Bài giảng Truyền nhiệt - Chương 1: Các khái niệm cơ bản về truyền nhiệt và phương trình vi phân dẫn nhiệt

Chöông I

CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ

TRUYEÀN NHIEÄT vaø

Sunday, May 01, 2022

PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT

A. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN

Nhieät löôïng

 Laø naêng löôïng trao ñoåi khi coù cheânh leäch nhieät ñoä

Nhieät löôïng trao ñoåi theo ba hình thöùc cô baûn: daãn nhieät,

trao ñoåi nhieät ñoái löu vaø trao ñoåi nhieät böùc xaï

I. DAÃN NHIEÄT

 Nhieät löôïng truyeàn giöõa hai vaät tieáp xuùc tröïc tieáp

vôùi nhau coù cheânh leäch nhieät ñoä

 hoaëc giöõa caùc vuøng coù nhieät ñoä khaùc nhau trong

cuøng moät vaät.

II. TRAO ÑOÅI NHIEÄT ÑOÁI LÖU

 Nhieät löôïng trao ñoåi giöõa löu chaát vaø beà maët raén

khi coù cheânh leäch nhieät ñoä.

III. TRAO ÑOÅI NHIEÄT BÖÙC XAÏ

 Nhieät löôïng trao ñoåi giöõa hai vaät coù nhieät ñoä

cheânh leäch khoâng tieáp xuùc nhau trong moâi tröôøng

chaát khí hoaëc chaân khoâng.

IV.

V. TRAO ÑOÅI NHIEÄT PHÖÙC TAÏP

 Nhieät löôïng truyeàn giöõa hai ñoái töôïng coù cheânh

leäch nhieät ñoä töø hai caùch treân trôû leân

Quaù trình truyeàn nhieät naêng coù lieân quan chaët cheõ vôùi söï

phaân boá nhieät ñoä (hay gradient nhieät ñoä)

VI. TRÖÔØNG NHIEÄT ÑOÄ

Nhieät ñoä Laø thoâng soá traïng thaùi bieåu thò möùc ñoä noùng

laïnh cuûa vaät.

Laø yeáu toá quyeát ñònh phöông höôùng chuyeån

ñoäng cuûa doøng nhieät.

Tröôøng nhieät ñoä Moâ taû giaù trò nhieät ñoä trong vaät theo

thôøi gian.

Trong tröôøng hôïp toång quaùt nhieät ñoä laø haøm soá cuûa toïa ñoä

vaø thôøi gian.

t  f



x,y,z,

r,,z,

r,,,



(1-1)

• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh





t  f x,y,z

t

(1-2)

(1-3)

 0



• Tröôøng nhieät ñoä bieán thieân 2 chieàu





t  f x,y,

t

 0

z

• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh bieán thieân theo 2 chieàu

 

t  f x,y

t

z

(1-4)

(1-5)

t



 0 vaø  0

• Tröôøng nhieät ñoä oån ñònh bieán thieân 1 chieàu

 

t  f x

t t

t

  0 vaø  0

y z 

VII. GRADIENT NHIEÄT ÑOÄ

Maët ñaúng nhieät: Taäp hôïp caùc ñieåm coù nhieät ñoä gioáng

nhau taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù.

➢ Maët ñaúng nhieät khoâng caét nhau.

➢ Nhieät ñoä seõ thay ñoåi khi ñi qua caùc maët ñaúng nhieät.

Gradient nhieät ñoä: Ñoä bieán thieân nhieät ñoä theo phöông

phaùp tuyeán.

Laø vectô truøng vôùi phöông phaùp

tuyeán cuûa beà maët ñaúng nhieät theo

chieàu taêng cuûa nhieät ñoä

n

s

t



n

t

 

t

t



s



t



t

grad t   i   j   k  t

x y z

t

(1-6)

Hay

grad t  n_ograd t

(1-7)

n_oVectô phaùp tuyeán ñôn vò theo chieàu taêng nhieät ñoä

vôùi beà maët ñaúng nhieät.



n_o cos(n,x) i  cos(n,y) j  cos(n,z)k

Ñoä lôùn

grad t  t'²_xt'²_yt'²_z

(1-8)

(1-9)

VIII. NGUOÀN NHIEÄT

Nguoàn nhieät laø naêng löôïng chuyeån hoùa töø doøng ñieän,

phaûn öùng nguyeân töû hoaëc töø caùc phaûn öùng

hoùa hoïc thaønh naêng löôïng nhieät,

tính cho moät ñôn vò theå tích q_v, W m³

Nhieät löôïng sinh ra töø theå tích V do nguoàn nhieät beân trong

(1-10)

^{Q }^{q dV}

V

v

V

B. ÑÒNH LUAÄT FOURIER

Ñaây laø ñònh luaät cô baûn cuûa daãn nhieät trong vaät chaát.

