Bài giảng Xác suất & Thống kê - Nguyễn Đức Phương
Xác suất &
Thống kê
Nguyễn Đức Phương
Họ và tên:
Mssv:
TP. HCM, Ngày 12 tháng 12 năm 2012
Mục lục
Mục lục
i
1 Biến cố, xác suất của biến cố
1
1
3
4
5
5
8
1.1 Phép thử, biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố . . . . . . . . . . . . .
1.5 Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.4 Công thức xác suất Bayes . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Biến ngẫu nhiên
28
2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 29
2.2.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . 34
Trang ii
Mục lục
2.3 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Kỳ vọng - EX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Phương sai - VarX . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 ModX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Một số phân phối xác suất thông dụng
52
3.1 Phân phối Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Phân phối Nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Phân phối Siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Phân phối Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Luật số lớn và các định lý giới hạn
73
4.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Bất đẳng thức Markov, Chebyshev . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất . . . . . . . . . . . 77
4.5.1 Liên hệ giữa phân phối nhị thức và chuẩn . . . . 77
4.5.2 Liên hệ giữa nhị thức và Poisson . . . . . . . . . 79
4.5.3 Liên hệ giữa siêu bội và nhị thức . . . . . . . . . 80
5 Véctơ ngẫu nhiên
81
5.1 Khái niệm véctơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Phân phối xác suất của .X; Y / . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 .X; Y / là véctơ ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . 82
Mục lục
Trang iii
5.2.2 .X; Y / là véctơ ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . 85
5.3 Bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Lý thuyết mẫu
96
6.1 Tổng thể, mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Mô tả dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Phân loại mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.2 Sắp xếp số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3 Các đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.1 Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.2 Phương sai mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.3 Phương sai mẫu có hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 100
7 Ước lượng tham số
105
7.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Khoảng tin cậy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1 Mô tả phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.2 Khoảng tin cậy cho trung bình . . . . . . . . . . 107
7.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4 Bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Kiểm định giả thiết
116
8.1 Bài toán kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1.1 Giả thiết không, đối thiết . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1.2 Miền tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.1.3 Hai loại sai lầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.1.4 Phương pháp chọn miền tới hạn . . . . . . . . . . 119
8.2 Kiểm định giả thiết về trung bình . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Trang iv
Mục lục
8.4 So sánh hai giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5 So sánh hai tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6 Bài tập chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Tương quan, hồi qui
143
9.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.1.1 Số liệu trong phân tích tương quan, hồi qui . . . 143
9.1.2 Biểu đồ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.3 Tìm đường thẳng hồi qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4 Sử dụng máy tính cầm tay . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A Các bảng giá trị xác suất
148
A.1 Bảng giá trị f .z/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2 Bảng giá trị '.x/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3 Bảng giá trị t˛n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Tài liệu tham khảo
155
Chương 1
Biến cố, xác suất của biến cố
Mục lục chương 1
1.1 Phép thử, biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
4
5
1.5 Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1 Phép thử, biến cố
- Phép thử là việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát một hiện
tượng nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự
báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra.
- Mỗi kết quả của phép thử, ! được gọi là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.1. Thực hiện phép thử tung một đồng xu. Có hai kết quả có
thể xảy ra khi tung đồng xu là xuất hiện mặt sấp-S hoặc mặt ngửa-
N:
ꢀ Kết quả ! D S là một biến cố sơ cấp.
ꢀ Kết quả ! D N là một biến cố sơ cấp.
- Tập hợp tất cả các kết quả, ! có thể xảy ra khi thực hiện phép thử
gọi là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu là .
Trang 2
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
Ví dụ 1.2. Tung ngẫu nhiên một con xúc sắc. Quan sát số chấm trên
mặt xuất hiện của xúc sắc, ta có 6 kết quả có thể xảy ra đó là:1, 2, 3,
4, 5, 6. Không gian các biến cố sơ cấp, D f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Số phần tử
của , jj D 6:
- Mỗi tập con của không gian các biến cố sơ cấp gọi là biến cố.
Ví dụ 1.3. Thực hiện phép thử tung một xúc sắc. Ta đã biết D
f1; 2; 3; 4; 5; 6g
ꢀ Đặt A D f2; 4; 6g ꢁ , A gọi là biến cố “Số chấm trên mặt xuất
hiện là số chẵn”. Thay vì liệt kê các phần tử của A, ta đặt tên cho
A
A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn”
ꢀ Ngược lại, nếu ta gọi biến cố:
B: “Số chấm trên mặt xuất hiện lớn hơn 4”
thì khi đó B D f5; 6g
- Xét biến cố A, khi thực hiện phép thử ta được kết quả !.
ꢀ Nếu trong lần thử này kết quả ! 2 A ta nói biến cố A xảy ra.
ꢀ Ngược lại nếu trong lần thử này kết quả ! … A ta nói biến cố A
không xảy ra.
Ví dụ 1.4. Một sinh viên thi kết thúc môn xác suất thống kê.
A : “Sinh viên này thi đạt” A D f4I : : : I 10g
ꢀ Giả sử sinh viên này đi thi được kết quả ! D 6 2 A lúc này ta nói
biến cố A xảy ra (Sinh viên này thi đạt).
