITC3
Exact
NS-MITC3
S3R_Abaqus
NS-DSG3
CS-MITC3+
NS-MITC3
NS-DSG3
S3R_Abaqus
MITC3
CS-MITC3+
(h/a=0.1)
(h/a=0.01)
Hình 4.2. Độ võng tại tâm tấm vuông composite [00/900/00]
14
4.2 Tấm vuông composite liên kết tựa đơn 4 cạnh chịu tải sin.
Xét các tấm vuông composite cạnh a, chiều dày h=0.1a và h=0.01a [27]. Khảo sát độ
võng tại tâm tấm khi góc phương sợi, chiều dày thay đổi hay lưới không đều. Kết quả khảo
sát cho thấy phần tử CS-MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác hơn S3R.
1.10
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
1.26
1.24
1.22
1.20
1.18
1.16
1.14
1.12
1.10
1.08
4
6
8
10
4
6
8
10
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
CS-MITC3+
Exact
S3R
CS-MITC3+_Irregular
Exact
CS-MITC3+
S3R_Irregular
S3R_Abaqus
S3R_Irregular
CS-MITC3+_Irregular
(h/a=0.1)
(h/a=0.01)
Hình 4.3. Độ võng tại tâm tấm vuông composite [00/900]
0.44
0.43
0.42
0.41
0.40
0.39
0.38
0.37
0.36
0.78
0.76
0.74
0.72
0.70
0.68
0.66
0.64
0.62
0.60
0.58
0.56
4
6
8
10
4
6
8
10
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
CS-MITC3+
S3R_Abaqus
Exact
S3R_Abaqus
S3R_Irregular
CS-MITC3+_Irregular
CS-MITC3+
S3R_Irregular
CS-MITC3+_Irregular
(h/a=0.1)
(h/a=0.01)
Hình 4.4. Độ võng tại tâm tấm vuông composite [00/900/00]
15
4.3 võng tại tâm tấm khi hướng sợi và góc xiên thay đổi.
Xét tấm composite xiên góc ∝ so với trục x, cạnh a, chiều dày h = 0.01a, tải trọng phân bố
đều q = 1, biên tựa đơn 4 cạnh [19]. Khảo sát độ võng tại tâm tấm khi hướng sợi và góc
xiên thay đổi. Kết quả khảo sát cho thấy phần tử CS-MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác
hơn MITC3, NS-MITC3 [31], NS-DSG3[30].
5.80
4.1
5.70
5.60
5.50
5.40
5.30
5.20
5.10
5.00
4
3.9
3.8
3.7
3.6
3.5
3.4
3.3
3.2
8
10
12
14
8
10
Số phần tử trên mổi cạnh
CS-MITC3+ S3R_Abaqus
12
14
Số phần tử trên mổi cạnh
CS-MITC3+ S3R_Abaqus
NS-MITC3
NS-DSG3
Exact
NS-MITC3
NS-DSG3
Exact
MITC3
MITC3
α=450
α=600
Hình 4.5. Độ võng tấm xiên composite [00/900/00]
4.1
4
6.80
6.60
6.40
6.20
6.00
5.80
5.60
5.40
3.9
3.8
3.7
3.6
3.5
3.4
3.3
3.2
8
10
12
14
8
10
Số phần tử trên mổi cạnh
CS-MITC3+ S3R_Abaqus
12
14
Số phần tử trên mổi cạnh
CS-MITC3+
S3R_Abaqus
Exact
NS-MITC3
NS-DSG3
Exact
NS-MITC3
NS-DSG3
MITC3
MITC3
α=450
α=600
Hình 4.6. Độ võng tấm xiên composite [450/-450/450]
16
4.4 Vỏ trụ composite liên kết ngàm chịu tải trọng tập trung.
Xét vỏ trụ composite chiều dài a=600, bán kính R=300, bề dày h [27]. Khảo sát độ võng
tại vị trí lực tác dụng khi hướng sợi và bề dày thay đổi. Kết quả khảo sát cho thấy phần tử
CS-MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác hơn S3.
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
2.00
1.00
0.00
0.40
0.20
0.00
8
12
16
20
24
28
32
8
12
16
20
24
28
32
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
S3_Abaqus
CS-MITC3+
Exact
Exact
CS-MITC3+
S3_Abaqus
(R/h=20)
(R/h=100)
Hình 4.7. Độ võng Vỏ trụ [00/900]
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
8
12
16
20
24
28
32
8
12
16
20
24
28
32
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
S3_Abaqus
CS-MITC3+
Exact
S3_Abaqus
CS-MITC3+
(R/h=100)
(R/h=20)
Hình 4.8. Độ võng Vỏ trụ [00/900]5
17
4.5 Vỏ mái vòm composite hai đầu liên kết ngàm chịu tải trọng bản thân.
Xét mái vòm composite chiều dài a=600, bán kính R=300, bề dày h [27]. Khảo sát độ
võng tại vị trí lực tác dụng khi hướng sợi và bề dày thay đổi. Kết quả khảo sát cho thấy
phần tử CS-MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác hơn S3.