“Nhieät löôïng dQ_truyeàn qua phaàn töû beà maët ñaúng nhieät dF

trong khoaûng thôøi gian d tyû leä thuaän vôùi gradient nhieät ñoä”

t

Q_    dF d

n

J

(1-11)

Daáu “ ” Do nhieät löôïng luoân ñi töø nôi coù nhieät ñoä cao

ñeán nôi coù nhieät ñoä thaáp.



Heä soá daãn nhieät, laø thoâng soá vaät lyù ñaëc tröng

cho khaû naêng daãn nhieät cuûa vaät lieäu. W/(m.K)

Maät ñoä doøng nhieät nhieät löôïng truyeàn qua moät ñôn vò

beà maët ñaúng nhieät trong moät ñôn vò

thôøi gian:

dQ_

dF  d

t

n

W/m²

(1-12)

(1.13)

q_F

   

q_F q_x i  q_y j  q_z k

t

x

t

y

t





q_x  





Vôùi

q   

(1-14)

(1-15)

y



q   

 ^z



z

q_F   grad t

q_F   t

hay

Tröôøng hôïp toång quaùt:

Doøng nhieät truyeàn qua maët ñaúng nhieät F trong moät ñôn vò

thôøi gian:

^{Q  }^{ grad t dF}

W

(1-16)

F

Nhieät löôïng truyeàn qua maët ñaúng nhieät F sau khoaûng

thôøi gian :



^{Q  }^{ grad t dFd}

J

(1-17)

0 F

C. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÃN NHIEÄT

Hieän töôïng daãn nhieät luoân lieân quan vôùi söï chuyeån ñoäng

vi moâ cuûa vaät chaát

✓Trong chaát khí

 laø do khueách taùn cuûa caùc phaân töû vaø nguyeân töû

✓Trong chaát loûng vaø chaát caùch ñieän

 do taùc duïng cuûa soùng ñaøn hoài

✓Trong kim loaïi

 do söï khueách taùn cuûa caùc ñieän töû töï do (dao ñoäng

ñaøn hoài cuûa maïng tinh theå ñoùng vai troø thöù yeáu)

Caùc giaû thuyeát khi thieát laäp phöông trình vi phaân daãn nhieät:

 Vaät ñoàng chaát vaø ñaúng höôùng.

 Thoâng soá vaät lyù laø haèng soá.

 Vaät xem laø hoaøn toaøn cöùng (söï thay ñoåi theå tích do

nhieät ñoä gaây neân raát beù)

 Caùc phaàn vó moâ cuûa vaät khoâng coù söï chuyeån ñoäng

töông ñoái vôí nhau.

 Nguoàn nhieät beân trong phaân boá ñeàu: q_v const, W/m³

Phöông trình vi phaân daãn nhieät ñöôïc xaây döïng döïa treân

cô sôû ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng vaø ñònh luaät Fourier.

Ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng: “Nhieät löôïng Q₁ñöa

vaøo phaàn töû theå tích dV sau khoaûng thôøi gian d do daãn nhieät

vaø do nguoàn nhieät beân trong phaùt ra baèng söï bieán thieân noäi

naêng trong phaàn töû theå tích vaät”

Q₁ Q₂ Q

(1-18)

Q₁Nhieät löôïng ñöa vaøo phaàn töû theå tích baèng daãn

nhieät sau khoaûng thôøi gian d

Q₂Nhieät löôïng phaùt sinh trong phaàn töû theå tích sau

khoaûng thôøi gian d do nguoàn nhieät beân trong.

Q Ñoä bieán thieân noäi naêng trong phaàn töû theå tích dv

sau khoaûng thôøi gian d.