ꢀ Ngược lại nếu sinh viên này thi được kết quả ! D 2 … A thì ta nói
biến cố A không xảy ra (Sinh viên này thi không đạt).
1.2 Quan hệ giữa các biến cố
Trang 3
1.2 Quan hệ giữa các biến cố
a) Quan hệ kéo theo .A ꢁ B/ W Nếu biến cố A xảy ra thì kéo theo biến
cố B xảy ra.
Ví dụ 1.5. Theo dõi 3 bệnh nhân phỏng đang được điều trị. Gọi các
biến cố:
Ai : “Có i bệnh nhân tử vong”, i D 0; 1; 2; 3
B : “Có nhiều hơn một bệnh nhân tử vong”
Ta có A2 ꢁ B, A3 ꢁ B, A1 ꢁ B
b) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A ꢁ B và B ꢁ A,
ký hiệu A D B.
c) Biến cố tổng A C B .A [ B/ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B
xảy ra trong một phép thử. (Ít nhất một trong hai biến cố xảy ra)
Ví dụ 1.6. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một
phát. Gọi các biến cố:
A : “Người thứ nhất bắn trung mục tiêu”
B : “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu”
Biến cố A C B: “Có it nhất một người bắn trúng mục tiêu”
d) Biến cố tích AB .A \ B/ xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và
B cùng xảy ra trong một phép thử.
Ví dụ 1.7. Một sinh viên thi kết thúc 2 môn hoc. Gọi các biến cố:
A : “Sinh viên thi đạt môn thứ nhất”
B : “Sinh viên thi đạt môn thứ hai”
Biến cố AB: “Sinh viên thi đạt cả hai môn”
e) Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không cùng xảy
ra trong một phép thử .AB D ;/.
f) Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện
phép thử, ký hiệu ;.
g) Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử,
ký hiệu .
Trang 4
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
N
h) Biến cố A được gọi là biến cố bù của biến cố A hay ngược lại khi
và chỉ khi
(
N
A \ A D ;
N
A [ A D
1.3 Định nghĩa xác suất
Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa cổ điền). Xét một phép thử đồng khả
năng, có không gian các biến cố sơ cấp
D f!1; !2; : : : ; !ng ; jj D n < 1
A ꢁ là một biến cố. Xác suất xảy ra biến cố A, ký hiệu P .A/
jAj
jj
số trường hợp thuận lợi đối với A
P .A/ D
D
số trường hợp có thể
Ví dụ 1.8. Gieo một con xúc sắc cân đối. Tính xác suất số chấm trên
mặt xuất hiện lớn hơn 4.
Giải.
Ví dụ 1.9. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên vào một ghế dài có 5 chỗ ngồi.
Tính xác suất hai người định trước ngồi cạnh nhau.
Giải.
Tính chất 1.2 (Tính chất của xác suất). Xác suất có các tính chất:
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập
Trang 5
i. 0 ꢂ P .A/ ꢂ 1 với mọi biến cố A.
ii. P .;/ D 0, P ./ D 1.
iii. Nếu A ꢁ B thì P .A/ ꢂ P .B/.
ꢀ ꢁ
N
iv. P .A/ D 1 ꢃ P A :
Ví dụ 1.10. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen. Từ lọ lấy ra ngẫu
nhiên 3 bi, tính xác suất lấy được:
a) Hai bi trắng.
b) Ít nhất một bi trắng.
Giải.
Chú ý: Trong câu b), chúng ta tính xác suất của biến cố bù sẽ đơn
giản hơn. Ta có
N
B W “Lấy được không bi trắng”
C40C63
C130
ꢀ ꢁ
N
P .B/ D 1 ꢃ P B D 1 ꢃ
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập
1.4.1 Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.3 (Xác suất có điều kiện). P .AjB/ là xác suất xảy ra
biến cố A biết rằng biến cố B đã xảy ra (P .B/ > 0).
Trang 6
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
Ví dụ 1.11. Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Từ lọ này lấy
lần lượt ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác
suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy
được viên bi trắng.
Giải.
ꢂ
ꢂ
B xảy ra
4 bi trắng
6 bi đen
3 bi trắng
6 bi đen
ꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃ!
đã lấy 1 bi trắng
Ví dụ 1.12. Từ một bộ bài tây (4 chất, 52 lá), rút ngẫu nhiên ra 2 lá.
Tính xác suất:
a) Rút được hai lá bài cơ.
b) Rút được 2 lá bài cơ biết rằng 2 lá bài này màu đỏ.
Giải.
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập
Trang 7
Ví dụ 1.13. Một nhóm 100 người có:
+ 20 người hút thuốc.
+ 30 nữ, trong đó có 5 người hút thuốc.
Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác
suất:
a. Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ.
b. Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc.
30 nữ
20 người hút thuốc
5 nữ hút thuốc
Giải.
Công thức xác suất điều kiện
P .AB/
P .AjB/ D
; P .B/ > 0
P .B/
Trang 8
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
Tính chất 1.4. Xác suất có điều kiện có các tính chất:
i. 0 ꢂ P .AjB/ ꢂ 1 với mọi biến cố A.
ii. Nếu A ꢁ A0 thì P .AjB/ ꢂ P .A0jB/.