13.00
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
12.50
12.00
11.50
11.00
8
12
16
20
24
28
32
8
12
16
20
24
28
32
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
CS-MITC3+
S3_Abaqus
S3_Abaqus
CS-MITC3+
Exact
(R/h=100)
(R/h=20)
Hình 4.9. Độ võng mái vòm [00/900]
8.80
8.70
8.60
8.50
8.40
8.30
8.20
8.10
2.20
2.15
2.10
2.05
2.00
1.95
1.90
1.85
1.80
1.75
1.70
8
12
16
20
24
28
32
8
12
16
20
24
28
32
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
S3_Abaqus
CS-MITC3+
Exact
S3_Abaqus
CS-MITC3+
(R/h=20)
(R/h=100)
Hình 4.10. Độ võng mái vòm [00/900]5
18
4.6 Vỏ chỏm cầu composite liên kết tựa đơn, chịu tải trọng tập trung
Xét vỏ chỏm cầu composite với chiều dài a=1, bán kính R=Rx= Ry, bề dày h=0.1 [28].
Khảo sát độ võng tại vị trí lực tác dụng khi chia nhỏ số phần tử và hướng sợi thay đổi. Kết
quả khảo sát cho thấy phần tử CS-MITC3+ hội tụ nhanh và chính xác hơn CS-DSG3 [17].
8.75
7.75
6.75
5.75
4.75
3.75
2.75
1.75
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
8
12
16
20
24
8
12
16
20
24
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
CS-DSG3
CS-MITC3+
CS-DSG3
CS-MITC3+
Exact
(R/a=10)
(R/a=100)
Hình 4.11. Độ võng chỏm cầu [00/900]
5.60
5.10
4.60
4.10
3.60
3.10
2.60
2.10
1.60
1.10
0.60
5.95
5.45
4.95
4.45
3.95
3.45
2.95
2.45
1.95
1.45
0.95
8
12
16
20
24
8
12
16
20
24
CS-DSG3
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Số phần tử trên mỗi 1/2 cạnh
Exact
CS-MITC3+
Exact
CS-MITC3+
CS-DSG3
(R/h=10)
(R/h=100)
Hình 4.12. Độ võng chỏm cầu [00/900/00]
19
5. Kết Luận
Kết quả phân tích cho thấy sự hội tụ nhanh khi chia nhỏ phần tử, chính xác hơn các phần
tử MITC3, NS-MITC3, NS-DSG3, CS-DSG3 và kết quả mô phỏng bằng phần mềm
Abaqus.
Nghiên cứu cho thấy, phần tử tam giác 18 bậc tự do CS-MITC3+ cho kết quả tốt với các
loại kết cấu tấm/vỏ khác nhau như tấm vuông, tấm xiên, vỏ trụ, vỏ mái vòm, vỏ chỏm cầu.
Điều kiện biên khác nhau như biên ngàm, biên khớp. Tải trọng khác nhau như tải trong
phân bố đều, tải trọng sin, tải trọng tập trung. Góc hướng sợi thay đổi, số lớp thay đổi, lưới
không đều. Phần tử này cũng cho kết quả tốt với kết quả tấm/vỏ dày lẫn mỏng chứng tỏ
phần tử CS-MITC3+ đã khắc phục tốt hiện tượng khóa cắt.
Tài liệu tham khảo
[1] A. E. H. Love, “The Small Free Vibrations and Deformation of a Thin Elastic Shell,”
Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical,
Physical and Engineering Sciences, vol. 179, pp. 491–546, Jan. 1888.
[2] E. Reissner, “‘The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic
Plates,’” ASME Journal of Applied Me-chanics, pp. A68–A77, Vol-1945.
[3] “R. D. Mindlin, ‘Influence of Rotary Inertia and Shear on Flexural Motions of
Isotropic, Elastic Plates,’ Journal of Applied Mechanics, Vol. 18, No. 1, 1951, pp. 31-
38. - References - Scientific Research Publish.” .
[4] S. Ahmad, B. M. Irons, and O. C. Zienkiewicz, “Analysis of thick and thin shell
structures by curved finite elements,” Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 2, no. 3, pp.
419–451, Jul. 1970.
[5] K.-J. Bathe and E. N. Dvorkin, “A formulation of general shell elements—the use of
mixed interpolation of tensorial components,” Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 22,
no. 3, pp. 697–722, Mar. 1986.
[6] Eduardo N. Dvorkin and Klaus‐Jürgen Bathe, “A continuum mechanics based four‐
node shell element for general non‐linear analysis,” Engineering Computations, vol.
1, no. 1, pp. 77–88, Jan. 1984.
[7] M. L. Bucalem and K.-J. Bathe, “Higher-order MITC general shell elements,” Int. J.
Numer. Meth. Engng., vol. 36, no. 21, pp. 3729–3754, Nov. 1993.
[8] H.-M. Jeon, P.-S. Lee, and K.-J. Bathe, “The MITC3 Shell Finite Element Enriched
by Interpolation Covers,” Comput. Struct., vol. 134, pp. 128–142, Apr. 2014.
[9] Y. Lee, P.-S. Lee, and K.-J. Bathe, “The MITC3+ shell element and its performance,”
Computers & Structures, vol. 138, pp. 12–23, 2014.
[10] H.-M. Jeon, Y. Lee, P.-S. Lee, and K.-J. Bathe, “The MITC3+ shell element in
geometric nonlinear analysis,” Computers & Structures, vol. 146, pp. 91–104, 2015.
[11] “Zienkiewicz, O. C. Parekh, C. J . & King, I. P, ‘Arch dams analysed by a linear
finite,’ Proc. Symp. Arch Dams, Pergamon Press, Oxford, 1965.”
20
Tải về để xem bản đầy đủ
22 trang
12/01/2024
18340
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phân tích kết cấu tấm/vỏ Composite bằng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút 18 bậc tự do cs-mitc3+", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- phan_tich_ket_cau_tamvo_composite_bang_phan_tu_vo_phang_tam.pdf