Theo phöông x, nhieät löôïng ñöa vaøo taïi vò trí x vaø ñöa ra

taïi vò trí x  dx laø:

Q_x q_xdydzd

Q_xdx q_xdxdydzd

Nhieät löôïng tích tuï laïi trong phaàn töû theå tích theo

phöông x sau khoaûng thôøi gian d :

Q_1x Q_x Q_xdx

(1-19.a)





 q_x q_xdxdydzd

Haøm q_xdxlieân tuïc trong khoaûng dx, do ñoù coù theå khai

trieån theo chuoåi Taylor nhö sau:

dx²

2!

dxⁿ

n!

q_x

x

²q_x

x²

ⁿq_x

xⁿ

q_xdx q_x

dx 



... 



Neáu chæ laáy 2 soá haïng ñaàu, theá vaøo (a) ta coù:

q_x

x

Q_1x 

dxdydzd

(1-19.b)

Töông töï, nhieät löôïng tích tuï theo phöông y vaø z laø:

q_y

y

Q_1y 

dxdydzd

q_z

Q_1z  dxdydzd

z

Nhö vaäy, nhieät löôïng tích tuï laïi trong phaàn töû theå tích dv

sau khoaûng thôøi gian d do daãn nhieät laø:

Q₁ Q_1x Q_1y Q_1z

(1-19.c)

q_y





q_x

q



^z

 



dVd  qdVd



x y z





Nhieät löôïng toûa ra do nguoàn nhieät beân trong q_v[W/m³]

(phaân boá ñeàu):

Q₂ q_vdVd

(1-19.d)

Bieán thieân noäi naêng trong phaàn töû theå tích dv:

C_v C_p C

t

Q  Cdm  d  C dVd

 

(1-19.e)

(1-20)

t

Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vaøo 1-18

q_v

C.

t

1

  q 

 C.

Ta ñöôïc:

Theá phöông trình 1-15 vaøo 1-20

q_v

C.

t 

 C.

Ta ñöôïc



²t 

q_v

C.

t



 a²t 

Hay

(1-21)



C.

a 

heä soá khueách taùn nhieät, laø thoâng soá vaät lyù toàn taïi

trong quaù trình daãn nhieät khoâng oån ñònh vaø ñaëc

tröng cho toác ñoä bieán thieân nhieät ñoä cuûa vaät.

Trong heä toïa ñoä truï

Ta theá quan heä sau

x  rcos

y  rsin

z  z







(1-22)





vaøo phöông trình 1-21, phöông trình vi phaân daãn nhieät

trong heä toïa ñoä truï coù daïng:

2





q_v

C.

t



 t 1 t 1  t  t

 a

   







(1-23)

r²

r²²z²

r r





Trong heä toïa ñoä caàu:

Ta theá quan heä sau

x  rcossin

y  rsinsin

z  rcos







(1-24)





vaøo phöông trình 1-21, phöông trình vi phaân daãn nhieät

trong heä toïa ñoä caàu coù daïng:

2





q_v

c.

t



1 

r

1





t



1

 t













 

r t 

 a 



sin











r²

r².sin

r².sin² ²





(1-25)

D. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN

DAÃN NHIEÄT OÅN ÑÒNH MOÄT CHIEÀU

KHOÂNG COÙ NGUOÀN NHIEÄT BEÂN TRONG

I. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ VUOÂNG GOÙC

q_v

C.

t



P/trình 1-21

 a²t 

Tröôøng hôïp naøy maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët phaúng

song song  nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông x, ta coù

t

y

t

z



 0

d²t



 0



(1-26)





dx²

 0 q_v 0







II. TRONG HEÄ TOÏA ÑOÄ TRUÏ

2









q_v

C.

t

 t 1 t 1  t  t

P/t 1-23:

 a

   







r²

r²²z²



r r

Tröôøng hôïp naøy maët ñaúng nhieät laø nhöõng maët truï ñoàng

taâm  nhieät ñoä chæ thay ñoåi theo phöông baùn kính

t



t

z



 0

d²t 1 dt





   0





dr²

r dr

 0 q_v 0







d dt







r   0



(1-27)





dr dr



Bài giảng Truyền nhiệt - Chương 1: Các khái niệm cơ bản về truyền nhiệt và phương trình vi phân dẫn nhiệt - Võ Kiến Quốc