ꢀ
ꢁ
N
iii. P .AjB/ D 1 ꢃ P AjB :
Ví dụ 1.14. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 10 người nộp đơn
dự tuyển, trong đó có 4 nữ (khả năng trúng tuyển của các ứng cử viên
là như nhau). Tính xác suất:
a) Cả 4 nữ trúng tuyển.
b) Có ít nhất một nữ trúng tuyển.
c) Cả 4 nữ trúng tuyển, biết rằng có ít nhất một nữ đã trúng tuyển.
Giải.
1.4.2 Sự độc lập của hai biến cố
Định nghĩa 1.5 (Sự độc lập). A và B là hai biến cố độc lập nếu B có
xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và
1.4 Xác suất có điều kiện, sự độc lập
Trang 9
ngược lại, nghĩa là:
ꢀ
ꢁ
N
P .AjB/ D P AjB
Tính chất 1.6. Nếu A và B độc lập thì
i. P .AjB/ D P .A/ và P .BjA/ D P .B/
N N
N
N
ii. A và B; A và B; A và B độc lập.
Ví dụ 1.15. Tung một xúc sắc 2 lần. Gọi các biến cố:
A : “Lần 1 xuất hiện mặt 6 chấm”
B : “Lần 2 xuất hiện mặt 6 chấm”
Hai biến cố A và B có độc lập?
Giải.
Ví dụ 1.16. Một lọ đựng 4 bi trắng và 6 bi đen, thực hiện hai lần lấy
bi. Mỗi lần lấy 1 bi (lấy không hoàn lại). Đặt các biến cố:
A : “Lần 1 lấy được bi đen”
B : “Lần 2 lấy được bi trắng”
Hai biến cố A và B có độc lập?
Giải.
Trang 10
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
1.5 Các công thức tính xác suất
1.5.1 Công thức cộng
P .A C B/ D P .A/ C P .B/ ꢃ P .AB/
Chú ý: Nếu A và B xung khắc .AB D ;/ thì
P .A C B/ D P .A/ C P .B/
Ví dụ 1.17. Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi
toán, 8 học sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn. Chọn ngẫu
nhiên một học sinh, tính xác suất học sinh này giỏi ít nhất một môn.
Giải.
Công thức cộng 3 biến cố:
P .A C B C C/ DP .A/ C P .B/ C P .C/
ꢃ P .AB/ ꢃ P .AC/ ꢃ P .BC/
C P .ABC/
1.5 Các công thức tính xác suất
Trang 11
Chú ý: Nếu A; B; C xung khắc từng đôi một thì
P .A C B C C/ D P .A/ C P .B/ C P .C/
1.5.2 Công thức nhân
P .AB/ D P .A/ P .BjA/ D P .B/ P .AjB/
Chú ý: Nếu A và B độc lập thì P .AB/ D P .A/ P .B/
Mở rộng công thức nhân: Cho n biến cố A1; A2; : : : ; An
P .A1A2 : : : An/ D P .A1/ P .A2jA1/ : : : P .AnjA1A2 : : : Anꢃ1
Chú ý: Nếu Ai; i D 1; : : : ; n độc lập toàn bộ thì
P .A1 : : : An/ D P .A1/ : : : P .An/
/
Ví dụ 1.18. Một người có 4 con gà mái, 6 con gà trống nhốt trong một
lồng. Hai người đến mua (người thứ nhất mua xong rồi đến lượt người
thứ hai mua, mỗi người mua 2 con) và người bán bắt ngẫu nhiên từ
lồng. Tính xác suất người thứ nhất mua được một gà trống và người
thứ hai mua hai gà trống.
Giải.
Trang 12
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
Ví dụ 1.19. Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh
viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt
môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn
thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Tính xác suất sinh viên
A:
a. Đạt môn thứ hai.
b. Đạt i môn, i D 0; 1; 2:
c. Đạt ít nhất một môn.
d. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt một môn.
e. Đạt môn thứ hai biết rằng sinh viên này đạt ít nhất một môn.
Giải.
1.5 Các công thức tính xác suất
Trang 13
Ví dụ 1.20. Một người có 3 con gà mái, xác suất đẻ trứng trong ngày
của con gà I, II, III lần lượt là 0,4; 0,7; 0,8. Tính xác suất:
a) Có i con gà đẻ trứng trong ngày, i D 0; 1; 2; 3:
b) Có ít nhất 1 con gà đẻ trứng trong ngày.
c) Có nhiếu nhất 2 con gà đẻ trứng trong ngày.
d) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có 1
con đẻ trứng.
e) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có ít
nhất 1 con đẻ trứng.
f) Con gà thứ I đẻ trứng trong ngày biết rằng trong ngày đó có nhiều
nhất 2 con đẻ trứng.
Giải.
Trang 14
Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố
Tải về để xem bản đầy đủ
161 trang
22460
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất & Thống kê - Nguyễn Đức Phương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_nguyen_duc_phuong.pdf
